Umocňování, pravidla, příklady. Navýšení algebraického zlomku na mocninu Umocnění zlomku na mocninu vzorce
Téma se scvrkává na skutečnost, že musíme násobit stejné zlomky. Tento článek vám řekne, jaké pravidlo musíte použít, abyste správně zvýšili algebraické zlomky na přirozenou mocninu.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pravidlo pro umocnění algebraického zlomku na mocninu, jeho důkaz
Než začnete navyšovat na mocninu, musíte si prohloubit znalosti pomocí článku o mocnině s přirozeným exponentem, kde existuje součin stejných faktorů, které jsou základem mocniny, a je určen jejich počet podle exponentu. Například číslo 2 3 = 2 2 2 = 8.
Při navyšování na moc nejčastěji používáme pravidlo. Chcete-li to provést, zvedněte čitatele a jmenovatele samostatně na mocninu. Podívejme se na příklad 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9. Pravidlo platí pro zvýšení zlomku na přírodní moc.
Na zvýšení algebraického zlomku na přirozenou mocninu dostaneme nový, kde čitatel má mocninu původního zlomku a jmenovatel má mocninu jmenovatele. To vše vypadá jako a b n = a n b n , kde aab jsou libovolné polynomy, b je nenulové a n je přirozené číslo.
Důkaz tohoto pravidla je zapsán ve formě zlomku, který musí být umocněn na základě samotné definice s přirozeným exponentem. Pak získáme násobení zlomků tvaru a b n = a b · a b · . . . · a b = a · a · . . . · a b · b · . . . · b = a n b n
Příklady, řešení
Pravidlo pro zvýšení algebraického zlomku na mocninu se provádí postupně: nejprve čitatel, pak jmenovatel. Když je v čitateli a jmenovateli polynom, pak se samotný úkol zredukuje na umocnění daného polynomu. Poté bude uveden nový zlomek, který se rovná původnímu.
Příklad 1
Druhá mocnina zlomku x 2 3 · y · z 3.
Řešení
Je nutné zafixovat stupeň x 2 3 · y · z 3 2 . Pomocí pravidla pro umocnění algebraického zlomku na mocninu získáme rovnost tvaru x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 . Nyní je nutné výsledný zlomek převést do algebraického tvaru umocněním na mocninu. Pak dostaneme vyjádření formy
x 2 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 2 y 2 z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6
Všechny případy umocňování nevyžadují podrobné vysvětlení, takže samotné řešení má krátký zápis. To znamená, že to chápeme
x 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6
Odpovědět: x 2 3 · y · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6 .
Pokud mají čitatel a jmenovatel polynomy, pak je nutné celý zlomek umocnit a pak použít zkrácené vzorce pro násobení pro zjednodušení.
Příklad 2
Odmocni zlomek 2 x - 1 x 2 + 3 x y - y.
Řešení
Z pravidla to máme
2 x - 1 x 2 + 3 x y - y 2 = 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2
Chcete-li výraz transformovat, musíte použít vzorec pro druhou mocninu součtu tří členů ve jmenovateli a v čitateli - druhou mocninu rozdílu, což výraz zjednoduší. Dostaneme:
2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = = 2 x 2 - 2 2 x 1 + 1 2 x 2 2 + 3 x y 2 + - y 2 + 2 · x 2 · 3 · x · y + 2 · x 2 · (- y) + 2 · 3 · x · y · - y = = 4 · x 2 - 4 · x + 1 x 4 + 9 · x 2 · y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2
Odpovědět: 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 · x 2 · y - 6 · x · y 2
Všimněte si, že když získáme zlomek, který nemůžeme zredukovat na přirozenou mocninu, získáme také neredukovatelný zlomek. To neusnadňuje pozdější řešení. Když lze daný zlomek zmenšit, pak při zvýšení na mocninu zjistíme, že je nutné provést redukci algebraického zlomku, abychom se vyhnuli provedení zmenšení po umocnění.
Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter
Je čas se seznámit zvýšení algebraického zlomku na mocninu. Tato operace s algebraickými zlomky ve smyslu stupně je redukována na násobení stejných zlomků. V tomto článku uvedeme odpovídající pravidlo a podíváme se na příklady povýšení algebraických zlomků na přirozenou mocninu.
Navigace na stránce.
Pravidlo pro umocnění algebraického zlomku na mocninu, jeho důkaz
Než budeme mluvit o zvýšení algebraického zlomku na mocninu, neuškodí si zapamatovat, jaký je součin stejných faktorů na mocnině a jejich počet je určen exponentem. Například 2 3 =2·2·2=8.
Nyní si připomeňme pravidlo pro zvýšení obyčejného zlomku na mocninu - k tomu musíte samostatně zvýšit čitatele na zadanou mocninu a samostatně jmenovatele. Např. Toto pravidlo platí pro zvýšení algebraického zlomku na přirozenou mocninu.
Zvýšení algebraického zlomku na přirozenou mocninu dává nový zlomek, jehož čitatel obsahuje uvedený stupeň čitatele původního zlomku a jmenovatel - stupeň jmenovatele. V doslovném tvaru toto pravidlo odpovídá rovnosti , kde aab jsou libovolné polynomy (v konkrétních případech monočleny nebo čísla) a b je nenulový polynom a n je .
Důkaz uvedeného pravidla pro umocnění algebraického zlomku na mocninu je založen na definici mocniny s přirozeným exponentem a na tom, jak jsme definovali násobení algebraických zlomků: 
.
Příklady, řešení
Pravidlo získané v předchozím odstavci snižuje umocnění algebraického zlomku na mocninu na zvýšení čitatele a jmenovatele původního zlomku na tuto mocninu. A protože čitatelem a jmenovatelem původního algebraického zlomku jsou polynomy (v konkrétním případě monočleny nebo čísla), původní úkol sestává umocnit polynomy na mocninu. Po provedení této akce získáme nový algebraický zlomek, shodně rovný zadanému stupni původního algebraického zlomku.
Podívejme se na řešení několika příkladů.
Příklad.
Druhá mocnina algebraického zlomku.
Řešení.
Zapišme si titul. Nyní přejdeme k pravidlu pro zvýšení algebraického zlomku na mocninu, to nám dává rovnost 
. Zbývá převést výsledný zlomek do tvaru algebraického zlomku zvýšením monočlenů na mocninu. Tak 
.
Obvykle se při umocnění algebraického zlomku na mocninu řešení nevysvětluje, ale stručně se zapisuje. Náš příklad odpovídá zadání 
.
Odpovědět:
.
Pokud čitatel a/nebo jmenovatel algebraického zlomku obsahuje polynomy, zejména binomy, je vhodné při umocnění použít příslušné zkrácené vzorce pro násobení.
Příklad.
Sestrojte algebraický zlomek 
do druhého stupně.
Řešení.
Podle pravidla pro zvýšení zlomku na mocninu máme 
.
K transformaci výsledného výrazu do čitatele použijeme vzorec pro čtvercový rozdíl a ve jmenovateli - vzorec pro druhou mocninu součtu tří členů: 
Odpovědět:
Na závěr poznamenáváme, že pokud povýšíme neredukovatelný algebraický zlomek na přirozenou mocninu, pak výsledkem bude také neredukovatelný zlomek. Pokud je původní zlomek redukovatelný, je vhodné před jeho umocněním provést redukci algebraického zlomku, aby se redukce neprováděla po umocnění.
Bibliografie.
- Algebra: učebnice pro 8. třídu. obecné vzdělání instituce / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdělávání, 2008. - 271 s. : nemocný. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Algebra. 8. třída. Ve 2 hod. Část 1. Učebnice pro studenty všeobecně vzdělávacích institucí / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazáno. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (příručka pro studenty technických škol): Proc. příspěvek.- M.; Vyšší škola, 1984.-351 s., ill.
Autorská práva chytrých studentů
Všechna práva vyhrazena.
Chráněno autorským zákonem. Žádná část stránek, včetně vnitřních materiálů a vzhledu, nesmí být reprodukována v žádné formě nebo používána bez předchozího písemného souhlasu držitele autorských práv.
Pokračování v rozhovoru o stupeň Je logické zjistit, jak zjistit hodnotu stupně. Tento proces se nazývá umocňování. V tomto článku budeme studovat, jak se umocňování provádí, přičemž se dotkneme všech možných exponentů – přirozeného, celočíselného, racionálního i iracionálního. A podle tradice podrobně zvážíme řešení příkladů zvyšování čísel na různé síly.
Navigace na stránce.
Co znamená "umocnění"?
Začněme vysvětlením toho, co se nazývá umocňování. Zde je příslušná definice.
Definice.
Umocňování- to je zjištění hodnoty mocniny čísla.
Najít hodnotu mocniny čísla a s exponentem r a zvýšit číslo a na mocninu r je tedy totéž. Pokud je například úkolem „vypočítat hodnotu mocniny (0,5) 5“, lze ji přeformulovat takto: „Zvyšte číslo 0,5 na mocninu 5“.
Nyní můžete přejít přímo k pravidlům, podle kterých se umocňování provádí.
Zvyšování čísla na přirozenou sílu
V praxi se rovnost založená na se obvykle uplatňuje ve formě . To znamená, že při umocnění čísla a na zlomkovou mocninu m/n se nejprve vezme n-tá odmocnina čísla a, načež se výsledný výsledek zvýší na celočíselnou mocninu m.
Podívejme se na řešení příkladů zvýšení na zlomkovou mocninu.
Příklad.
Vypočítejte hodnotu stupně.
Řešení.
Ukážeme si dvě řešení.
První způsob. Podle definice stupně se zlomkovým exponentem. Vypočítáme hodnotu stupně pod kořenovým znakem a poté extrahujeme odmocninu krychle: 
.
Druhý způsob. Podle definice stupně se zlomkovým exponentem a na základě vlastností kořenů platí následující rovnosti: 
. Nyní vyjmeme kořen 
, nakonec jej zvýšíme na celočíselnou mocninu 
.
Je zřejmé, že získané výsledky zvýšení na zlomkovou mocninu se shodují.
Odpovědět:
Všimněte si, že zlomkový exponent lze zapsat jako desetinný zlomek nebo smíšené číslo, v těchto případech by měl být nahrazen odpovídajícím obyčejným zlomkem a poté umocněn.
Příklad.
Vypočítejte (44,89) 2,5.
Řešení.
Zapišme exponent ve tvaru obyčejného zlomku (pokud je to nutné, viz článek): 
. Nyní provedeme zvýšení na zlomkovou mocninu: 
Odpovědět:
(44,89) 2,5 =13 501,25107 .
Je třeba také říci, že zvyšování čísel na racionální mocniny je poměrně pracný proces (zvláště když čitatel a jmenovatel zlomkového exponentu obsahuje dostatečně velká čísla), který se obvykle provádí pomocí výpočetní techniky.
Na závěr tohoto bodu se zastavme u zvýšení čísla nula na zlomkovou mocninu. Zlomkové mocnině nuly ve tvaru jsme dali následující význam: když máme 
a při nule k m/n výkon není definován. Takže nula až zlomková kladná mocnina je nula, např. 
. A nula ve zlomkové záporné mocnině nedává smysl, například výrazy 0 -4,3 nedávají smysl.
Povznesení k iracionální síle
Někdy je potřeba zjistit význam mocniny čísla s iracionálním exponentem. V tomto případě pro praktické účely obvykle stačí získat hodnotu stupně s přesností na určité znaménko. Okamžitě poznamenejme, že v praxi se tato hodnota vypočítává pomocí elektronických počítačů, protože její ruční zvýšení na iracionální výkon vyžaduje velké množství těžkopádných výpočtů. Ale přesto popíšeme obecně podstatu akcí.
Pro získání přibližné hodnoty mocniny čísla a s iracionálním exponentem se vezme nějaká desítková aproximace exponentu a hodnota mocniny se vypočítá. Tato hodnota je přibližnou hodnotou mocniny čísla a s iracionálním exponentem. Čím přesnější je zpočátku desetinná aproximace čísla, tím přesnější bude nakonec hodnota stupně.
Jako příklad si spočítejme přibližnou hodnotu mocniny 2 1,174367... . Vezměme si následující desetinnou aproximaci iracionálního exponentu: . Nyní zvýšíme 2 na racionální mocninu 1,17 (podstatu tohoto procesu jsme popsali v předchozím odstavci), dostaneme 2 1,17 ≈2,250116. Tím pádem, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Vezmeme-li například přesnější desetinnou aproximaci iracionálního exponentu, získáme přesnější hodnotu původního exponentu: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .
Bibliografie.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Učebnice matematiky pro 5. ročník. vzdělávací instituce.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnice pro 7. ročník. vzdělávací instituce.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnice pro 8. ročník. vzdělávací instituce.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnice pro 9. ročník. vzdělávací instituce.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a další Algebra a počátky analýzy: Učebnice pro 10. - 11. ročník všeobecně vzdělávacích institucí.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (příručka pro studenty technických škol).
Lekce se podívá na obecnější verzi násobení zlomků – umocňování na mocninu. Nejprve si povíme o přirozených mocninách zlomků a příkladech, které demonstrují podobné operace se zlomky. Na začátku lekce si také zopakujeme povýšení celých výrazů na přirozené síly a uvidíme, jak to bude užitečné pro řešení dalších příkladů.
Téma: Algebraické zlomky. Aritmetické operace s algebraickými zlomky
Lekce: Povýšení algebraického zlomku na mocninu
1. Pravidla pro převod zlomků a celých výrazů na přirozené mocniny s elementárními příklady
Pravidlo pro povýšení obyčejných a algebraických zlomků na přirozenou mocninu:
Můžete nakreslit analogii se stupněm celého výrazu a zapamatovat si, co znamená jeho zvýšení na mocninu:
Příklad 1 
.
Jak je vidět z příkladu, umocnění zlomku na mocninu je speciální případ násobení zlomků, který byl studován v předchozí lekci.
Příklad 2. a) , b) 
- mínus zmizí, protože jsme zvýšili výraz na rovnoměrnou sílu.
Pro usnadnění práce s tituly si připomeňme základní pravidla pro zvyšování na přirozený stupeň:
- součin sil;
- rozdělení stupňů;
Zvyšování stupně na stupeň;
Stupeň produktu.
Příklad 3. - známe to z tématu „Umocňování celých výrazů“, až na jeden případ: neexistuje.
2. Nejjednodušší příklady povýšení algebraických zlomků na přirozené mocniny
Příklad 4. Uveď zlomek na mocninu.
Řešení. Když se zvýší na sudou moc, mínus zmizí:
Příklad 5. Uveďte zlomek na mocninu.
Řešení. Nyní používáme pravidla pro okamžité zvýšení stupně moci bez samostatného plánu:
.
Nyní se podívejme na kombinované problémy, ve kterých budeme muset zlomky umocnit, vynásobit je a rozdělit.
Příklad 6. Proveďte akce.
Řešení. 
. Dále je třeba provést redukci. Pojďme si jednou podrobně popsat, jak to uděláme, a výsledek pak ihned naznačíme analogií: . Podobně (nebo podle pravidla dělby moci). My máme: .
Příklad 7. Proveďte akce.
Řešení. . Redukce byla provedena analogicky s příkladem diskutovaným výše.
Příklad 8. Proveďte akce.
Řešení. . V tomto příkladu jsme ještě jednou podrobněji popsali proces snižování mocnin ve zlomcích za účelem konsolidace této metody.
3. Složitější příklady pro povýšení algebraických zlomků na přirozené mocniny (s přihlédnutím ke znaménkům a termínům v závorkách)
Příklad 9: Proveďte akce 
.
Řešení. V tomto příkladu již vynecháme samostatné násobení zlomků a rovnou použijeme pravidlo pro jejich násobení a zapíšeme je pod jednoho jmenovatele. Zároveň sledujeme znaménka - v tomto případě jsou zlomky umocněny sudými mocninami, takže mínusy zmizí. Na závěr provedeme redukci.
Příklad 10: Proveďte akce 
.
Řešení. V tomto příkladu je dělení zlomků, pamatujte, že v tomto případě je první zlomek násoben druhým, ale převrácený.
