Pozitív határozott másodfokú formák

Meghatározás... Másodlagos forma n ismeretlen hívják pozitívan meghatározottha rangja megegyezik a pozitív tehetetlenségi mutatóval és megegyezik az ismeretlenek számával.

Tétel.A másodfokú forma akkor és csak akkor határozottan pozitív, ha pozitív értéket vesz fel a változók bármely nulla értékű halmazán.

Bizonyíték.Legyen egy másodfokú forma ismeretlenek nem generációs lineáris transzformációjával

normalizált

.

Bármely változóértékű, nem nulla halmaz esetében legalább a számok egyikét nem nulla, azaz ... A tétel szükségessége bebizonyosodott.

Tegyük fel, hogy a másodfokú forma pozitív értéket kap bármely nem null változó halmazon, de pozitív tehetetlenségi indexe az ismeretlenek nem generált lineáris transzformációjával történik

a normális formájába hozzuk. Az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy ebben a normális formában az utolsó változó négyzete vagy hiányzik, vagy mínusz előjellel szerepel benne, azaz hol vagy. Tegyük fel, hogy ez a változók nem nulla értékkészlete, amelyet a lineáris egyenletrendszer megoldásával kapunk

Ebben a rendszerben az egyenletek száma megegyezik a változók számával, és a rendszer meghatározója nem nulla. Cramer tétele szerint a rendszernek egyedülálló megoldása van, és nem nulla. Ehhez a készlethez. Ellentmondás a feltétellel. Ellentmondásba jutunk a feltételezéssel, amely bizonyítja a tétel elégségességét.

E kritérium alkalmazásával lehetetlen megállapítani az együtthatók alapján, hogy a másodfokú forma pozitívan definiálva van-e. A választ erre a kérdésre egy másik tétel adja meg, amelynek megfogalmazásához még egy fogalmat bevezetünk. A mátrix fő átlós kiskorúai - ezek a kiskorúak találhatók a bal felső sarokban:

, , , … , .

Tétel.A másodfokú forma akkor és akkor pozitív, ha az összes fő átlós kiskorú pozitív.

Bizonyítéka számra vonatkozó teljes matematikai indukció módszerével nmásodfokú változók f.

Indukciós hipotézis. Tegyük fel, hogy másodfokú, kevesebb változóval rendelkező formák esetén n az állítás igaz.

Vegyünk egy másodfokú formát itt: nváltozók. Gyűjtsük össze az összes kifejezést egy zárójelben. A fennmaradó kifejezések kvadratikus formát alkotnak a változókban. Az indukciós hipotézis szerint az állítás igaz rá.

Tegyük fel, hogy a másodfokú forma határozottan pozitív. Ekkor a másodfokú forma is pozitív határozott. Ha azt feltételezzük, hogy ez nem így van, akkor a változók értékeinek nem nulla értéke van , amelyekre és ennek megfelelően , és ez ellentmond annak a ténynek, hogy a másodfokú forma pozitív határozott. Az indukciós hipotézis szerint a másodfokú forma összes fő átlós kiskorúja pozitív, azaz a másodfokú forma összes első nagyobb kiskorúja f pozitív. A másodfokú forma utolsó nagyobb mollja – ez a mátrixának meghatározója. Ez a meghatározó tényező pozitív, mivel előjele egybeesik normál formájú mátrix előjével, azaz az identitásmátrix determinánsának előjellel.

Legyen a másodfokú forma összes fő átlós kiskorúja pozitív, Ezután a másodfokú forma összes fő átlós kiskorúja legyen az egyenlőségből ... Az indukciós hipotézis szerint a másodfokú forma pozitív határozott, ezért van egy nem degenerált lineáris változó-transzformáció, amely az alakot az új változók négyzetösszegének alakjába hozza. Ez a lineáris transzformáció beállítással elvégezhető az összes változó nem degenerált lineáris transzformációjává. A másodfokú alakot ez az alakzattá alakítás redukálja

Másodfokú forman változó f (x 1, x 2, ..., x n) összegét összegnek nevezzük, amelynek minden tagja vagy az egyik változó négyzete, vagy két különböző változó szorzata egy bizonyos együtthatóval: f (x 1, x 2, ..., x n) \u003d (a ij \u003d a ji).

Az ezen együtthatókból álló A mátrixot másodfokú mátrixnak nevezzük. Mindig szimmetrikusmátrix (azaz a főátlóra szimmetrikus mátrix, a ij \u003d a ji).

A mátrix jelölésében a másodfokú alak f (X) \u003d X T AX, ahol

Valóban

Írjuk például a másodfokú alakot mátrix formában.

Ehhez találunk másodfokú mátrixot. Átlós elemei megegyeznek a változók négyzetének együtthatóival, a többi elem pedig megegyezik a másodfokú alak megfelelő együtthatóinak felével. ebből adódóan

Az X változók mátrixoszlopát az Y mátrixoszlop nem degenerált lineáris transzformációjával kapjuk meg, azaz X \u003d CY, ahol С az n rendű nemregenerált mátrix. Ezután az f (X) \u003d X T AX \u003d (CY) T A (CY) \u003d (Y T C T) A (CY) \u003d Y T (C T AC) Y másodfokú alak.

Tehát egy nem degenerált C lineáris transzformációval a másodfokú alak mátrixa a következő formát ölti: A * \u003d C T AC.

Keressük meg például az f (y 1, y 2) másodfokú alakot, amely lineáris transzformációval kapott f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 másodlagos alakból.

A másodfokú alakot nevezzük kánoni(Van kanonikus nézet), ha összes együtthatója a ij \u003d 0 i ≠ j esetén, azaz f (x 1, x 2, ..., x n) \u003d a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn xn 2 \u003d.

Mátrixa átlós.

Tétel(itt nincs bizonyíték). Bármely másodfokú forma kanonikus formává redukálható nem degenerált lineáris transzformációval.

Vigyük például a kanonikus alakra az f (x 1, x 2, x 3) másodfokú alakot \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Ehhez először válasszon ki egy teljes négyzetet x 1 változóval:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Most egy teljes négyzetet választunk ki x 2 változóval:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) - (5/100) x 3 2 \u003d \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Ezután a nem degenerált lineáris transzformáció y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 és y 3 \u003d x 3 ezt a másodfokú alakot f (y 1, y 2, y 3) \u003d kanonikus alakúra redukálja. 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20) y 3 2.

Megjegyezzük, hogy a másodfokú alak kanonikus alakja kétértelműen van meghatározva (egy és ugyanaz a másodfokú forma különböző módon lehet kanonikus formává redukálni 1). A különféle módon nyert kanonikus formáknak azonban számos közös tulajdonsága van. Különösen a másodfokú forma pozitív (negatív) együtthatójú kifejezések száma nem attól függ, hogy milyen módszerrel redukálják a formát erre az alakra (például a figyelembe vett példában mindig két negatív és egy pozitív együttható lesz). Ezt a tulajdonságot hívják másodfokú formák tehetetlenségi törvénye.

Ellenőrizzük ezt úgy, hogy ugyanazt a másodfokú alakot más módon csökkentjük kanonikus alakjává. Kezdjük az átalakítást az x 2 változóval: f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d -3 (x 2 2 - - 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \u003d \u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \u003d f (y 1, y 2, y 3) \u003d -3y 1 2 - -3y 2 2 + 2y 3 2, ahol y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6) x 3 és y 3 \u003d x 1. Itt van egy pozitív 2 együttható y 3-ra és két negatív együttható (-3) y 1-re és y 2-re (és ha más módszert használunk, akkor pozitív 1-es együtthatót kapunk y 1-re és két negatívat - - (-5) y2-re és (-1/20) y 3-ra ).

Azt is meg kell jegyezni, hogy a másodfokú forma mátrixának rangja, az ún a másodfokú forma rangja, egyenlő a kanonikus forma nem nulla együtthatóinak számával, és lineáris transzformációk alatt nem változik.

Az f (X) másodfokú alakot hívjuk pozitívan(negatívan)bizonyosha a változók minden olyan értéke esetében, amelyek nem egyidejűleg nulla, pozitív, azaz f (X)\u003e 0 (negatív, azaz f (X)< 0).

Például az f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 másodfokú forma pozitív, mivel a négyzetek összege, és az f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 másodfokú forma negatív, mivel ábrázolja, f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2 alakban ábrázolható.

A legtöbb gyakorlati helyzetben valamivel nehezebb megállapítani a másodfokú forma meghatározhatóságát, ezért erre a következő tételek egyikét használjuk (bizonyítás nélkül fogalmazzuk meg).

Tétel... A másodfokú forma pozitív (negatív) határozott akkor és csak akkor, ha mátrixának összes sajátértéke pozitív (negatív).

Tétel (Sylvester-kritérium)... A másodfokú forma akkor és csak akkor határozottan pozitív, ha a forma mátrixának összes fő kiskorúja pozitív.

Őrnagy (sarok) kiskorúaz A. mátrix k-edik sorrendjét a mátrix determinánsának nevezzük, amely az А () mátrix első k sorából és oszlopából áll.

Ne feledje, hogy negatív, határozott másodfokú formák esetén a nagyobb kiskorúak jelei váltakoznak, és az elsőrendű kiskorúnak negatívnak kell lennie.

Vizsgáljuk meg például az f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 másodfokú alakot a jelmeghatározás szempontjából.

\u003d (2 -) * * (3 -) - 4 \u003d (6-22-33 + + 2) - 4 \u003d 2-55 + 2 \u003d 0; D \u003d 25-8 \u003d 17; ... Ezért a másodfokú forma határozottan pozitív.

2. módszer A mátrix első rendjének fő mollja A  1 \u003d a 11 \u003d 2\u003e 0. A másodrendű fő moll 2 \u003d \u003d 6 - 4 \u003d 2\u003e 0. Ezért Sylvester kritériuma szerint a másodfokú forma pozitív határozott.

Vizsgáljuk meg a jelek meghatározhatóságának másik kvadratikus alakját, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

1. módszer Készítsünk egy mátrixot az A \u003d másodfokú alakból. A jellegzetes egyenletnek formája lesz \u003d (-2 -) * * (- 3 -) - 4 \u003d (6 + 2 + 3 +  2) - 4 \u003d  2 + 5 + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17 ; ... Ezért a másodfokú forma határozottan negatív.

2. módszer A mátrix első rendjének fő mollja A  1 \u003d a 11 \u003d \u003d -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Ezért Sylvester kritériuma szerint a másodfokú forma negatív határozott (a nagyobb kiskorúak jelei váltakoznak, kezdve a mínussal).

Másik példaként vizsgáljuk meg az f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 másodfokú alakot a jelmeghatározás szempontjából.

1. módszer Készítsünk egy mátrixot az A \u003d másodfokú alakból. A jellegzetes egyenletnek formája lesz \u003d (2 -) * * (- 3 -) - 4 \u003d (-6 - 2 + 3 + - 2) - 4 \u003d  2 + -10 \u003d 0; D \u003d 1 + 40 \u003d 41; ... Ezen számok egyike negatív, a másik pozitív. A sajátértékek különbözőek. Következésképpen a másodfokú forma nem lehet sem negatív, sem pozitív határozott, azaz ez a másodfokú forma nem határozott előjel (bármely előjel értékét felveheti).

2. módszer A mátrix első rendjének fő mollja A 1 \u003d a 11 \u003d 2\u003e 0. A másodrendű fő moll 2 \u003d \u003d -6 - 4 \u003d -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1 A másodfokú alak kanonikus alakúra történő redukálásának megfontolt módja akkor kényelmes, ha nem nulla együtthatóval találkozunk a változók négyzeteire. Ha nincsenek ott, akkor is lehetséges az átalakítás végrehajtása, de más technikákat kell alkalmaznia. Például hagyjuk, hogy f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 x 2 \u003d x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 \u003d

\u003d (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2; 4x 1 x 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - (x 1 - x 2) 2; f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 x 2 \u003d (1/2) * * (x 1 + x 2 ) 2 - (1/2) * (x 1 - x 2) 2 \u003d f (y 1, y 2) \u003d (1/2) y 1 2 - (1/2) y 2 2, ahol y 1 \u003d x 1 + x 2, ay 2 \u003d x 1 - x 2.

Másodfokú formák.
A formák előjel-meghatározhatósága. Sylvester kritérium

A "másodfokú" melléknév azonnal arra utal, hogy itt valami összefügg egy négyzettel (második fok), és nagyon hamar megtudjuk ezt a "valamit", és hogy mi a forma. Egyenesen kiderült :)

Üdvözöljük új leckémben, és azonnali bemelegítésként megnézzük a csíkos egyenruhát lineáris. Lineáris forma változók hívott homogén I. fokú polinom:

- néhány konkrét szám * (feltételezzük, hogy legalább egyikük nem nulla), és - olyan változók, amelyek tetszőleges értékeket vehetnek fel.

* A téma keretein belül csak azt vesszük figyelembe valós számok .

A „homogén” kifejezéssel már találkoztunk a kb homogén lineáris egyenletrendszerek, és ebben az esetben ez azt jelenti, hogy a polinomnak nincs hozzáadott állandója.

Például: - két változó lineáris alakja

Most az alak másodfokú. Másodfokú forma változók hívott homogén 2. fokú polinom, amelynek minden egyes kifejezése vagy a változó négyzetét vagy pár változók szorzata. Tehát például két változó másodfokú alakja a következő:

Figyelem! Ez egy szokásos bejegyzés, és nem kell változtatnia rajta semmit! A "félelmetes" megjelenés ellenére itt minden egyszerű - az állandók kettős aláírása jelzi, hogy mely változók szerepelnek ebben vagy abban a kifejezésben:
- ez a kifejezés tartalmazza a szorzatot és (négyzet);
- itt van egy mű;
- és itt van a mű.

- Mindjárt egy durva hibára számítok, amikor elveszítik az együttható "mínuszát", és nem veszem észre, hogy ez kifejezésre utal:

Néha van egy "iskola" tervezési lehetőség a szellemben, de akkor csak néha. Egyébként vegye figyelembe, hogy az itt szereplő állandók egyáltalán nem mondanak el nekünk semmit, és ezért nehezebb megjegyezni a "könnyű lemezt". Különösen akkor, ha több változó van.

Három változó másodfokú alakja pedig már hat kifejezést tartalmaz:

... miért „két” tényező kerül „vegyes” kifejezésekbe? Ez kényelmes, és hamarosan kiderül, miért.

Az általános képletet azonban lejegyezzük, célszerű "lapdal" elrendezni:

- alaposan tanulmányozzuk az egyes vonalakat - nincs ezzel semmi baj!

A másodfokú forma változók négyzeteivel rendelkező kifejezéseket és párosított termékekkel rendelkező kifejezéseket tartalmaz (cm. kombinatorikus kombinációs képlet) ... Semmi más - nincsenek "magányos x-ek" és nincs hozzáadott állandó (akkor nem másodfokú alakot kap, hanem inhomogén fokú polinom).

A másodfokú forma mátrix jelölése

Az értékektől függően a vizsgált forma egyaránt kaphat pozitív és negatív értékeket, és ugyanez vonatkozik bármely lineáris formára - ha legalább együtthatója nem nulla, akkor lehet pozitív és negatív is (attól függően, hogy egy értékek).

Ezt a formát nevezzük váltakozva... És ha minden átlátszó a lineáris formával, akkor a másodfokú formával sokkal érdekesebb a helyzet:

Teljesen világos, hogy ez a forma bármely jel jelentését felveheti, így a másodfokú forma is váltakozhat.

Lehet, hogy nem:

- mindig, hacsak nem egyidejűleg nulla.

- bárkinek vektor nulla kivételével.

És általában véve:ha van ilyen nem nulla vektor, akkor a másodfokú alakot nevezzük pozitívan meghatározott; ha akkor negatívan definiált.

És minden rendben lenne, de a másodfokú forma bizonyossága csak egyszerű példákban látható, és ez a láthatóság enyhe komplikációval is elvész:
– ?

Feltételezhető, hogy a forma pozitívan van meghatározva, de valóban így van-e? Mi van, ha vannak olyan értékek, amelyeknél ez kisebb, mint nulla?

Ezen a számlán tétel: Ha mindenki sajátértékek másodfokú mátrixok pozitívak * , akkor pozitívan definiálják. Ha mind negatív, akkor negatív.

* Elméletileg bebizonyosodott, hogy egy valós szimmetrikus mátrix összes sajátértéke érvényes

Írjuk meg a fenti forma mátrixát:
és az egyenletből Találd meg őt sajátértékek:

A jó öreg megoldása másodfokú egyenlet:

tehát a forma pozitívan van meghatározva, azaz bármely nulla értéknél nagyobb, mint nulla.

Úgy tűnik, hogy a figyelembe vett módszer működik, de van egy nagy DE. Háromszor három mátrix sajátértékeinek keresése hosszú és kellemetlen feladat; nagy valószínűséggel irracionális gyökerekkel rendelkező 3. fokú polinomot kap.

Hogyan legyen? Van egy egyszerűbb út!

Sylvester kritérium

Nem, nem Sylvester Stallone :) Először hadd emlékeztessem, mi van sarok kiskorúak mátrixok. azt meghatározó tényezők amelyek "nőnek" a bal felső sarkából:

az utolsó pedig pontosan megegyezik a mátrix determinánsával.

Most valójában kritérium:

1) A másodfokú forma meg van határozva pozitívan akkor és csak akkor, ha MINDEN sarok kiskorúja nagyobb, mint nulla :.

2) A másodfokú forma meg van határozva negatívan akkor és csak akkor, ha a szögletes kiskorúak váltakoznak a jelekkel, míg az 1. kiskorú nullánál kisebb: ,, ha - páros vagy, ha - páratlan.

Ha legalább egy szögletes kiskorú ellentétes előjellel rendelkezik, akkor az alak váltakozva... Ha az "az" jel szögletes kiskorúai, de köztük nulla van, akkor ez egy különleges eset, amelyet egy kicsit később elemzek, miután átkattintunk a gyakoribb példákon.

Elemezzük a mátrix sarok kiskorúit :

És ez azonnal azt mondja nekünk, hogy a forma nincs meghatározva negatívan.

Következtetés: az összes sarok kiskorú nagyobb, mint nulla, tehát az alakja pozitívan van meghatározva.

Van-e különbség a sajátérték módszerrel? ;)

Írjuk az alakmátrixot 1. példa:

az első sarok-moll, a második pedig , ahonnan következik, hogy a forma váltakozik, azaz az értékektől függően pozitív és negatív értékeket is felfoghat. Ez azonban már nyilvánvaló.

Vegye ki a formát és mátrixát 2. példa:

itt nem lehet rájönni belátás nélkül. De nem érdekel Sylvester kritériuma:
ezért a forma határozottan nem negatív.

, és határozottan nem pozitív (mivel minden sarok kiskorúnak pozitívnak kell lennie).

Következtetés: a forma váltakozik.

Bemelegítő példák az önmegoldásra:

4. példa

Vizsgálja meg a kvadratikus formákat a határozottság érdekében

és)

Ezekben a példákban minden zökkenőmentes (lásd a lecke végét), de valójában egy ilyen feladat elvégzése sylvester kritériuma nem biztos, hogy elég.

A lényeg az, hogy vannak "él" esetek, nevezetesen: ha vannak ilyenek nem nulla vektor, akkor az alakja meg van határozva nem negatívha akkor nem pozitív... Ezeknek a formáknak van nem nulla vektorok, amelyekre.

Itt idézhet egy ilyen "gombharmonikát":

Kiemelés teljes négyzet, azonnal látjuk nem negativitás form :, ráadásul egyenlő nullával, és minden vektor számára, amelynek azonos koordinátái vannak, például: .

Tükör példa nem pozitív egy bizonyos forma:

és még triviálisabb példa:
- itt a forma nulla minden vektor esetében, ahol tetszőleges szám van.

Hogyan lehet azonosítani a nem negatív vagy a nem pozitív formákat?

Ehhez szükségünk van a koncepcióra nagyobb kiskorúak mátrixok. A major-moll olyan elemekből áll, amelyek azonos számú sorok és oszlopok metszéspontjában állnak. Tehát a mátrixnak két elsőbbrendű kiskorúja van:
(az elem az 1. sor és az 1. oszlop metszéspontjában található);
(az elem a 2. sor és a 2. oszlop metszéspontjában van),

és egy fő 2. rendű kiskorú:
- az 1., 2. sor és az 1., 2. oszlop elemeiből áll.

"Háromszor három" mátrix hét fő kiskorú van, és itt kell integetnie a bicepszet:
- három I. rendű kiskorú,
három másodrendű három kisebb kulcs:
- az 1., 2. sor és az 1., 2. oszlop elemeiből áll;
- az 1., 3. sor és az 1., 3. oszlop elemeiből áll;
- a 2., 3. sor és a 2., 3. oszlop elemeiből áll,
és egy 3. rendű kiskorú:
- az 1., 2., 3. sor, valamint az 1., 2. és 3. oszlop elemeiből áll.
A feladat megértés: írja le a mátrix összes fő kiskorúját .
A lecke végén ellenőrizzük és folytatjuk.

Schwarzenegger kritériuma:

1) Meghatározzuk a nulla * másodfokú formát nem negatív csak akkor, ha MINDEN fő kiskorúja nem negatív (nagyobb vagy egyenlő nullával).

* A nulla (degenerált) másodfokú alakban minden együttható nulla.

2) Meghatározunk egy nem nulla kvadratikus formát mátrixszal nem pozitívcsak akkor, ha:
- 1. rendű nagyobb kiskorúak nem pozitív (kisebb vagy egyenlő nulla);
- 2. rendű nagyobb kiskorúak nem negatív;
- a 3. rendű nagyobb kiskorúak nem pozitív (váltakozás ment);
…
- kisebb-nagyobb parancs nem pozitívha - páratlan vagy nem negatívha - még.

Ha legalább egy kiskorú ellentétes előjelű, akkor az alak váltakozik.

Nézzük meg, hogyan működik a kritérium a fenti példákban:

Állítsuk össze az alakmátrixot, és először számítsuk ki a szögletes kiskorúakat - mi van, ha pozitívan vagy negatívan definiáljuk?

A kapott értékek nem felelnek meg Sylvester kritériumának, de a második kiskorúnak nem negatív, és ez szükségessé teszi a 2. kritérium ellenőrzését (a 2. kritérium esetén nem teljesül automatikusan, vagyis azonnal következtetést vonnak le a forma váltakozásáról).

1. rendű kiskorúak:
- pozitív,
Őrnagy 2. rendű kiskorú:
- nem negatív.

Így MINDEN nagyobb kiskorú nem negatív, ezért a forma nem negatív.

Írjuk meg a forma mátrixát , amelyre nyilvánvalóan Sylvester kritériuma nem teljesül. De nem is kaptunk ellentétes jeleket (mivel mindkét sarok kiskorú egyenlő nullával). Ezért ellenőrizzük a nem negatív / nem pozitív kritérium teljesülését. 1. rendű kiskorúak:
- nem pozitív,
Őrnagy 2. rendű kiskorú:
- nem negatív.

Így Schwarzenegger kritériuma szerint (2. pont) a forma nincs pozitívan definiálva.

Most, teljesen felfegyverkezve, elemezzünk egy mulatságosabb problémát:

5. példa

Vizsgálja meg a másodfokú alakot a határozottság szempontjából

Ezt az űrlapot az "alfa" sorrend díszíti, amely egyenlő lehet bármely valós számmal. De ez csak szórakoztatóbb lesz mi döntünk.

Először írjuk le az űrlapmátrixot, valószínűleg sokan már megszokták, hogy ezt szóban tegyék: tovább fő átló a négyzetekre és a szimmetrikus helyekre együtthatókat teszünk - a megfelelő "vegyes" művek felező együtthatói:

Számítsuk ki a szögletes kiskorúakat:

A harmadik meghatározót kibővítem a 3. vonal mentén:

A másodfokú forma fogalma. Másodfokú mátrix. A másodfokú alak kanonikus formája. Lagrange módszere. A másodfokú forma normál nézete. A másodfokú forma rangja, indexe és aláírása. Pozitív határozott másodfokú forma. Kvadrikusok.

Másodfokú forma fogalma: függvény a vektortérben, amelyet egy második fokozatú homogén polinom ad meg a vektor koordinátáiban.

Másodlagos nismeretlen olyan összeg, amelynek egyes tagjai vagy az egyik ismeretlen négyzete, vagy két különböző ismeretlen szorzata.

Másodfokú mátrix:A mátrixot egy adott alapon másodfokú mátrixnak nevezzük. Ha a mezőjellemző nem egyenlő 2-vel, akkor feltételezhetjük, hogy a másodfokú alak mátrixa szimmetrikus, vagyis.

Írjon másodfokú mátrixot:

Ennélfogva,

Vektor-mátrix formában a másodfokú forma:

A, hol

A másodfokú alak kanonikus formája: A másodfokú alakot kanonikusnak nevezzük, ha minden azaz

Bármely másodfokú forma lineáris transzformációkkal kanonikus formává redukálható. A gyakorlatban általában a következő módszereket alkalmazzák.

Lagrange-módszer : a teljes négyzetek szekvenciális kiválasztása. Például, ha

Ezután hasonló eljárást hajtanak végre a másodfokú alakkal és így tovább.Ha kvadratikus formában minden az majd az előzetes átalakítás után az eset a megfontolt eljárásra redukálódik. Tehát, ha például akkor tesszük

A másodfokú forma normál nézete: A normális másodfokú forma olyan kanonikus másodfokú forma, amelyben az összes együttható +1 vagy -1.

A másodfokú forma rangja, indexe és aláírása:A másodfokú forma rangja szerint ÉS a mátrix rangjának nevezzük ÉS... A másodfokú forma rangja nem változik az ismeretlenek nem degenerált átalakulása alatt.

A negatív együtthatók számát negatív alak indexnek nevezzük.

A kanonikus formában szereplő pozitív kifejezések számát a másodfokú forma pozitív tehetetlenségi indexének, a negatív tagok számát negatív indexnek nevezzük. A pozitív és a negatív index közötti különbséget másodfokú aláírásnak nevezzük

Pozitív határozott másodfokú forma: Igazi másodfokú forma pozitív definitívnak (negatív definitívnek) nevezzük, ha a változók bármely olyan valós értéke esetén, amely nem egy időben egyenlő a nullával

. (36)

Ebben az esetben a mátrixot pozitív határozottnak (negatív határozottnak) is nevezzük.

A pozitív határozott (negatív határozott) formák osztálya a nem negatív (illetőleg nem pozitív) formák osztályának része.

Kvadricák:Kvadrikus - n-dimenziós hiperfelület n+ 1-dimenziós tér, amelyet egy második fokú polinom nullájának halmazaként határozunk meg. Ha megad koordinátákat ( x 1 , x 2 , x n +1) (euklideszi vagy affin térben), a kvadrikus általános egyenlete formája

Ez az egyenlet kompaktabban írható át a mátrix jelölésében:

ahol x \u003d ( x 1 , x 2 , x n +1) egy sorvektor, x T - transzponált vektor, Q - méretmátrix ( n+1) × ( n+1) (feltételezzük, hogy legalább az egyik eleme nem nulla), P Sorvektor, és R Állandó. Leggyakrabban a kvadrikat valós vagy komplex számok alapján vesszük figyelembe. A definíció kiterjeszthető a kvadrikusokra a projektív térben, lásd alább.

Általánosságban elmondható, hogy a polinomegyenlet-rendszer nulláinak halmazát algebrai változatnak nevezzük. A kvadrikus tehát a másodfokú és az 1. kodiméretû (affin vagy projektív) algebrai változat.

Sík- és tértranszformációk.

Határozzon meg egy síktranszformációt. Mozgásérzékelés. a mozgás tulajdonságai. Kétféle mozgás: az 1. fajta és a 2. fajta mozgás. Példák a mozgásokra. A mozgás analitikus kifejezése. A síkmozgások osztályozása (rögzített pontok és invariáns vonalak jelenlététől függően). Síkmozgások csoportja.

A síktranszformáció meghatározása: Definíció.Egy síktranszformációt hívunk meg, amely megőrzi a pontok közötti távolságot mozgalom (vagy mozgatva) a repülőt. A síktranszformációt nevezzük affin, ha bármely egy egyenesen fekvő három pontot átalakít három szintén egy egyenesen fekvő pontra, és ugyanakkor megőrzi a három pont egyszerű arányát.

Mozgásérzékelés: ez egy alaktranszformáció, amely fenntartja a pontok közötti távolságot. Ha két ábra pontosan mozog egymással a mozgás révén, akkor ezek az ábrák ugyanazok, egyenlőek.

Mozgás tulajdonságai:a sík bármely orientációmegőrző mozgása párhuzamos transzláció vagy forgás, a sík bármilyen irányváltó mozgása tengely szimmetria vagy csúszó szimmetria. Az egyenes vonalon fekvő pontok a mozgás során egyenes vonalon fekvő pontokba kerülnek, és relatív helyzetük sorrendje megmarad. Mozgáskor a félvonalak közötti szögek megmaradnak.

Kétféle mozgás: az első fajta és a második fajta mozgás: Az első fajta mozdulatok azok a mozdulatok, amelyek megőrzik egy bizonyos alak talpának orientációját. Folyamatos mozgásokkal valósíthatók meg.

A második fajta mozgások azok, amelyek megváltoztatják az alapok orientációját az ellenkezőjére. Folyamatos mozgásokkal nem valósíthatók meg.

Az első fajta mozgásokra példa a fordítás és az egyenes körüli elforgatás, a második fajta mozgások pedig központi és tükörszimmetriák.

Az első fajta tetszőleges számú mozgás összetétele az első fajta mozgás.

A páros számú, második fajta mozgás összetétele az 1. fajta, a páratlan számú 2. típusú mozgás összetétele a 2. fajta mozgás.

Példák a mozgásokra:Párhuzamos transzfer. Legyen a adott vektor. Az a vektorhoz való párhuzamos átvitelt a sík önmagára történő leképezésének nevezzük, amelyben minden egyes M pontot az M 1 ponthoz képezünk, hogy az MM 1 vektor egyenlő az a vektorral.

A párhuzamos fordítás mozgás, mert ez egy sík önmagára történő leképezése, amely megőrzi a távolságokat. Ez a mozgás vizuálisan a teljes sík elmozdulásaként reprezentálható egy adott a vektor irányába a hossza szerint.

Fordulat. Jelöljük az O pontot ( forgóközpont) és állítsa be az α szöget ( forgásszöge). A síknak az O pont körüli, az α szög által történő elfordulását a sík saját magának való leképezésének nevezzük, amelyben minden egyes M pontot az M 1 ponthoz képezünk, hogy OM \u003d OM 1 és az MOM 1 szög α. Ebben az esetben az O pont a helyén marad, vagyis önmagában jelenik meg, és az összes többi pont ugyanabban az irányban forog az O pont körül - az óramutató járásával megegyező vagy az óramutató járásával ellentétes irányban (az ábra az óramutató járásával ellentétes irányú forgást mutatja).

Az elforgatás mozgás, mert ez egy sík-saját térképezés, amely fenntartja a távolságokat.

A mozgás analitikus kifejezése: az előkép koordinátái és egy pont képe közötti analitikai kapcsolat formája (1).

A sík mozgásainak osztályozása (rögzített pontok és invariáns vonalak jelenlététől függően): Meghatározás:

A sík egy pontja invariáns (rögzített), ha az adott átalakulás során önmagává alakul.

Példa: Központi szimmetriával a szimmetria középpontja invariáns. Forduláskor a fordulás középpontja invariáns. Axiális szimmetriával az egyenes vonal invariáns - a szimmetriatengely az invariáns pontok egyenes vonala.

Tétel: Ha a mozgásnak nincs invariáns pontja, akkor legalább egy invariáns iránya van.

Példa: Párhuzamos átvitel. Valójában az ezzel az iránygal párhuzamos egyenesek egész alakban invariánsak, bár nem állnak invariáns pontokból.

Tétel: Ha egy sugár elmozdul, a sugár önmagává alakul, akkor ez a mozgás vagy azonos transzformáció, vagy szimmetria az ezt a sugarat tartalmazó egyenes vonatkozásában.

Ezért az invariáns pontok vagy ábrák jelenléte szerint lehetséges a mozgások osztályozása.

Mozgalom neve	Változatlan pontok	Változatlan vonalak
Az első fajta mozgalom.
1. - fordulat	(középen) - 0	nem
2. Azonos átalakulás	a sík összes pontja	minden egyenes
3. Központi szimmetria	0 pont - közép	a 0. ponton áthaladó összes vonal
4. Párhuzamos transzfer	nem	minden egyenes
II. Típusú mozgás.
5. Axiális szimmetria.	pontkészlet	szimmetriatengely (egyenes) minden egyenes

Síkmozgások csoportja: A geometriában fontos szerepet játszanak az alakok önbeálló csoportjai. Ha - valamilyen ábra egy síkon (vagy térben), akkor figyelembe veheti a sík (vagy tér) összes mozgásának halmazát, amelyben az ábra magában megy.

Ez a sokaság egy csoport. Például egy egyenlő oldalú háromszög esetében a síkmozgások csoportja, amely a háromszöget önmagává alakítja, 6 elemből áll: egy pont körüli szögek szerinti forgások és három egyenes körüli szimmetriák.

Ábrán láthatók. 1 piros vonalakkal. A szabályos háromszög önbeállítási csoportjának elemei eltérően adhatók meg. Ennek tisztázása érdekében számozzuk meg a szabályos háromszög csúcsait 1, 2, 3 számokkal. A háromszög tetszőleges önbeállása az 1, 2, 3 pontokat ugyanazokra a pontokra fordítja, de más sorrendben, azaz hagyományosan a következő zárójelek egyikébe írható:

stb.

ahol az 1, 2, 3 számok azoknak a csúcsoknak a számát jelölik, amelyekbe az 1, 2, 3 csúcsok átkerülnek a figyelembe vett mozgás eredményeként.

Projektív terek és azok modelljei.

A projektív tér fogalma és a projektív tér modelljei. A projektív geometria alaptényei. Az O pontban központosított egyenes csomó a vetítősík modellje. Vetítési pontok. A kiterjesztett sík a projektív sík modellje. Kiterjesztett háromdimenziós affin vagy euklideszi tér - a projektív tér modellje. Sík- és téralakok képei párhuzamos kivitelben.

A projektív tér fogalma és a projektív tér modelljei:

A mező fölötti projektív tér egy adott mező feletti valamilyen lineáris tér egyenes vonalaiból (egydimenziós alterek) álló tér. Egyenes tereket hívunk pontok projektív tér. Ez a meghatározás általánosításra ad lehetőséget egy önkényes testület számára

Ha van dimenziója, akkor a projektív tér dimenzióját számnak nevezzük, és magát a projektív teret jelöljük, és társítjuk (ennek jelzésére a jelölést átvesszük).

Az átmenetet a dimenzió vektorteréből a megfelelő projektív térbe nevezzük vetítés tér.

A pontokat homogén koordinátákkal lehet leírni.

A projektív geometria alapvető tényei:A projektív geometria a geometria olyan ága, amely a projektív síkokat és tereket tanulmányozza. A projektív geometria fő jellemzője a kettősség elve, amely számos konstrukcióhoz kecses szimmetriát ad. A projektív geometria tisztán geometriai szempontból, valamint analitikus (homogén koordinátákat használva) és salgebrai szempontból is tanulmányozható, figyelembe véve a projektív síkot egy mező fölötti szerkezetként. Gyakran és történelmileg a valódi projektív síkot az euklideszi síknak tekintik, hozzáadva az „egyenes a végtelenségig” pontot.

Míg az euklideszi geometriával foglalkozó ábrák tulajdonságai megegyeznek metrikus (a szögek, szegmensek, területek specifikus értékei), és az ábrák egyenértékűsége egyenértékű azokkal kongruencia (azaz amikor az ábrákat mozgás útján lehet egymással lefordítani a metrikus tulajdonságok megőrzésével), akkor a geometriai ábráknak "mélyebben fekvő" tulajdonságai vannak, amelyeket a mozgásnál általánosabb típusú átalakítások tartanak fenn. A projektív geometria az osztály alatt invariáns figurák tulajdonságait tanulmányozza projektív transzformációkvalamint maguk ezek az átalakulások.

A projektív geometria kiegészíti az euklideszi megoldást, gyönyörű és egyszerű megoldásokat kínálva számos problémára, amelyeket bonyolít a párhuzamos vonalak jelenléte. A kúpos szakaszok projektív elmélete különösen egyszerű és elegáns.

A projektív geometriának három fő megközelítése van: független axiomatizálás, az euklideszi geometria kiegészítése és egy mező feletti szerkezet.

Axiomatizáció

A projektív tér egy másik axiómakészlet segítségével határozható meg.

A Coxeter a következőket biztosítja:

1. Van egy vonal és egy pont nincs rajta.

2. Minden vonalnak legalább három pontja van.

3. Pontosan egy egyenes húzható két ponton keresztül.

4. Ha A, B, Cés D - különféle pontok és AB és CD keresztezi tehát AC és BD keresztezik.

5. Ha ABC - sík, akkor legalább egy pont nincs a síkban ABC.

6. Két különböző sík találkozik legalább két ponttal.

7. A teljes négyszög három átlós pontja nem egyenes.

8. Ha három pont egy egyenesen x x

A projektív síkot (a harmadik dimenzió nélkül) kissé eltérő axiómák határozzák meg:

1. Pontosan egy egyenes húzható két ponton keresztül.

2. Bármely két vonal metszi egymást.

3. Négy pont van, amelyek közül nincs három kollineáris.

4. A teljes négyszögek három átlós pontja nem egyenes.

5. Ha három pont egy egyenesen x változatlanok a φ projektivitása szempontjából, akkor minden pont tovább x változatlanok a φ vonatkozásában.

6. Desargues-tétel: Ha két háromszög perspektívát mutat egy ponton keresztül, akkor egy vonalon keresztül perspektivikusak.

A harmadik dimenzió jelenlétében Desargues tétele ideális pontok és vonalak bevezetése nélkül bizonyítható.

Kiterjesztett sík - a projektív sík modellje: vegye be az A3 affin térbe az O pontban központosított S (O) vonalköteget és a köteg közepén nem áthaladó plane síkot: O 6∈ Π. Az affin térben lévő vonalköteg a vetítősík modellje. Rendeljünk hozzárendelést az Π sík ponthalmazától az S összekötő vonalának halmazához (Basszus, imádkozz, ha van ilyen kérdésed, sajnálom)

Kiterjesztett háromdimenziós affin vagy euklideszi tér - a projektív tér modellje:

A leképezés szurjektívvé tételéhez megismételjük azt a folyamatot, amikor az affin síkot Π formálisan kinyújtjuk a projektív síkra Π, kiegészítve a Π síkot helytelen pontok halmazával (M∞), így: ((M∞)) \u003d P0 (O). Mivel a térképen az S (O) síkköteg minden egyes síkjának előzetes képe egyenes a d síkon, nyilvánvaló, hogy a meghosszabbított sík összes helytelen pontjának halmaza: Π \u003d Π ∩ (M∞), (M∞) a meghosszabbított helytelen d∞ egyenes az a sík, amely az ular0 szinguláris sík inverz képe: (d∞) \u003d P0 (O) (\u003d Π0). (I.23) Egyetértünk abban, hogy az utolsó P0 (O) \u003d Π0 egyenlőség itt és a következőkben a ponthalmazok egyenlőségének értelme alatt fog értelmezni, de különböző struktúrákkal felruházva. Az affin síkot helytelen egyenes vonallal kiegészítve elértük, hogy a leképezés (I.21) bijektívvé váljon a kiterjesztett sík összes pontjának halmazán:

Sík- és téralakok képei párhuzamosan

A sztereometriában térbeli alakokat tanulmányoznak, de a rajzon lapos alakokként ábrázolják őket. Hogyan kell ábrázolni egy térbeli alakot egy síkon? Erre általában a geometria párhuzamos tervezést használ. Legyen p valamilyen sík, l - egy metsző egyenes (1. ábra). Egy tetszőleges ponton keresztül Anem tartozik az egyenesbe l, rajzoljon egy egyeneset párhuzamosan az egyenessel l... Ennek az egyenesnek a p síkkal való metszéspontját a pont párhuzamos vetületének nevezzük A a p síkon az egyenes irányába l... Jelöljük A". Ha pont A tartozik a közvetlen l, majd párhuzamos vetítés Aa p síkon az egyenes metszéspontja l a repülővel p.

Így minden egyes pont A a teret vetítéséhez hasonlítják A"a p síkon. Ezt a megfelelést nevezzük a p sík párhuzamos vetületének az egyenes irányában l.

A projektív transzformációk csoportja. Alkalmazás problémamegoldáshoz.

A sík projektív transzformációjának fogalma. Példák a sík projektív transzformációira. A projektív transzformációk tulajdonságai. Homológia, a homológia tulajdonságai. A projektív transzformációk csoportja.

A sík projektív transzformációjának fogalma: A projektív transzformáció fogalma általánosítja a központi vetület fogalmát. Ha elvégezzük az α sík központi vetületét valamilyen α 1 síkra, akkor α 1 vetületét α 2-re, α 2 vetületét α 3-ra, ... és végül valamilyen α síkot n ismét az α 1-n, akkor ezeknek a vetületeknek az összetétele az α sík projektív transzformációja; párhuzamos vetületek vonhatók be egy ilyen láncba.

Példák a sík projektív transzformációira: A befejezett sík projektív transzformációja annak az egymásra térképezése, amely megőrzi a pontok kollinearitását, vagy más szavakkal, bármely vonal képe egyenes. Bármely projektív transzformáció a központi és párhuzamos vetületek láncolatának összetétele. Az affin transzformáció a projektív transzformáció speciális esete, amikor a végtelenben levő vonal átmegy önmagába.

A projektív transzformációk tulajdonságai:

Projektív transzformáció alatt három pont, amely nem fekszik az egyenesen, három pontra megy át, amely nem fekszik a vonalon.

A projektív transzformációval a keret átalakul keretté.

Vetületes transzformáció alatt az egyenes vonal egyenesgé, a köteg köteggé alakul.

Homológia, homológiai tulajdonságok:

Homológiának nevezzük egy olyan projektív transzformációt, amelynek invariáns pontjai vannak egyenes vonallal, és ezért invariáns egyenesekből álló ceruzával rendelkezik.

1. A homológia nem egybeeső megfelelő pontjain áthaladó egyenes egy invariáns egyenes;

2. A homológia megfelelő, nem egybeeső pontjain áthaladó vonalak egy köteghez tartoznak, amelynek középpontja invariáns pont.

3. A homológia pontja, képe és központja kollináris.

A projektív transzformációk csoportja:vegyük figyelembe a P 2 projektív sík projektív leképezését önmagára, vagyis ennek a síknak a projektív transzformációját (P 2 '\u003d P 2).

Mint korábban, a P 2 projektív sík f 1 és f 2 projektív transzformációinak összetétele az f 1 és f 2 transzformációk egymás utáni végrehajtásának eredménye: f \u003d f 2 ° f 1.

1. tétel: A P 2 projektív sík összes projektív transzformációjának H halmaza a projektor transzformációk összetételének vonatkozásában csoport.

A 2. változó homogén polinomját több változóban másodfokúnak nevezzük.

A változók másodfokú formája kétféle kifejezésből áll: a változók négyzeteiből és azok páros szorzatából, néhány együtthatóval. Szokás a másodfokú alakot a következő négyzet alakú séma formájában írni:

A hasonló kifejezések párjait ugyanazokkal az együtthatókkal írják, így mindegyik a fele az együtthatónak a változók megfelelő szorzatára. Így minden másodfokú forma természetesen társul együttható mátrixával, amely szimmetrikus.

Kényelmes a kvadratikus alak ábrázolása a következő mátrix jelöléssel. Jelölje X a változók oszlopát X-szel - egy sorral, azaz egy X-szel transzponált mátrixgal. Ezután

A másodfokú formák a matematika és alkalmazásainak számos ágában megtalálhatók.

A számelméletben és a kristálytanban a másodfokú formákat vesszük figyelembe abból a feltételezésből, hogy a változók csak egész értékeket vesznek fel. Az analitikai geometriában a másodfokú forma a rend görbéjének (vagy felületének) egyenletének része. A mechanikában és a fizikában a másodfokú forma úgy tűnik, hogy egy rendszer kinetikus energiáját fejezi ki az általánosított sebesség komponensei stb. Szerint. De emellett a kvadratikus formák tanulmányozására is szükség van elemzés során, amikor számos változó funkcióit vizsgálják, olyan kérdésekben, amelyek megoldására fontos kideríteni, hogyan az adott függvény e pont közelében eltér az azt közelítő lineáris függvénytől. Az ilyen típusú problémákra példa a függvény maximális és minimális vizsgálata.

Vizsgáljuk meg például azt a problémát, hogy két változó függvényének maximumát és minimumját tanulmányozzuk folyamatos parciális deriváltákkal, sorrendig. A függvény maximális vagy minimális értékének megadásához szükséges feltétel a sorrend parciális deriváltjainak nullával való egyenlősége a pontban. Tegyük fel, hogy ez a feltétel teljesül. Adjuk meg az x és y változókat kis lépésekben és k, és vegyük figyelembe a függvény megfelelő növekményét. A Taylor-képlet szerint ez a növekmény, egészen kis magasabb rendekig, megegyezik a másodfokú formával, ahol a második derivált értékei pontban vannak kiszámítva. Ha ez a másodfokú forma pozitív minden értékre és k (kivéve), akkor a függvénynek van egy minimuma a pontban; ha negatív, akkor van egy maximum. Végül, ha az alakzat pozitív és negatív értékeket egyaránt felvesz, akkor nem lesz se maximum, se minimum. Nagyobb számú változó funkcióit vizsgálják hasonló módon.

A kvadratikus formák vizsgálata főként a formák ekvivalenciájának problémájának tanulmányozásában áll a változók egyik vagy másik lineáris transzformációjának halmaza tekintetében. Két másodfokú alakot akkor nevezünk ekvivalensnek, ha az egyiket az adott halmaz egyik transzformációjával lefordíthatjuk a másikba. A forma redukciójának problémája szorosan összefügg az ekvivalencia problémával, azaz átalakítva a lehető legegyszerűbb formákká.

A kvadratikus formákkal kapcsolatos különféle kérdésekben a változók megengedett transzformációinak különféle halmazait is figyelembe vesszük.

Az elemzési kérdésekben bármilyen nem egyedi változó transzformációt alkalmazunk; az analitikai geometria szempontjából a legérdekesebbek az ortogonális transzformációk, vagyis azok, amelyek megfelelnek a változó derékszögű koordináták egyik rendszeréből a másikba történő átmenetnek. Végül a számelméletben és a kristályográfiában lineáris transzformációkat veszünk figyelembe egész együtthatókkal és determinánssal egyenlőnek.

E problémák közül kettőt fogunk megvizsgálni: a kvadratikus forma legegyszerűbb formájába történő redukálásának kérdését bármilyen nem egyes számbeli transzformációval, és ugyanezt a kérdést az ortogonális transzformációk esetében. Először is derítsük ki, hogyan alakul a kvadratikus forma mátrixa a változók lineáris transzformációja alatt.

Legyen, ahol A az alakegyütthatók szimmetrikus mátrixa, X változók oszlopa.

Készítsünk lineáris transzformációt a változókról, rövidített formában írva. C itt ennek az átalakulásnak a mátrixát jelöli, X új változók oszlopa. Ekkor és tehát úgy, hogy az átalakított másodfokú alak mátrixa az legyen

A mátrix automatikusan szimmetrikus, ami könnyen ellenőrizhető. Így a másodfokú forma legegyszerűbb alakúra történő redukciójának problémája egyenértékű azzal a problémával, hogy a szimmetrikus mátrixot a legegyszerűbb formára redukáljuk úgy, hogy azt balról és jobbról megszorozzuk kölcsönösen transzponált mátrixokkal.