Статистическое оценивание. Несмещенные и эффективные оценки характеристики Эффективная оценка параметра

Несмещенность оценок

Состоятельность оценок

Это свойство хороших оценок сближаться с оцениваемыми величинами в каком-то смысле и тем самым увеличивать точность с ростом объема выборки.

Определение 3. Оценка называется состоятельной оценкой, если она стремится по вероятности к с ростом n: . Это означает, что для любого выполняется соотношение.

Пример 2. Выборочное среднее является состоятельной оценкой математического ожидания m. Это непосредственно следует из теоремы Чебышева теории вероятностей (см 5-й вопрос J)

Имеет место следующий критерий состоятельности оценок:

Теорема 1. Пусть и, где. Тогда - состоятельная оценка.

Свойство состоятельности характеризует асимптотическое поведение оценки при неограниченном увеличении объема выборки и не налагает никаких ограничений на поведение оценки при конечных размерах выборки. Можно сузить класс возможных оценок, если потребовать, чтобы математическое ожидание оценки равнялось бы оцениваемому параметру для всех n.

Определение 4. Оценка называется несмещенной оценкой параметра, если. В противном случае оценка называется смещенной, а разность называется смещением оценки.

Пример 3. Выборочное среднее является состоятельной оценкой математического ожидания m=Mx всегда, когда последнее существует:

Пример 4. Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии с отрицательным смещением.

Покажем это:

и, так как, то. Далее вспоминаем, что выборочное среднее – несмещенная оценка (т.е.) расписываем выражение для дисперсии. И в итоге получаем: . Отсюда следует, что несмещенной оценкой генеральной дисперсии является статистика (данный пример – самый любимый дополнительный вопрос по этой теме)

Хотя требования состоятельности и несмещенности значительно сужают множество возможных оценок, могут существовать несколько состоятельных и несмещенных оценок одного параметра. Нужно как-то осуществить выбор среди этих оценок. Если определить класс оценок и выбрать меру (критерий) близости оценки к оцениваемому параметру, то оценка, минимизирующая заданную меру близости, называется оптимальной в этом классе. Естественной мерой близости оценки является её дисперсия. В этом случае лучше несмещенная и состоятельная оценка с меньшей дисперсией, так как она в среднем будет меньше отклоняться от оцениваемого параметра, чем оценка с большей дисперсией. Будем предполагать, что дисперсии всех рассматриваемых оценок конечны.

Определение 5. Эффективной оценкой параметра для рассматриваемого распределения называется оценка класса Т состоятельных и несмещенных оценок, имеющих минимальную дисперсию.

Определение 6. Из двух оценок и одного параметра, одного распределения, одного класса Т состоятельных и несмещенных оценок более эффективной считается та, дисперсия которой меньше. Пусть, например, . Тогда отношение называется относительной эффективностью, а отношение - эффективностью оценки.

Определение 7. Оценка параметра для рассматриваемого распределения называется асимптотически эффективной в классе Т состоятельных оценок, если существует предел.

Для того, чтобы статистические оценки давали хорошее приближение оцениваемых параметров, они должны быть несмещенные, эффективные и состоятельные.

Несмещенной называется статистическая оценка параметра, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

Смещенной называется статистическая оценка
параметра, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Эффективной называется статистическая оценка
параметра, которая при заданном объеме выборкиимеет наименьшую дисперсию.

Состоятельной называется статистическая оценка
параметра, которая при
стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

т.е.для любого

.

Для выборок различного объема получаются различные значения среднего арифметического и статистической дисперсии. Поэтому среднее арифметическое и статистическая дисперсия являются случайными величинами, для которых существуют математическое ожидание и дисперсия.

Вычислим математическое ожидание среднего арифметического и дисперсии. Обозначим через математическое ожидание случайной величины

Здесь в качестве случайных величин рассматриваются: – С.В., значения которой равны первым значениям, полученным для различных выборок объемаиз генеральной совокупности,
–С.В., значения которой равны вторым значениям, полученным для различных выборок объемаиз генеральной совокупности, …,
– С.В., значения которой равны-м значениям, полученным для различных выборок объемаиз генеральной совокупности. Все эти случайные величины распределены по одному и тому же закону и имеют одно и то же математическое ожидание.

Из формулы (1) следует, что среднее арифметическое является несмещенной оценкой математического ожидания, так как математическое ожидание среднего арифметического равно математическому ожиданию случайной величины. Эта оценка является также состоятельной. Эффективность данной оценки зависит от вида распределения случайной величины
. Если, например,
распределена нормально, оценка математического ожидания с помощью среднего арифметического будет эффективной.

Найдем теперь статистическую оценку дисперсии.

Выражение для статистической дисперсии можно преобразовать следующим образом

(2)

Найдем теперь математическое ожидание статистической дисперсии

. (3)

Учитывая, что
(4)

получим из (3)-

Из формулы (6) видно, что математическое ожидание статистической дисперсии отличается множителем от дисперсии, т.е. является смещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности. Это связано с тем, что вместо истинного значения
, которое неизвестно, в оценке дисперсии используется статистическое среднее.

Поэтому введем исправленную статистическую дисперсию

(7)

Тогда математическое ожидание исправленной статистической дисперсии равно

т.е. исправленная статистическая дисперсия является несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности. Полученная оценка является также состоятельной.

- оценка с минимальной для данного объема выборки дисперсией. О., обладающая аналогичным свойством при неограниченно возрастающем объеме выборки, называется асимптотически эффективной. Свойство эффективности должно учитываться в геологии в зависимости от обстоятельств, при которых получается оценка. В некоторых случаях в литологии используют неэффективную оценку (медиану, квартили) в силу того, что расчет их проще, чем соответствующих О. э. Неэффективной оценкой является также коэффициент вариации, широко применяемый при подсчете запасов. В последнем случае его использование иногда не оправдано.

• - см. Эффективная масса...

  Физическая энциклопедия

• - величина, имеющая размерность массы, характеризующая динамич. св-ва квазичастиц...

  Физическая энциклопедия

• - з в е з д ы - параметр, характеризующий светимость звезды, т. е. полное кол-во энергии, излучаемое звездой в единицу времени...

  Физическая энциклопедия

• - понятие, расширяющее идею эффективной оценки на случай больших выборок. Однозначного определения А. э. о. не имеет. Напр., в классич. варианте речь идет об асимптотич...

  Математическая энциклопедия

• - величина воздействующего ионизирующего излучения, используемая как мера риска возникновения отдаленных последствий облучения всего тела человека и отдельных его органов и тканей с учетом их...

  Гражданская защита. Понятийно-терминологический словарь

• - проницаемость пористой среды для какой-либо жидкости или газа при одновременном наличии в породе смеси их...

  Словарь по гидрогеологии и инженерной геологии

• - минимальная концентрация токсиканта, при которой регистрируется отклик организма на его воздействие...

  Экологический словарь

• - сумма эффективной дозы внешнего облучения, полученной за календарный год, и ожидаемой...
• - см. Доза эффективная...

  Словарь терминов черезвычайных ситуаций

• - ж english: efficient deformation deutsch: wirksame Verformung f français: déformation f...

  Русско-английский (-немецко, -французский) металлургический словарь

• - Д., вызывающая определенный фармакологический эффект...

  Большой медицинский словарь

• - величина, характеризующая лучевое поражение, оставшееся от предыдущего облучения к данному моменту времени с учетом процессов восстановления...

  Большой медицинский словарь

• - показатель, характеризующий комплексное воздействие на человека температуры и влажности окружающего воздуха; определяется по показаниям термометра и психрометра с применением специальных таблиц или номограмм...

  Большой медицинский словарь

• - скорость распространения сейсмических волн, вычисляемая по годографам отраженных и преломленных волн в предположении, что среда однородна, а граница-плоская...

  Геологическая энциклопедия

• - токсичность двухфазная, произведение токсичности на летучесть яда, величины которых выражены в относительных по сравнению с другими веществами единицах измерений...

  Экологический словарь

• - стоимость имущества, с точки зрения его настоящего владельца равная большей из двух величин – потребительской стоимости имущества для данного владельца и стоимости реализации имущества...

  Большой экономический словарь

"ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНАЯ" в книгах

116. Оценка деловой активности. Оценка рентабельности

автора Ольшевская Наталья

116. Оценка деловой активности. Оценка рентабельности Оценка деловой активности направлена на анализ результатов и эффективность текущей основной производственной деятельности. На качественном уровне она может быть получена в результате сравнения деятельности

Эффективная реклама

Из книги Прибыльная парикмахерская. Советы владельцам и управляющим автора Белешко Дмитрий Сергеевич

Глава 10. Оценка недвижимости – оценка своих возможностей

Из книги Все о приобретении и продаже жилой недвижимости. Советы специалиста автора Зубова Елена Евгеньевна

Глава 10. Оценка недвижимости – оценка своих возможностей Составить официальный отчет о стоимости недвижимости может только профессиональный оценщик. Используя несколько методов оценки и учитывая огромную совокупность факторов, он рассчитывает рыночную стоимость

Эффективная командировка

Из книги На пике возможностей. Правила эффективности профессионалов автора Поузен Роберт

Эффективная командировка Учитывая детали, связанные непосредственно с перемещением, не забудьте и о других факторах эффективности. В частности, четко определите цели поездки и убедитесь, что ваш график позволяет их достичь. Если вы путешествуете за границу,

Эффективная встреча

Из книги Эффективный руководитель автора Друкер Питер Фердинанд

Эффективная встреча Встреча, доклад или презентация – типичные составляющие работы любого руководителя. Его специфические повседневные инструменты. Они также занимают значительное количество его времени, даже если он достигает больших успехов в анализе затрат

ЭФФЕКТИВНАЯ СИСТЕМА

Из книги Практика управления человеческими ресурсами автора Армстронг Майкл

ЭФФЕКТИВНАЯ СИСТЕМА В руководстве ИПР по использованию автоматизированных систем управления персоналом (1999) утверждается, что эффективная система будет обладать следующими качествами: удовлетворение потребности организации; удобство в использовании;

Эффективная переписка

Из книги MBA в кармане: Практическое руководство по развитию ключевых навыков управления автора Пирсон Барри

Эффективная переписка Избегайте писанины всегда, когда это возможно:– не пишите, чтобы всего лишь подтвердить или признать;– звоните, а не отправляйте сообщение;– пишите свой ответ прямо на служебных записках;– заготовьте стандартные формулировки, чтобы

Эффективная частота

Из книги Реклама. Принципы и практика автора Уэллс Уильям

Эффективная масса

БСЭ

Эффективная мощность

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ЭФ) автора БСЭ

Эффективная презентация

Из книги Мастерство продажи автора Завадский Мишель

Эффективная презентация Давайте для начала определимся с тем, что такое презентация. Провести презентацию – это значит не просто рассказать клиенту о вашей фирме, предложении о сотрудничестве или о конкретном продукте.Провести презентацию – это означает показать

Эффективная мотивация

автора Кинан Кейт

Эффективная мотивация Создать мотив для более эффективной работы – значит воодушевить и вдохновить людей. Желание работать лучше и подходить к работе творчески возникает тогда, когда для работы созданы подходящие условия. Усилия, которые вы прикладываете для создания

Эффективная мотивация

Из книги Эффективная мотивация автора Кинан Кейт

Эффективная мотивация Вам кажется, что качество работы не меняется к лучшему? Причиной может быть недостаточно активное поощрение сотрудников. Не бойтесь поручать им ответственную работу и позвольте выполнять ее так, как они считают нужным. Ответственность заставляет

Эффективная стрессотерапия

Из книги Разблокируй свою память: запомни все! автора Мюллер Станислав

Эффективная стрессотерапия Казалось бы, про стресс уже написано столько, что каждый человек должен уметь справляться с ним без труда. Увы! Стресс по-прежнему постоянно присутствует в жизни многих и многих людей, кому-то помогая, кому-то мешая, а кому-то нанося немалый

Эффективная стрессотерапия

Из книги Вспомни всё [Секреты суперпамяти. Книга-тренажер] автора Мюллер Станислав

Эффективная стрессотерапия Казалось бы, про стресс уже написано столько, что каждый человек должен уметь справляться с ним без труда. Увы!

Что является предметом эконометрии?

факторы, формирующие развитие экономических явлений и процессов.

Какие основные экономические задачи решаются с использованием эконометрии?

является прогнозирование путей развития макро- и микроэкономических факторов хозяйственной деятельности.

3)Какие основные методы используются при построении экономических моделей?

метод регрессионного и корреляционного анализа.

4)Какое основное отличие корреляционной зависимости y=f(x) от функциональной?

При функциональной зависимости каждому аргументу (X) соответствует строго определённое значение (У), а при корреляционной зависимости- каждому аргументу (X) соответствует не одно строго определённое значение функции (У), а ряд распределения этой величины.

Что показывает линия регрессии?

как в среднем изменяется У с изменением Х;

Чем характеризуется множественная регрессия?

множеством факторных признаков

Что такое «несовместная система уравнений»?

система уравнений, в которой точное решение какого-либо уравнения системы не удовлетворяет остальным уравнениям.

В чём заключается принцип наименьших квадратов?

наивероятнейшими значениями параметров уравнения регрессии будут такие, при которых сумма квадратов отклонений будет наименьшая.

Каким образом находятся параметры aj из системы уравнений

Наивероятнейшими значениями параметров aj будут такие значения при которых сумма квадратов отклонений будет минимальна. Для нахождения минимума функции необходимо взять частную производную по уравнению (1) по параметру aj и приравнять ее к 0

Какая функция будет линейной относительно параметров aj.

11. Каким условием в генеральной совокупности должна отвечать остаточная составляющая

( - теоретическое значение результативного признака, а - фактическое значение), чтобы МНК-оценки обладали свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности.

1. должна отвечать следующим требованиям:

· величина является случайной величиной;

· мат.ожидание =0;

· дисперсия постоянна для всех ;

· значения не должны не зависеть друг от друга, т.е отсутствует автокорреляция

Что означает несмещенность МНК – оценки параметров уравнения регрессии?

математическое ожидание оценки равно его истинному значению;

Что означает состоятельность МНК - оценки параметров уравнения регрессии?

дисперсия оценок параметров при росте числа наблюдений стремится к нулю ;

Что означает эффективность МНК - оценки параметров уравнения регрессии?

оценки параметров уравнения регрессии имеют наименьшую дисперсию по сравнению с любыми другими оценками данных параметров;

15. Распределение остаточной компоненты в генеральной совокупности подчиняется нормальному закону распределения. Это позволяет:

использовать статистические критерии: t-критерий Стьюдента и F-критерий Фишера;

Определение

Оценка texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \widehat{\theta_1} \in \Kappa параметра Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc называется эффективной оценкой в классе Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Kappa , если для любой другой оценки Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \widehat{\theta_2} \in \Kappa выполняется неравенство Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M_{\theta}(\widehat{\theta_1}-\theta)^2\leqslant M_{\theta}(\widehat{\theta_2}-\theta)^2 для любого Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \theta .

Особую роль в математической статистике играют несмещенные оценки . Если несмещенная оценка Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \widehat{\theta_1} является эффективной оценкой в классе несмещенных, то такую статистику принято называть просто эффективной .

Единственность

Эффективная оценка Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \widehat{\theta} в классе Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Kappa_b = \{ E(\widehat{\theta}) = c(\theta)\} , где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): c(\theta) - некоторая функция, существует и единственна с точностью до значений на множестве Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): A , вероятность попасть в которое равна нулю (Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): P(x \in A)=0 ).

Асимптотическая эффективность

Некоторые оценки могут быть не самыми эффективными на малых выборках, однако могут обладать преимуществами на больших выборках. Обычно рассматриваются состоятельные оценки, дисперсия которых с увеличением объема выборки стремится к нулю. Поэтому сравнить такие оценки можно по скорости сходимости, то есть фактически по дисперсии (ковариационной матрицы) случайной величины (вектора) Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sqrt{n}\hat{\theta} . В частности, асимптотически нормальная оценка

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sqrt{n}(\hat{\theta}-\theta)\xrightarrow d N(0,V)

является асимптотически эффективной, если асимптотическая ковариационная матрица V минимальна в данном классе оценок.

См. также

Напишите отзыв о статье "Эффективная оценка"

Отрывок, характеризующий Эффективная оценка

– Хватит пустых разговоров! – вдруг, довольно потирая руки, воскликнул «святой отец». – Пройдёмте со мной, моя дорогая, я думаю, на этот раз мне всё же удастся Вас ошеломить!..
Если бы он только знал, как хорошо это ему постоянно удавалось!.. Моё сердце заныло, предчувствуя недоброе. Но выбора не было – приходилось идти...

Довольно улыбаясь, Караффа буквально «тащил» меня за руку по длинному коридору, пока мы наконец-то не остановились у тяжёлой, украшенной узорчатой позолотой, двери. Он повернул ручку и... О, боги!!!.. Я оказалась в своей любимой венецианской комнате, в нашем родном фамильном палаццо...
Потрясённо озираясь вокруг, не в состоянии придти в себя от так неожиданно обрушившегося «сюрприза», я успокаивала своё выскакивающее сердце, будучи не в состоянии вздохнуть!.. Всё вокруг кружилось тысячами воспоминаний, безжалостно окуная меня в давно прожитые, и уже частично забытые, чудесные годы, тогда ещё не загубленные злостью жестокого человека... воссоздавшего для чего-то здесь(!) сегодня мой родной, но давно утерянный, счастливый мир... В этой, чудом «воскресшей», комнате присутствовала каждая дорогая мне моя личная вещь, каждая любимая мною мелочь!.. Не в состоянии отвести глаз от всей этой милой и такой привычной для меня обстановки, я боялась пошевелиться, чтобы нечаянно не спугнуть дивное видение...
– Нравится ли вам мой сюрприз, мадонна? – довольный произведённым эффектом, спросил Караффа.