Geometriyada ko'pincha uchburchaklarning tomonlari bilan bog'liq muammolar mavjud. Misol uchun, agar qolgan ikkitasi ma'lum bo'lsa, ko'pincha uchburchakning tomonini topish kerak bo'ladi.

Uchburchaklar teng yonli, teng yonli va yon tomonlari boʻlmagan. Barcha xilma-xillikdan, birinchi misol uchun biz to'rtburchakni tanlaymiz (bunday uchburchakda burchaklardan biri 90 °, unga qo'shni tomonlar oyoqlar, uchinchisi esa gipotenuza deb ataladi).

Maqola bo'ylab tez navigatsiya

To'g'ri burchakli uchburchak tomonlarining uzunligi

Muammoning yechimi buyuk matematik Pifagorning teoremasidan kelib chiqadi. Unda aytilishicha, oyoqlarning kvadratlari yig'indisi to'g'ri uchburchak uning gipotenuzasi kvadratiga teng: a² + b² = c²

• Oyoq uzunligi a ning kvadratini toping;
• b oyoqning kvadratini toping;
• Biz ularni birga qo'shamiz;
• Olingan natijadan biz ikkinchi darajali ildizni chiqaramiz.

Misol: a = 4, b = 3, c =?

• a² = 4² = 16;
• b² = 3² = 9;
• 16+9=25;
• √25 = 5. Ya'ni, bu uchburchakning gipotenuzasi uzunligi 5 ga teng.

Agar uchburchak bo'lmasa to'g'ri burchak, keyin ikki tomonning uzunligi etarli emas. Bu uchinchi parametrni talab qiladi: bu burchak, uchburchak maydonining balandligi, unda yozilgan doira radiusi va boshqalar bo'lishi mumkin.

Agar perimetri ma'lum bo'lsa

Bunday holda, vazifa yanada osonlashadi. Perimetr (P) uchburchakning barcha tomonlari yig'indisidir: P = a + b + c. Shunday qilib, oddiy matematik tenglamani yechish orqali biz natijaga erishamiz.

Misol: P = 18, a = 7, b = 6, c =?

1) Barcha ma'lum parametrlarni teng belgisidan bir tomonga o'tkazish orqali tenglamani yeching:

2) o'rniga qiymatlarni qo'ying va uchinchi tomonni hisoblang:

c = 18-7-6 = 5, jami: uchburchakning uchinchi tomoni 5 ga teng.

Agar burchak ma'lum bo'lsa

Uchburchakning uchinchi tomonini burchak va boshqa ikkita tomoni bilan hisoblash uchun yechim trigonometrik tenglamani hisoblashga keltiriladi. Uchburchakning tomonlari va burchak sinusi o'rtasidagi munosabatni bilib, uchinchi tomonni hisoblash oson. Buni amalga oshirish uchun siz ikkala tomonni kvadratga qo'yishingiz va ularning natijalarini birgalikda qo'shishingiz kerak. Keyin tomonlarning hosil bo'lgan ko'paytmasidan burchakning kosinusiga ko'paytiring: C = √ (a² + b²-a * b * kosa)

Agar hudud ma'lum bo'lsa

Bunday holda, bitta formula etarli emas.

1) Birinchidan, sin g ni hisoblab chiqamiz, uni uchburchakning maydoni formulasidan ifodalaymiz:

sin g = 2S / (a ​​* b)

2) Quyidagi formuladan foydalanib, biz bir xil burchakning kosinusini hisoblaymiz:

sin² a + cos² a = 1

cos a = √ (1 - sin² a) = √ (1- (2S / (a ​​* b)) ²)

3) Va yana sinuslar teoremasidan foydalanamiz:

C = √ ((a² + b²) -a * b * kosa)

C = √ ((a² + b²) -a * b * √ (1- (S / (a ​​* b)) ²))

O'zgaruvchilarning qiymatlarini ushbu tenglamaga almashtirib, biz muammoga javob olamiz.

Uchburchakning ma'lum ma'lumotlarini kiriting

Yon a

Yon b

Yon c

A burchak gradusda

B burchagi darajalarda

C gradusdagi burchak

a tomonidagi median

Har bir tomon uchun median b

Har tomondan median c

Yon tomonga balandlik a

Yon tomonga balandlik b

Bir tomonning balandligi c

Vertex A koordinatalari

X Y

Vertex B koordinatalari

X Y

Vertex koordinatalari C

X Y

Uchburchakning maydoni S

Uchburchak tomonlarining yarim perimetri p

Sizga mumkin bo'lgan hamma narsani hisoblash imkonini beruvchi kalkulyatorni taqdim etamiz.

Shu narsaga e'tiboringizni qaratmoqchiman bu ko'p qirrali bot. U ixtiyoriy parametrlar berilgan ixtiyoriy uchburchakning barcha parametrlarini hisoblab chiqadi. Bunday botni boshqa joyda topa olmaysiz.

Yon va ikki balandlikni bilasizmi? yoki ikki tomon va median? Yoki bissektrisa uchburchakning ikki burchagi va asosimi?

Har qanday so'rov uchun biz uchburchakning parametrlarini to'g'ri hisoblashimiz mumkin.

Formulalarni izlash va hisoblashni o'zingiz qilishingiz shart emas. Siz uchun hamma narsa allaqachon qilingan.

So'rov yarating va aniq javob oling.

Ixtiyoriy uchburchak ko'rsatilgan. Kelajakda hisob-kitoblarda chalkashlik va xatolar bo'lmasligi uchun, keling, qanday va nima ko'rsatilganligini darhol bron qilaylik.

Har qanday burchakning qarama-qarshi tomonlari faqat kichik harf bilan bir xil deb ataladi.... Ya'ni, qarama-qarshi A burchak uchburchakning a tomoni, c tomoni C burchagiga qarama-qarshidir.

ma - a tomoniga tushadigan medina, mos ravishda tegishli tomonlarga tushadigan mb va mc medianalari ham bor.

lb - b tomoniga tushadigan bissektrisa, mos ravishda, tegishli tomonlarga tushadigan la va lc bissektrisalari ham mavjud.

hb - b tomoniga tushadigan balandlik, mos ravishda, tegishli tomonlarga tushadigan ha va hc balandliklar ham mavjud.

Ikkinchidan, esda tutingki, uchburchak - bu mavjud bo'lgan raqam asosiy qoida:

Har qanday (!) Ikki tomonning yig'indisi kattaroq bo'lishi kerakuchinchi.

Shuning uchun xatoga yo'l qo'ysangiz hayron bo'lmang. NS Bunday ma'lumotlar bilan uchburchak mavjud emas tomonlari 3, 3 va 7 bo'lgan uchburchakning parametrlarini hisoblashga urinayotganda.

Sintaksis

XMPP mijozlari uchun so'rov bu treugga o'xshaydi<список параметров>

Sayt foydalanuvchilari uchun hamma narsa shu sahifada amalga oshiriladi.

Parametrlar ro'yxati - ma'lum bo'lgan, nuqta-vergul bilan ajratilgan parametrlar

parametr sifatida yoziladi parametr = qiymat

Misol uchun, agar 10 qiymatiga ega bo'lgan a tomoni ma'lum bo'lsa, u holda a = 10 yozamiz

Bundan tashqari, qiymatlar nafaqat haqiqiy son ko'rinishida, balki, masalan, qandaydir ifoda natijasi sifatida ham bo'lishi mumkin.

Va bu erda hisob-kitoblarda paydo bo'lishi mumkin bo'lgan parametrlar ro'yxati.

Yon a

Yon b

Yon c

Yarim perimetrli p

Burchak A

B burchagi

Burchak C

Uchburchakning maydoni S

A tomonida balandligi ga

b tomonida balandligi hb

C tomonida balandligi hc

A tomoniga median ma

Har bir tomon uchun median mb b

c tomonida median mc

Vertex koordinatalari (xa, ya) (xb, yb) (xc, yc)

ga misollar

yozamiz treug a = 8; C = 70; ga = 2

Belgilangan parametrlarga muvofiq uchburchakning parametrlari

a tomoni = 8

B tomoni = 2,1283555449519

Yon c = 7,5420719851515

Yarim perimetr p = 8,8352137650517

Burchak A = 2,1882518638666 darajalarda 125,37759631119

B burchak = 2,873202966917 darajalarda 164,62240368881

Burchak C = 1,221730476396 70 gradusda

Uchburchakning maydoni S = 8

a tomonidagi balandlik ga = 2

Bir tomondan hb balandligi b = 7,5175409662872

Bir tomondan hc balandligi c = 2,1214329472723

Har bir tomon uchun median ma a = 3,8348889915443

Har bir tomon uchun median mb b = 7,7012304590352

Har bir tomon uchun median mc c = 4,4770789813853

Hammasi shu, uchburchakning barcha parametrlari.

Savol shundaki, nega biz partiyani shunday nomladik? a, lekin emas v yoki bilan? Bu qarorga ta'sir qilmaydi. Asosiysi, men aytgan shartga dosh berishdir " Har qanday burchakning qarama-qarshi tomonlari bir xil deb ataladi, faqat kichik harf"Va keyin fikringizga uchburchak chizing va savolga murojaat qiling.

Buning o'rniga kimdir olishi mumkin a v, lekin keyin kiritilgan burchak bo'lmaydi BILAN a A yaxshi, balandlik bo'ladi hb... Agar tekshirsangiz, natija bir xil bo'ladi.

Masalan, bu kabi (xa, ya) = 3,4 (xb, yb) = -6,14 (xc, yc) = - 6, -3

so'rov yozish treug xa = 3; ya = 4; xb = -6; yb = 14; xc = -6; yc = -3

va biz olamiz

Belgilangan parametrlarga muvofiq uchburchakning parametrlari

a tomoni = 17

B tomoni = 11.401754250991

Yon c = 13,453624047073

Yarim perimetr p = 20,927689149032

Burchak A = 1,4990243938603 darajalarda 85,887771155351

B burchagi = 0,73281510178655 darajalarda 41,987212495819

Burchak C = 0,90975315794426 darajalarda 52,125016348905

Uchburchakning maydoni S = 76,5

a tomonidagi balandlik ga = 9

Bir tomonda hb balandligi b = 13,418987695398

Bir tomondan hc balandligi c = 11,372400437582

Har bir tomon uchun median ma a = 9,1241437954466

Har bir tomon uchun median mb b = 14,230249470757

Har bir tomon uchun median mc c = 12,816005617976

Baxtli hisoblar !!

Onlayn kalkulyator.
Uchburchaklarni yechish.

Uchburchakning yechimi uning barcha olti elementini (ya'ni, uch tomoni va uchta burchagi) uchburchakni aniqlaydigan har qanday uchta element tomonidan topishdir.

Ushbu matematik dastur foydalanuvchi tomonidan belgilangan tomonlarning \ (a, b \) bo'ylab \ (c \), burchaklarni \ (\ alfa \) va \ (\ beta \) va ular orasidagi burchakni \ (\ gamma \) topadi.

Dastur nafaqat muammoga javob beradi, balki yechim topish jarayonini ham ko'rsatadi.

Ushbu onlayn kalkulyator umumta'lim maktablarining yuqori sinf o'quvchilari uchun test va imtihonlarga tayyorgarlik ko'rishda, imtihon oldidan bilimlarni tekshirishda, ota-onalar uchun matematika va algebra fanlaridan ko'plab masalalar yechilishini nazorat qilishda foydali bo'lishi mumkin. Yoki repetitor yollash yoki yangi darsliklar sotib olish juda qimmatga tushgandir? Yoki iloji boricha tezroq qilishni xohlaysizmi? Uy vazifasi matematikadami yoki algebradami? Bunday holda, siz bizning dasturlarimizdan batafsil yechim bilan ham foydalanishingiz mumkin.

Shunday qilib, siz o'zingizning o'zingiz va / yoki kichik birodarlaringizni o'qitishingiz mumkin, shu bilan birga hal qilinayotgan muammolar sohasidagi ta'lim darajasi oshadi.

Agar siz raqamlarni kiritish qoidalari bilan tanish bo'lmasangiz, ular bilan tanishib chiqishingizni tavsiya qilamiz.

Raqamni kiritish qoidalari

Raqamlar nafaqat butun, balki kasrli ham o'rnatilishi mumkin.
Butun va kasr qismi o'nlik kasrlarda nuqta yoki vergul bilan ajratilishi mumkin.
Masalan, siz 2,5 yoki 2,5 kabi o'nli kasrlarni kiritishingiz mumkin

Tomonlar \ (a, b \) va ular orasidagi burchak \ (\ gamma \) kiriting. Uchburchakni yechish

Ushbu muammoni hal qilish uchun zarur bo'lgan ba'zi skriptlar yuklanmaganligi va dastur ishlamasligi mumkinligi aniqlandi.
Ehtimol, sizda AdBlock yoqilgan.
Bunday holda, uni o'chiring va sahifani yangilang.

Brauzeringizda JavaScript o'chirilgan.
Yechim paydo bo'lishi uchun JavaScript-ni yoqishingiz kerak.
Bu erda brauzeringizda JavaScript-ni qanday yoqish bo'yicha ko'rsatmalar mavjud.

Chunki Muammoni hal qilmoqchi bo'lganlar ko'p, iltimosingiz navbatda turibdi.
Bir necha soniyadan so'ng, yechim quyida paydo bo'ladi.
Iltimos kuting sek...

Agar Siz qarorida xatolikni payqagan, keyin bu haqda fikr-mulohaza shaklida yozishingiz mumkin.
Unutmang qaysi vazifani ko'rsating Siz qaror qilasiz va nima maydonlarga kiring.

Bizning o'yinlarimiz, boshqotirmalarimiz, emulyatorlarimiz:

Bir oz nazariya.

Sinus teoremasi

Teorema

Uchburchakning tomonlari qarama-qarshi burchaklarning sinuslariga proportsionaldir:
$$ \ frac (a) (\ sin A) = \ frac (b) (\ sin B) = \ frac (c) (\ sin C) $$

Kosinus teoremasi

Teorema
ABC uchburchakda AB = c, BC = a, CA = b bo'lsin. Keyin
Uchburchak tomonining kvadrati - bu boshqa ikki tomonning kvadratlari yig'indisi - bu tomonlarning ikki barobar ko'paytmasi va ular orasidagi burchakning kosinusiga.
$$ a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2-2ba \ cos A $$

Uchburchaklarni yechish

Uchburchakning yechimi uning barcha olti elementini (ya'ni, uch tomoni va uchta burchagi) uchburchakni aniqlaydigan har qanday uchta element tomonidan topishdir.

Uchburchakni yechish uchun uchta masalani ko'rib chiqing. Bunda ABC uchburchak tomonlari uchun quyidagi yozuvdan foydalanamiz: AB = c, BC = a, CA = b.

Ikki tomondan uchburchak va ular orasidagi burchakni yechish

Berilgan: \ (a, b, \ burchak C \). \ (c, \ burchak A, \ burchak B \) toping.

Yechim
1. Kosinuslar teoremasi bo‘yicha \ (c \) ni topamiz:

$$ c = \ sqrt (a ^ 2 + b ^ 2-2ab \ cos C) $$ 2. Kosinuslar teoremasidan foydalanib, biz:
$$ \ cos A = \ frac (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) (2bc) $$

3. \ (\ burchak B = 180 ^ \ circ - \ burchak A - \ burchak C \)

Uchburchakni yon va qo'shni burchaklar bilan yechish

Berilgan: \ (a, \ burchak B, \ burchak C \). \ (\ burchak A, b, c \) toping.

Yechim
1. \ (\ burchak A = 180 ^ \ circ - \ burchak B - \ burchak C \)

2. Sinus teoremasidan foydalanib, b va c ni hisoblang:
$$ b = a \ frac (\ sin B) (\ sin A), \ quad c = a \ frac (\ sin C) (\ sin A) $$

Uch tomondan uchburchakni yechish

Berilgan: \ (a, b, c \). \ (\ burchak A, \ burchak B, \ burchak C \) toping.

Yechim
1. Kosinus teoremasi bo'yicha biz quyidagilarga erishamiz:
$$ \ cos A = \ frac (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) (2bc) $$

\ (\ cos A \) dan mikrokalkulyator yoki jadval yordamida \ (\ burchak A \) topamiz.

2. Xuddi shunday, biz B burchakni topamiz.
3. \ (\ burchak C = 180 ^ \ circ - \ burchak A - \ burchak B \)

Ikki tomonli uchburchakni va ma'lum tomonga qarama-qarshi burchakni yechish

Berilgan: \ (a, b, \ burchak A \). \ (c, \ burchak B, \ burchak C \) toping.

Yechim
1. Sinus teoremasi bo'yicha \ (\ sin B \) ni topamiz:
$$ \ frac (a) (\ sin A) = \ frac (b) (\ sin B) \ Rightarrow \ sin B = \ frac (b) (a) \ cdot \ sin A $$

Belgilashni kiritamiz: \ (D = \ frac (b) (a) \ cdot \ sin A \). D raqamiga qarab, quyidagi holatlar mumkin:
Agar D>1 bo'lsa, bunday uchburchak mavjud emas, chunki \ (\ sin B \) 1 dan katta bo'lishi mumkin emas
Agar D = 1 bo'lsa, faqat bitta \ (\ burchak B: \ to'rt \ sin B = 1 \ O'ng strelka \ burchak B = 90 ^ \ aylanma \)
Agar D Agar D bo'lsa 2. \ (\ burchak C = 180 ^ \ circ - \ burchak A - \ burchak B \)

3.Sinus teoremasidan foydalanib, c tomonini hisoblang:
$$ c = a \ frac (\ sin C) (\ sin A) $$

Kitoblar (darsliklar) Referatlar USE va OGE testlari onlayn O'yinlar, boshqotirmalar Grafik funktsiyalari Rus tilining grafik lug'ati Yoshlar lug'ati Rus maktablari katalogi Rossiya o'rta maktablari katalogi Rossiya universitetlari katalogi Vazifalar ro'yxati

Uchburchak - bir chiziqda yotmaydigan uchta nuqtani bog'laydigan uchta segmentdan tashkil topgan geometrik raqam. Uchburchakni tashkil etuvchi nuqtalar nuqtalar deb ataladi va segmentlar yonma-yon joylashgan.

Uchburchakning turiga (to'rtburchak, monoxrom va boshqalar) qarab, siz kiritilgan ma'lumotlarga va masalaning shartlariga qarab, uchburchak tomonini turli usullar bilan hisoblashingiz mumkin.

Maqola uchun tezkor navigatsiya

To'g'ri burchakli uchburchakning tomonlarini hisoblash uchun Pifagor teoremasi qo'llaniladi, unga ko'ra gipotenuzaning kvadrati oyoq kvadratlari yig'indisiga teng.

Agar oyoqlarni "a" va "b" harflari va gipotenuzani "c" bilan belgilasak, sahifalarni quyidagi formulalar bilan topish mumkin:

To'g'ri burchakli uchburchakning (a va b) o'tkir burchaklari ma'lum bo'lsa, uning tomonlarini quyidagi formulalar bilan topish mumkin:

Kesilgan uchburchak

Ikkala tomoni bir xil bo'lgan uchburchak teng tomonli uchburchak deyiladi.

Ikki oyoqdagi gipotenuzani qanday topish mumkin

Agar "a" harfi bir xil sahifa bilan bir xil bo'lsa, "b" - asos, "b" - asosning qarama-qarshi burchagi, "a" - qo'shni burchak, sahifalarni hisoblash uchun quyidagi formulalardan foydalanish mumkin:

Ikki burchak va yon

Har qanday uchburchakning bir sahifasi (c) va ikkita burchagi (a va b) ma'lum bo'lsa, qolgan sahifalarni hisoblash uchun sinus formulasidan foydalaniladi:

Uchinchi qiymatni topishingiz kerak y = 180 - (a + b), chunki

uchburchakning barcha burchaklarining yig'indisi 180 ° ga teng;

Ikki tomon va burchak

Agar siz uchburchakning ikki tomonini (a va b) va ular orasidagi burchakni (y) bilsangiz, uchinchi tomonni hisoblash uchun kosinus teoremasidan foydalanish mumkin.

To'g'ri burchakli uchburchakning perimetrini qanday aniqlash mumkin

Uchburchak uchburchak uchburchak bo'lib, ulardan biri 90 gradus, qolgan ikkitasi o'tkir. to'lov perimetri shunday uchburchak u haqida ma'lum ma'lumotlar miqdoriga bog'liq.

Sizga kerak

• Ishga qarab, ko'nikmalar uchburchakning uch tomonining 2 tasi, shuningdek, uning o'tkir burchaklaridan biri hisoblanadi.

ko'rsatmalar

birinchi Usul 1. Agar barcha uchta sahifa ma'lum bo'lsa uchburchak Keyin, perpendikulyar yoki uchburchak bo'lmaganidan qat'i nazar, perimetr quyidagicha hisoblanadi: P = A + B + C, iloji bo'lsa, c - gipotenuza; a va b oyoqlardir.

ikkinchi 2-usul.

Agar to'rtburchakning faqat ikkita tomoni bo'lsa, Pifagor teoremasidan foydalanib, uchburchak formula bilan hisoblash mumkin: P = v (a2 + b2) + a + b yoki P = v (c2 - b2) + b + c.

uchinchi 3-usul. Gipotenuza c va o'tkir burchak bo'lsin? To'g'ri burchakli uchburchakni hisobga olsak, perimetrni shu tarzda aniqlash mumkin bo'ladi: P = (1 + sin?

to'rtinchi Usul 4. To'g'ri burchakli uchburchakda bir oyog'ining uzunligi a ga teng va aksincha, o'tkir burchakka ega deyiladi. Keyin hisoblang perimetri bu uchburchak formula bo'yicha amalga oshiriladi: P = a * (1 / tg?

1 / o'g'lim? + 1)

beshinchi 5-usul.

Onlayn uchburchakni hisoblash

Oyog'imiz etaklab, unga qo'shilsin, keyin diapazon quyidagicha hisoblanadi: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Tegishli videolar

Pifagor teoremasi har qanday matematikaning asosidir. Haqiqiy uchburchak tomonlari orasidagi munosabatni aniqlaydi. Endi bu teoremaning 367 ta isboti ko'rsatilgan.

ko'rsatmalar

birinchi Pifagor teoremasining klassik maktab formulasi shunday eshitiladi: gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng.

Ikki Katetli to'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzani topish uchun siz oyoqlarning uzunligini kvadratga aylantirishingiz, ularni yig'ishingiz va yig'indining kvadrat ildizini olishingiz kerak. Uning bayonotining dastlabki formulasida bozor Catete tomonidan ishlab chiqarilgan 2 kvadrat yig'indisiga teng bo'lgan gipotenuzaga asoslangan. Biroq, zamonaviy algebraik formulalar domen tasvirini kiritishni talab qilmaydi.

ikkinchi Masalan, oyoqlari 7 sm va 8 sm bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak.

Keyin, Pifagor teoremasiga ko'ra, kvadrat gipotenuza R + S = 49 + 64 = 113 sm ga teng. Gipotenuza 113 sonining kvadrat ildiziga teng.

To'g'ri burchakli uchburchakning burchaklari

Natijada asossiz raqam paydo bo'ldi.

uchinchi Agar uchburchaklar oyoqlari 3 va 4 bo'lsa, u holda gipotenuza = 25 = 5. Kvadrat ildizni olganingizda, siz natural sonni olasiz. 3, 4, 5 raqamlari Pigagor uchligini hosil qiladi, chunki ular x munosabatini qanoatlantiradi? + Y? = Z, bu tabiiydir.

Pifagor uchligining boshqa misollari: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

to'rtinchi Bunday holda, agar oyoqlar bir-biriga o'xshash bo'lsa, Pifagor teoremasi yanada ibtidoiy tenglamaga aylanadi. Masalan, bunday qo'l A soniga teng bo'lsin va C uchun gipotenuza aniqlangan, keyin esa c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. Bunday holda, sizga A kerak emas.

beshinchi Pifagor teoremasi maxsus holat boʻlib, u umumiy kosinus teoremasidan kattaroq boʻlib, uchburchakning uch tomoni oʻrtasida ikkalasi orasidagi istalgan burchak uchun bogʻlanishni oʻrnatadi.

Maslahat 2: Oyoqlar va burchaklar uchun gipotenuzani qanday aniqlash mumkin

Gipotenuza to'g'ri burchakli uchburchakning 90 graduslik burchakka qarama-qarshi tomoni deb ataladi.

ko'rsatmalar

birinchi Ma'lum kateterlar, shuningdek, to'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagi bo'lsa, gipotenuzaning kattaligi oyoqning bu burchakning kosinusiga / sinusiga nisbatiga teng bo'lishi mumkin, agar burchak qarama-qarshi bo'lsa / e quyidagilarni o'z ichiga oladi: H = C1 (yoki C2) / gunoh, H = C1 (yoki C2?) / Cos?. Misol: ABC gipotenuzasi AB va to'g'ri burchakli C bo'lgan tartibsiz uchburchak bo'lsin.

B 60 daraja va A 30 daraja bo'lsin. BC poya uzunligi 8 sm.AB gipotenuza uzunligini topish kerak. Buning uchun siz yuqoridagi usullardan birini qo'llashingiz mumkin: AB = BC / cos60 = 8 sm.AB = BC / sin30 = 8 sm.

Gipotenuza to'rtburchakning eng uzun tomonidir uchburchak... U to'g'ri burchak ostida joylashgan. To'rtburchak gipotenuzani qidirish usuli uchburchak manba ma'lumotlariga bog'liq.

ko'rsatmalar

birinchi Agar oyoqlaringiz perpendikulyar bo'lsa uchburchak, keyin to'rtburchakning gipotenuzasi uzunligi uchburchak Pifagor analogi bilan topish mumkin - gipotenuzaning uzunligi kvadrati oyoqlar uzunliklari kvadratlari yig'indisiga teng: c2 = a2 + b2, bu erda a va b - o'ng oyoqlarning uzunligi. uchburchak .

ikkinchi Agar ma'lum bo'lsa va oyoqlardan biri o'tkir burchak ostida bo'lsa, gipotenuzani topish formulasi ma'lum oyoqqa nisbatan ma'lum bir burchak ostida mavjudligi yoki yo'qligiga bog'liq bo'ladi - qo'shni (oyoq yaqinida joylashgan) yoki aksincha (nego qarama-qarshi holat joylashgan. kosinus burchak ostida oyoq gipotenuzasi: a = a / cos; E, boshqa tomondan, gipotenuza sinusoidal burchaklar nisbati bilan bir xil bo'ladi: da = a. / gunoh.

Tegishli videolar

Foydali maslahatlar
Yonlari 3: 4: 5 shaklida bog'langan burchakli uchburchak Misr deltasi deb nomlangan, chunki bu raqamlar qadimgi Misr me'morlari tomonidan keng qo'llanilgan.

Bu, shuningdek, Jeron uchburchaklarining eng oddiy misolidir, sahifalar va maydon butun sonlar bilan ifodalanadi.

Uchburchak 90 ° burchakli to'rtburchaklar deb ataladi. O'ng burchakka qarama-qarshi tomon gipotenuza, ikkinchi tomoni oyoqlar deb ataladi.

Agar to'g'ri burchakli uchburchakning muntazam uchburchaklarning ba'zi xossalari, ya'ni ishlatiladigan o'tkir burchaklar yig'indisi 90 ° bo'lganligi va qarama-qarshi oyog'ining uzunligi bilan qanday hosil bo'lishini topmoqchi bo'lsangiz. gipotenuzaning yarmi 30 ° ga teng.

Maqola uchun tezkor navigatsiya

Kesilgan uchburchak

Teng uchburchakning xususiyatlaridan biri shundaki, uning ikki burchagi bir xil.

To'g'ri burchakli teng uchburchakning burchagini hisoblash uchun siz quyidagilarni bilishingiz kerak:

• Bu 90 ° dan yomon emas.
• O'tkir burchak qiymatlari quyidagi formula bo'yicha aniqlanadi: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, ya'ni.

  a va b burchaklari 45 ° ga teng.

Agar o'tkir burchaklardan birining ma'lum qiymati ma'lum bo'lsa, ikkinchisini quyidagi formula bo'yicha topish mumkin: b = 180º-90º-a yoki a = 180º-90º-b.

Bu nisbat ko'pincha burchaklardan biri 60 ° yoki 30 ° bo'lsa ishlatiladi.

Asosiy tushunchalar

so'm ichki burchaklar uchburchak 180 °.

Chunki bu bir daraja, ikkitasi keskin bo'lib qoladi.

Uchburchakni onlayn hisoblang

Agar siz ularni topmoqchi bo'lsangiz, quyidagilarni bilishingiz kerak:

boshqa usullar

To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchak qiymatlarini o'rtacha qiymatdan hisoblash mumkin - uchburchakning qarama-qarshi tomonidagi nuqtadan chiziq bilan va balandlik - chiziq gipotenuzadan to'g'ri burchak ostida tushirilgan perpendikulyar.

Mediana o'ng burchakdan gipotenuzaning o'rtasiga cho'ziladi va h balandlikda bo'lsin. Bunday holda, shunday bo'ladi:

• sin a = b / (2 * s); sin b = a / (2 * s).
• cos a = a / (2 * s); cos b = b / (2 * s).
• sin a = h / b; sin b = h / a.

Ikki sahifa

Agar to'g'ri burchakli uchburchakda yoki ikkala tomonda gipotenuza va oyoqlardan birining uzunligi ma'lum bo'lsa, o'tkir burchaklarning qiymatlarini aniqlash uchun trigonometrik identifikatsiyalar qo'llaniladi:

• a = arcsin (a / c), b = arcsin (b / c).
• a = arcos (b / c), b = arcos (a / c).
• a = arctan (a / b), b = arctan (b / a).

To'g'ri burchakli uchburchakning uzunligi

Uchburchakning maydoni va maydoni

perimetri

Har qanday uchburchakning aylanasi uch tomonning uzunliklari yig'indisiga teng. Uchburchak uchburchakni topishning umumiy formulasi:

Bu erda P - uchburchakning aylanasi, uning tomondan a, b va c.

Teng uchburchak perimetri yon uzunliklarini ketma-ket birlashtirish yoki yon uzunligini 2 ga ko'paytirish va mahsulotga asos uzunligini qo'shish orqali topish mumkin.

Muvozanat uchburchagini topishning umumiy formulasi quyidagicha ko'rinadi:

Bu erda P - teng uchburchakning perimetri, lekin b, b asosi.

Teng tomonli uchburchakning perimetri uning tomonlari uzunligini ketma-ket birlashtirish yoki istalgan sahifa uzunligini 3 ga ko'paytirish yo'li bilan topish mumkin.

Teng tomonli uchburchaklar chetini topishning umumiy formulasi quyidagicha ko'rinadi:

Bu erda P - teng yonli uchburchakning perimetri, a - uning istalgan tomonlari.

mintaqa

Agar siz uchburchakning maydonini o'lchamoqchi bo'lsangiz, uni parallelogramm bilan solishtirishingiz mumkin. ABC uchburchagini ko'rib chiqing:

Agar biz bir xil uchburchakni olib, uni parallelogramm olish uchun tuzatsak, biz bu uchburchak bilan bir xil balandlik va asosga ega parallelogramma olamiz:

Bunday holda, uchburchaklarning umumiy tomoni qoliplangan parallelogrammaning diagonali bo'ylab birga katlanır.

Paralelogramma xossalaridan. Ma'lumki, parallelogrammaning diagonallari doimo ikkiga bo'linadi teng uchburchak, keyin har bir uchburchakning yuzasi parallelogramma diapazonining yarmiga teng.

Paralelogrammaning maydoni uning taglik balandligining mahsuloti bilan bir xil bo'lganligi sababli, uchburchakning maydoni ushbu mahsulotning yarmiga teng bo'ladi. Shunday qilib, DABC uchun mintaqa bir xil bo'ladi

Endi to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing:

Ikkita bir xil to'g'ri burchakli uchburchaklar, agar ular bir-biriga suyanib tursa, to'rtburchaklar shaklida egilishi mumkin, ya'ni bir-birining gipotenuzasi.

To'rtburchakning yuzasi qo'shni tomonlarning yuzasiga to'g'ri kelganligi sababli, bu uchburchakning maydoni bir xil:

Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, har qanday to'g'ri burchakli uchburchakning yuzasi 2 ga bo'lingan oyoqlarning ko'paytmasiga teng.

Ushbu misollardan xulosa qilish mumkinki, har bir uchburchakning yuzasi uzunlik mahsuloti bilan bir xil bo'ladi va balandlik 2 ga bo'lingan substratga kamayadi.

Uchburchakning maydonini topishning umumiy formulasi quyidagicha ko'rinadi:

Bu erda S - uchburchakning maydoni, lekin uning asosi, lekin balandligi a pastga tushadi.

Birinchisi, to'g'ri burchakka ulashgan segmentlar va gipotenuza shaklning eng uzun qismidir va 90 ° burchakka qarama-qarshidir. Pifagor uchburchagi - tomonlari natural sonlarga teng bo'lgan uchburchak; ularning uzunligi bu holda "Pifagor uchliklari" deb ataladi.

Misr uchburchagi

Hozirgi avlod geometriyani maktabda o'qitiladigan shaklda o'rganishi uchun u bir necha asrlar davomida rivojlangan. Asosiy nuqta Pifagor teoremasi hisoblanadi. To'rtburchakning tomonlari butun dunyoga ma'lum) 3, 4, 5.

"Pifagor shimlari barcha yo'nalishlarda tengdir" iborasini kam odam biladi. Biroq, aslida, teorema shunday eshitiladi: c 2 (gipotenuzaning kvadrati) = a 2 + b 2 (oyoq kvadratlarining yig'indisi).

Matematiklar orasida tomonlari 3, 4, 5 (sm, m, va hokazo) bo'lgan uchburchak "Misr" deb ataladi. Qizig'i shundaki, rasmda yozilgan narsa birga teng. Bu nom miloddan avvalgi V asrda, yunon faylasuflari Misrga sayohat qilganlarida paydo bo'lgan.

Piramidalarni qurishda me'morlar va tadqiqotchilar 3: 4: 5 nisbatdan foydalanganlar. Bunday tuzilmalar mutanosib, qarash yoqimli va keng bo'lib chiqdi, shuningdek, kamdan-kam hollarda qulab tushdi.

To'g'ri burchakni qurish uchun quruvchilar 12 tugun bog'langan arqondan foydalanganlar. Bunday holda, to'g'ri burchakli uchburchakni qurish ehtimoli 95% gacha ko'tarildi.

Shakllar tengligi belgilari

• To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak va ikkinchi uchburchakdagi bir xil elementlarga teng bo'lgan katta tomon raqamlar tengligining shubhasiz belgisidir. Burchaklar yig'indisini hisobga olsak, ikkinchi o'tkir burchaklar ham teng ekanligini isbotlash oson. Shunday qilib, uchburchaklar ikkinchi xarakteristikada bir xil.
• Ikki figura bir-birining ustiga qo'yilganda, biz ularni shunday aylantiramizki, ular birlashganda ular bitta teng yonli uchburchakka aylanadi. Xususiyatiga ko'ra, tomonlar, to'g'rirog'i, gipotenuslar, asosdagi burchaklar kabi tengdir, demak, bu raqamlar bir xil.

Birinchi asosda, uchburchaklar haqiqatan ham teng ekanligini isbotlash juda oson, asosiysi, ikkita kichik tomon (ya'ni, oyoqlar) bir-biriga teng.

II belgisida uchburchaklar bir xil bo'ladi, uning mohiyati oyoq va o'tkir burchakning tengligidir.

To'g'ri burchakli uchburchakning xususiyatlari

To'g'ri burchakdan tushirilgan balandlik raqamni ikkita teng qismga ajratadi.

To'g'ri burchakli uchburchakning tomonlarini va uning medianasini qoida bo'yicha tanib olish oson: gipotenuza tomonidan tushirilgan mediana uning yarmiga teng. ni Heron formulasi bo‘yicha ham, oyoqlar ko‘paytmasining yarmiga teng bo‘lgan bayonot orqali ham topish mumkin.

To'g'ri burchakli uchburchakda 30 °, 45 ° va 60 ° burchaklarning xususiyatlari qo'llaniladi.

• 30 ° burchak ostida, qarama-qarshi oyoq eng katta tomonning 1/2 qismiga teng bo'lishini esga olish kerak.
• Agar burchak 45 ° bo'lsa, ikkinchi o'tkir burchak ham 45 ° bo'ladi. Bu uchburchakning teng yonli ekanligini va uning oyoqlari bir xil ekanligini ko'rsatadi.
• 60 ° burchakning xususiyati shundaki, uchinchi burchak 30 ° daraja o'lchoviga ega.

Hududni uchta formuladan biri bilan osongina aniqlash mumkin:

1. balandligi va u pastga tushadigan tomoni orqali;
2. Heron formulasi bo'yicha;
3. yon tomonlarda va ular orasidagi burchakda.

To'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari, aniqrog'i, oyoqlari ikki balandlikda birlashadi. Uchinchisini topish uchun hosil bo'lgan uchburchakni ko'rib chiqish kerak, so'ngra Pifagor teoremasi bo'yicha kerakli uzunlikni hisoblash kerak. Ushbu formulaga qo'shimcha ravishda, ikki barobar maydon va gipotenuzaning uzunligi nisbati ham mavjud. Talabalar orasida eng keng tarqalgan ifoda birinchisidir, chunki u kamroq hisob-kitoblarni talab qiladi.

To'g'ri burchakli uchburchak uchun qo'llaniladigan teoremalar

To'g'ri burchakli uchburchakning geometriyasi quyidagi teoremalardan foydalanishni o'z ichiga oladi: