Méret: px

Kezdje el megjeleníteni az oldaltól:

Átirat

1 Több változó függvényei 11. Több változó függvényének meghatározása. Az FNP határa és folytonossága 1. Több változó függvényének meghatározása DEFINÍCIÓ. Legyen X \u003d (1 n i X i R) U R. Funkció: X U-t n változó függvényének nevezzük. Írja: u \u003d 1 n, ahol a törvény meghatározza az 1 n és u közötti megfelelést. Az u \u003d 1 n értéket 1 \u003d 1 \u003d n \u003d n esetén u \u003d 1 n vagy u 1 1 n n formában írják

2 Az alábbiakat hívjuk: A függvény X definíciós tartománya Kijelölés: Du 1 n argumentum független változók U értéktartomány Kijelölés: Eu u u U függő változó függvény. MÓDSZEREK az FNP 1 verbális megküzdésére; táblázatos; 3 elemző: de kifejezett feladat, azaz. az u \u003d 1 n b képlet implicit feladat, azaz egyenlet F 1 n u \u003d. 4 Funkció \u003d grafikusan beállítható. MEGHATÁROZÁS. A \u003d függvény grafikonját koordinátákkal ellátott térbeli pontok helyének nevezzük; ; D. A \u003d függvény grafikonját "felület \u003d" -nek is nevezzük.

3 A \u003d függvény szintvonala annak a síknak a helye, ahol a függvény ugyanazt a C értéket veszi fel. 1 A szintvonal egy D-ben levő egyenes, amelynek egyenlete \u003d C. C értéke C 1 C 1 + h C 1 + h C 1 + nh. Megkapjuk azokat a szintvonalakat, amelyek helye alapján meg lehet ítélni a függvény grafikonját, következésképpen a függvény változásának jellegét.

4 Így ahol a vonalak "vastagabbak", a funkció gyorsabban változik, a függvényt képviselő felület meredekebbé válik.

5 Az u \u003d függvény szintfelülete az O tér azon pontjainak helye, ahol a függvény ugyanazt az értéket veszi fel. A szintfelület egyenlete: \u003d C .. Több változó függvényének határa Felidézés: Az AR számot egy függvény határának nevezzük, mivel a függvény egy pontban a határértékre hajlik, ha \u003e\u003e olyan, hogy ha U *, akkor UA.

6 O; \u003d \u003d ahol DO. ; O u \u003d \u003d ahol DO. ; ; Analógia útján az 1 n szekvenciát egy n dimenziós tér egy pontjának derékszögű koordinátáinak tekintjük, és n változó függvényét egy ebben a térben lévő pont függvényének tekintjük. Jelölje: R n n-dimenziós tér u \u003d ahol n változó 1 n R n függvénye.

7 Ha 1 1 O, akkor a köztük lévő távolságot a következő jelöli: 1 a következő képlettel határozható meg: Ha O akkor Ha O akkor ezeket a képleteket összefoglalva feltételezzük, hogy az n 1 dimenziós tér 1 1 n 1 n R n pontjainak távolsága n n

8 Legyen 1 n R n. Azoktól a távolságtól kisebb távolságban elhelyezkedő R n pontok halmazát a pont szomszédságának nevezzük, és U-val jelöljük. Más szavakkal, az 1 n szomszédság olyan 1 n pontból áll, amelyekre az 1 1 n n egyenlőtlenség vonatkozik. N \u003d 1 esetén U \u003d (O \u003d< } = +. При n = U { O т.е. U точки круг с центром в точке и радиусом. При n = 3 U { O } т.е. U точки шар с центром в точке и радиусом. }

9 - az R n pont szomszédságát, a pont nélkül, definiáltnak nevezzük és U-val jelöljük. Az n n u változók függvényét határozzuk meg az R n pont néhány szomszédságában, kivéve talán magát. MEGHATÁROZÁS. Az AR számot a függvény határának nevezzük, mivel a függvény határa olyan pontra hajlik, ha \u003e\u003e olyan, hogy ha U *, akkor UA. Általános esetben írva: lim A A пи A \u003d: lim A függvényhez.

10 Megjegyzések. 1 Az U * feltétel azt jelenti, hogy az egyenlőtlenség érvényesül: n 1 1 n Az UA feltétel azt jelenti, hogy az A egyenlőtlenségre< 3 Так как формально определение предела функции n переменных ничем не отличается от определения предела функции одной переменной то все утверждения которые были получены о пределах функции одной переменной и в которых не используется упорядоченность точек числовой прямой остаются верными и для предела функции n переменных. 4 Определение бесконечно большой функции переносится на случай функции n переменных тоже дословно сформулировать самостоятельно.

11 3. Több változó függvényének folytonossága Legyen u \u003d megadható R n néhány szomszédságában. MEGHATÁROZÁS 1. A függvényt egy pontban folytonosnak nevezzük, ha az egyenlőség lim igaz, vagy más szavakkal, ha \u003e\u003e olyat, hogy ha U azaz< то U т.е. <. Справедливы утверждения: 1 арифметические операции над непрерывными в точке функциями приводят к непрерывным в этой точке функциям при условии что деление производится на функцию не обращающуюся в ноль; сложная функция составленная из нескольких непрерывных функций тоже будет непрерывной.

12 Ha az u \u003d függvény egy pont valamilyen szomszédságában van definiálva, talán önmagát kivéve, de ezen a ponton nem folytonos, akkor a ponton ezt szakaszosnak nevezzük, és maga a pont egy folytonossági pont. Legyen G néhány ponthalmaz Rn-ben és G-ben. Egy pontot G halmaz belső pontjának nevezünk, ha U G. Azt a halmazt, amelynek minden pontja belső, nyitottnak nevezzük. Egy pontot G halmaz határpontjának nevezünk, ha annak bármelyik szomszédságában van G-ból származó pont és G-hez nem tartozó pont. A G halmaz összes határpontjának halmazát annak határának nevezzük. A határát tartalmazó halmazt zártnak nevezzük.

13 A G halmazt akkor hívjuk összekapcsoltnak, ha bármelyik két pontja összekapcsolható egy folytonos görbével, amely e halmaz pontjaiból áll. Megjegyzés. Az n-dimenziós térben folytonos görbe az 1 n pont olyan helye, amelynek koordinátái kielégítik az 1 \u003d 1 t \u003d t n \u003d n t egyenleteket, ahol 1 \u003d 1 t \u003d t n \u003d n t a t paraméter folyamatos függvényei. A csatlakoztatott nyitott halmazokat régiónak nevezzük. Az összekapcsolt zárt halmazt zárt régiónak nevezzük. A teljes egészében az O pont szomszédságában fekvő tartományt korlátoltnak nevezzük.

14 TÉTEL a Weierstrass és Cauchy tételek analógja az FNP számára. Ha az n \u003d változó függvénye folytonos egy zárt és korlátozott D tartományban, akkor 1 korlátos; D-ben eléri a legmagasabb és a legalacsonyabb értéket; 3 a két érték között minden közbenső értéket felvesz.

15 1. Részleges derivatívák Az egyértelműség kedvéért a továbbiakban az összes definíciót és állítást megfogalmazzuk az -x vagy a 3-változók függvényeire. Természetes módon általánosítják a nagyobb számú ismeretlen esetét. Legyen \u003d D \u003d D O D nyitott terület. Adja meg a D. Adja meg a növekményt úgy, hogy az érték változatlan maradjon úgy, hogy a + D pont legyen. Ebben az esetben a \u003d \u003d + + növekményt kap. a \u003d függvény részleges növekményének nevezzük a pontban.

16 MEGHATÁROZÁS. Az arány határértékét, ha létezik és véges, a \u003d függvény parciális deriváltjának nevezzük a pont változója szempontjából. Jelölje: vagy

17 Megjegyzések. 1 Megnevezések, és egész szimbólumként, és nem két mennyiség hányadosaként kell érteni. A külön kifejezéseknek nincs értelme. jellemzi a függvény változásának sebességét \u003d azáltal, hogy a részleges derivált fizikai értelme a pontra vonatkoztatva. A függvény részleges deriváltját a pont változója szempontjából hasonlóan definiáljuk: lim lim Jelölje:

18 A megfelelés a D 1 D D-n definiált függvény. A függvény részleges deriváltjának nevezzük a változó vonatkozásában, és jelöljük. A függvény \u003d részleges deriváltjainak megállapításának műveletét a függvény \u003d differenciálódásának nevezzük a változóhoz, ill. ; ; ; ;. è

19 Valójában ez a függvény hétköznapi származéka \u003d, amelyet az egyik változó függvényének tekintünk, a másik változó állandó értékénél. Ezért a részleges derivatívák számítását ugyanazon szabályok szerint hajtják végre, mint egy változó függvényére. Ebben az esetben az egyik változót állandónak tekintjük. PÉLDA. Keresse meg a parciális deriváltokat a + + 3 függvény és annak függvényében

20 KÉT VÁLTOZÓ függvényének parciális deriváltjainak geometriai érzéke. Legyen a \u003d függvény részleges deriváltja a vonatkozásában. Legyen az S felület az \u003d függvény grafikonja. S P T A Ezután tg tg, ahol a P pontban az S felület és a sík metszésvonalához húzott érintő OO tengelyének dőlésszöge \u003d \u003d. S P K B

5. fejezet TÖBB VÁLTOZÓ FUNKCIÓI Space R n Több változó függvényének fogalma Definíció Az összes rendezett halmaz halmazát (, n), ahol n valós szám, n-dimenziósnak nevezzük.

13. Magasabb rendû parciális deriváltak Let \u003d rendelkeznek és meg vannak határozva a D O. Funkciókban, és nevezzük függvény elsõ rendû parciális deriváltjainak vagy függvény elsõ részleges deriváltjainak is. és általában

TÖBB VÁLTOZÓ FUNKCIÓI Egy független változó funkciói nem fedik le az összes függőséget, amely a természetben létezik. Ezért természetes a funkcionális függőség jól ismert fogalmának kibővítése és bevezetése

M I N I S T E R S T V O B R A Z O V A N I I N A U K I R O S I J S K O J F E D E R A T C I SZÖVETSÉGI ÁLLAM A FELSŐ OKTATÁS AUTONÓM OKTATÁSI INTÉZMÉNYE "Nemzeti kutatás

I Több változó függvényének meghatározása A definíció területe Sok jelenség tanulmányozásakor két vagy több független változó függvényeivel kell foglalkozni. Például a testhőmérséklet egy adott pillanatban

N9. ELŐADÁS. Több változó függvényei. Határ. Folyamatosság ... Alapdefiníciók és jelölés ... Több változó függvényének fogalma .... 3. Több változó függvényének határa .... 3 4. Folytonosság

Előadások Fejezet Több változó függvényei Alapfogalmak Több változó egyes funkciói jól ismertek Adjunk néhány példát Egy háromszög területének kiszámításához ismert Heron S képlete

Az előadást MV Musina adjunktus készítette. Egy függvény folytonossága. Határozzuk meg az y \u003d f (x) függvényt egy x pontban és ennek a pontnak néhány szomszédságában. Az y \u003d f (x) függvényt folytonosnak nevezzük egy x pontban, ha van

SOK VÁLTOZÓ FUNKCIÓI 1. Alapfogalmak. Ha változó mennyiséget rendelünk a D halmaz minden független változópárjához, akkor ezt kettő függvényének nevezzük

2. szakasz Határelmélet Téma Numerikus szekvenciák Numerikus szekvencia meghatározása 2 Kötött és kötetlen szekvenciák 3 Monoton szekvenciák 4 Végtelenül kicsi és

3. fejezet Több változó működése 1 Alapfogalmak Legyen n + 1 1, n változó, amelyek összekapcsolódnak úgy, hogy az 1, n változók numerikus értékeinek minden halmaza egyedi

~ 1 ~ SOK VÁLTOZÓ FUNKCIÓJA 3 Két változó funkciója, hatókör, meghatározási módszerek és geometriai jelentés. Definíció: z f, két változó függvényének nevezzük, ha minden értékpár,

44 Példa Találjuk meg egy komplex függvény teljes deriváltját \u003d sin v cos w ahol v \u003d ln + 1 w \u003d 1 A (9) képlet alapján d v w v w \u003d v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Most megkapjuk az f komplex függvény teljes differenciálját

A függvények folytonossága A függvény folytonossága egy pontban Egyoldalú határok Definíció Az A számot bal oldalon az f (x) függvény határának nevezzük, mivel x hajlamos a-ra, ha bármely számra létezik ilyen szám

Gratulálok az új tanév kezdetéhez. Sok sikert kívánok sok változó és differenciálegyenlet függvényeinek tanulmányozásához A tanszék weboldala http://kvm.gubkin.ru 1 Sok változó funkciói 2 Definíció

TARTALOM BEVEZETÉS 5 TÖBB VÁLTOZÓ FUNKCIÓJÁNAK DIFFERENCIÁLIS SZÁMÍTÁSA Előadási tér R 6 Előadás Több változó függvényének határa és folytonossága 5 3. előadás Több változó funkciói

3. Végtelenül nagy szekvenciák MEGHATÁROZÁS. A numerikus szekvenciát (n) végtelenül nagynak nevezzük, ha M\u003e NN olyan, hogy n\u003e M, n\u003e n. A VÉGTELEN NAGY SZekvencia geometriai értelmezése

8. téma TÖBB VÁLTOZÓ FUNKCIÓJÁNAK DIFFERENCIÁLIS SZÁMÍTÁSA Előadás 8.1. Több változó függvényei. Részleges derivatívák Terv 1. Két és több változó függvényének fogalma .. Határ és folytonosság

4. A függvény folytonossága 1. Alapvető meghatározások Legyen meghatározva f (x) az x pont valamely szomszédságában. MEGHATÁROZÁS 1. Az f (x) függvényt folytonosnak nevezzük az x pontban, ha az f (x) egyenlőség igaz. (1)

Sorrend. Meghatározás. Ha minden természetes számhoz (N) valamilyen törvény szerint hozzárendelnek egy számot (), akkor ez meghatároz egy numerikus szekvenciát, ... (vagy csak egy szekvenciát).

N33. ELŐADÁS. Komplex változó függvények. Határértékek. Folytonosság. Elemi funkciók. Az FKP differenciálása. Származtatott tulajdonságok. 1. Komplex számok szekvenciái. Limit .... 1.Korlátozott

Matematikai elemzés Szekció: Bevezetés az elemzésbe Téma: Funkció korlátja Funkció és tulajdonságainak határa, végtelenül nagy függvények és tulajdonságaik Előadó Yanushchik OV 215 g 3 Funkció határa 1 A határ meghatározása

[geometriai ábrázolás meghatározása két változó függvényének függvényéhez a függvények meghatározásának módja a halmazok osztályozása R (n) függvény határértéke - a tétel folytonossága a folyamatos függvényeken - példák]

Az RGR módszertani útmutatásai és változatai a témában Több változó működése a Design Design szakos hallgatók számára. Ha egy mennyiséget egyedileg határoznak meg a mennyiségek értékeinek megadásával, és egymástól függetlenül

Legyen képes: 1. téma: A függvény határa és folytonossága Számítsa ki a függvények és a numerikus szekvenciák határait különféle technikák alkalmazásával, beleértve a csodálatos határokat is, hasonlítsa össze a végtelenül kicsi

Bevezetés több változó függvényének elemzésébe L.I. Terekhina, I.I. Több változó fix függvényei 1. előadás Eddig egy független változó függvényelméletét részletesen tanulmányozták. A valóságban

6. témakör Szekvenciák és függvények határai, tulajdonságai és alkalmazásai 1 Több változó (argumentum) függvényelmélete Több változó függvényeinek differenciálszámítása Funkció meghatározása

Egy implicit módon definiált függvény differenciálása Tekintsük a (,) \u003d C (C \u003d const) függvényt. Ez az egyenlet egy implicit függvényt definiál () Tegyük fel, hogy megoldottuk ezt az egyenletet, és találtunk egy explicit kifejezést \u003d ()

7. lecke Átlagos tételek. L'Hôpital szabálya 7. Az átlagos átlagtételek Az átlagos átlagtételek három tétel: Rolle, Lagrange és Cauchy, amelyek mindegyike általánosítja az előzőt. Ezeket a tételeket hívjuk

Gyakorlati lecke A KOMPLEX ÉS HATÁSFUNKCIÓK DIFERENCIÁLÁSA Komplex funkció differenciálása Egy egyenlet által definiált implicit függvény differenciálása Az implicit és a parametrikusan megadott rendszerek

VÁLTOZÓK ÉS ÁLLANDÓ ÉRTÉKEK A fizikai mennyiségek (idő, terület, térfogat, tömeg, sebesség, stb.) Mérése eredményeként meghatározzák számszerű értékeiket. A matematika a nagyságrendekkel, a figyelemeltereléssel foglalkozik

Téma Határelmélet Gyakorlati lecke Számszekvenciák Számszekvencia meghatározása Kötött és kötetlen szekvenciák Monoton szekvenciák Infinitesimal

1 Pontok elhelyezkedése a komplex síkon Határozzuk meg két valós változó függvényéhez a síkbeli pontok elhelyezkedésével kapcsolatos alapvető geometriai fogalmakat. Meghatározásokat adunk

A VPBelkin által összeállított 1. előadás 1. Változó funkciója 1 Alapfogalmak Egy változó függősége \u003d f (1, n) az 1, n változóktól n argumentum 1, n függvényének nevezzük. A következőkben figyelembe vesszük

5 Azt a pontot, ahol F F F vagy ezeknek a származékoknak legalább egyike nem létezik, a felület egyes pontjának nevezzük. Ilyen ponton a felületnek nem lehet érintő síkja. Definíció Normál a felületre

AZ EGY VÁLTOZÓ FUNKCIÓJA A függvény fogalma A függvény fogalma összefüggést hoz létre két halmaz eleme között Példa: Természetes számok halmaza B Természetes számok négyzet halmaza

N.E. nevét viselő Moszkvai Állami Műszaki Egyetem ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Bauman alaptudományi kar matematikai modellezés tanszék À.Í. Santnikov, A.N. Grienko

8 Komplex számsorozat Vegyünk egy k a, (46) alakú komplex számokkal rendelkező számsort, ahol (a k) egy adott számsorozat komplex kifejezésekkel. K A sorozatokat (46) konvergensnek nevezzük, ha

Előadás. Funkcionális sorok. Funkcionális sorozat meghatározása Funkcionálisnak nevezzük azt a sorozatot, amelynek tagjai az x függvényei: u \u003d u (x) + u + K + u + K \u003d Ha x-nek x-nek határozott értéket adunk, akkor

8. ELŐADÁS Függvény differenciálja egy pontban Összetett és inverz függvény deriváltja Függvény differenciálja egy pontban Adjuk meg az f () függvényt egy pont szomszédságában. Ha az f () függvény növekménye

Előadások 89 5. fejezet A függvény folytonossága 5 A függvény folytonossága egy ponton A függvény folytonosságának fogalma a felsőbb matematika egyik alapfogalma. Nyilvánvaló, hogy a folytonos függvény grafikonja

TÍPUSOS PÉLDÁK MEGOLDÁSA Keresse meg az y függvény D tartományát és E értékkészletét Megoldás Az y függvény akkor definiálható, ha azok, ha Ezért a függvény tartománya az f halmaz; D R Mivel

2 2. Metrikus terek A matematika egyik leggyakoribb fogalma a távolság fogalma. Az analitikai geometriában használják euklideszi geometriai objektumok tulajdonságainak tanulmányozására

Én tanfolyam, feladat. Bizonyítsuk be, hogy a Riemann-függvény, ha 0, m m R (), ha, m, m 0, és a frakció nem redukálható, akkor 0, ha irracionális, minden racionális pontban szakadatlan és minden irracionálisnál folytonos. Döntés.

Matematika és Informatika Tanszék Felső matematika elemei Oktatási-módszertani komplexum középfokú szakképzésben tanulók számára, távtechnológiák alkalmazásával tanulnak Differenciálszámítási modul Összeállította:

MÓDSZERTANI ÚTMUTATÓK A FELADATFELADATOKHOZ A FELSŐ MATEMATIKA FOLYAMATÁBA

Az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományügyi Minisztériuma Szövetségi Állami Költségvetési Oktatási Felsőoktatási Intézet "Moszkvai Repülési Intézet (nemzeti kutatások

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Moszkvai Állami Műszaki Egyetem elnevezése N.E. Bauman alaptudományi kar matematikai modellezés tanszék À.Í. Santnikov,

Matematikai elemzés (v.) 1 Numerikus sorozat. 1.1 A számsor fogalma. Számsorok konvergenciája. Meghatározás. Vegyünk egy numerikus szekvenciát (a n), és alakítsuk ki a következő alak kifejezést: a 1 + a + ... + a

Egy komplex változó fogalma. Egy komplex változó határa és folytonossága. Adjunk meg két D és Δ komplex szám halmazot, és minden z D számhoz rendeljünk egy ω Δ számot, amelyet jelölünk

KONKRÉT INTEGRÁLIS. Integrált összegek és egy határozott integrál Adjunk egy y \u003d f () függvényt, amelyet a [, b] intervallumon határozunk meg, ahol< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

EGY VÁLTOZÓ FUNKCIÓINAK DIFERENCIÁJA. DERIVATÍV ALKALMAZÁSA A FUNKCIÓK VIZSGÁLATÁRA Származékok és magasabb rendű differenciálok fogalma Az f derivált (első rendű származéknak (vagy

10 Funkciók feltárása és grafikonok ábrázolása 10 Funkciók és grafikonok felépítése 1 Funkció növelése és csökkentése 1 x (1 1 MEGHATÁROZÁS Az y \u003d f (x) függvényt növekvőnek (nem csökkenőnek) nevezzük.

4. előadás Az elsőrendű differenciálegyenletek Általános fogalmak A differenciálegyenletek olyan egyenletek, amelyekben egy vagy több változó függvényei ismeretlenek, és egyenletekben

Kérdések a vizsga témájára való felkészüléshez. Lineáris algebra 1. Mi a meghatározó? Milyen transzformációk alatt nem változik a meghatározó érték? 2. Milyen esetekben egyenlő a determináns nulla? Mi következik

N ELŐADÁS A végtelenül kicsi és a végtelenül nagy függvények tulajdonságai Figyelemre méltó korlátok A függvények folytonossága A végtelen tulajdonságai A határ létezésének kritériumai 3 A végtelen nagy tulajdonságai 4 Először

AZ EGY VÁLTOZÓ FUNKCIÓINAK DIFERENCIALIZÁLÁSA A derivált fogalma, geometriai és fizikai jelentése A derivált fogalmához vezető problémák Az y f (x) egyenes S érintőjének meghatározása az A x pontban; f (

Lim 3 A függvények differenciálása 3 Egy függvény deriváltja Az f függvény deriváltját egy pontban a következő határértéknek nevezzük: f f df f "d, ahol f" és df d jelölés a deriváltra A derivált megtalálásának művelete

N.E. nevét viselő Moszkvai Állami Műszaki Egyetem ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Bauman alaptudományi kar matematikai modellezés tanszék À.Í. Santnikov, A.N. Grienko

Matematikai elemzés szakasz: Az FNP témájának integrálása: Második jellegű görbe vonalú integrál EG Pakhomova előadó 2013 10 10. Második görbe vonalú görbületi integrál a koordináták mentén

6. előadás 1 SA Lavrenchenko származékai 1 A derivált definíciói A függvény deriváltja a differenciálszámítás alapvető fogalma, amelyet a differenciálarány határaként definiálnak 11. definíció (derivált)

Funkciók ábrázolása 1. A függvény vizsgálatának terve grafikon felépítésekor 1. Keresse meg a függvény tartományát. Gyakran hasznos, ha egy függvény több értékét is figyelembe vesszük. Fedezze fel a függvény speciális tulajdonságait:

5. SZAKASZ Egy változó funkcióinak integrálszámítása Az Általános Oktatási Tanszék matematikatanárai által az elektronikus távoktatás rendszeréhez készített anyagok

9. előadás Magasabb rendű származékok és differenciálok, tulajdonságaik. A függvény extrém pontjai. Fermat és Rolle tételei. Legyen az y függvény megkülönböztethető valamilyen szakaszon [b]. Ebben az esetben annak származéka

5. előadás Az alapvető elemi függvények származékai Kivonat: Egy változó függvényének deriváltjának fizikai és geometriai értelmezését adjuk meg. Példák egy függvény és egy szabály differenciálására

Oktatási és Tudományügyi Minisztérium MOSZKVA ÁLLAM MŰSZAKI EGYETEM "MAMI" Tanszék "Felső matematika" MA Bodunov, SI Borodina, VV Pokazeev, BE Teush OI Tkachenko, DIFFERENCIÁLIS SZÁMÍTÁS

AZ OROSZORSZÁGI FÖDERÁCIÓ OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYügyi Minisztériuma GOU VPO "SIBERIAN STATE GEODESIC ACADEMY" OG Pavlovskaya EC Plyusnina MATEMATIKA Rész Több változó funkciói Módszertani utasítások

I Halmazok Alapfogalmak A halmazok leképezése A halmaz a matematika egyik alapfogalma, amely nincs meghatározva A halmaz elemből áll Bármely tetszőleges nemzetség elemének gyűjteménye

Több változó függvényeire bevezethető a határ és a folytonosság fogalma. A korlát és a folytonosság fogalma, amelyet korábban egy változó függvényére vezettünk be, különféle esetek ezeknek a fogalmaknak több változó függvényére.

Az A számot hívják függvényhatáry \u003d f (X)\u003d f (x 1, x 2, ... x n) amikor X hajlamos X-re (0) \u003d (x 1 (0), x 2 (0), ... x n (0)) (vagy in X pont (0) ), ha bármilyen, még önkényesen kicsi pozitív szám esetén is létezik olyan pozitív szám (attól függően, hogy \u003d  ()) oly módon, hogy minden olyan X pont esetében, amelyet X (0) -tól kisebb távolság választ el, , (kivéve talán az X pontot (0) , azok. for) az egyenlőtlenség igaz: | f (X) - A |<.

A függvény határát az X (0) pontban jelöljük
vagy f (X) А XX (0) vagy
.

Tehát az A szám az y \u003d f (X) függvény határa az XX (0) számára, ha bármelyiknél\u003e 0 van az X (0) pont szomszédsága, úgy, hogy a szomszédság minden pontjára az f (X ) az A pont szomszédságába lesz zárva a függvényértékek számtengelyén.

Több változó függvényeinek határainak kiszámítása sokkal bonyolultabb, mint egy változó függvényei esetén. Ha egy egyenesen csak két irány van, amely mentén az érvelés a határpontra hajolhat (jobbra és balra), akkor a magasabb dimenziójú terekben (még kétdimenziós térben is - síkban) végtelen sok ilyen irány van, és a függvény különböző irányú határai nem eshetnek egybe ... Bizonyos esetekben azonban az ilyen határértékek könnyen kiszámíthatók (lásd például Kremer tankönyvét, 407. o.).

A többváltozós függvényt hívjuk folyamatosegy ponton, ha ezen a ponton van meghatározva, akkor rajta van egy véges határ, és ez a határ egyenlő a függvény értékével ezen a ponton, azaz
.

Két változó függvényének folytonosságának geometriai jelentése, hogy ennek a függvénynek a grafikonja szilárd felület.

Több változó függvényeinek részleges deriváltjai

Vegyük az X \u003d (x 1, x 2, ... x n) pontot. Adjuk meg az x 1 argumentumnak az x 1 növekményét, az x 2 argumentumnak az x 2 növekményét stb., Az x n argumentumnak pedig az x n növekményét; akkor a z \u003d f (x) függvény megkapja a z \u003d f (x 1 + x 1, x 2 + x 2, ... x n + x n) -f (X) növekményt. Ezt a mennyiséget nevezzük teljes növekményfüggvény az X pontban. Ha csak az egyik argumentum növekményét állítjuk be, akkor a függvény eredő növekményeit magán... Például a ,,, magán növekmény.

Általános esetben a függvény teljes növekménye nem egyenlő a hányados összegével, bár néha előfordulhat ilyen helyzet.

Keressük meg például a z \u003d 1 / (x 1 x 2) függvény hányadosait és teljes növekményét.

Az x 1 argumentum részleges növekménye a következő lesz:

Az x 2 argumentum részleges növekménye a következő lesz:

A teljes növekmény:

Megmutatható, hogy ebben a példában a résznövekmények összege nem egyenlő az z függvény teljes növekményével:

Részleges származéktöbb változó függvényét z \u003d f (X) a függvény megfelelő részleges növekményének és a figyelembe vett argumentum növekedésének arányának határának nevezzük, mivel ez utóbbi nullára hajlik (ha ez a határ létezik):

A parciális derivált az vagy z / x j.

A részleges derivatívák definíciójából az következik, hogy a z / x j derivált megtalálásához az összes-változó argumentumot állandónak kell tekinteni, kivéve az egy -x j-t.

Különösen, ha z két x és y változó függvénye (z \u003d f (x, y)), akkor x-hez viszonyított parciális deriváltja
, és annak megtalálásához az y argumentumot állandónak kell tekinteni. A parciális derivált z egyenlő
, és annak megtalálásához az x argumentumot állandónak kell tekinteni.

Keressük meg például a következő függvények részleges származékait:

1. példa.z \u003d xlny + y / x

Az x vonatkozásában a parciális derivált megtalálásához y-t tekintünk állandónak. Ezután, z x "\u003d lny * (x)" + y * (1 / x) "\u003d lny + y * (- 1) * x -2 \u003d lny - y / (x 2).

Hasonlóképpen megkülönböztetjük ezt a függvényt y vonatkozásában, feltételezve, hogy x állandó: z y "\u003d x (lny)" + (1 / x) * (y) "\u003d x / y + 1 / x

2. példa.z \u003d x y

Az x vonatkozásában a parciális derivált egy hatványfüggvény származéka, azaz z x "\u003d yx y -1.

Az y vonatkozásában a parciális derivált az exponenciális függvény deriváltja, vagyis z y "\u003d x y lnx.

A részleges származék fogalmának nagyon világos gazdasági jelentése van. Mivel a közgazdaságtanban több változó függvényei egy bizonyos mennyiség több más tényezőtől való függését fejezik ki (néha idejét is beleértve), a részleges származék ennek a mennyiségnek az időbeli változásának sebességeként vagy egy másik vizsgált tényezőhöz viszonyítva működik, feltéve, hogy más tényezők nem változnak.

Tegyük fel például, hogy egy bolt fagylaltot árul - krémes 25 rubelért. darabonként, csokoládé 30 rubel. darabonként és pisztácia 32 rubelért. egy darab. Jelöljük x 1 - a fagylalt értékesítési volumene (db), X 2 - a csokoládé fagylalt értékesítési volumene (db), X 3 - a pisztácia fagylalt értékesítési volumene (db). Ezután az üzlet ilyen típusú fagylaltok értékesítéséből származó z (rubel) bevétele kiszámítható három változó függvényével: z \u003d 25x 1 + 30x 2 + 32x 3. Keressük meg ennek a függvénynek az x 1 szempontjából részleges deriváltját: \u003d 25. Mi ennek az értéknek a gazdasági jelentése? Megmutatja, hogy mennyi a bevétel növekedése a fagylaltértékesítés egyetlen változásával, feltéve, hogy más fagylaltfajták értékesítése változatlan szinten marad. Más szavakkal, ez a teljes bevétel változásának üteme a fagylaltértékesítés változásához viszonyítva. Hasonló érvelés hajtható végre mindkét más változó esetében.

A részleges származék fenti fogalma a következőkre utal az első rend részleges származéka... Bemutassuk a magasabb rendű parciális deriválások fogalmait.

Ha az első rend parciális deriváltjai differenciálható függvények, akkor megtalálhatók azok parciális deriváltjai, amelyeket ún a másodrendű részeredmények:
... Másodrendű parciális derivátumok felhasználhatók harmadrendű parciális deriváltak stb.

Megmutatható, hogy ha a z \u003d f (x, y) függvény másodrendű parciális deriváltjai egy ponton folytonosak, akkor ezen a ponton
.

III. FEJEZET Több változó funkciói 11. §. Több változó függvényének meghatározása. Az FNP határa és folytonossága 1. Több változó függvényének meghatározása DEFINÍCIÓ. Legyen X \u003d ((x 1, x 2,…, x n) | x i X i), U. Az f: X U függvényt n változó függvényének nevezzük. Írja le: u \u003d f (x 1, x 2, ..., x n), ahol f az a törvény, amely meghatározza az x 1, x 2, ..., x n és u közötti megfelelést. Az u \u003d f (x 1, x 2, ..., xn) értéket x 1 \u003d x 01, x 2 \u003d x 02, ..., xn \u003d x 0n értékre u \u003d f (x 01, x 02, ..., x formában írjuk. 0n) vagy

Nevezzük őket: X - a függvény tartománya (Jelölje: D (u)), x 1, x 2, ..., xn - argumentumok (független változók), U - az értéktartomány (Jelölje: E (u)), u (u U) - függő változó (függvény). AZ FNP JAVASLATÁNAK MÓDSZEREI 1) verbális; 2) táblázatos; 3) analitikus: a) explicit hozzárendelés (azaz az u \u003d f (x 1, x 2, ..., xn) képlettel) b) implicit hozzárendelés (azaz az F (x 1, x 2, ..., xn) egyenlettel , u) \u003d 0). 4) A z \u003d f (x, y) függvény grafikusan beállítható. MEGHATÁROZÁS. A z \u003d f (x, y) függvény grafikonja a térbeli pontok helye koordinátákkal (x; y; f (x, y)), (x, y) D (z). A z \u003d f (x, y) függvény grafikonját „z \u003d f (x, y) felületnek” is nevezzük.

A z \u003d f (x, y) függvény szintvonala a sík azon pontjainak (x, y) helye, amelyekben a függvény ugyanazt a C értéket veszi fel. 1) A szintvonal D (z) egyenes, amelynek f ( x, y) \u003d C. 2) A szintvonal a z \u003d f (x, y) függvény grafikonjának és a z \u003d C függvény grafikonjának metszésvonalának az xOy síkra való vetülete. A C értéket C 1-nek, C 1 + h-nak, C 1 + -nak állítjuk be. 2h, ..., C 1 + nh. Megkapjuk azokat a szintvonalakat, amelyek elhelyezkedése alapján meg lehet ítélni a függvény grafikonját, következésképpen a függvény változásának jellegét.

Az u \u003d f (x, y, z) függvény szintfelülete az Oxyz tér azon pontjainak geometriai helye, ahol a függvény ugyanazt az értéket veszi fel C. A szintfelület egyenlete: f (x, y, z) \u003d C. 2. Több változó függvényének határa Visszahívás: Az A számot az f (x) függvény határának nevezzük, mivel x x 0-ra hajlik (az f (x) függvény határa az x 0 pontban), ha\u003e 0\u003e 0, így ha x U * (x 0, ), majd f (x) U (A,). 0\u003e 0 oly módon, hogy ha x U * (x 0,), akkor f (x) U (A,). "\u003e

(x, y) M xOy; z \u003d f (x, y) \u003d f (M), ahol M D xOy. (x, y, z) M Oxyz u \u003d f (x, y, z) \u003d f (M), ahol M D Oxyz. Analógia útján az (x 1, x 2,…, x n) szekvenciát egy n dimenziós tér egy pontjának derékszögű koordinátáinak tekintjük, és n változó függvényét egy ebben a térben lévő pont függvényében veszi figyelembe. Jelölje: n - n-dimenziós tér, u \u003d f (M), ahol M (x 1, x 2, ..., x n) n - n változó függvénye.

Ha M 1 (x 1), M 2 (x 2) Ox, akkor a köztük lévő távolságot (jelölve: | M 1 M 2 |) a következő képlet határozza meg: Ha M 1 (x 1, y 1), M 2 ( x 2, y 2) xOy, akkor Ha M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) Oxyz, akkor ezeket a képleteket általánosítva feltételezzük, hogy az n pontok közötti távolság -dimenziós tér M 1 (x 1, x 2, ..., xn), M 2 (y 1, y 2, ..., yn) n

Legyen M 0 (x 01, x 02,…, x 0n) n. Az M 0 -tól kevesebb távolságra elhelyezkedő n pontok halmazát az M 0 pont szomszédságának nevezzük, és U-val (M 0,) jelöljük. Más szavakkal, az M 0 (x 01, x 02, ..., x 0n) szomszédság M pontokból áll (x 1, x 2, ..., xn), amelyekre az egyenlőtlenség vonatkozik. For n \u003d 1 U (M 0, ) \u003d (M Ox | | M 0 M | \u003d | x - x 0 |

Az M 0 n pont szomszédságát maga az M 0 pont nélkül definiáltnak nevezzük és U * -val jelöljük (M 0,). Határozzuk meg n az u \u003d f (M) változók függvényét az M 0 n pont valamely szomszédságában, kivéve talán magát M 0-t. MEGHATÁROZÁS. Az A számot az f (M) függvény határának nevezzük, mivel M hajlamos M 0-ra (az f (M) függvény határa az M 0 pontban), ha\u003e 0\u003e 0 olyan, hogy ha MU * (M 0,), akkor f (M) U (A,). Írja le általános esetben: A z \u003d f (x, y) függvényhez: 0\u003e 0 olyan, hogy ha M U * (M 0,), akkor f (M) U (A,). Írja le általános esetben: A z \u003d f (x, y) függvényhez: "\u003e

Megjegyzések. 1) Az M U * (M 0,) feltétel azt jelenti, hogy az egyenlőtlenség fennáll: 2) Az f (M) U (A,) feltétel azt jelenti, hogy f (M) esetén az egyenlőtlenség | f (M) - A |

0\u003e 0 oly módon, hogy ha M U (M 0,) "title \u003d" (! LANG: 3. Több változó függvényének folytonossága Legyen u \u003d f (M) az M 0 n néhány szomszédságában. FOGALOMMEGHATÁROZÁS 1. f (M) függvény folytonosnak nevezzük az M 0 pontban, ha az egyenlőség fennáll, vagy más szavakkal, ha\u003e 0\u003e 0 oly módon, hogy ha M U (M 0,)" class="link_thumb"> 12 !} 3. Több változó függvényének folytonossága Adja meg u \u003d f (M) bizonyos M 0 n szomszédságban. MEGHATÁROZÁS 1. Az f (M) függvényt folytonosnak nevezzük az M 0 pontban, ha az egyenlőség fennáll, vagy más szavakkal, ha\u003e 0\u003e 0 oly módon, hogy ha M U (M 0,) (azaz | MM 0 | 0\u003e 0 ilyen , hogy ha M U (M 0,) "\u003e 0\u003e 0 olyan, hogy ha M U (M 0,) (azaz | MM 0 | 0\u003e 0 olyan, hogy ha M U (M 0,)" cím \u003d " (! LANG: 3. Több változó függvényének folytonossága Legyen meghatározva u \u003d f (M) bizonyos szomszédságokban M 0 n. MEGHATÁROZÁS 1. Az f (M) függvényt folytonosnak nevezzük az M 0 pontban, ha az egyenlőség igaz, vagy más szavakkal, ha\u003e 0 \u003e 0 olyan, hogy ha M U (M 0,)"> title="3. Több változó függvényének folytonossága Adja meg u \u003d f (M) bizonyos M 0 n szomszédságban. MEGHATÁROZÁS 1. Az f (M) függvényt folytonosnak nevezzük az M 0 pontban, ha az egyenlőség igaz, vagy más szavakkal, ha\u003e 0\u003e 0 oly módon, hogy ha M U (M 0,)">!}

Ha az u \u003d f (M) függvény az M 0 pont valamilyen szomszédságában van definiálva (kivéve talán magát az M 0-t), de ezen a ponton nem folytonos, akkor az M 0 pontban megszakítónak nevezzük, és maga az M 0 pont töréspont. Legyen G néhány ponthalmaz n-ben és M 0 G-ben. Az M 0 pontot G halmaz belső pontjának nevezzük, ha U (M 0,) G. Egy halmazt, amelynek minden pontja belső, nyitottnak nevezzük. Az M 0 pontot akkor nevezzük egy G halmaz határpontjának, ha annak bármelyik szomszédságában van G-ból származó pont és G-hez nem tartozó pont. A G halmaz összes határpontjának halmazát határának nevezzük. A határát tartalmazó halmazt zártnak nevezzük.

A G halmazt akkor hívjuk összekapcsoltnak, ha bármelyik két pontja összekapcsolható egy folytonos görbével, amely e halmaz pontjaiból áll. Megjegyzés. Az n-dimenziós térben folytonos görbe az M (x 1, x 2, ..., xn) pontok helye, amelyek koordinátái kielégítik az x 1 \u003d x 1 (t), x 2 \u003d x 2 (t),…, xn \u003d egyenleteket xn (t), ahol x 1 \u003d x 1 (t), x 2 \u003d x 2 (t),…, xn \u003d xn (t) a t (;) paraméter folyamatos függvényei. A csatlakoztatott nyitott halmazokat régiónak nevezzük. Az összekapcsolt zárt halmazt zárt régiónak nevezzük. Egy olyan tartományt, amely teljes egészében az O pont (0,0, ..., 0) szomszédságában található, korlátoltnak nevezzük.

TÉTEL (a Weierstrass és a Cauchy tétel analógja az FNP számára). Ha az n \u003d u (f) (M) változó függvénye folytonos egy zárt és korlátozott D tartományban, akkor 1) korlátozott; 2) eléri maximális és minimális értékét D-ben; 3) az összes közbenső értéket bármelyik értéke közé veszi.

12. bek. Részleges derivatívák Az egyértelműség kedvéért a továbbiakban az összes definíciót és állítást 2 (vagy 3) változó függvényére fogjuk megfogalmazni. Természetes módon általánosítják a nagyobb számú ismeretlen esetét. Legyen z \u003d f (x, y), D (z) \u003d D xOy, D legyen nyitott terület. Legyen M 0 (x 0, y 0) D. Adjon x 0-nak x növekményt, így az y 0 értéke változatlan marad (úgy, hogy az M (x 0 + x, y 0) D pont). Ebben az esetben z \u003d f (x, y) x z (M 0) \u003d f (M) - f (M 0) \u003d f (x 0 + x, y 0) - f (x 0, y 0) növekményt kap. x z (M 0) az z \u003d f (x, y) függvény részleges növekményének nevezzük az M 0 (x 0, y 0) pontban szereplő x vonatkozásában.

Megjegyzések. 1) Megnevezéseket, és egész szimbólumként kell érteni, és nem két mennyiség hányadosaként. Külön z (x 0, y 0) és x kifejezéseknek nincs értelme. 2) jellemzi a z \u003d f (x, y) függvény változásának sebességét az M 0 (x 0, y 0) pontban szereplő x vonatkozásában (a részleges derivált fizikai jelentése x-hez viszonyítva). A z \u003d f (x, y) függvény parciális deriváltját az y változóhoz képest az M 0 (x 0, y 0) pontban hasonlóan definiáljuk:

A megfelelés (ek) a D 1 (D 2) D (f) -en definiált függvény. A z \u003d f (x, y) függvény részleges deriváltjának nevezzük az x (y) változó vonatkozásában, és jelöljük. A z \u003d f (x, y) függvény parciális deriváltjainak megtalálásának műveletét a z \u003d f (x, y) függvény differenciálásának nevezzük az x változóhoz képest. illetve y, ill.

Valójában a z \u003d f (x, y) függvény rendes deriváltja, amelyet az egyik x (illetve y) változó függvényének tekintünk, a másik változó állandó értékével. Ezért a részleges derivatívák számítását ugyanazon szabályok szerint hajtják végre, mint egy változó függvényére. Ebben az esetben az egyik változó állandónak tekinthető. PÉLDA. Keresse meg az f (x, y) \u003d x 2 + xy 2 + y 3 függvény x és y függvényében a parciális deriváltakat

KÉT VÁLTOZÓ függvényének parciális deriváltjainak geometriai érzéke. Hagyja, hogy a z \u003d f (x, y) függvénynek legyen egy részleges deriváltja az M-re vonatkozó x-hez képest (x 0, y 0). Legyen az S felület a z \u003d f (x, y) függvény grafikonja. Ezután hol van a P 0 (x 0, y 0, f (x 0, y 0)) pontban az S felület és az y \u003d y 0 sík metszésvonalához húzott érintő Ox tengelyéhez való dőlésszöge.

Több változó függvényének folytonossága

Vezessünk be egy fontos segédfogalmat - egy adott pont szomszédságának fogalmát.

Szomszédság sugár r pontokat M 0 (x 0 , nál nél 0) az összes pont halmaza ( x, nál nél) kielégíti az egyenlőtlenséget, azaz a sugár körében elhelyezkedő összes pont összegyűjtése r pont közepén M 0 (x 0 , nál nél 0).

Ha azt mondjuk, hogy a függvény f(x, nál nél) rendelkezik valamilyen tulajdonsággal «a pont közelében ( x 0 , nál nél 0) "vagy" a pont közelében ( x 0 , nál nél 0) ", akkor ez alatt azt értjük, hogy van egy ilyen kör a középponttal ( x 0 , nál nél 0), amelynek minden pontján ez a funkció rendelkezik a jelzett tulajdonsággal.

Mielőtt megvizsgálnánk több változó függvényének folytonosságának fogalmát, vegyük fontolóra több változó függvényének határa fogalmát.

Hagyja a függvényt

z = f(x, nál nél),

4. meghatározás Szám ÉS a függvény határának nevezzük f(x, nál nél) próbálkozásakor M(x, nál nél) lényegre törő M 0 (x 0 , nál nél 0) ha minden e\u003e 0 számra van ilyen szám r \u003e 0, amely minden pontra M(x, nál nél), amelyekre az egyenlőtlenség vonatkozik, az egyenlőtlenség

.

Ha a szám ÉS a függvény határa f(x, nál nél) nál nél M(x, nál nél) ® M 0 (x 0 , nál nél 0), akkor írnak

.

5. meghatározás Legyen a lényeg M 0 (x 0 , nál nél 0) a függvény tartományába tartozik f(x, nál nél). Funkció z \u003d f(x, nál nél) ponton folytonosnak nevezzük M 0 (x 0 , nál nél 0) ha az egyenlőség

, (2)

és mélabús M(x, nál nél) a lényegre törekszik M 0 (x 0 , nál nél 0) tetszőleges módon, miközben a függvénydefiníció tartományában marad.

Ha jelöljük x \u003d x 0 + D x, nál nél = nál nél 0 + D nál nél, akkor a (2) egyenlőség a következőképpen írható át:

(3)

Jelöljük ... Amikor D x ® 0 és D nál nél ® 0 Dr ® 0, és fordítva, ha Dr ® 0, akkor D x ® 0 és D nál nél ® 0.

Egy függvényt, amely egy adott régió minden pontján folyamatos, hívunk folyamatos a terepen.

Ha valamikor N(x 0 , nál nél 0) a (2) feltétel nem teljesül, akkor a pont N(x 0 , nál nél 0) a függvény folytonossági pontjának nevezzük z \u003d f(x, nál nél). A (3) feltétel nem teljesülhet, például a következő esetekben:

1) z \u003d f(x, nál nél) bizonyos szomszédság minden pontján meg van határozva N(x 0 , nál nél 0), kivéve magát a pontot N(x 0 , nál nél 0);

2) funkció z \u003d f(x, nál nél) a pont szomszédságának minden pontján meg van határozva N(x 0 , nál nél 0), de nincs korlátozás;

3) a függvény a szomszédság minden pontján meg van határozva N(x 0 , nál nél 0) és van egy határ, de .

12. példa Funkció z = x 2 + nál nél A 2 folytonos bármilyen érték esetén x és nál nél, azaz bárhol a gépen Ooh.

Valóban, bármi legyen is a szám x és nál nél, D x és D nál nél, nekünk van

ennélfogva, .

Mondjunk példát egy megszakító függvényre.

13. példa A funkció a pont kivételével mindenhol meg van határozva x = 0, nál nél = 0.

Vegye figyelembe az értékeket z egyenes vonal mentén y \u003d kx (k \u003d const). Nyilvánvalóan ezen a vonalon

,

azok. funkció z az origón áthaladó bármely egyenes mentén a lejtéstől függően állandó értéket tart fenn k egyenes. Ezért az origót különböző utakon közelítve különböző határértékeket kapunk, ami azt jelenti, hogy a függvény f(x, nál nél) nincs korlátozása, amikor a ( x, nál nél) a felszínen Ooh az eredetre hajlamos. Ezért a függvény ezen a ponton szakaszos. Ez a funkció nem bővíthető ki az origónál, így folytonos lesz. Könnyen belátható viszont, hogy más pontokon ez a funkció folyamatos.

Jelöljünk néhány változó egy zárt és korlátozott tartományban folytonos függvényének néhány fontos tulajdonságát. Ezek a tulajdonságok hasonlítanak egy változó intervallumon belüli folyamatos függvényének tulajdonságaira.

1. tulajdonság... Ha a függvény f(x, nál nél, ...) zárt és korlátozott tartományban meghatározott és folyamatos D, majd a környéken D van legalább egy pont N(x 0 , nál nél 0, ...) olyan, hogy a régió összes többi pontjára a reláció

f(x 0 , nál nél 0 , …) ³ f(x, nál nél, …),

és legalább egy pontot R(x 1 , nál nél 1, ...) olyan, hogy a régió összes többi pontjára a kapcsolat

f(x 1 , nál nél 1, ...) £ f(x, nál nél, …).

Funkció értéke f(x 0 , nál nél 0 , …) = M hívni fog a legnagyobb érték funkciókat f(x, nál nél,…) Régiójában Dés az érték f(x 1 , nál nél 1 , …) = t – a legkisebb érték.

Ez a tulajdonság a következőképpen van megfogalmazva. Folyamatos működés zárt, korlátozott területen D legalább egyszer eléri a legmagasabb értéket M és a legkisebb érték t.

2. tulajdonság. Ha a függvény f(x, nál nél, ...) zárt és határolt régióban folyamatos D és ha M és t - a függvény legnagyobb és legkisebb értéke f(x, nál nél, ...) a tartományban, akkor tetszőleges m feltételnek megfelelő szám esetén t < m < M, van egy ilyen pont a régióban R *(x * , nál nél *, ...) hogy az egyenlőség f(x * , nál nél *, ...) \u003d m.

Tulajdon következménye 2. Ha a függvény f(x, nál nél, ...) egy zárt, korlátozott régióban folytonos és pozitív és negatív értékeket is felfog, akkor a régión belül vannak olyan pontok, ahol a függvény f(x, nál nél,…) Eltűnik.