Найти полный дифференциал функции z. Полный дифференциал

IV . ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 10. Основы дифференцирования функции двух переменных

Частная производная от функции по переменнойx – это предел

.

Частная производная от функции
по переменнойy – это предел

.

Соответствующие обозначения: и, или жеи.

Производная – это скорость изменения функции при малом изменении переменнойx , когда переменная y постоянна. Очевидно, – новая функция.

При поиске считаем, чтоy – это число, выраженное буквой (параметр). Тогда получаем функцию одной переменной
, а производную от неё находим по правилам дифференцирования функции одной переменной.

Так же – это скорость изменения функции при малом измененииy и постоянном x , а при поиске составляем функцию
и дифференцируем её как функцию одной переменной.

Пример 1. Частные производные от функции :

Пример 2. Найдём частные производные от функции
:

В 1-м случае вынесли постоянный множитель
, не зависящий отx , а во 2-м случае – множитель , не зависящий отy .

Пример 3. Для функции найдём

Полный дифференциал
показывает, какпримерно изменится функция, если увеличить x на величину
и одновременно y – на величину
(если
или
, то речь об уменьшенииx или y ).

Пример 4. Найдём полный дифференциал функции
в общем виде и в точке
:

а)
– при
получается производная степенной функции;

б)
– при
получается производная показательной функции.

Таким образом, в общем виде , или, если вынести общий множитель,.

Чтобы найти полный дифференциал в точке, подставив её координаты
и
, тогда.

Смысл результата . Пусть надо найти, например, значение функции
в точке
, или, что то же самое, найти величину
.

Если взять точку
, то. При переходе в точкуN изменение аргументов составило и(разность старых и новых координат).

Полный дифференциал в точке M (не в N ! )

равен приращению функции при переходе из точки
в
.

Поэтому . Более точно,
.

Пример 5. Найдём для нескольких функций полные дифференциалы в общем виде и в конкретной точке M :

а) пусть
;
, тогда

Дифференциал в общем виде

в точке M будет

б) пусть даны
и
; тогда

Дифференциал в общем виде:

в) если даны
и
, то

Упростим числители:

;
.

В полном дифференциале вынесем общий множитель:

подставим координаты точки:

или
.

Так, чтобы найти
, считаем
, затеми, после чего

и соответственно .

Пример 6. При помощи полного дифференциала найдём значение функции
при
(угол выражен в радианах).

Подберём точку как можно ближе к
, чтобы в ней легко вычислялось значение
. Это точка
:
.

Частные производные в общем виде:

,,

а в точке
будет, и
.

Значит, около точки
функция меняется примерно так же, как меняется переменнаяx . В нашем случае .

Новое значение функции .

Более точное значение почти совпадает с приближённым. Отличие вызвано тем, что
, а не 1;

Ответ: .

Пример 7. При помощи полного дифференциала найдём
.

Представим это число как значение функции
в точке
. При этом
и
, а для таких аргументов функцию
легко посчитать:
.

Итак,
,
,
,
.

Тогда
прии.

Для
частные производные

;
.

В точке M
и
, тогда

(функция растёт в 2 раза быстрее, чем 2-й аргумент).

Ответ: (более точное значение равно
).

ЧП1. Найдите частные производные для функций

3) а) ; б)
;

в)
; г)
;

ЧП2. Найдите полные дифференциалы функций в указанной точке:

2) а)
; б)
;

в)
; г)
;

ЧП3. Найдите при помощи полного дифференциала приближённые значения

1) а)
; б)
; в)
; г)
;

2) а)
; б)
; в)
; г)
;

3) а)
; б)
; в)
; г)
;

4) а) ; б); в); г).

Экстремум функции двух переменных

Точка M называется точкой минимума функции
, если можно указать открытую областьD (часть плоскости xOy ), в которой значение
– наименьшее из всех. Более строго,M – точка минимума, если существует D , что

а)
(точка входит в эту область и не принадлежит её границе);

б) (в любой другой точке этой же области значение функции меньше, чем в интересующей нас точке).

При замене на условие
получим определение точки максимума.

Например,
– точка минимума функции, поскольку в ней, а в любой другой точке
.

Схема поиска точек экстремума для функции

1) Найдём и, затем – точки
, где обе производные равны 0;

2) найдём 2-е производные
, т.е. соответственно
;

3) координаты точки
подставим во 2-е производные. Получим числа

4) если
, в точке
экстремума нет. Если
, то смотрим, каков знакA :

если
, то
– точка минимума,

если же
, то
– точка максимума;

5) если в
оказалось, что
, необходимы другие методы решения, выходящие за рамки пособия (разложение в ряд Тейлора);

6) таким же образом 3-й, 4-й и 5-й шаги выполняем для остальных точек.

Пример 8. Найдём экстремумы функции .

1)

решаем систему

(уравнения решены независимо, и подходят все сочетания координат);

2) находим 2-е производные

;

;

Проверяем точку
, подставив
и
:

3) ;
;
;

4) , экстремума в
нет.

Проверяем точку
, подставив
и
:

3) ;
;
;

4) , экстремум в
есть.

Поскольку
, то данный экстремум – это минимум. Можно найти его значение.

Ответ: минимум при
и
, равный –50.

Пример 9. Исследуем на экстремум функцию .

1) Находим

решаем систему

У 2-го уравнения 3 корня: –1, 0 и 1, но координаты зависимы:

если
, то
,

если
, то
,

если
, то
.

Получаем 3 точки: ;

2) берём 2-е производные

;
;
;

проверяем точку
:

3)
;
;
;

4) , в
есть экстремум, а поскольку
, то этот экстремум – минимум. Его значение;

проверяем точку
:

3)
;
;
;

4) , экстремума в
нет.

Легко видеть, что для точки
результаты те же, что и для
.

Ответ: минимум, равный –2, при
и
, а также при
и
.

Замечание 1. Если в записи функции поменять все знаки, точки минимума станут точками максимума, и наоборот. При этом координаты точек не изменятся. Так, из примера 9 следует, что для получим максимум, равный 2, при
и
, а также при
и
.

Если же к функции добавить (или отнять) любое число, изменится лишь значение экстремума, но не его тип. Так, у функции окажется максимум при
и
, а также при
и
, равный 2+50=52.

ЧП4. a , b . Найдите значение функции в этой точке и определите тип экстремума:

а) a = 2; b = 3; б) a = 3; b = 2; в) a = 2; b = 5; г) a = 5; b = 4;

д) a = 6; b = 1; е) a = 1; b = 2; ж) a = 0; b = 4; з) a = 3; b = 0.

ЧП5. Найдите точку экстремума функции при указанных параметрахa , b . Найдите значение функции, определите тип экстремума:

а) a = 2; b = 3; б) a = 3; b = 2; в) a = 2; b = 5; г) a = 5; b = 4;

д) a = 6; b = 1; е) a = 1; b = 2; ж) a = 0; b = 4; з) a = 3; b = 0.

Замечание 2. Функции двух переменных ведут себя сложнее, чем функции одной переменной. Так, при решении задач на экстремум:

а) даже у непрерывных функций могут быть несколько точек максимума и ни одной точки минимума (или наоборот);

б) все стационарные точки могут оказаться седловыми точками , из которых функция растёт при изменении x и убывает при изменении y (или наоборот). Тем самым у функции не окажется ни максимума, ни минимума.

Замечание 3. Приведённая схема исследования на экстремум предполагает, что функция дифференцируема в точках экстремума. Однако это не обязательно. Так, функция
в точке
имеет максимум, но её производные в данной точке обращаются в бесконечность. Подобные случаи выходят за рамки пособия.

ЧП6. Исследуйте функции на экстремум и укажите значение экстремума.

Пусть Z= f(х;у) определена в некоторой окрестности точки М(х;у) полное приращение ∆Z=f(x+∆x,у+∆у)-f(x,y). Z= f(х;у) называется дифференцируемой в М(х;у), если ее полное приращение можно представить в виде: ∆Z=А∆х+В∆у+α∆х+β∆у, где α= α(∆х,∆у)→0 и β= β(∆х,∆у)→0 при ∆х→0, ∆у→0. Сумма двух первых слагаемых представляет собой главную часть приращения функции.Главная часть приращения функции , линейная относительно ∆х и ∆у, называется полным дифференциалом функции и обозначается символом dZ=A∆x+B∆y. ВыраженияA∆xиB∆yназываются частными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагают ∆x=dx, ∆y=dy. Поэтому dZ=Adx+Bdy.

Теорема 1. (необходимое условие дифференцирования функции). Если Z= f(х;у) дифференцируема в точке М(х;у), то она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производныеи, причем=А;=В.

Таким образом, можно записать dZ=dx+dyили dZ=d х Z+ d у Z.

Теорема 2. Если Z= f(х; у) имеет непрерывные частные производные Z′ х и Z′ у в точке М (х;у), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой записаннойвыше .

Чтобы функция Z= f(х; у) была дифференцируема в точке, необходимо чтобы она имела в ней частные производные и достаточно чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.

Арифметические свойства правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и в случае дифференциалов функции двух и более переменных.

1. Дифференциалы высших порядков

Полный дифференциал называется дифференциалом первого порядка. Пусть Z= f(х;у) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка в этом случае определяется по формуле
. Найдем ее d 2 Z= d(dx+dy)= (dx+dy) х ′ dx+(dx+dy) у ′ dу=( dx+dy) dx+(dx+dy)dу, отсюда d 2 Z= dx 2 +2dxdy+dy 2 . Символически это можно записать так: d 2 Z=(
) 2 Z. Аналогично можно получить формулу

d 3 Z= d (d 2 Z)==(
) 3 Z, а для d n Z=(
) n Z. Все эти соотношения справедливы лишь в случае, если переменные х и у функции Z= f(х;у) являются независимыми.

1. Производная сложной функции. Полная производная

Пусть Z= f(х;у) – функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t х=х(t),у=у(t). В этом случае Z= f(х(t);у(t)) является сложной функцией одной независимой переменной t, а переменные х и у – являются промежуточными переменными.

Теорема. Если Z= f(х;у) дифференцируема в точке М(х,у) и х=х(t),у=у(t) – дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции Z(t)= f(х(t);у(t)) вычисляется по формуле
.

Доказательство. Дадим независимой t приращение ∆t. Тогда х=х(t) и у=у(t) получат приращения ∆х и ∆у соответственно. Они в свою очередь вызовут приращение ∆ZфункцииZ. Так как Z= f(х;у) по условию дифференцируемав М(х,у), то ее полное приращение равно ∆Z=
, где α→0 β →0 при ∆х→0 и ∆у→0. Разделим ∆Zна ∆t и перейдем к пределу ∆t→0, тогда ∆х→0 и ∆у→0 в силу непрерывности функций х=х(t); у=у(t) получаем:, т.е.. Ч.т.д.

8.Инвариантность формы полного дифференциала

Используя правила дифференцирования сложной функции, можно показать, что полный дифференциал обладает свойством инвариантности, т.е. сохраняет один и тот же вид, независимо от того являются ли аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных.

Пусть Z= f(х;у), где x,y– независимые переменные, тогда полный дифференциал (1 ого порядка) имеет видdZ=

Рассмотрим сложную функцию Z= f(х; у), где x=x(u,),y=y(u,), т.е. функция

Рассмотрим функцию двух переменных z=f(x, y) и ее полное приращение в точке M 0 (x 0 , y 0)

Δ z = f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) - f(x 0 , y 0) .

Определение . Если существуют числа P и Q такие, что полное приращение можно представить в виде

Δ z = PΔ x + QΔ y + ε Δρ ,

где и ε→ 0 при Δρ→ 0 , то выражение PΔ x + QΔ y называется полным дифференциалом функции z=f(x,y) в точке M 0 (x 0 ,y 0) .

В этом случае полное приращение функции состоит из двух частей: первая часть PΔ x + QΔ y является линейной относительно Δ x и Δ y , вторая - бесконечно малой высшего порядка по сравнению с .

Полный дифференциал функции z=f(x,y) обозначается через dz , то есть

dz = PΔ x+QΔ y .

Функция, имеющая полный дифференциал в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке.

Теорема . Если u=f(M) дифференцируема в точке M 0 , то она в ней непрерывна.

Замечание . Из непрерывности функции двух переменных не следует ее дифференцируемость.

Пример . непрерывна в (0,0) , но не имеет частной производной - не существует. Аналогично не существует частной производной по y . Следовательно, функция не дифференцируема.

Теорема [необходимое условие дифференцируемости] . Если z=f(x,y) дифференцируема в точке M 0 , то она имеет в этой точке частные производные по x и y , причем

f′ x (x 0 ,y 0) = P , f′ y (x 0 , y 0) = Q .

Замечание . Из существования частных производных не следует дифференцируемость. Пример:

Имеем , но функция не является непрерывной, следовательно не является дифференцируемой.

Теорема [достаточное условие дифференцируемости] . Если первые частные производные функции z=f(x,y) определены в некоторой окрестности точки M 0 (x 0 ,y 0) и непрерывны в самой точке M 0 , то данная функция имеет полный дифференциал в этой точке.

Замечание . Имеем

Δ z = f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y + ε Δρ ,

где ε→ 0 при Δρ→ 0 . Следовательно,

f(x 0 +Δ x,y 0 +Δ y) - f(x 0 ,y 0) ≈ f′ x (x 0 ,y 0)Δ x + f′ y (x 0 ,y 0)Δ y

f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) ≈ f(x 0 ,y 0) + f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y .

Эта формула применяется в приближенных вычислениях.

При фиксированных Δ x и Δ y полный дифференциал является функцией переменных x и y :

Положим dx=Δ x , dy=Δ y и назовем эти величины дифференциалами независимых переменных.

Тогда получим формулу

то есть полный дифференциал функции равен сумме произведений первых частных производных на соответствующие дифференциалы аргументов.

Аналогично определяется и выражается полный дифференциал функции трех переменных. Если u=f(x, y, z) и существуют числа P , Q , R такие, что

Δ u = PΔ x+QΔ y+RΔ z+εΔρ, ε→ 0 при δρ→ 0 ,

то полным дифференциалом называется выражение

du = PΔ x+QΔ y+RΔ z .

Если первые частные производные этой функции непрерывны, то

где dx=Δ x , dz=Δ z , dz=Δ z .

Определение . Полным дифференциалом второго порядка некоторой функции называется полный дифференциал от ее полного дифференциала.

Если z=f(x,y) , dz=z′ x dx+z′ y dy , то

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Рассмотрим поверхность S , заданную уравнением

z=f(x, y) .

Пусть f(x, y) имеет частные производные в некоторой области. Рассмотрим M 0 (x 0 , y 0) .

- угловой коэффициент касательной в точке M 0 к сечению поверхности плоскостью y=y 0 , то есть к линии z=f(x,y 0) . Касательная к этой линии имеет вид:

z-z 0 =f′ x (x 0 , y 0)(x-x 0), y=y 0 .

Аналогично, сечение плоскостью x=x 0 дает уравнение

z-z 0 =f′ y (x 0 , y 0)(y-y 0), x=x 0 .

Плоскость, содержащая обе эти прямые, имеет уравнение

z-z 0 =f′ x (x 0 , y 0)(x-x 0)+f′ y (x 0 , y 0)(y-y 0)

и называется касательной плоскостью к поверхности S в точке P 0 (x 0 , y 0 , z 0) .

Отметим, что уравнение касательной плоскости можно переписать в виде

z-z 0 =df .

Таким образом, геометрический смысл полного дифференциала: дифференциал в точке M 0 для приращения (x-x 0 , y-y 0) есть приращение аппликаты точки касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке (x 0 , y 0) для тех же приращений.

Касательная плоскость имеет вектор нормали в точке (x 0 , y 0 , z 0) - \vec{n}=(f′ x (x 0 , y 0), f′ y (x 0 , y 0), -1) . Прямая, проходящая через точку P 0 и имеющая направляющий вектор \vec{n} , называется нормалью к поверхности z=f(x,y) в данной точке. Ее уравнения:

Дифференцирование сложных функций

Пусть дана дифференцируемая функция z=F(v, w) , аргументы которой являются дифференцируемыми функциями переменных x и y :

v=v(x, y), w=w(x, y) .

Если при этом функция

z=F(v(x, y), w(x, y))=\Phi(x, y)

имеет смысл, то она называется сложной функцией от x и y .

Теорема . Частные производные z′ x , z′ y сложной функции существуют и выражаются формулами

Если v и w - дифференцируемые функции одной переменной t , то есть

v=v(t) , w=w(t) ,

и имеет смысл функция

z=F(v(t), w(t))=f(t) ,

то ее производная выражается формулой

Эта производная называется полной производной.

Если задана дифференцируемая функция

u=F(ξ, η, ζ) ,

аргументы которой ξ=ξ(t) , η=η(t) , ζ=ζ(t) - дифференцируемые функции переменной t и функция

u=F(ξ(t), η(t), ζ(t))