Szorzás

Mátrixok szorzása (mátrixok):

Két mátrix szorzása Csak akkor lépett be, ha az első oszlopok száma matriák egyenlő a második karakterláncok számával matriák .

Ez a feltétel nem történik, az AB termék nem létezik.

A mátrix és a vektor a b. :

Vektorok skaláris terméke ( b. ,tól től):

Keresse meg az A mátrix meghatározóját:

Különösen a mátrix meghatározójának kiszámításának képlete

ilyen:

= a. 11 a. 22 a. 33 − a. 11 a. 23 a. 32 − a. 12 a. 21 a. 33 + a. 12 a. 23 a. 31 + a. 13 a. 21 a. 32 − a. 13 a. 22 a. 31

2*(-4)*5 – 2*4*2 – (-2)*5*5 + (-2)*4*(-1) +(-1)*5*2 – (-1)*(-4)*(-1) = -40 – 16 +50 + 8 – 10 + 4 = -4

Keressen egy fordított mátrix A -1:

Döntés .

A megadott mátrix meghatározója:

A meghatározó nem egyenlő nulla inverz mátrix létezik.

Egyetlen mátrixot adok hozzá az eredeti mátrixhoz a jobb oldalon.

Kezdjük el a bal oldali mátrixot egy típusra. Segítségével elemi transzformációk Az összes tényezőt eltávolítjuk a fő átlós alatt.

Az elemi átalakítások segítségével az összes nagymértékű átalakítások segítségével adjuk meg a fő átlós tényezőt 0-ra.

Válasz .

Amint azt korábban említettük, a készülék mátrixát a bal oldali jobb oldali elemi átalakítások alkalmazásával mozgattuk, miközben nem zavarja a mátrixhoz való munkavégzéshez szükséges szabályokat.

Négyszögletes mátrix, amelyet a jobb oldalon lát, és van egy fordított mátrix a bevitt .

Az egyenletek rendszerének megoldása Ah \u003d b. :

Feltétel

Megtaláljuk a főmátrix meghatározóját az x 1 - n-es koefficiensekből:

Az egyenletrendszer fő mátrixjának meghatározója nem nulla, ezért ez az egyenletrendszer egyetlen megoldással rendelkezik. Találd meg. A másik oszlop egyenletrendszerének bármely vezetője, amelyben az egyenlőség jele mögötti értékeket helyezze be.

Most következetesen, azzal elemi transzformációk A mátrix (3 × 3) bal oldalát átalakítjuk a háromszög alakú fajokra (állítsa vissza az összes együtthatókat a fő átlóson, és a fő átlós együtthatók átalakulnak egységekre).

Én kivonom az első vonalat az összes sor alább. Ez a művelet nem ellentétes a mátrix elemi átalakulásait.

A 2. vonalat kivonom az alatta lévő összes sorból. Ez a művelet nem ellentétes a mátrix elemi átalakulásait.

Elolvastam a fenti 3. sor 3. sorát. Ez a művelet nem ellentétes a mátrix elemi átalakulásait.

Én kivonom a 2. vonalat a fenti sorokból. Ez a művelet nem ellentétes a mátrix elemi átalakulásait.

A mátrix legfőbb átlójára vonatkozó összes együtthatókat adjuk meg. A mátrix mindegyik vonalát megosztjuk a fő átlósan elhelyezkedő karakterlánc együtthatójához, ha nem egyenlő 1.

Válasz .

Az egyetlen mátrix jobb oldalán kapott számokat az egyenletrendszere megoldja.

Elemi átalakítási mátrix

Elemi transzformációk matriák A következő transzformációkat hívják: 1) a mátrix sztringjeinek szorzása a nullától eltérő számmal; 2) Adjon hozzá egy sort matriák egy másik vonal; 3) a húrok permutációja; 4) Az azonos vonalak (oszlopok) törlése (eltávolítása); öt) a mátrix átültetése ;

Ugyanazok a műveletek, amelyeket oszlopokra használnak matriák Az elemi átalakulásoknak is nevezik. Az elemi transzformációk használata, bármilyen sorba vagy oszlophoz matriák Adjon hozzá egy lineáris kombinációt a fennmaradó vonalak (oszlopok).

Elkezdjük megoldani ezt az egyenletrendszert Gauss által

A fő mátrix meghatározója egyenlő -4

Azt akarjuk, hogy egy elem egyenlő legyen 1. osztva az egészet 1. karakterlánc. Az elem \u003d 2.

B. 1 sor Element 1 egyetlen.

Nulla 1 oszlop: 2 sor Vychi 1 sor szorozva az elem \u003d 5.

Nak,-nek 3 karakterlánc Vychi 1 sor szorozva az elem \u003d -1.

Tehát az előző leckében szétszereljük a mátrixok hozzáadására és kivonására vonatkozó szabályokat. Ezek olyan egyszerű műveletek, amelyeket a legtöbb diák szó szerint megérti őket.

Azonban örülsz korán. Freebie vége - menjen a szorzáshoz. Azonnal figyelmeztetek rád: Szorozzon két mátrixot, amely egyáltalán nem szorítja meg a számokat a sejtekben ugyanazzal a koordinátákkal, mintha gondolnád. Minden sokkal szórakoztatóbb itt. És elkezdeni az előzetes meghatározásokat.

Konzisztens mátrixok

A mátrix egyik legfontosabb jellemzője a mérete. Már százszor beszéltünk róla: a rekord $ A \u003d \\ ti (M \\ times n) $ azt jelenti, hogy a mátrixban pontosan $ M $ sorok és $ n $ oszlopok. Hogyan ne zavarja a sorokat az oszlopokkal, már megvitattuk is. Most fontos.

Meghatározás. A $ a \u003d bal] $ és $ b \u003d balra] $ és $ b \u003d balra] $ és $ b \u003d balra] $, amelyben az első mátrixban lévő oszlopok száma egybeesik a számmal a második sorban, úgynevezett koordinált.

Ismét: Az első mátrix oszlopainak száma megegyezik a második sorok számával! Innen egyszerre két kimenetet kapunk:

1. Fontosok vagyunk a mátrixok sorrendjében. Például a mátrixok $ a \u003d bal [3 \\ tim 2 \\ jobbra] $ és $ b \u003d bal [2 \\ times 5 \\ jobb] $ megállapodnak (2 oszlop az első mátrixban és 2 sorban a második sorban) , de éppen ellenkezőleg - Mátrixok $ b \u003d bal [2 \\ times 5 \\ jobb] $ és $ a \u003d balra [3 \\ times 2 \\ jobb] $ - már nem állapodtak meg (5 oszlop az első mátrixban - ez nem 3 sor a másodikban).
2. A konzisztencia könnyen ellenőrizhető, hogy az összes méretet egymás után írja le. Az előző bekezdés példáján: "3 2 2 5" - középen ugyanazok a számok, így a mátrixok megállapodnak. De "2 5 3 2" - nem állapodott meg, hiszen közepén különböző számok vannak.

Ezenkívül a kapitány nyilvánvaló, hogy olyan fogak, amelyek úgy hangzik, hogy négyszögletes mátrixok ugyanolyan mennyiségű $ \\ timer [n \\ times n \\ jobb] $ mindig következetesek.

A matematikában, amikor az objektumok átadására vonatkozó eljárás fontos (például a fenti definícióban, a mátrixok esetében fontos), gyakran rendezett párokról beszélnek. Találkoztunk velük az iskolában: azt hiszem, ez is világos, hogy a $ \\ maradék koordinátái (1; 0 \\ jobb) $ és $ \\ ti (0, 1, jobb) $ beállították a síkon.

Tehát: A koordináták is vannak olyan párok, amelyek a számokból állnak. De semmi sem akadályozza meg az ilyen mátrixokat. Aztán azt mondhatjuk: "A $ \\ maradék mátrixok (a, B \\ jobb) $ összhangban van, ha az első mátrixban lévő oszlopok száma egybeesik a másodpercben lévő sorok számával."

Nos, mi van?

A szorzás meghatározása

Tekintsünk két következetes mátrixot: $ a \u003d \\ timal [m \\ times n \u003d jobb] $ és $ b \u003d bal [n \\ time k \u003d jobb] $. És meghatározzuk számukra egy szorzási műveletet.

Meghatározás. A termék két konzisztens mátrix $ a \u003d \\ timal [m times n \u003d jobb] $ és $ b \u003d bal [n \\ times k \u003d jobb] $ egy új mátrix $ c \u003d \\ tim maradt [m \\ times k \\ Jobbra] $, akinek elemeit figyelembe veszi:

\\ [kezdő (igazítás) & ((c) _ (i, j)) \u003d ((a) _ (i; 1)) \\ cdot ((b) _ (1; j) + (a) _ (I; 2)) \\ cdot ((b) _ (2; j)) + \\ ldots + ((a) _ (i; n)) \\ cdot ((b) _ (n; j) \u003d \\\\ & \u003d összeg \\ limits_ (t \u003d 1) ^ (n) ((a) _ (i; t)) \\ cdot ((b) _ (t; j)))) \\ Vége (igazítása) \\]

A szabvány szabványos: $ C \u003d A CDOT B $.

Azok számára, akik először látják ezt a definíciót, két kérdés azonnal felmerül:

1. Mi ez csak a játéknak?
2. Miért olyan nehéz?

Nos, mindent rendben. Kezdjük az első kérdéssel. Mit jelentenek ezek az indexek? És hogyan ne tévedjünk, ha valódi mátrixokkal dolgoznak?

Először is megjegyezzük, hogy a $ ((c) _ (i; j) $ (kifejezetten egy pontot helyeznek el az indexek közötti vesszővel, hogy ne zavarják, de egyáltalán nem szükséges, hogy tegye őket - én magam is megsértettem a képletet a definícióban) valójában egy egyszerű szabályba kerül:

1. Az első mátrixban $ I $ -UN vonalat veszünk fel;
2. A második mátrixban $ J $ -a oszlopot vehetünk igénybe;
3. Két számot kapunk. Alternatív a szekvenciák elemeit azonos számokkal, majd hajtsa végre a kapott munkákat.

Ez a folyamat könnyű megérteni a képeket:

Két mátrixok szorzási diagramja

Ismét: Megjavítom az első mátrixba, a $ J $ oszlopot a második mátrixban, és az elemeket azonos számokkal fordítsa el, majd a kapott munkákat összecsukjuk - $ (c) _ ( ij)) $. És így minden $ 1 \\ le i \\ t $ és $ 1 \\ le j lehet k $. Azok. Összesen $ M Times K $ -ból lesz az ilyen "perverziók".

Valójában már találkoztunk az iskolai program mátrixjainak szorzásával, csak erősen vágott formában. Hagyja, hogy a vektor:

\\ [kezdő (igazítás) \\ vec (a) \u003d bal (((x) _ (a)); ((y) _ (a)); ((z) _ (a)) \\ jog); \\\\ \\ overworrow (b) \u003d bal (((x) _ (b)); ((y) _ (b)); ((z) _ (b)) \\ \u200b\u200bJól). Vége (igazítása) \\]

Ezután a skaláris munkájuk a páros munkák összege lesz:

\\ [\\ overwordrow (A) \\ Times \\ timerwarrow (b) \u003d ((x) _ (a)) \\ cdot ((x) _ (b)) + ((y) _ (a)) \\ cdot ((y) ) _ (b)) + ((z) _ (a)) \\ cdot ((z) _ (b)) \\]

Valójában, azokban a távoli években, amikor a fák zöldek voltak, és az ég fényesebb, egyszerűen megszorozzuk a $ \\ Túlforduló vektoros string a $ \\ túlrow (B) $ oszlopvektor.

Ma semmi nem változott. Most már ezek a sorok és oszlopok lettek.

De elég elmélet! Nézzük meg a valódi példákat. És kezdje el a legegyszerűbb eset négyszögletes mátrixokat.

Square mátrixok szorzása

1. feladat: Végezze el a szorzást:

\\ [\\ Maradt [megkezdés (tömb) (* (35) (r)) 1 & 2 \\\\ -3 és 4 \\\\\\ vég (tömb) \\ jobb] \\ CDOT \\ BALT [\\ BEIN (tömb) (* (35) (R)) -2 & 4 \\\\ 3 & 1 \\\\ Vége (tömb) \\ Jól] \\]

Döntés. Tehát van két mátrixunk: $ a \u003d bal [2 \\ tim 2 \\ jobb] $ és $ b \u003d bal [2 \\ tim 2 \\ jobb] $. Nyilvánvaló, hogy elfogadottak (négyszögletes mátrixok, amelyek ugyanolyan méretűek mindig konzisztensek). Ezért végezünk szorzást:

\\ [Megkezdés (igazítás) & \\ maradt [\\ besor (tömb) (* (35) (r)) 1 & 2 \\\\ -3 & 4 \\\\ Vége (tömb) \\ Jól] \\ CDOT \\ BEING [\\ BEING (Tömb) (* (35) (R)) -2 & 4 \\\\ 3 & 1 \\\\ 3 & 1 \\\\ Vége (tömb) \\ jobb] \u003d \\ ti maradt [\\ besor (tömb) (* (35) (r)) 1 CDOOT \\ BALL (-2 \\ JOBB) +2 \\ CDOT 3 & 1 \\ CDOT 4 + 2 \\ CDOT 1 \\\\ -3 \\ CDOT \\ BALL (-2 \\ JOBB) +4 \\ CDOT 3 & -3 \\ CDOT 4 + 4 \\ CDOT 1 \\\\\\ Vége (tömb) \\ jobbra] \u003d \\\\ & \u003d \\ ti ("(tömb) (* (35) (r)) 4 & 6 \\\\ 18 & -8 \\\\\\ vége ( Tömb) \\ Jól]. Vége (igazítása) \\]

Ez minden!

Válasz: $ \\ maradt [kezdő (tömb) (* (35) (R)) 4 & 6 \\\\ 8 & -8 \\\\\\ vég (tömb) \\ jobb] $.

2. feladat: Végezze el a szorzást:

\\ [Bal [megkezdődés (mátrix) 1 & 3 \\\\ 2 & 6 \\\\\\ Vége (mátrix) \\ jobb] \\ CDOT \\ maradt [\\ besor (tömb) (* (35) (R)) 9 & 6 \\\\ -3 & -2 \\\\\\ Vége (tömb) \\ Jól] \\]

Döntés. Ismét az elfogadott mátrixok, így végeznek műveleteket: \\ [\\]

\\ [Megkezdés (igazítsa) \\ Bal [megkezdés (mátrix) 1 & 3 \\\\ 2 & 6 \\\\ Vége (mátrix) \\ jobb] \\ CDOT \\ BALL [KÉRDÉS (* (35) (R) ) 9 & 6 \\\\ -3 & -2 \\\\\\ vég (tömb) \\ jobb] \u003d \\ bal [megkezdés (tömb) (* (35) (R)) 1 \\ CDOT 9 + 3 \\ CDOT \\ maradt ( -3 \\ jobb) & 1 \\ CDOT 6 + 3 \\ CDOT \\ BALL (-2 \\ JOBB) \\\\ 2 \\ CDOT 9 + 6 \\ CDOT \\ BALL (-3 \\ JOBB) & 2 \\ CDOT 6 + 6 \\ CDOT \\ Balra (-2 \\ jobbra) \\\\\\ vég (tömb) \\ jobb] \u003d \\\\ & \u003d balra [\\ besor (mátrix) 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\\\ vég (mátrix) \\ jobbra]. Vége (igazítása) \\]

Amint látjuk, kiderült, hogy a mátrix tele van nullákkal

Válasz: $ \\ Bal [kezdő (mátrix) 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\\\ Vége (mátrix) \\ jobb] $.

A fenti példákból nyilvánvaló, hogy a mátrixok szorzása nem olyan nehéz működés. Legalább 2 méretű négyzetes mátrixok esetében 2.

A számítások folyamatában egy köztes mátrixot alkotunk, ahol közvetlenül festettünk, milyen számokat tartalmaznak egy vagy egy másik sejtben. Így kell elvégezni ezeket a feladatokat.

A mátrix munka fő tulajdonságai

Dióhéjban. Mátrix szorzás:

1. Nemcommutative: $ a \\ CDOT B NE B A $ az általános ügyben. Természetesen vannak olyan speciális mátrixok, amelyekre az egyenlőség a $ A \\ CDOT B \u003d B A $ $ (például, ha $ b \u003d e $ egy mátrix), de a legtöbb esetben nem működik;
2. Asszociatív: $ \\ left (A \\ cdot B \\ Right) \\ cdot C \u003d A \\ cdot \\ left (B \\ cdot C \\ right) $. Itt van lehetőség nélkül: A mátrixok melletti állása megszorozható, nem túléli a két mátrixot.
3. Eloszlás: $ a \\ cdot \\ maradt (B + C \\ Jobb) \u003d A \\ CDOT B + A \\ CDOT C $ és $ \\ lib (A + B) \\ CDOT C \u003d A \\ CDOT C + B \\ CDOT C $ (a noncommutivity miatt, a munka külön-külön eloszlást kell adnia a jobb és balra.

És most - ugyanaz, de részletesebben.

A mátrixok szorzása nagyrészt a számok klasszikus szorzására emlékeztet. De vannak különbségek, amelyek közül a legfontosabb az, hogy mátrixok szorzása, általában beszélő, nem kommunikatív.

Fontolja meg újra a mátrixokat a feladatból 1. Már ismerjük közvetlen munkájukat:

\\ [\\ Maradt [megkezdés (tömb) (* (35) (r)) 1 & 2 \\\\ -3 és 4 \\\\\\ vég (tömb) \\ jobb] \\ CDOT \\ BALT [\\ BEIN (tömb) (* (35) (R)) -2 & 4 \\\\ 3 & 1 \\\\ Vége (tömb) \\ jobbra] \u003d \\ bal [megkezdés (tömb) (* (35) (R)) 4 & 6 \\\\ 18 & -8 vég (tömb) \\ Jól] \\]

De ha néhány helyen megváltoztatja a mátrixokat, akkor teljesen más eredményt kapunk:

\\ [bal [megkezdés (tömb) (* (35) (r)) -2 & 4 \\\\ 3 & 1 \\\\ Vége (tömb) \\ Jól] \\ CDOT \\ balra [\\ besor (tömb) (* (* (*) 35) (R)) 1 & 2 \\\\ -3 & 4 \\\\ Vége (tömb) \\ jobb] \u003d \\ bal [megkezdés (mátrix) -14 & 4 \\\\ 0 & 10 \\\\\\ vég (mátrix) \\ JOBB] \\]

Kiderül, hogy a $ a \\ cdot b \u003ccdot egy $. Ezenkívül a szorzási művelet csak a koordinált mátrixoknál van meghatározva $ a \u003d \\ timal [m \\ times n \u003d jobbra] $ és $ b \u003d bal [n \\ time k \\ jobb] $, de senki sem garantált, hogy maradnak megállapodtak, ha helyeken megváltoztatják őket. Például $ \\ Left Matrices [2 \\ times 3 \\ jobb] $ és $ \\ time [3 \\ times 5 \\ jobb] $ meglehetősen konzisztens a megadott sorrendben, de ugyanaz a mátrixok $ \\ maradt [3 \\ tim 5 \\ Jobbra] $ és $ \\ timal [2 \\ times 3 \\ jobb] $ rögzített fordított sorrendben már nem állapodnak meg. Szomorúság. :(

A megadott méretű négyszögletes mátrixok között $ N $ mindig megtalálja azt, hogy ugyanazt az eredményt adja meg, ha mind a közvetlen, mind a fordított sorrendben megszorul. Hogyan írja le az összes hasonló mátrixot (és mennyire általában) a téma egy külön lecke számára. Ma nem fogunk beszélni róla. :)

A mátrixok szorzása azonban asszociatív:

\\ [bal) \\ CDOT C \u003d A \\ CDOT \\ BALL (BC CDOT C \\ JOG) \\]

Ezért, ha egyszerre több mátrixot kell szorozni egyszerre, akkor meglehetősen szükség van egy lengéscsillapítással: nagyon lehetséges, hogy néhány közeli álló mátrix érdekes eredményt ad. Például egy nulla mátrix, a fent tárgyalt 2. feladatban.

A valós feladatokban leggyakrabban meg kell szednie a négyszögletes mátrixokat a $ \\ lit (n \\ times n) $ Az ilyen mátrixok készletét $ ((m) ^ (n)) $ jelöli (azaz a $ a \u003d bal [n \\ times n) $ és \\ jelentése ugyanazt jelenti), és szükséges lesz In IT Matrix $ e $, amelyet egyetlen.

Meghatározás. A $ n $ összeg egyetlen mátrixa olyan $ e mátrix, amely bármelyik négyzetmátrix esetében $ a \u003d \\ balra [n \\ times n \u003d jobbra] az egyenlőség történik:

Az ilyen mátrix mindig ugyanúgy néz ki: a fő átlóson vannak egységek, és minden más sejtben - nullák.

\\ [kezdő (igazítás) & A \\ cdot \\ maradt (B + C) \u003d A \\ CDOT B + A \\ CDOT C; \\\\ & \\ maradt (A + B JE) \\ CDOT C \u003d A \\ CDOT C + B \\ CDOT C. \\\\ \\ end (igazítása) \\]

Más szóval, ha meg kell szednél egy mátrixot a másik kettő összegéhez, akkor megszorozzuk mindegyik "két másiknak", majd hajtogathatja az eredményeket. A gyakorlatban általában fordított művelet elvégzéséhez szükséges: ugyanazt a mátrixot észleljük, elvégezzük a konzolra, kiegészítjük, és ezáltal egyszerűsítjük az életedet. :)

Megjegyzés: A disztribidionalitás leírásához két képletet kellett regisztrálnunk: ahol az összeg a második szorzóban van, és ahol az összeg az első. Ez azt jelenti, hogy a mátrixok szorzása nem kommunikatív (és általában egy nem kommutatív algebra sok vicc, amely a szokásos számokkal való munkavégzés során nem is jut el). És ha, mondjuk, meg kell írnod \u200b\u200bezt a tulajdonságot a vizsgán, akkor minden bizonnyal írja mind a képleteket, különben a tanár dühös lehet egy kicsit.

Oké, mindezek voltak tündérmesék a négyzetmátrixokról. Mi a helyzet a téglalap alakú?

Téglalap alakú mátrixok esetében

És semmi sem ugyanaz, mint a négyzet.

3. feladat Végezze el a szorzást:

\\ [Bal [megkezdődés (mátrix) kezdő (mátrix) 5 \\\\ 2 Vége (mátrix) & \\ beg (mátrix) 4 \\\\ 5 \\\\ 1 \\\\\\ vég (mátrix) \\ \\ \\ \\ Vége (mátrix) \\ jobbra] \\ CDOT \\ Bal [kezdő (tömb) (* (35) (R)) -2 & 5 \\\\ 3 & 4 \\\\ Vége (tömb) \\ Jól]

Döntés. Van két mátrix: $ a \u003d bal [3 \\ tim 2 \\ jobb] $ és $ b \u003d bal [2 \\ times 2 \\ jobb] $. A sorok dimenzióját jelző számokat ivottunk:

Amint láthatja, a központi két szám egybeesik. Tehát a mátrixok egyetértenek, és megszorozzák. És a kimeneten kapjuk a Matrix $ c \u003d \\ ti (3 \\ times 2 \\ jobb] $:

\\ [Megkezdés (igazítás) \\ Bal [megkezdés (mátrix) kezdő (mátrix) 5 \\\\ 2 \\\\ 2 \\\\ 'vég (mátrix) & \\ beg (mátrix) 4 \\\\ 5 \\\\ 1 \\\\ (Mátrix) \\\\\\ vég (mátrix) \\ jobb] \\ CDOT \\ BALL [\\ BEST (tömb) (* (35) (R)) -2 & 5 \\\\ 3 & 4 \\\\ Vége (tömb) \\ Jól] \u003d bal [kezdő (tömb) (* (35) (r)) 5 \\ CDOT \\ Bal (-2 \\ jobbra) +4 \\ CDOT 3 & 5 \\ CDOT 5 + 4 \\ CDOT 4 \\ t Bal (-2 \\ Jobb) +5 \\ CDOT 3 & 2 \\ CDOT 5 + 5 \\ CDOT 4 \\\\ 3 \\ CDOT \\ BALL (-2 \\ JOBB) +1 \\ CDOT 3 & 3 \\ CDOT 5 + 1 \\ CDOT 4 \\\\\\ Vége (tömb) \\ jobbra] \u003d \\\\ & \u003d bal [kezdő (tömb) (* (35) (r)) 2 & 41 \\\\ 11 & 30 \\\\-3 & 19 \\\\ Vége (Tömb) \\ Jól]. Vége (igazítása) \\]

Minden világos: 3 soros végső mátrixban és 2 oszlopban. Ez elég $ \u003d bal [3 alkalommal 2 \\ jobb] $.

Válasz: $ \\ maradt [kezdő (tömb) (* (35) (r)) kezdő (tömb) (* (35) (r)) 2 \\\\ 11 \\\\\\ - 3 vége (tömb) & \\ Kezdődik (mátrix) 41 \\\\ 30 Vége (mátrix) \\\\ vég (tömb) \\ jobb] $.

Most tekintsük az egyik legjobb képzési feladatot azok számára, akik csak mátrixokkal dolgoznak. Ban, nem szükséges egyszerűen szaporodni néhány két jelet, de először határozza meg, hogy az ilyen szorzás megengedett-e?

4. feladat: Keresse meg az összes lehetséges pár matricát:

\\\\]; $ B \u003d bal [kezdő (mátrix) kezdő (mátrix) kezdő (mátrix) 0 \\\\ 2 vég (mátrix) kezdő (mátrix) 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ Vég (mátrix) \\\\ vég (mátrix) \\ jobb] $; $ C \u003d bal [kezdő (mátrix) 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \\\\ Vége (mátrix) \\ jobb] $.

Döntés. Kezdjük, írja meg a mátrixok méretét:

\\; B \u003d bal [4 \\ tim 2 \\ jobb]; \\ c \u003d \\ ti maradt [2 \\ tim 2 \\ jobb] \\]

Megszerezjük, hogy a $ A $ Matrix csak egy $ B $ Matrix-szel lehet összehangolni, mivel az oszlopok száma $ A $ 4, és ilyen sorok csak $ b $. Ezért találunk munkát:

\\\\ CDOOT \\ BALT [\\ BEGIN (tömb) (* (35) (R)) 0 & 1 \\\\ 2 & 0 \\\\\\ 4 & 0 \\\\\\ Vége (tömb) \\ jobb] \u003d \\ t Balra [kezdő (tömb) (* (35) (R)) - 10 & 7 \\\\\\ Vége (tömb) \\ t

A közbenső lépéseket javaslom az olvasó saját végrehajtásához. Csak azt tudom megjegyezni, hogy a kapott mátrix mérete jobb előre meghatározni, még bármely számítás előtt is:

\\\\ cdot \\ maradt [4 \\ times 2 \\ jobb] \u003d \\ bal [2 \\ tim 2 \\ jobb] \\]

Más szóval egyszerűen eltávolítjuk a "tranzit" együtthatókat, amelyek biztosítják a mátrixok konzisztenciáját.

Milyen más lehetőségek lehetségesek? Természetesen megtalálhatja a $ B-CDOT-ot, mivel $ b \u003d bal [4 \\ tim 2 \\ jobbra] $, $ a \u003d balra [2 \\ times 4 \\ jobb] $, így megrendelt gőz $ \\ t (b; jobb) $ konzisztens, és a munka dimenziója:

\\\\ cdot \\ maradt [2 \\ times 4 \\ jobb] \u003d \\ bal [4 \\ times 4 jobb] \\]

Röviden, a kimeneten lesz $ \\ ti maradt mátrix [4 \\ times 4 \\ jobb] $, amelyek együtthatók könnyen figyelembe veszik:

\\\\ CDOOT \\ Bal [megkezdés (tömb) (* (35) (r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\\\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\\ vég (tömb) \\ jobbra] \u003d \\ t [Megkezdés (tömb) (* (35) (R)) 1 & 1 & 2 & 2 \\\\ 2 & 3 & 6 & 6 \\\\ 4 & -4 & 6 és 6 \\\\ 4 & -4 & 8 & -8 vég (tömb) \\ Jól] \\]

Nyilvánvaló, hogy egyetérthet egy másik $ C-CDOT-on egy $ és a $ b \u003ccdot c $ - és ez az. Ezért egyszerűen írjuk a kapott munkákat:

Könnyű volt.:)

Válasz: $ ab \u003d bal [kezdő (tömb) (* (35) (r)) -10 & 7 \\\\ 10 & 7 \\\\ vég (tömb) \\ jobb] $; $ Ba \u003d bal [kezdő (tömb) (* (35) (R)) 1 & 1 & 2 & 2 \\\\ 2 & 3 & 4 & 6 \\\\ 2 & 3 & 6 & 6 \\\\ 4 4 & -4 & 8 & -8 \\\\\\ vég (tömb) \\ jobb] $; $ Ca \u003d bal [kezdő (tömb) (* (35) (R)) 1 & 1 & 2 & 2 \\\\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\\\\ End (Array) \\ Jól] $; $ Bc \u003d bal [kezdő (tömb) (* (35) (r)) 1 & 0 \\\\ 0 & 2 \\\\ 3 & 0 \\\\ 0 & 4 \\\\ Vége (tömb) \\ jobb] $.

Általánosságban elmondható, hogy magadat javasoljuk ezt a feladatot. És még egy hasonló feladat, amely a házi feladata. Ezek az egyszerű gondolkodás segíteni fogja a mátrixok szorzásának összes kulcsfontosságú szakaszát.

De ezen a történeten nem ér véget. Menjen speciális sokszorosítás esetén. :)

Vektoros karakterláncok és vektoroszlopok

Az egyik leggyakoribb mátrix művelet szorzása egy mátrixon, amelyben egy sor vagy egy oszlop.

Meghatározás. A vektor-oszlop egy mátrix a Méret a $ \\ maradt [m \\ times 1 \\ jobb] $, azaz több vonalból és csak egy oszlopból áll.

A vektoros karakterlánc egy $ \\ maradt mátrix [1 \\ time n \\ jobb] $, azaz egy sorból és több oszlopból áll.

Tény, hogy már találkoztunk ezekkel az objektumokkal. Például a szokásos háromdimenziós vektor a sztereometriás $ \\ túlreverrow (a) \u003d bal (x; y; z \\ jobb) $ nem más, mint egy vektoros karakterlánc. A sorok és oszlopok közötti különbség elméletének szempontjából szinte nem. Figyelmeztetésre van szükség, hogy a környező mátrixok tényezőkkel megállapodjanak.

5. feladat: Végezze el a szorzást:

\\ [\\ maradt [kezdő (tömb) (* (35) (R)) 2 & -1 & 3 \\\\ 4 & 2 & 0 \\\\ -1 & 1 & 1 \\\\ Vége (tömb) \\ jobb] CDOOT \\ BALL [KIEGÉSZÍTÉS (tömb) (* (35) (r)) 1 \\\\ 2 \\\\ -1 \\\\\\ vég (tömb) \\ Jól] \\]

Döntés. Előttünk, a munka a megállapodott mátrixok: $ \\ maradt [3 \\ tim 3 \\ jobb] \\ CDOT \\ Bal [3 \\ Times 1 \\ jobb] \u003d \\ ti (3) Keresse meg ezt a munkát:

\\ [\\ maradt [kezdő (tömb) (* (35) (R)) 2 & -1 & 3 \\\\ 4 & 2 & 0 \\\\ -1 & 1 & 1 \\\\ Vége (tömb) \\ jobb] CDOOT \\ BALL [KIEGÉSZÍTÉS (tömb) (* (35) (R)) 1 \\\\ 2 \\\\ -1 \\\\\\ vég (tömb) \\ jobbra] \u003d \\ balra [\\ besor (tömb) (* (35) (R)) 2 \\ CDOT 1+ \\ Bal (-1 \\ Jobb) \\ CDOT 2 + 3 \\ CDOT \\ Bal (-1 \\ Right) \\\\ 4 \\ CDOT 1 + 2 \\ CDOT 2 + 0 \\ CDOT 2 \\ \\ \\ -1 \\ CDOT 1 + 1 \\ CDOT 2 + 1 \\ CDOT \\ LEFT (-1 \\ JOBB) \\\\\\ Vége (tömb) \\ jobb] \u003d \\ bal [megkezdés (tömb) (* (35) (R)) -3 \\\\ 8 vég (tömb) \\ Jól] \\]

Válasz: $ \\ Left [kezdő (tömb) (* (35) (r)) - 3 vége (tömb) \\\\ vég (tömb) \\ jobb] $.

6. feladat: Végezze el a szorzást:

\\ [\\ Maradt [kezdő (tömb) (* (35) (r)) 1 és 2 & -3 \\\\ vég (tömb) \\ jobbra] \\ CDOT \\ Bal (* (35) (* (35) ( r) 3 & 1 & -1 \\\\ 4 & 6 & 0 \\\\ Vége (tömb) \\ Jól]

Döntés. Ismét minden konzisztens: $ \\ maradt [1 idő 3 jobb] \\ CDOT \\ balra [3 \\ tim 3 \\ jobb] \u003d \\ ti (1) jobb] $. A munkát figyelembe vesszük:

\\ [\\ Maradt [kezdő (tömb) (* (35) (r)) 1 és 2 & -3 \\\\ vég (tömb) \\ jobbra] \\ CDOT \\ Bal (* (35) (* (35) ( R) 3 & 1 & -1 \\\\ 4 & -1 & 3 \\\\ 2 & 6 & 0 \\\\ 2 & 6 & 0 \\\\ Vége (tömb) \\ jobbra] \u003d \\ bal [megkezdés (tömb) ) 5 & -19 & 5 \\\\\\ vég (tömb) \\ jobb] \\]

Válasz: $ \\ Left [kezdő (mátrix) 5 & -19 & 5 \\\\\\ vég (mátrix) \\ jobb] $.

Amint láthatja, hogy szaporítsa egy vektoros sztringet és egy vektor oszlopot egy négyzetmátrixon a kimeneten, mindig ugyanolyan méretű vagy oszlopot kapunk. Ez a tény sok alkalmazással rendelkezik - a lineáris egyenletek megoldása mindenféle koordináta átalakításhoz (ami eredményeként csökkenti az egyenletrendszerek, de ne legyen szomorú).

Azt hiszem, minden nyilvánvaló itt. Menj a mai lecke végső részéhez.

A mátrix építése a fokig

Az összes olyan művelet között, amely bizonyos figyelmet szorít, ez fokozatosan emelkedik - ez az, amikor többször ugyanazt az objektumot szaporodjuk magukra. A mátrixok nem kivételek, különböző fokokra is felállíthatók.

Az ilyen munkálatok mindig megállapodnak:

\\\\ cdot \\ maradt [n \\ times n \\ jobb] \u003d \\ bal [n \\ times n

És pontosan ugyanaz, mint a szokásos fokozatok:

\\ [megkezdés (igazítás) & A \\ cdot A \u003d (a) ^ (2)); \\\\ & a \\ cdot A \\ cdot A \u003d (a) ^ (3)); \\\\ \\ undbrace (A \\ CDOT A \\ CDOT \\ LDOTS \\ CDOT A) _ (n) \u003d (a) ^ (n)). Vége (igazítása) \\]

Első pillantásra minden egyszerű. Lássuk, hogyan néz ki a gyakorlatban:

7. feladat: A mátrixot a megadott fokozatra cserélje:

$ ((Bal [kezdő (mátrix) 1 és 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ end (mátrix) \\ jobbra]) ^ (3)) $

Döntés. Nos, lépjünk fel. Először is, egy négyzetből áll:

\\ [Megkezdés (Align (Align) & ((bal [megkezdés (mátrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ vég (mátrix) \\ jobbra]) ^ (2)) \u003d \\ ti (mátrix) ) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ Vége (mátrix) \\ jobb] \\ CDOT \\ Bal [\\ Begin (mátrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ Vége (mátrix) \\ jobbra] \u003d \\\\ & \u003d bal [megkezdi (tömb) (* (35) (R)) 1 \\ CDOT 1 + 1 \\ CDOT 0 & 1 \\ CDOT 1 + 1 \\ CDOT 1 \\\\ 0 \\ CDOT 1 + 1 \\ CDOT 0 & 0 \\ CDOT 1 + 1 \\ CDOT 1 \\\\\\ Vége (tömb) \\ jobbra] \u003d \\\\ & \u003d bal [megkezdés (tömb) (* (35) (r)) 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\\\ Vége (tömb) \\ Jól] \\ Vége (igazítása) \\]

\\ [Megkezdés (igazítás) & ((bal [megkezdés (mátrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ vég (mátrix) \\ jobbra]) ^ (3)) \u003d ((balra [\\ t (Mátrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ Vége (mátrix) \\ jobb]) ^ (3)) \\ CDOT \\ Bal [\\ Begin (mátrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ vég (mátrix) ) \\ Jobb] \u003d \\\\ & \u003d bal [megkezdés (tömb) (* (35) (r)) 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ vég (tömb) \\ Jól] \\ CDOT \\ BEGIN (MATRIX) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ vég (mátrix) \\ jobb] \u003d \\\\ & \u003d bal oldali [\\ besor (tömb) (* (35) (r)) 1 & 3 \\\\ 0 1 \\\\\\ vég (tömb) \\ Jól] \\ Vége (igazítása) \\]

Ez minden.:)

Válasz: $ \\ Left [kezdő (mátrix) 1 & 3 \\\\ 0 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ vég (mátrix) \\ jobb] $.

8. feladat A mátrixot a megadott fokozatra Eduge:

\\ [((Bal [kezdő (mátrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ vég (mátrix) \\ jobbra]) ^ (10))) \\]

Döntés. De nem szükséges sírni, hogy a "fok túl nagy", "a világ nem tisztességes" és "a tanítások teljesen elveszettek." Tény, hogy minden könnyű:

\\ [Kezdő (igazítás) & ((balra [megkezdődés (mátrix) 1 és 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ vég (mátrix) \\ jobbra]) ^ (10)) \u003d ((balra [\\ t (Mátrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ Vége (mátrix) \\ jobb]) ^ (3)) \\ CDOT ((bal [megkezdés (mátrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ Vég (mátrix) \\ jobbra]) ^ (3)) \\ CDOT ((bal [megkezdődés (mátrix) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ Vége (mátrix) \\ jobbra]) ^ (3)) \\ CDOT Bal [megkezdés (mátrix) 1 és 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ end (mátrix) \\ jobbra] \u003d \\\\ & \u003d bal (bal [megkezdődés (mátrix) 1 & 3 \\\\ 0 & 1 \\ \\\\ Vége (mátrix) \\ Jól] \\ CDOT \\ Bal (Mátrix) 1 & 3 \\\\ 0 & 1 \\\\ Vége (mátrix) \\ jobb] \\ jobbra) \\ CDOT \\ maradt (\\ t Mátrix) 1 & 3 \\\\ 0 & 1 \\\\ Vége (mátrix) \\ jobb] \\ CDOT \\ BALL [\\ BEGIN (MATRIX) 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ Vége (mátrix) \\ Jól] \\\\ & \u003d bal [kezdő (mátrix) 1 & 6 \\\\ 0 & 1 \\\\ Vége (mátrix) \\ jobb] \\ CDOT \\ BALL [\\ BEGIN (MATRIX) 1 & 4 \\\\ 0 & 1 \\\\\\ Vége (mátrix) \\ jobbra] \u003d \\\\ & \u003d bal [megkezdés (mátrix) 1 & 10 \\\\ 0 & 1 \\\\ vég (mátrix) \\ jobb] \\ end (igazítása) \\]

MEGJEGYZÉS: A második sorban a szorzást asszociativitást alkalmaztuk. Valójában az előző feladatban használtuk, de implicit módon történt.

Válasz: $ \\ Bal [kezdő (mátrix) 1 & 10 \\\\ 0 & 1 \\\\ end (mátrix) \\ jobb] $.

Amint láthatod, semmi sem bonyolult a mátrix felépítésében. Az utolsó példa általánosítható:

\\ [((bal [megkezdődés (mátrix) 1 és 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ vég (mátrix) \\ jobbra]) ^ (n)) \u003d \\ balra [megkezdődik (tömb) (* (35) ( R) 1 & n \\\\ 0 & 1 \\\\\\ Vége (tömb) \\ jobb] \\]

Ez a tény könnyű bizonyítani matematikai indukció vagy közvetlen szorzás. Azonban nem mindig, ha az ilyen minták fokozódhatnak. Ezért legyen figyelmes: gyakran több mátrix "stroy" kiderül, hogy könnyebb és gyorsabb, mint néhány rendszeres mintát keresni.

Általában ne keressen a legmagasabb jelentést, ahol nem. Összefoglalva, fontolja meg egy nagyobb mátrix építése - alternatív módon $ \\ time [3 \\ tim 3 \\ jobb] $.

3. feladat A mátrixot a megadott fokozatra Eduge:

\\ [(Bal [kezdő (mátrix) 0 és 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ End (Matrix) \\ jobbra]) ^ (3)) \\]

Döntés. Nem fog szabályszerűen keresni. Mi dolgozunk "Stroy":

\\ [((bal [kezdő (mátrix) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ Vége (mátrix) \\ jobbra]) ^ (3)) \u003d ((\\ Bal [megkezdődés (mátrix) 0 és 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ Vége (mátrix) \\ jobbra (mátrix) \\ jobbra]) ^ (2)) \\ CDOT \\ t ) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ End (Matrix) \\ Jól]

Kezdje, hogy ezt a mátrixot a téren állítsa be:

\\ [Kezdő (Align (Align) & ((bal [kezdő (mátrix) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\\\ vég (mátrix) \\ jobbra]) ^ ( 2)) \u003d \\ bal [kezdő (mátrix) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ Vége (mátrix) \\ jobbra] \\ CDOT \\ BALT (MATRIX) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\\\ Vége (mátrix) \\ jobb] \u003d \\\\ & \u003d bal [megkezdődés (tömb) (* (35) (R) ) 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ Vége (tömb) \\ jobb] \\ Vége (igazítása) \\]

Most a kockára állították fel:

\\ [Kezdő (Align (Align) & ((bal [kezdő (mátrix) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\\\ vég (mátrix) \\ jobbra]) ^ ( 3)) \u003d bal [kezdő (tömb) (* (35) (R)) 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 \\\\ Vége (tömb) \\ CDOOT \\ LATAL [\\ BEGIN (MATRIX) 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ Vége (mátrix) \\ jobbra] \u003d \\\\ & \u003d balra [\\ besor (tömb) (* (35) (R)) 2 & 3 & 3 \\\\ 3 & 2 & 3 \\\\ 3 & 3 & 2 \\\\ Vége (tömb) \\ jobb] \\ Vége (igazítása) \\]

Ez minden. A feladat megoldódott.

Válasz: $ \\ litt [kezdő (mátrix) 2 & 3 & 3 \\\\ 3 & 2 & 3 \\\\ 3 & 3 & 2 \\\\ Vége (mátrix) \\ jobb] $.

Amint láthatja, a számítástechnika mennyisége egyre inkább, de ennek jelentése nem változott ebből. :)

Ezen lecke befejezhető. A következő alkalommal megnézzük a fordított műveletet: A meglévő munka szerint az eredeti tényezőket keresjük.

Mint már, valószínűleg kitalálta, a visszatérő mátrixról és a helyének módszereiről lesz.

A mátrix meghatározása. Mátrixtípusok

M. MÉRET MATRIX× n. aggregátumnak nevezték m · N. A négyszögletes asztal formájában található számok m. Sorok I. n. oszlopok. Ez a táblázat általában zárójelben áll. Például a mátrix lehet:

A rövidségért a mátrixot egy nagybetűvel lehet jelölni, például, DE vagy BAN BEN.

Közös mátrixméret m.× n. írd le

.

A mátrixot alkotó számokat hívják a mátrix elemei. A mátrixelemek két indexet biztosítanak egy ij.: Az első jelzi a vonalszámot, és a második az oszlop száma. Például, a 23. - Az elem a 2. sorban van, a 3. oszlopban.

Ha a mátrix az oszlopok számával egyenlő sorok száma, akkor a mátrixot hívják négyzet, és a sorok vagy oszlopok számát hívják eljárás Mátrix. A fenti példákban a második mátrix a második mátrix - annak rendje 3, és a negyedik mátrix az 1. sorrendje.

A mátrix, amelyben a vonalak száma nem egyenlő az oszlopok számával, hívják négyszögletes. A példákban ez az első mátrix és a harmadik.

Mátrixok, amelyek csak egy karakterláncot vagy egy oszlopot is különböznek.

A mátrix, amely csak egy sort hívnak mátrix - vonal (vagy egy karakterlánc) és a mátrix, amelyben csak egy oszlop, mátrix - oszlop.

Mátrix, amelyek elemei egyenlőek nulla, hívott nulla és jelöli (0), vagy egyszerűen 0. Például,

.

Fő átlós A négyszögletes mátrixok nevezzük a bal felső sarok bal felső részétől.

Négyszögletes mátrix, amelyben a fő átlós alapul szolgáló elem nulla, hívott háromszög alakú Mátrix.

.

Négyzetmátrix, amelyben minden elem, kivéve, hogy a fő átlós, nulla, hívják Átlós Mátrix. Vagy.

Átlós mátrix, amelyben minden átlós elem egyenlő, hívott egyetlen A mátrixot az E betű jelzi. Például a 3. sorrend egyetlen mátrixa van .

Mátrixok

A mátrixok egyenlősége. Két mátrix A. és B. egyenlő, ha azonos számú sorokkal és oszlopokkal rendelkeznek, és megfelelő elemei egyenlőek egy ij. = b ij.. Tehát, ha és T. A \u003d B., Ha egy a 11 \u003d B 11, A 12 \u003d B 12, A 21 \u003d B 21 és a 22 \u003d B 22.

Átültetés. Tekintsünk egy tetszőleges mátrixot A. nak,-nek m. Sorok I. n. oszlopok. Összehasonlítható egy ilyen mátrixhoz B. nak,-nek n. Sorok I. m. Az egyes sorokkal rendelkező oszlopok mátrix oszlop A. Azonos számmal (következésképpen minden oszlop egy mátrix karakterlánca A. Azonos számmal). Tehát, ha T. .

Ez a mátrix B. Hívás Átültetett Mátrix A.és az átmenet A. nak nek B Átültetés.

Így az átültetés a mátrix sorai és oszlopainak változása. Mátrix, átültva a mátrixba A., általában kijelölni NÁL NÉL..

A mátrix közötti kommunikáció A. És átültetése formájában írható.

Például. Keresse meg a mátrixot.

Mátrixok hozzáadása. Hagyja, hogy a mátrix A. és B. azonos számú sorból és azonos számú oszlopból áll, azaz azaz van azonos méretű. Ezután a mátrixok hajtásához A. és B. szükség van a mátrix elemeire A. Adja hozzá a mátrix elemeit B.ugyanazon a helyeken áll. Így a két mátrix összege A. és B. a mátrixnak hívják C.amelyet a szabály határozza meg, például,

Példák. Keresse meg a mátrixok összegét:

Könnyű ellenőrizni, hogy a mátrixok hozzáadását a következő törvények betartják: kommutatív A + B \u003d B + A és asszociatív ( A + B.)+C.=A.+(B + C.).

Szaporodva a mátrix szám szerint. A mátrix megszorításához A. Szám k. szükség van a mátrix minden elemére A. Szorozzuk meg ezt a számot. Így a mátrix munkája A. Szám k. Van egy új mátrix, amelyet a szabály határozza meg vagy.

Bármely számhoz a. és b. és mátrixok A. és B. Az egyenlőséget elvégzik:

Példák.

Mátrixszorzás. Ezt a műveletet különös törvényben végzik. Először is megjegyezzük, hogy a tényezők mátrixok méretét meg kell állapodni. Szorzásszélességet lehet szorozni, amelyben az első mátrix oszlopainak száma egybeesik a második mátrix soraihoz (azaz az első karakterlánc hossza megegyezik a második oszlop magasságával). Munka Matriák A. nem egy mátrix B. új mátrixnak nevezték C \u003d ab.Kinek az elemei a következőképpen készülnek:

Így például a munkába való bejutás (azaz a mátrixban) C.) Az 1. sor és a 3. oszlop eleme c 13.Az első sorban az 1. mátrixban kell venned a 2.-3.-3. oszlopban, majd a karakterlánc elemei szorozódnak az oszlop megfelelő elemeihez, és a kapott munkák hajtogatódnak. A munka mátrix más elemeit az első mátrix húrjainak hasonló termékével kapjuk meg a második mátrix oszlopaihoz.

Általában, ha többszörös a mátrixot A \u003d (egy ij) Méret m.× n. a mátrixon B \u003d (b ij) Méret n.× p.Aztán kapunk egy mátrixot C. Méret m.× p.akinek elemeit az alábbiak szerint kell kiszámítani: Elem c ij. Az elemek termékének eredményeként kiderül ÉN.Low Line Matrix A. a megfelelő elemeken j.- a mátrix oszlopa B. És azok kiegészítése.

Ebből a szabályból következik, hogy mindig két négyzetméteres mátrixot lehet végezni, ennek eredményeként ugyanazon sorrend négyzetmátrixot kaphatunk. Különösen a négyszögletes mátrixot mindig is megszorozhatja, vagyis Korai négyzet.

Egy másik fontos esetben a szorzás a mátrix húr a oszlopmátrix, és a szélessége az első egyenlőnek kell lennie a magassága a második, ennek eredményeként megkapjuk az elsőrendű mátrixot (vagyis egyik elem). Igazán,

.

Példák.

Így ezek az egyszerű példák azt mutatják, hogy a mátrixok, általánosan beszélnek, nem átrendezve egymással, vagyis A ∙ B. ≠ B ∙ A. . Ezért, ha a mátrixok szorzolása gondosan ellenőriznie kell a szorzók eljárását.

Ellenőrizhető, hogy a mátrixok szorzása az asszociatív és a disztribúciós törvények, azaz (Ab) c \u003d a (bc) és (A + B) C \u003d AC + BC.

Ez könnyen ellenőrizhető, hogy egy négyzetmátrix szorzásakor A. Egyetlen mátrixon E. ugyanazon sorrendben ismét kapunk egy mátrixot A.Ráadásul AE \u003d EA \u003d a.

A következő kíváncsi tényt jelölheti meg. Amint ismeretes, a nulla számtól eltérő termék nem egyenlő 0-val. A mátrixok esetében nem lehet a hely, azaz nincs A 2 nem nulla mátrix terméke megegyezik a nulla mátrixmal.

például, Ha egy T.

.

A determinánsok fogalma

Hagyja, hogy a második rendelési mátrix - egy négyzetmátrix, amely két vonalból és két oszlopból áll .

A második sorrend meghatározójaEnnek a mátrixnak megfelelő szám a következő szám: a 11 A 22 - A 12 A 21.

A determinánsot a szimbólum jelzi .

Így annak érdekében, hogy megtalálják a meghatározója a másodrendű, szükség van a munkájára az elemek a főátlójában levonni a terméket az elemek a második átlós.

Példák. Számítsa ki a másodrendű determinánsokat.

Hasonlóképpen figyelembe veheti a harmadik rendelési mátrixot és a megfelelő meghatározó anyagot.

A harmadik sorrend meghatározóA harmadik sorrend négyzetmátrixának felel meg, az alábbi számnak nevezik, amelyet a következők szerint kell megadni:

.

Így ez a képlet egy harmadik sorrendű determináns bomlását adja az első sor elemek számára. a 11, A 12, A 13 és csökkenti a harmadik sorrend meghatározó meghatározójának számítását a másodrendű determinánsok kiszámításához.

Példák. Számítsa ki a harmadik sorrendet.

Hasonlóképpen lehetővé kell tenni a negyedik, ötödik determináns stb. Fogalmát stb. Megrendelések, csökkentve megrendelésüket az 1. sor elemei szerinti bomlással, a "+" és a "-" jelek alternatívaként.

Tehát, ellentétben a mátrixdal, amely számok, a meghatározó szám, amely a mátrixnak megfelelően van meghatározva.

1. lecke. Mátrix. Mátrixokon.

1. Mit neveznek a mátrixnak.

2. Milyen két mátrixot hívnak egyenlőnek.

3. Milyen mátrixot neveznek négyzet, átlós, egyetlen.

4. Hogyan hajthatjuk végre a mátrixok befejezését és a mátrix számával történő szorzást.

5. Mely mátrixok, a szorzási művelet beírása és végrehajtási szabálya.

6. Milyen konverziók vannak a mátrixokon keresztül.

7. Milyen mátrixot neveznek kanonikusnak.

Tipikus példák a mátrixok felett

1. feladat.Dana mátrix

Keresse meg a mátrixot \u003d
(1)

Döntés.A munka meghatározásával a mátrix a számon van:

D \u003d

2. feladat.. Keressen egy terméket AB két négyzetmátrix:

Döntés.Mindkét mátrix a 2. sorrend négyzetes mátrixja. Az ilyen mátrixok megszorozzák a képlet alkalmazásával

A (2) általános képletnek a következő jelentése van: a C \u003d AV mátrix elemének elérése, a metszéspontban állva sorok I. az oszlopnak meg kell tennie az elemek munkáinak mennyiségét Alacsony vonal mátrix A a megfelelő elemeken - A mátrix oszlopa V.

A (2) képlet szerint megtaláljuk:

Következésképpen a C \u003d A termék megvizsgálja:

3. feladat.Keressen egy terméket AB és VA mátrixok:

Döntés.A (2) általános képlet szerint az AV és BA mátrix elemei:

Kimenet:Összehasonlítva a mátrix AB és a VA és a meghatározása az egyenlő mátrixok, arra a következtetésre jutunk, hogy kényelmetlen, azaz a szorzás a mátrixok nem engedelmeskedik az átmeneti törvény.

4. feladat.(orálisan). Dana mátrix
Vannak munkák (zárójelben vannak megadva a megfelelő válaszok): AV (igen), va (nem), mint (igen), SA (NO), ABC (NO), DC (igen), si (nem).

5. feladat.Keresse meg az űrlap két mátrixjának AB és V termékét:

Döntés.A fajok fenti mátrixjai
következésképpen vannak olyan AB és VA adatmátrixok, amelyek:

6. feladat.. Keresse meg az AV MATRIX terméket:

Válasz:

Az önmegoldásokra vonatkozó feladatok:

Dana mátrix

Keresse meg a D \u003d 2A-4V + 3C mátrixot.

2. Keresse meg az AB és a VA négyzetmátrix munkáit:

Keresse meg a mátrixok munkáját:

Keresse meg a mátrixok munkáját:

7. Keresse meg a mátrixok munkáját:

8. NAGNGE MATRIX: B \u003d 6A 2 + 8A, ha
.

9. DANA MATRIX
. Meghívja az összes mátrixot, permutációt a Mátrix A.

10. Bizonyítsuk be, hogy ha a átlós mátrix, és a fő átlós valamennyi eleme változott egymás között, akkor bármilyen mátrix, permutáció egy, szintén átlós.

4. lecke 2. A négyszögletes mátrixok és azok számítása. Inverz mátrix.

A gyakorlati anyagok asszimilálása érdekében a következő elméleti kérdésekre kell válaszolnia:

Mit hívnak az n-rend meghatározónak? Számítási szabályok érvényesek \u003d 1,2,3.

A determinánsok tulajdonságai.

Milyen mátrixot hívnak nondegenerátumnak?

Milyen mátrixot hívnak egyetlennek?

Milyen mátrixot hívnak vissza ehhez?

Mi a szükséges és elegendő feltétel a visszatérési mátrix létezéséhez?

Megfogalmazza a fordított mátrix megtalálását.

Rank mátrix. Helyszín szabályai.

Tipikus példák a determinánsok kiszámítása

1. feladat.Kiszámítja a meghatározó anyagot
:

a) A háromszög szabálya szerint;

b) az első sorban történő bomlással;

c) transzformáció a determinánsok tulajdonságaival.

ban ben)

2. feladat.. Keressen kisebb és algebrai kiegészítő elemet 23 Definangen
és számítsa ki a bomlást vonalelemekkel vagy oszlopokkal.

Döntés.

M 23.
; A 23.

3. feladat.Számítsa ki a determináns 2 sor bomlását:

Válasz:

4. feladat.Az egyenlet megoldása

5. feladat.Számítsa ki a 4. sorrendet vonalon vagy oszlopelemekkel történő bomlással:

Ez a módszertani kézikönyv segít megtudni mátriatkozásokkal való cselekvések: Továbbá (kivonás) mátrixok, transzponált mátrixszal, szorzás mátrixok, megtalálni a fordított mátrixba. Minden anyagot egyszerű és hozzáférhető formában ismertetünk, megfelelő példákat adunk meg, így még egy felkészületlen személy is képes lesz megtanulni a mátrixokkal való cselekvéseket. Az önellenőrzéshez és az önellenőrzéshez ingyenesen töltheti le a mátrix számológépet \u003e\u003e\u003e.

Megpróbálom minimalizálni az elméleti számításokat, egyes helyeken, magyarázatok "az ujjakon" és a tudománytalan kifejezések használatát. A szilárd elmélet szerelmesei, kérjük, ne kritizáljon, feladataink ismerje meg a mátrixokkal való cselekvést.

Az ultra-gyors előkészítés a témához (aki "égő") van egy intenzív PDF tanfolyam Mátrix, meghatározó és álló!

A mátrix egy téglalap alakú asztal elemek. Mint elemek Figyelembe vesszük a számokat, azaz numerikus mátrixokat. ELEM - Ez a kifejezés. A kifejezés célszerű emlékezni, gyakran találkozik, nem véletlen, hogy egy kövér betűtípust használtam, hogy kiemelje.

Kijelölés: A mátrixok általában tőke latin betűkkel jelöltek

Példa: Tekintsük a "két három" mátrixot:

Ez a mátrix hat elemek:

Minden szám (elem) a mátrixban létezik, vagyis a beszéd levonása nem megy:

Ez csak egy asztal (készlet) számok!

Egyetért ne adja át Számok, hacsak másképp nem említik. Minden számnak van saját helye, és nem lehet kihúzni!

A vizsgált mátrixnak két vonala van:

És három oszlop:

ALAPÉRTELMEZETT: Ha beszélnek a mátrix méretéről, akkor első Adja meg a sorok számát, és csak akkor - az oszlopok számát. Csak szétszereltük a "két három" mátrix csontjait.

Ha a mátrix sorai és oszlopai egybeesnek, akkor a mátrixot hívják négyzet, például: - "Három három mátrix".

Ha a mátrix egy oszlopban vagy egy sorban van, akkor az ilyen mátrixokat is hívják vektorok.

Tény, hogy a koncepció a mátrix tudjuk, iskola, úgy például a pontot az „X” koordinátáit és a „Igrek”:. Lényegében a pont koordinátáit az "egy-két" mátrixban rögzítik. By the way, itt a példa, miért fontos a számok sorrendje: és a sík két teljesen különböző pontja.

Most menjen közvetlenül a tanulmányhoz mátrixokkal való cselekvések:

1) az első cselekvés. Mínusz elérése a mátrixból (mínusz a mátrixban).

Visszatérés a mátrixunkhoz . Ahogy valószínűleg észrevette, túl sok negatív szám van ebben a mátrixban. Nagyon kényelmetlen a mátrixokkal való különböző cselekedetek elvégzésében, kényelmetlen, hogy annyi mínuszot írjon, és csak csúnya néz ki a tervezésben.

A mátrixon túlmutatok, megváltoztatva a mátrix jel minden elemét:

Ulya, ahogy érted, a jel nem változik, nulla - ő és Afrikában nulla.

Feed Példa: . Csúnya.

A mátrixban mínusz leszünk, megváltoztatjuk az egyes elemek mátrixát:

Nos, sokkal szebb volt. És ami a legfontosabb, végre semmilyen műveletet a mátrix könnyebb lesz. Mert van ilyen matematikai népi jel: minél több mínusz - annál zavarosabb és hibás.

2) Második cselekvés. A mátrix szorzása a számhoz.

Példa:

Minden egyszerű, hogy megszorozza a mátrixot a számon, amire szüksége van mindenki A mátrix elem egy adott számhoz szorozza. Ebben az esetben az első háromon.

Egy másik hasznos példa:

- A mátrix szaporítása a frakcióhoz

Először fontolja meg, mit tegyen Nem:

Nem kell, hogy adja meg a mátrix, először is csak megnehezíti a további lépéseket a mátrix, másrészt megnehezíti, hogy ellenőrizze a döntés a tanár (különösen, ha - Végleges válasz válasz).

És különösen, Nem Ossza meg a mátrix minden elemét mínusz héthez:

A cikkből Matematika a bábukért, vagy elkezdeni kezdeniEmlékszünk, hogy a tizedes törtek vesszővel magasabb matematika igyekeznek elkerülni minden módon.

Az egyetlen dolog, hogy kívánatos Ebben a példában -, hogy mínusz legyen a mátrixban:

De ha MINDEN A mátrix elemei 7-re oszlottak maradék nélkülAkkor lehet (és szükséged van rá!) Meg kell osztani.

Példa:

Ebben az esetben te és KELL Szorozzuk meg a mátrix összes elemét, mivel a mátrixok összes számát 2-re osztják maradék nélkül.

Megjegyzés: A magasabb matematika elméletében az iskolai koncepció "Division" nem. A "ez megosztott" kifejezés helyett mindig azt mondhatjuk, hogy "szaporodott a frakcióval". Ez az, hogy a divízió a sokszorosítás különleges esete.

3) a harmadik cselekvés. A mátrix átültetése.

A mátrix átültetéséhez meg kell írnia az átültetett mátrix oszlopát.

Példa:

Átülteti a mátrixot

A vonal itt csak egy, és a szabály szerint az oszlopra kell írni:

- Átültetett mátrix.

Az átültetett mátrixot általában hirtelen index vagy érintés jelöli a tetején.

Lépésről lépésre példaként:

Átülteti a mátrixot

Először írja át az első karakterláncot az első oszlopra:

Ezután írja át a második karakterláncot a második oszlopban:

Végül, írja át a harmadik karakterláncot a harmadik oszlopban:

Kész. Nagyjából beszél, átültetve - ez azt jelenti, hogy az oldal mátrixát fordítjuk.

4) Negyedik cselekvés. Összeg (különbség) Mátrixok.

A mátrixok mennyisége egyszerű.
Nem minden mátrix hajtható össze. A (kivonó) mátrixok hozzáadásához szükséges, hogy azonos méretűek.

Például, ha a „2-2” mátrix adott, akkor csak azt lehet hajtani a „két két” mátrix és semmi más!

Példa:

Hajtsa a mátrixokat és

A mátrixok hajtásához szükség van a megfelelő elemekre.:

A mátrixok különbsége érdekében a szabály hasonló meg kell találni a különbséget a megfelelő elemek között..

Példa:

Keresse meg a különbségi mátrixot ,

És hogyan oldja meg ezt a példát, könnyebben nem zavarható? Célszerű megszabadulni a plusz mínuszok, erre teszünk egy mínusz a mátrixban:

Megjegyzés: A magasabb matematika elméletében az iskolai koncepció "kivonás" nem. A "erre" kifejezés helyett mindig azt lehet mondani, hogy "ez negatív számot adjon hozzá." Ez az, hogy a kivonás speciális kiegészítésű eset.

5) Ötödik fellépés. Mátrix szorzás.

Milyen mátrixokat lehet szorozni?

Ahhoz, hogy a mátrix megszorozzon a szükséges mátrixra, hogy a mátrix oszlopok száma megegyezik a mátrix húrok számával.

Példa:
Lehet-e szaporodni a mátrixot a mátrixon?

Tehát a mátrix adatainak szorzása lehet.

De ha a mátrixok átrendezik a helyeken, akkor ebben az esetben a szorzás már nem lehetséges!

Ezért lehetetlen elvégezni a szorzást:

Nem is olyan ritkán, feladatok találkozott, amikor a hallgató javasolják, hogy szaporodnak a mátrix, amelynek a szorzás nyilvánvalóan lehetetlen.

Meg kell jegyezni, hogy egyes esetekben szaporodhat a mátrixot, és így.
Például mátrixok, esetleg sokszorosítás és szorzás