Ebben a bekezdésben a pozitív kvadratikus formák különleges, de fontos osztályára összpontosítunk.

Meghatározás 3. A valódi négyzetes formát nem negatív (nem wit) hívják, ha bármilyen változók valós értéke

. (35)

Ebben az esetben az együtthatók szimmetrikus mátrixát pozitív szintű (hátrányosan félig definiált) nevezik.

Meghatározás 4. Az igazi kvadratikus formát pozitívan definiált (hátrányosan definiált), ha a változók valós értékeinek nem egyenlő nulla értékével

. (36)

Ebben az esetben a mátrixot pozitívan definiált (hátrányosan definiált) is nevezik.

Az osztály pozitívan definiált (negatívan meghatározott) formái része az osztály a nem-negatív (ennek megfelelően lakos) formák.

Hagyjon egy nem negatív formát. Képzeld el, hogy a független négyzetek összege:

. (37)

Ebben a képviseletben minden négyzetnek pozitívnak kell lennie:

. (38)

Valóban, ha van ilyen, akkor lehet kiválasztani olyan értékek, amelyekben

De akkor, ezeknél az értékekkel a változók negatív értékkelnének, ami az állapot alatt lehetetlen. Nyilvánvaló, hogy vissza (37) és (38) pozitívnak kell lennie az űrlaphoz.

Így a nem negatív négyzetes formát egyenlőtlenségek jellemzik.

Legyen most egy pozitívan meghatározott forma. Ezután nem negatív forma. Ezért a formában (37) fog képviselni, ahol mindenki pozitív. A formanyomtatvány pozitív határozatából következik. Valójában, abban az esetben, ha nem egyenlő, hogy egyidejűleg nulla értékek, amelyeken mindenki nulla. De aztán erőt (37), azzal jellemezve, hogy ellentmond a feltételnek (36).

Könnyű látni, hogy és vissza, ha (37) és minden pozitív, akkor pozitívan meghatározott forma.

Más szóval, egy nem negatív forma, majd csak akkor, ha nem határozható meg, ha nem egyedülálló.

A következő tétel kritériumot biztosít az űrlap pozitív határozatának az egyenlőtlenségek formájában, amelyeknek meg kell felelniük az űrlap együtthatókat. Ugyanakkor a mátrix egymást követő fő kiskorúak megnevezéseit az előző bekezdésekben használták:

.

Tétel 3. Annak érdekében, hogy a négyzetes formanyomtatvány pozitívan meghatározható legyen, szükség van, és elegendő az egyenlőtlenségek végrehajtása.

Bizonyíték. A feltételek megfelelősége (39) közvetlenül a Jacobi (28) képletéből kell származnia. A feltételek (39) a következőképpen alakul ki. Az űrlap pozitív határozatából, a "vágott" formák pozitív biztonsága

.

De akkor mindezek a formáknak inkoncolnak kell lenniük, vagyis az,

Most van lehetőségünk arra, hogy kihasználjuk a Yakobi képletet (28) (mikor). Mivel a képlet jobb oldalán minden négyzetnek pozitívnak kell lennie,

Innen követi az egyenlőtlenségeket (39). A tétel bizonyítható.

Mivel minden fő kisebb mátrix, megfelelő újraszámítási változókkal, a bal felső sarokban helyezhető el, majd megtörténik

Corollary. Egy pozitívan meghatározott négyzetes formában az együttható mátrix összes főbb kisebbsége pozitív:

Megjegyzés. A következetes főbb kisebbek nem negativitásából

nem követi az űrlap nem negatív képességét. Valóban űrlap

,

azzal, hogy , kielégíti a feltételeket, de nem negatív.

A következő azonban

4. tétel 4. Annak érdekében, hogy a négyzetes forma nem negatív legyen, szükség van rá, hogy biztosítsák, hogy az együtthatók mátrixának minden főbb kisebbsége nem negatív legyen:

Bizonyíték. Bemutatjuk a segédformát jogellenesek, szükség van és elegendő ahhoz, hogy egyenlőtlenség legyen

Négyzetes formaf (x 1, x 2, ..., xn) az N változókból az összeget, amelynek mindegyik tagja az egyik változó, vagy két különböző változó termékének négyzete: , x 2, ..., x n) \u003d (egy ij \u003d a ji).

Az ilyen együtthatók közül a mátrix négyzetes formájú mátrixnak nevezhető. Mindig az szimmetrikusmátrix (azaz mátrix, szimmetrikus a fő átlós, egy ij \u003d egy ji).

A mátrix rekordjában a kvadratikus forma f (x) \u003d x t tengely formájában van, ahol

Valóban

Például írjon kvadratikus formát a mátrix formában.

Ehhez keresse meg a négyzetes formájú mátrixot. Átlós elemei egyenlőek a változók négyzetei közötti együtthatókkal, és a fennmaradó elemek a négyzetes forma megfelelő együtthatók. ebből kifolyólag

Hagyjuk, hogy az X változók mátrix oszlopát az Y mátrix oszlop nondegenerátum lineáris konverziójával állítjuk elő, azaz X \u003d CY, ahol C az N-TH-rend nem degenerált mátrixja. Ezután a négyzetes f (x) \u003d x t ah \u003d (cy) t a (cy) \u003d (y t c t) a (cy) \u003d y t (c t AC) y.

Így egy nondegenerátum lineáris transzformációval kvadratikus formájú mátrixdal rendelkezik: A * \u003d C T AC.

Például megtaláljuk az F (y 1, y 2) négyzetes formát (x 1, x 2) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 lineáris átalakítás.

A kvadratikus formát hívják kánoni(Van canonikus fajok) Ha az összes együtthatók IJ \u003d 0 a ≠ j, i.E.f (x 1, x 2, ..., x n) \u003d A 11 x 1 2 + A 22 x 2 2 + ... + A NN XN 2 \u003d.

A mátrix átló.

Temető(A bizonyíték itt nincs megadva). Bármilyen négyzetes forma kapható kanonikus formájú, nondegenerátum lineáris transzformációval.

Például adjuk a kanonikus fajoknak az F (x 1, x 2, x 3) kvadratikus alakját \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Ehhez először rendeljen egy teljes négyzetet egy X 1 változóval:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - X 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Most egy teljes négyzetet oszt ki egy x 2 változóval:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) - (5/100) x 3 2 \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2- (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Ezután a nem degenerált lineáris transzformáció y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 és y 3 \u003d x 3 elvezetés ennek hasáb alakját a kanonikus formában (Y 1, Y 2, Y 3 ) \u003d 2Y 1 2 - 5Y 2 2 - (1/20) Y 3 2.

Ne feledje, hogy a kvadratikus forma kanonikus típusa kétértelműen határozható meg (egy és ugyanazt a kvadratikus formát lehet kapni a kanonikus formában különböző módon 1). Azonban a különböző módon kapott kanonikus formák számos közös tulajdonsággal rendelkeznek. Különösen, a komponensek száma a pozitív (negatív) együtthatókat egy kvadratikus formában nem függ a módszer, melynek során a formában, hogy az ilyen típusú (például, A szóban forgó példában mindig lesz két negatív és egy pozitív együttható). Ezt a tulajdonságot hívják a négyzetes formák tehetetlenségi törvénye.

Meggyőződésem erről, más módon, ugyanazt a kvadratikus formát vezetni a kanonikus formához. Elkezdjük az átalakulást az x 2: f (x 1, x 2, x 3) változóból \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - X 2 x 3 \u003d -3X 2 2 - X 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d -3 (x 2 2 - - 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2 / 3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \u003d -3 (x 2- (1/6) x 3 - (2 / 3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \u003d f (y 1, y 2, y 3) \u003d -3Y 1 2 - -3Y 2 2 + 2Y 3 2, ahol 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6) x 3 és y 3 \u003d x 1. Itt van egy pozitív együttható 2, TY 3 és két negatív együttható (-3) előny 1 és 2 (és egy másik módszerrel, pozitív 2-es koefficienst kaptunk 2, Ty 1 és két negatív - (-5), használva 2 és (- 1/20), TY 3).

Azt is meg kell jegyezni, hogy a kvadratikus forma mátrixának rangja rank Quadratikus formaegyenlő a nem nulla kanonikus formanyomtatványok számával, és nem változik lineáris transzformációkkal.

Az F (x) négyzetes formájú pozitívan(negatív)meghatározottHa az összes olyan változó értéke, amely nem egyenlő egyidejűleg nulla, akkor pozitív, azaz az i.e.f (x)\u003e 0 (negatív, i.e.f (x)< 0).

Például egy négyzet alakú f 1 (x) \u003d x 1 2 + x 2 2 pozitívan meghatározható, mert a négyzetek összegét jelenti, és a 2 (x) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 négyzet alakú csatorna negatívan definiálódik, mert A 2 (x) \u003d - (x 1 - x 2) 2 formában ábrázolható.

A legtöbb gyakorlati helyzetben kissé bonyolultabb a négyzetes forma meghatározása, így ez az alábbi tételek egyikét használja (bizonyíték nélkül megfogalmazzuk őket).

Temető. A négyzetes forma pozitív (negatív) meghatározható, ha és csak akkor, ha a mátrixának minden eigenvaluje pozitív (negatív).

Tétel (SylVester kritérium). A kvadratikus formát pozitívan definiálják, és csak akkor, ha a mátrix összes főbbsége pozitív.

A fő (szögletes) kisebbaz AN-TH megrendelés mátrixának k-th rendjét a mátrix determinánsnak nevezik, amely az A () Mátrix () mátrix elsődleges és oszlopaiból áll.

Fontos tudni, hogy negatívan meghatározott négyzetes formák, a jelek a fő kisebbségi alternatív, a kisebb, az elsőrendű negatívnak kell lennie.

Például vizsgáljuk az F (x 1, x 2) kvadratikus alakját \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3 2 2.

\u003d (2-) * * (3-) - 4 \u003d (6 - 2- 3 +  2) - 4 \u003d  2 - 5 + 2 \u003d 0; D \u003d 25-8 \u003d 17; . Következésképpen a négyzetes formanyomtatványt pozitívan határozzák meg.

1. módszer. A mátrix első sorrendjének első sora A  1 \u003d a 11 \u003d 2\u003e 0. A második soros minimum 2 \u003d 6 - 4 \u003d 2\u003e 0. Következésképpen a Sylvester kritériuma szerint , a kvadratikus formát pozitívan határozzák meg.

Vizsgáljuk meg egy másik négyzetes alak értelmességét, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

1. módszer A kvadratikus mátrix A \u003d. A jellemző egyenlet látható lesz \u003d (-2-) * * (- 3-) - 4 \u003d (6 + 2 + 3 +  2) - 4 \u003d  2 + 5 + 2 \u003d 0; D \u003d 25-8 \u003d 17 ; . Következésképpen a négyzetes forma negatívan definiálódik.

1. módszer. A mátrix első sorrendjének vezetője a  1 \u003d a 11 \u003d -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Következésképpen, kritérium szerint a Sylvester, a kvadratikus alak negatívan meghatározva (a jelek a fő bányászok alternatív, kezdve egy mínusz).

És egy másik példaként vizsgáljuk az F (x 1, x 2) kvadratikus alakját \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

1. módszer A kvadratikus mátrix A \u003d. A jellemző egyenlet látható lesz \u003d (2-) * * (- 3-) - 4 \u003d (-6 - 2 + 3 +  2) - 4 \u003d  2 + - 10 \u003d 0; D \u003d 1 + 40 \u003d 41; . Az egyik ilyen szám negatív, a másik pozitív. Saját értékeik jelei eltérőek. Következésképpen a négyzetes forma nem lehet negatív, sem pozitívan meghatározva, azaz Ez a négyzetes forma nem különbözik (bármely jel értékeit).

1. módszer. A mátrix első sorrendje A  1 \u003d a 11 \u003d 2\u003e 0. A második soros fő kiskorú 2 \u003d -6 - 4 \u003d -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

A kvadratikus forma kvadratikus formájú 1-tempójú módszere kényelmes lehet használni, ha a változók négyzetei alatt a nem-koefficiensek találhatók. Ha nincs, az átalakítás még mindig lehetséges, de más technikát kell használnia. Például (x 1, x 2) \u003d 2x 1 x 2 \u003d x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - X 1 2 - X 2 2 \u003d

\u003d (x 1 + x 2) 2 - X 1 2 - X 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2; 4x 1 x 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - (x 1 - x 2) 2; f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 x 2 \u003d (1/2) * * (x 1 + x 2) ) 2 - (1/2) * (x 1 - x 2) 2 \u003d f (y 1, y 2) \u003d (1/2) y 1 2 - (1/2) Y 2 2, ahol 1 \u003d x 1 + x 2, AY 2 \u003d X 1 - X 2.

Pozitívan meghatározott négyszögletes formák

Meghatározás. Kvadratikus forma. n. Ismeretlenek hívják pozitívan meghatározvaHa rangja megegyezik a pozitív tehetetlenségi indexekkel, és egyenlő az ismeretlen számmal.

Tétel.A kvadratikus formát pozitívan határozzák meg, ha és csak akkor, ha a változók bármely nem nulla értékét pozitív értékeket vesz igénybe.

Bizonyíték.Hagyja, hogy az ismeretlen négyzetes formaérzékeny lineáris átalakítás

normál

.

Bármely nem-nulla változó értékre, legalább az egyik szám nulla, vagyis változott, azaz . A tétel szükségessége bizonyítható.

Tegyük fel, hogy a négyzetes forma pozitív értékeket vesz igénybe bármely nem nulla változókészleten, de pozitív tehetetlenségi indexe nem degenerált lineáris átalakítás

normál formára adjuk. Az általánosság korlátozása nélkül feltételezhetjük, hogy ebben a normál formában az utolsó változó négyzete hiányzik, vagy mínusz jelzéssel, azaz. hol vagy. Tegyük fel, hogy a lineáris egyenletek rendszerének megoldása során kapott változók nonzero-készlete

Ebben a rendszerben az egyenletek száma megegyezik a változók számával, és a rendszer determináns eltér a nullától. A Cramer tételen a rendszer egyetlen megoldással rendelkezik, és nem nulla. Ehhez a készlethez. Ellentmondás feltétel nélkül. Ellentmondást kapunk azzal a feltevéssel, hogy a tétel megfelelősége bizonyítható.

E kritérium alkalmazásával lehetetlen telepíteni az együtthatókat, a négyzetes formanyomtatványt pozitívan határozzák meg. A kérdésre adott válasz egy másik tételt ad, amelynek megfogalmazása egy másik koncepciót vezetünk be. Fő átlós kiskorú mátrix - Ezek a kiskorúak a bal felső sarokban találhatóak:

, , , … , .

Tétel.A kvadratikus formát pozitívan határozzák meg, ha és csak akkor, ha minden fő átlós kiskorú pozitív.

Bizonyítékvégezzük el a teljes matematikai indukció módját a számmal n.négyzetes változók f.

Hipotézis indukció. Tegyük fel, hogy kvadratikus formák esetében a változó számának kevesebb n. A nyilatkozat igaz.

Fontolja meg a négyzetes űrlapot n.változók. Egy konzolban gyűjtünk össze az összes tartalmazó feltételeket. A fennmaradó alkatrészek négyzetes formát képeznek a változóktól. Az indukció hipotézise szerint az állítás igaz.

Tegyük fel, hogy a kvadratikus forma pozitívan határozható meg. Ezután a kvadratikus formát pozitívan határozzák meg. Ha feltételezzük, hogy ez nem így van, akkor nincs változó értékű készlet , amelyekre és ennek megfelelően, És ez ellentétes azzal a ténnyel, hogy a négyzetes formát pozitívan határozzák meg. Az indukciós hipotézisen a kvadratikus forma minden fő átlós kiskorúsága pozitív, vagyis A kvadratikus forma első főbb kiskorúak f. pozitív. A kvadratikus forma utolsó fő kiskora – Ez a módszer a mátrix. Ez a meghatározó pozitív, mivel a jele egybeesik a normál formájának mátrixjának jelével, azaz egyetlen mátrix azonosítójának jele.

Legyen minden főátlójában kiskorúak a kvadratikus alak pozitív, akkor az összes főátlójában kiskorúak másodfokú formában egyenlőség pozitív. . Az indukciós feltevés szerint a kvadratikus alak pozitív meghatározott, így van egy nem degenerált lineáris transzformáció a változók vezet az űrlapot az összeg a négyzetének összege új változók. Ez a lineáris transzformáció kiegészíthető az összes változó nondegenerátum-lineáris átalakításához. Az átalakítás négyzetes formáját az űrlap adják meg

A kvadratikus formát homogén polinomnak nevezzük több változó 2. fokozatának.

A változók négyzetes formája kétféle kifejezésből áll: változók négyzetei és párjaik egyes együtthatókkal együtt dolgoznak. A négyzetes formanyomtatványt a következő négyzetséme formájában fogadják el:

Az ilyen tagok párja ugyanazokkal az együtthatókkal van rögzítve, így mindegyikük a változók megfelelő termékével való együttható fele. Így minden négyzetes forma természetesen kötődik az együtthatók mátrixjához, amely szimmetrikus.

A kvadratikus forma kényelmes a következő mátrix rekordban. Jelöli X oszlopot az x-ről - egy karakterlánc, amely az X-vel átültetett mátrix

A kvadratikus formákat a matematika és alkalmazásai számos szakaszában találják meg.

A számok elméletében és a kristályosodás során a kvadratikus formákat úgy tekintik, hogy a változók csak egész értékeket vesznek igénybe. Az analitikai geometriában a kvadratikus forma a sorrend görbének (vagy felületének) egyenletének része. A mechanika és a fizika, a kvadratikus forma kifejezi a rendszer kinetikus energiáját az általános sebességek komponensei révén, de továbbá a kvadratikus formák vizsgálata szükséges, és az analízisben, amikor számos változó funkcióit tanulmányozza, Azon fontos kérdések, amelyeknek fontos megismerése, hogyan oldja meg ezt a funkciót ezen a pont közelében, eltér a közeledő lineáris funkciójától. Az ilyen típusú feladatnak egy példa egy függvény, amely maximum és minimum.

Tekintsük például a tanulmány feladata, maximum és minimálisan két változó függvényében, folyamatos magánszármazékok megrendelésre. A pont előfeltétele megadja a maximális vagy a minimális funkciót a nulla sajátos származékok közötti egyenlőség, amely azt jelenti, hogy ezt az állapotot elvégzik. Nyomja meg az x változó és a kis lépésekben, és fontolja meg a funkció megfelelő növekedését a Taylor formula szerint, ez a növekedés kis magasabb megrendelések pontossága megegyezik a számított második származékok értékével A ponton, ha ez a négyzetes forma pozitív minden értéknél, és (kivéve), akkor a funkciónak minimális, ha negatív, akkor a maximális. Végül, ha az űrlap elfogadja és pozitív és negatív értékeket, akkor nem lesz maximális, minimum. Hasonlóképpen, nagyobb számú változókból származó funkciókat is megvizsgálják.

A kvadratikus formák tanulmányozása elsősorban az egyenértékűségi problémák vizsgálata a lineáris változó transzformációhoz képest. A két négyzetes formát egyenértékűnek nevezik, ha az egyikük lefordítható a másik átalakításával. Az egyenértékűség problémájával az űrlap hozzátartozásának problémája szorosan kapcsolódik. Talán a legegyszerűbb elme átalakítása.

A kvadratikus formákhoz kapcsolódó különböző kérdésekben figyelembe kell venni a változók megengedett megengedett átalakulását is.

Az elemzés elemzésében a változók bármely nem szinguláris transzformációit alkalmazzák; Az analitikai geometria céljaira az ortogonális átalakulások a legnagyobb érdeklődés, vagyis azok, amelyek megfelelnek a Descartes-koordináták egy másik változóiból való áttérésnek. Végül a számok elméletében és a kristályosodás során az egész számú együtthatókkal rendelkező lineáris transzformációkat egy meghatározó anyaggal lehet tekinteni.

E feladatok közül kettőt vizsgálunk: a kvadratikus forma a legegyszerűbb formában bármely nem szinguláris transzformáció révén, és ugyanazt a kérdést az ortogonális transzformációk révén. Először is megtudjuk, hogy a kvadratikus formájú mátrix hogyan alakul át lineáris változókkal.

Hagyjuk, ahol A jelentése az űrlap-együtthatók szimmetrikus mátrix, az X - oszlop a változókból.

Legyen egy lineáris változók átalakítása rövidítéssel. Itt a jelöli a mátrix együtthatók Ennek az átalakulásnak, X jelentése egy oszlopot új változók. Ezután tehát az átalakított négyzetes formájú mátrix

A mátrix automatikusan kiderül, hogy szimmetrikus, ami könnyen ellenőrizhető. Így a feladat, hogy egy kvadratikus alak a legegyszerűbb típus megegyezik a feladat, hogy a legegyszerűbb szimmetrikus mátrix szorzással a bal és a jobb kölcsönösen átültette mátrixok.