Mit jelent a paralelepipedon felületének megtalálása? Hogyan számítsuk ki a paralelepipedon területét

A paralelepipedon egy poliéder, amely egy speciális téglalap alakú hatszögletű prizma. A paralelepipedon alján egy téglalap vagy azzal egyenértékű négyszög található, és a paralelogrammák az oldalfelületek. Mint minden prizmás figurát, a párhuzamos csövet is széles körben használják a való életben, de a legtöbb esetben egy valódi poliéder téglalap alakú paralelepipedon formát ölt.

Parallelelepiped geometria

A téglalap alakú paralelepipedon két egyforma, párhuzamos síkban elhelyezkedő téglalapból és négy, ezeket összekötő négyszögből áll, amelyek az ábra oldalfelületét alkotják. Általában véve a paralelepipedon a derékszögű négyszögű prizma speciális esete. A paralelepipedon a leggyakoribb alak a való életben. Ez a poliéder alakja az olyan tárgyaknak, mint a házak, szobák, téglák, kartondobozok, számítógépblokkok, tejesdobozok, gyufásdobozok és még sok más.

A való világ különféle geometriai alakzatokból áll, ezért szükség lehet egy számológépre, amely azonnal kiszámolja egy téglalap alakú paralelepipedon alakú tárgy felületét, legyen az szekrénybútor, tárolóhelyiség vagy asztali számítógépes rendszeregység.

A paralelepipedon felülete

Egy ilyen prizma teljes felületét az összes lap területének összegeként határozzuk meg. A paralelepipedon egy hatszög, amelynek minden lappárja egyenlő egymással. Ez azt jelenti, hogy a paralelepipedon minden lapjának megvan a maga egybevágó párja. Így egy adott prizmás alakzat felületét az egyes lapok területének összegének kétszereseként fejezzük ki.

S = 2 (Sa + Sb + Sc)

Mivel a paralelepipedon minden lapja egy közönséges téglalap, az egyik lap területét a sokszög oldalainak szorzataként határozzuk meg. Ha egy prizmatikus alakzatnak van a, b és c oldala, akkor a teljes felülete egyenlő lesz:

S = 2 (ab + bc + ac)

Az egyszerűbb megértés érdekében bemutathatjuk a képletet a paralelepipedon hosszának, szélességének és magasságának függvényében. Ebben az esetben a képletben csak kismértékű változás lesz:

S = 2 (ab + bh + ah)

Így egy prizmatikus alak teljes felületének meghatározásához ismernie kell annak három paraméterét. Írja be ezeket az adatokat az online számológép űrlapjába, és azonnali eredményeket kap. Ezenkívül a számológép azonnal kiszámolja a poliéder átlójának hosszát. Előfordulhat, hogy sok esetben ki kell számítania egy prizmatikus alak felületét.

Példák az életből

A falak festése

Tegyük fel, hogy a konyhája falait, padlóját és mennyezetét fehér festékkel szeretné festeni. Elegendő festéket kell vásárolnia ahhoz, hogy lefedje a kiválasztott helyiséget. Tudva, hogy az olajfesték felhasználása 1 négyzetméter felületre körülbelül 200 gramm, meghatározhatja, hogy mennyi anyagra lesz szüksége a munkához. Legyen a konyha magassága 3 m, szélessége 2 m, hossza 5 m. Írja be ezeket az adatokat az online kalkulátorba, és a következő eredményt kapja:

Így 62 négyzetméternyi felületet kell festenie. Ehhez 12,4 kg olajfestéket vagy 5 db 2,8 kg-os festékdobozt kell vásárolni.

Termelés

Tegyük fel, hogy Ön egy gyártóüzemben dolgozik, és egy négyzet alakú acélprofilt von be védőbevonattal úgy, hogy az alkatrészeket oldatfürdőbe meríti. A festési paraméterek helyes kiszámításához ismernie kell egy acélprofil felületét, amely paralelepipedon alakú. A szabványos négyzet alakú profil méretei: 6 m hosszú, a oldal = 80 mm, b oldal = 80 mm. A helyes számítás érdekében az összes méretet ugyanazokkal a mértékegységekkel kell helyettesítenie, például centiméterben. Ebben az esetben írja be az online számológépbe a paralelepipedon három oldalát, amelyek egyenlők 600, 8 és 8. Az eredményt a következő formában kapja meg:

Így az acélprofil teljes felülete 19 328 négyzetcentiméter vagy 1,9828 négyzetméter. Egy profil felületének ismeretében könnyen meghatározhatja az alkatrészek védőbevonattal történő festésének paramétereit.

Következtetés

Számos valós objektum paralelepipedon alakú: ezek téglák, helyiségek, épületek, gépalkatrészek és még sok más. Egy adott poliéder területének kiszámítására a legváratlanabb helyzetekben lehet szükség, mint például mindennapi problémák vagy szakmai számítások. Online számológépünk segítségével gyorsan meghatározhatja bármely szabályos geometriai alakzat térfogatát és felületét.

A paralelepipedon a leggyakoribb alak, amely körülveszi az embereket. A legtöbb szoba pontosan ilyen. A javítás során különösen fontos ismerni a paralelepipedon területét, legalább az oldalfelületeit. Végül is pontosan tudnia kell, hogy mennyi anyagot vásároljon.

Mi ő?

Ez egy négyszögletes alappal rendelkező prizma. Ezért négy oldallapja van, amelyek paralelogrammák. Vagyis egy ilyen testnek csak 6 arca van.

A paralelepipedon térbeli meghatározásához meg kell határozni a területét és térfogatát. Az első lehet külön-külön minden arcra vagy a teljes felületre. Ezenkívül csak az oldalfelületek területe is megkülönböztethető.

Milyen típusú paralelepipedonok léteznek?

Hajlamos. Olyan, amelyben az oldalélek 90 foktól eltérő szöget zárnak be az alappal. Felső és alsó négyszögei nem egymással szemben helyezkednek el, hanem el vannak tolva.

Egyenes. Egy paralelepipedon, melynek oldallapjai téglalap alakúak, az alján pedig egy tetszőleges szögű alak található.

Négyszögletes. Az előző típus speciális esete: az alján egy téglalap található.

Kocka A jobb oldali paralelepipedon speciális típusa, amelyben minden oldalt négyzetek ábrázolnak.

A paralelepipedon néhány matematikai jellemzője

Előfordulhat olyan helyzet, amikor hasznosak lesznek a paralelepipedon területének megtalálásában.

• Az egymással szemben fekvő arcok nemcsak párhuzamosak, hanem egyenlőek is.
• A paralelepipedon átlóit a metszéspont egyenlő részekre osztja.
• Általánosabb eset, ha egy szakasz két pontot köt össze egy test felületén, és áthalad az átlók metszéspontján, akkor ez a pont felosztja.
• Téglalap alakú paralelepipedonra érvényes az az egyenlőség, amelyben az egyik részben az átló négyzete, a másikban pedig a magasságának, szélességének és hosszúságának négyzeteinek összege van.

Egy jobb oldali paralelepipedon területe

Ha a test magasságát „n”, az alap kerületét pedig P os betűvel jelöljük, akkor a teljes oldalfelület kiszámítható a következő képlettel:

S oldal = P os * n

Ezzel a képlettel és az alap területének meghatározásával kiszámíthatja a teljes területet:

S = S oldal + 2 * S ax

Az utolsó bejegyzésben az S os., azaz a paralelepipedon alapjának területe kiszámítható a paralelogramma képletével. Más szóval, szüksége lesz egy kifejezésre, amelyben megszorozza az oldalt és az általa leesett magasságot.

Egy téglalap alakú paralelepipedon területe

Az ilyen test hosszának, szélességének és magasságának szabványos megjelölése az „a”, „b” és „c” betűk. Az oldalsó felületet a következő képlettel fejezzük ki:

S oldal = 2 * c * (a + b)

A téglalap alakú paralelepipedon teljes területének kiszámításához a következő kifejezésre lesz szüksége:

S = 2 * (av + nap + ac)

Ha kiderül, hogy meg kell találni az alapterületét, akkor elég megjegyezni, hogy ez egy téglalap, ami azt jelenti, hogy elegendő az „a” és a „b” szorzata.

Kocka terület

Oldalfelületét négy négyzet alkotja. Ez azt jelenti, hogy megtalálásához a négyzetre ismert képletet kell használnia, és meg kell szoroznia néggyel.

S oldal = 4 * a 2

És mivel alapjai ugyanazok a négyzetek, a teljes területet a képlet határozza meg:

S = 6 * a 2

Egy ferde paralelepipedon területe

Mivel a lapjai paralelogrammák, meg kell találnia mindegyik területét, majd hozzá kell adnia őket. Szerencsére az ellentétek egyenlőek. Ezért a területeket csak háromszor kell kiszámítani, majd meg kell szorozni kettővel. Ha ezt leírod képletként, a következőt kapod:

S oldal = (S 1 + S 2) * 2,

S = (S 1 + S 2 + S 3) * 2

Itt S 1 és S 2 a két oldalfelület területe, S 3 pedig az alap.

Feladatok a témában

Első feladat. Feltétel. Meg kell találni egy kocka átlójának hosszát, ha a teljes felülete 200 mm 2.

Megoldás. Kezdje azzal, hogy megkapja a kívánt mennyiség kifejezését. Négyzete egyenlő a kocka oldalának három négyzetével. Ez azt jelenti, hogy az átló egyenlő "a" szorzata 3 gyökével.

De a kocka oldala ismeretlen. Itt ki kell használnia azt a tényt, hogy a teljes felület területe ismert. A képletből kiderül, hogy „a” egyenlő S és 6 hányadosának négyzetgyökével.

Válasz. A kocka átlója 10 mm.

Második feladat. Feltétel. Ki kell számítani egy kocka felületét, ha ismert, hogy a térfogata 343 cm2.

Megoldás. Ugyanezt a képletet kell használnia a kocka területére. A test bordája ismét ismeretlen benne. De a kötet adott. A kocka képletéből nagyon könnyű kideríteni, hogy „a”. Ez egyenlő lesz 343 kockagyökével. Egy egyszerű számítással a következő értéket kapjuk az élre: a = 7 cm.

Válasz. S = 294 cm2.

Harmadik feladat. Feltétel. Adott egy szabályos négyszögű prizma, melynek alapoldala 20 dm. Meg kell találni az oldalsó szélét. Ismeretes, hogy a paralelepipedon területe 1760 dm 2.

Megoldás. Az érvelést a test teljes felületének területének képletével kell kezdenie. Csak abban kell figyelembe venni, hogy az „a” és a „b” élek egyenlőek. Ez abból az állításból következik, hogy a prizma szabályos. Ez azt jelenti, hogy az alapjában egy egyenlő oldalú négyszög található. Ezért a = b = 20 dm.

Ezt figyelembe véve a területképlet a következőre egyszerűsödik:

S = 2* (a 2 + 2ac).

Minden ismert benne, kivéve a kívánt „c” értéket, amely pontosan a paralelepipedon oldalsó éle. Ennek megtalálásához átalakításokat kell végrehajtania:

• osszuk el az összes egyenlőtlenséget 2-vel;
• majd mozgassa a kifejezéseket úgy, hogy a bal oldalon a 2ac kifejezés legyen, a jobb oldalon pedig a terület 2-vel osztva és az „a” négyzet, és ez utóbbin „-” jel lesz;
• majd osszuk el az egyenletet 2a-val.

Az eredményül kapott kifejezés a következő lesz:

c = (S/2 - a 2) / (2a)

Az összes ismert mennyiség behelyettesítése és a műveletek végrehajtása után kiderül, hogy az oldalél 12 dm.

Válasz. A „c” oldalél 12 dm.

Negyedik feladat. Feltétel. Adott egy téglalap alakú paralelepipedon. Egyik lapjának területe 12 cm 2. Ki kell számítani annak az élnek a hosszát, amely merőleges erre az oldalra. Kiegészítő feltétel: a test térfogata 60 cm 3.

Megoldás. Legyen ismert az arc területe, amely a megfigyelő felé néz. Ha a paralelepipedon mérésére szolgáló szabványos betűket vesszük jelölésnek, akkor az él tövében „a” és „b”, a függőleges pedig „c” lesz. Ez alapján az ismert arc területét „a” és „c” szorzataként határozzuk meg.

Most az ismert kötetet kell használnia. A négyszögletes paralelepipedon képlete megadja mindhárom mennyiség szorzatát: „a”, „b” és „c”. Vagyis az ismert terület „v”-vel szorozva adja a térfogatot. Kiderül, hogy a kívánt él az egyenletből számítható ki:

Egy egyszerű számítással 5 az eredmény.

Válasz. A szükséges él 5 cm.

Ötödik feladat. Feltétel. Adott egy jobb oldali paralelepipedon. Alapján egy 6 és 8 cm oldalú paralelogramma található, amelyek hegyesszöge 30º. Az oldalsó él hossza 5 cm. Ki kell számítani a paralelepipedon teljes területét.

Megoldás. Ez az az eset, amikor az összes arc területét külön kell megtudnia. Vagy pontosabban három pár: egy alap és két oldalsó.

Mivel az alján egy paralelogramma van, a területét az oldal és a hozzá való magasság szorzataként számítjuk ki. Az oldal ismert, de a magasság nem. Számolni kell. Ehhez hegyesszög értékre lesz szükség. A magasság derékszögű háromszöget alkot egy paralelogrammában. Ebben a láb egyenlő a vele ellentétes hegyesszög szinuszának és a hipotenuzusnak a szorzatával.

Legyen a paralelogramma ismert oldala „a”. Ekkor a magasság * sin 30º-ként lesz írva. Így az alap területe egyenlő a * b * sin 30º.

Az oldalsó élekkel minden egyszerűbb. Ezek téglalapok. Ezért területük az egyik és a másik oldal szorzata. Az első a * s, a második a b * s.

Nincs más hátra, mint mindent egy képletbe összevonni és kiszámítani:

S = 2 * (a * b * sin 30º + a * c + b * c)

Az összes érték behelyettesítése után kiderül, hogy a szükséges terület 188 cm 2.

Válasz. S = 188 cm2.

Az egyik legegyszerűbbet paralelepipedonnak nevezhetjük. Prizma alakú, melynek alján egy paralelogramma található. Nem nehéz kiszámítani a paralelepipedon területét, mivel a képlet nagyon egyszerű.

A prizma lapokból, csúcsokból és élekből áll. Ezen alkotóelemek elosztása a geometriai alakzat kialakításához szükséges minimális mennyiségben történik. A paralelepipedon 6 lapból áll, melyeket 8 csúcs és 12 él köt össze. Ráadásul a paralelepipedon szemközti oldalai mindig egyenlőek lesznek egymással. Ezért ahhoz, hogy megtudjuk a paralelepipedon területét, elegendő meghatározni három oldalának méretét.

A paralelepipedonnak (a görög fordításban a kifejezés „párhuzamos lapokat” jelent) van néhány említésre méltó tulajdonsága. Először is, az ábra szimmetriája csak az egyes átlók közepén igazolódik. Másodszor, ha átlót húzunk bármelyik ellentétes csúcs közé, megállapíthatjuk, hogy minden csúcsnak egyetlen metszéspontja van. Érdemes megjegyezni azt a tulajdonságot is, hogy az ellentétes arcok mindig egyenlőek, és szükségszerűen párhuzamosak lesznek egymással.

A természetben a következő típusú paralelepipedonokat különböztetik meg:

téglalap alakú - téglalap alakú lapokból áll;

egyenes - csak téglalap alakú oldalfelületei vannak;

a ferde paralelepipedon oldalfelületei nem merőlegesek az alapokra;

kocka - négyzet alakú lapokból áll.

Próbáljuk meg megtalálni a paralelepipedon területét, példaként ennek az ábrának a téglalap alakú típusát használva. Mint már tudjuk, minden lapja téglalap alakú. És mivel ezeknek az elemeknek a száma hatra csökkent, akkor miután megtudta az egyes arcok területét, össze kell foglalnia a kapott eredményeket egy számba. És mindegyik területének megtalálása nem nehéz. Ehhez meg kell szorozni a téglalap két oldalát.

A téglatest területének meghatározásához matematikai képletet használnak. Az éleket, területet jelző ikonikus szimbólumokból áll, és így néz ki: S=2(ab+bc+ac), ahol S az ábra területe, a, b az alap oldalai, c az oldalsó él.

Adjunk hozzávetőleges számítást. Tegyük fel, hogy a = 20 cm, b = 16 cm, c = 10 cm Most meg kell szorozni a számokat a képlet követelményeinek megfelelően: 20*16+16*10+20*10, és megkapjuk a 680-as számot. cm2. De ez csak a fele lesz az ábrának, hiszen megtanultuk és összegeztük a három arc területét. Mivel minden oldalnak megvan a maga „duplája”, meg kell dupláznia a kapott értéket, és a paralelepipedon területe 1360 cm2 lesz.

Az oldalfelület kiszámításához használja az S=2c(a+b) képletet. A paralelepipedon alapterületét úgy kaphatjuk meg, hogy az alap oldalainak hosszát megszorozzuk egymással.

A mindennapi életben gyakran találkozhatunk paralelepipedonokkal. Egy tégla, egy fadoboz, egy közönséges gyufásdoboz formája emlékeztet a létezésükre. Mindenki bőven találhat példát magunk körül. Az iskolai geometria programokban több leckét szentelnek a paralelepipedon tanulmányozásának. Az első egy téglalap alakú paralelepipedon modelljeit mutatja be. Ezután a tanulók megmutatják, hogyan kell bele illeszteni egy labdát, piramist vagy más figurát, és meg kell találni a paralelepipedon területét. Egyszóval ez a legegyszerűbb háromdimenziós figura.

Az 5. osztályos matematika szakon a négyszögletes paralelepipedon témakört tanulják. Ma a téglalap alakú paralelepipedon oldalsó felületének és az ábra teljes felületének meghatározására szolgáló képletekről fogunk beszélni, amelyek leggyakrabban nehézséget okoznak a diákok számára a téma tanulmányozása során.

Definíciók

A paralelepipedon egy olyan alak, amely hat négyszögből áll. Ha ennek az ábrának az alján van egy téglalap, akkor a poliédert téglatestnek nevezzük.

A téglalap alakú paralelepipedonnak négy oldallapja van. Ezek közül kettőt a poliéder alapjának nevezünk. A nagy latin betűket az ábra csúcsainak jelzésére használjuk.

Ha két lapnak nincs közös éle, akkor ellentétesnek nevezzük őket. Mivel minden lap egy téglalap, ahol a szemközti oldalak egyenlőek, akkor egy téglatest szemközti oldalai egyenlőek.

A lapok oldalai élek, a figurának 12 éle van. Az élek hossza határozza meg a négyszögletes paralelepipedon fő jellemzőit: terület, kerület, térfogat.

Rizs. 1. Téglalap alakú paralelepipedon

Gyakran találkozunk életünkben példákkal ilyen figurákra: tégla, doboz, számítógépes rendszeregység.

A matematikai ábrát - egy téglalap alakú paralelepipedont - aktívan használják a művészetben, az építészetben és más területeken.

Többféle paralelepipedon létezik, amelyek alapja négyzet, paralelogramma vagy téglalap alakú.

Képlet a terület megtalálásához

Egy téglalap alakú paralelepipedon oldalsó felületének meghatározásához külön-külön ki kell számítani az egyes oldalsó felületek területét, majd összegezni a kapott értékeket.

$S = ac, a, b, c$ – az ábra oldalai.

Rizs. 2. Téglalap alakú paralelepipedon

És mivel a szemközti lapok egyenlőek, azaz $AMPD = BNKC$, $AMNB = DPKC$, ezek összege a sokszög oldalfelületének területe lesz.

Ennek megfelelően a téglalap alakú paralelepipedon teljes felületének kiszámításához össze kell adni az oldalfelület területét és az alap két területét. Az eredmény egy téglalap alakú paralelepipedon területére vonatkozó képlet.

$S = 2(ab + ac) + 2 bc = 2(ab + ac + bc)$

Néha az egyértelműség kedvéért egy rövid jelölést írnak a terület jele mellé, például S p.p - teljes felület vagy S b.p - oldalfelület. Ez segít elkerülni a szükséges adatok összekeverését egy feladat végrehajtása során.

Példafeladat

Határozza meg egy téglalap alakú paralelepipedon teljes felületét, ha az alap hossza és szélessége 4 cm, illetve 3 cm, magassága pedig 2 cm.

A paralelepipedon egy négyszögű hasáb, amelynek alapjában paralelogramma található. Az ábra oldalsó és teljes felületének kiszámításához kész képletek vannak, amelyekhez csak a paralelepipedon három dimenziójának hossza szükséges.

Hogyan találjuk meg a téglalap alakú paralelepipedon oldalfelületét

Különbséget kell tenni a négyszögletes és az egyenes paralelepipedon között. Egy egyenes alakzat alapja tetszőleges paralelogramma lehet. Egy ilyen szám területét más képletekkel kell kiszámítani.

Egy téglalap alakú paralelepipedon oldallapjainak S összegét a P*h egyszerű képlettel számítjuk ki, ahol P a kerület, h pedig a magasság. Az ábrán látható, hogy egy téglalap alakú paralelepipedon szemközti oldalai egyenlőek, és a h magasság egybeesik az alapra merőleges élek hosszával.

Egy téglatest felülete

Az ábra teljes területe az oldalból és 2 alapterületből áll. Hogyan találjuk meg a téglalap alakú paralelepipedon területét:

Ahol a, b és c a geometriai test méretei.
A leírt képletek könnyen érthetők, és számos geometriai feladat megoldásában hasznosak. A következő képen látható egy példa egy tipikus feladatra.

Az ilyen jellegű problémák megoldása során emlékezni kell arra, hogy a négyszögű prizma alapját önkényesen választják ki. Ha az x és 3 méretű arcot vesszük alapul, akkor az Sside értékei eltérőek lesznek, és a Stotal 94 cm2 marad.

Egy kocka felülete

A kocka egy téglalap alakú paralelepipedon, amelyben mind a 3 dimenzió egyenlő. Ebben a tekintetben a kocka teljes és oldalsó területének képlete eltér a szabványostól.

A kocka kerülete 4a, ezért Sside = 4*a*a = 4*a2. Ezek a kifejezések nem a memorizáláshoz szükségesek, de jelentősen felgyorsítják a feladatok megoldását.

Példa a probléma megoldására

A megadott képletek egy paralelepipedon átlóinak keresésekor használhatók.

A B1D megtalálásához elegendő a Pitagorasz-tételt alkalmazni: a lábak négyzeteinek összege megegyezik a hipotenusz négyzetével.