Keresse meg a z függvény teljes differenciálját. Teljes differenciálmű

IV... KÉT VÁLTOZÓ FUNKCIÓI

§ 10. Két változó függvényének differenciálásának alapjai

Részleges származtatott függvénytől a változóig x A határ

.

Egy függvény részleges deriváltja
változó szerint y A határ

.

Megfelelő jelölések: és , vagy és .

Derivált A függvény változásának üteme a változó kis változásával x amikor a változó yállandó. Magától értetődően, - új funkció.

Amikor keres Elhinni azt y Betűvel (paraméterrel) kifejezett szám. Ekkor egy változó függvényét kapjuk
, és ennek deriváltját egy változó függvényének differenciálási szabályai szerint találjuk meg.

Ugyanilyen módon A függvény változásának sebessége egy kis változással yés állandó x, és amikor keres függvényt összeállítani
és megkülönböztetni egy változó függvényében.

1. példa. A függvény részleges származékai:

2. példa. Keresse meg a függvény parciális deriváltjait
:

Az 1. esetben állandó tényezőt vettek ki
független valamitől x, a második esetben pedig a tényező független valamitől y.

3. példa. A függvényhez azt találjuk

Teljes differenciálmű
megmutatja, hogyan ról ről a funkció megváltozik, ha növeli xösszeggel
és ugyanakkor y- összeggel
(ha
vagy
, akkor csökkenésről beszélünk x vagy y).

4. példa. Meg fogjuk találni teljes differenciálmű funkció
v Általános nézetés a ponton
:

a)
- nál nél
a hatványfüggvény deriváltját kapjuk;

b)
- nál nél
az exponenciális függvény deriváltját kapjuk.

Így általános formában, vagy ha kiveszed a közös tényezőt ,.

A teljes differenciálszám megtalálása egy ponton a koordinátáinak behelyettesítésével
és
, azután.

Az eredmény értelme... Legyen szükség például a függvény értékének megkeresésére
azon a ponton
, vagy, ami ugyanaz, keresse meg az értéket
.

Ha a lényeget vesszük
, azután. Amikor egy pontra megy N az érvek változása volt és (a különbség a régi és az új koordináták között).

Teljes differenciál pont M (nem bent N! )

egyenlő a függvény növekedésével a pontból való áthaladáskor
v
.

Ezért . Pontosabban,
.

5. példa. Keressük meg a teljes differenciálokat több funkcióhoz, általános formában és egy adott ponton M:

a) legyen
;
, azután

Differenciál általában

azon a ponton M akarat

b) adják meg őket
és
; azután

Differenciál általában:

v) ha adott
és
, azután

Egyszerűsítsük a számlálókat:

;
.

A teljes differenciálban kivesszük a közös tényezőt:

helyettesítse a pont koordinátáit:

vagy
.

Tehát megtalálni
, fontolgat
, majd és utána

és ennek megfelelően.

6. példa. A teljes differenciál segítségével megtaláljuk a függvény értékét
nál nél
(a szög radiánban van megadva).

Válasszunk egy pontot a lehető legközelebb
hogy könnyen ki tudja számítani az értéket
... Ez a lényeg
:
.

Részleges származékok általában:

,,

és a ponton
lesz, és
.

Szóval, közel a lényeghez
a függvény nagyjából ugyanúgy változik, mint a változó x... A mi esetünkben .

A függvény új értéke.

A pontosabb érték majdnem megegyezik a hozzávetőleges értékkel. A különbség abból adódik, hogy
, nem 1;

Válasz: .

7. példa. A teljes differenciálművet használva azt találjuk
.

Ezt a számot a függvény értékeként ábrázoljuk
azon a ponton
... Hol
és
, és ilyen érvek esetén a függvény
könnyen kiszámítható:
.

Így,
,
,
,
.

Azután
Na gyere.

For
parciális származékok

;
.

Azon a ponton M
és
, azután

(a függvény kétszer gyorsabban növekszik, mint a 2. argumentum).

Válasz:(pontosabb érték
).

CP1. Részleges származékok keresése a függvényekhez

3) a); b)
;

v)
; G)
;

CP2. Keresse meg a függvények összes differenciálját a megadott ponton:

2) a)
; b)
;

v)
; G)
;

ChP3. Keresse meg a hozzávetőleges értékeket a teljes differenciál segítségével

1) a)
; b)
; v)
; G)
;

2) a)
; b)
; v)
; G)
;

3) a)
; b)
; v)
; G)
;

4) a) ; b) ; v) ; G) .

Két változó függvényének extrémuma

Pont M függvény minimális pontjának nevezzük
ha szabad területet lehet megadni D(a gép része xOy), amelyben az érték
- a legkisebb az összes közül. Szigorúbban, M A minimális pont, ha van D, mit

a)
(a pont ebbe a területbe tartozik, és nem tartozik a határához);

b) (ugyanazon régió bármely más pontján a függvény értéke kisebb, mint a számunkra érdekes helyen).

Feltétellel cserélve
megkapjuk a maximális pont definícióját.

Például,
A függvény minimális pontja, mivel azon és bármely más ponton
.

Egy függvény extrém pontjainak keresési sémája

1) Keresse meg és , akkor - pont
ahol mindkét derivált értéke 0;

2) keresse meg a 2. deriváltokat
, azaz illetőleg
;

3) pontkoordináták
helyettesítő a 2. deriváltban. Megkapjuk a számokat

4) ha
, azon a ponton
nincs szélsőség. Ha
, akkor nézzük a jelzést A:

ha
, azután
- minimális pont,

ha
, azután
- maximális pont;

5) ha benne van
kiderült, hogy
, más megoldási módszerekre van szükség a tankönyv keretein túl (Taylor -sorozat bővítése);

6) ugyanígy, a 3., 4. és 5. lépést a fennmaradó pontokra hajtják végre.

8. példa. Keressük a függvény szélsőségeit.

1)

megoldjuk a rendszert

(az egyenletek egymástól függetlenül oldódnak meg, és a koordináták minden kombinációja megfelelő);

2) keresse meg a 2. deriváltokat

;

;

A lényeg ellenőrzése
helyettesítése
és
:

3) ;
;
;

4), extremum be
nem.

A lényeg ellenőrzése
helyettesítése
és
:

3) ;
;
;

4), az extrém be
van.

Amennyiben
, akkor ez az extrém minimum. Megtalálhatja a jelentését.

Válasz: minimum at
és
–50.

9. példa. Vizsgáljuk meg az extrém funkcióját.

1) Keresse meg

megoldjuk a rendszert

A második egyenletnek 3 gyökere van: -1, 0 és 1, de a koordináták függnek:

ha
, azután
,

ha
, azután
,

ha
, azután
.

3 pontot kapunk :;

2) vegyük a 2. deriváltokat

;
;
;

ellenőrző pont
:

3)
;
;
;

4), ben
extrémum, és azóta
, akkor ez az extrém minimum. Jelentése;

ellenőrző pont
:

3)
;
;
;

4), extremum be
nem.

Ezt könnyű belátni
az eredmények ugyanazok, mint a
.

Válasz: minimum –2, at
és
és azért is
és
.

1. megjegyzés. Ha megváltoztatja a függvényrekord összes jelét, a minimális pontokból maximális pontok lesznek, és fordítva. Ebben az esetben a pontok koordinátái nem változnak. Tehát a 9. példából az következik, hogy a maximumot 2 -vel kapjuk
és
és azért is
és
.

Ha bármilyen számot hozzáad (vagy kivon) a függvényhez, akkor csak az extrém értéke változik, de a típusa nem. Tehát a függvény maximális értéke:
és
és azért is
és
2 + 50 = 52.

ChP4.a, b... Keresse meg a függvény értékét ezen a ponton, és határozza meg az extrém típusát:

a) a = 2; b= 3; b) a = 3; b= 2; v) a = 2; b= 5; G) a = 5; b = 4;

e) a = 6; b= 1; e) a = 1; b= 2; g) a = 0; b= 4; h) a = 3; b = 0.

CP5. Keresse meg a függvény szélsőpontját a megadott paraméterekkel a, b... Keresse meg a függvény értékét, határozza meg az extrém típusát:

a) a = 2; b= 3; b) a = 3; b= 2; v) a = 2; b= 5; G) a = 5; b = 4;

e) a = 6; b= 1; e) a = 1; b= 2; g) a = 0; b= 4; h) a = 3; b = 0.

2. megjegyzés. Két változó függvényei összetettebben viselkednek, mint egy változó függvényei. Tehát az extrém problémák megoldásakor:

a) még a folyamatos függvényeknek is lehet több maximális pontja és egyetlen minimális pontja sem (vagy fordítva);

b) minden állópont lehet nyeregpontok amelyből a függvény változik xés változáskor csökken y(Vagy fordítva). Így a függvénynek nem lesz sem maximális, sem minimuma.

3. megjegyzés. A fenti extremum kutatási séma feltételezi, hogy a funkció differenciálható az extremum pontokon. Ez azonban nem kötelező. Szóval, a funkció
azon a ponton
maximuma van, de származékai egy adott ponton a végtelenbe fordulnak. Az ilyen esetek nem tartoznak a kézikönyv hatálya alá.

ChP6. Vizsgálja meg az extremum funkcióit, és adja meg az extremum értékét.

Legyen Z = f (x; y) definiálva az M (x; y) pont valamely szomszédságában, a teljes ∆Z = f (x + ∆x, y + ∆y) -f (x, y) növekmény. Z = f (x; y) differenciálhatónak nevezzük M (x; y) -ben, ha teljes növekedése a következőképpen ábrázolható: ∆Z = A∆x + B∆y + α∆x + β∆y, ahol α = α (∆х, ∆у) → 0 és β = β (∆х, ∆у) → 0 mint ∆х → 0, ∆у → 0. Az első két tag összege a függvénynövekedés fő része. A növekmény funkció fő része∆x és ∆y vonatkozásában lineárisnak nevezzük a függvény teljes differenciálját, és dZ = A∆x + B∆y szimbólummal jelöljük. Az A∆x és B∆y kifejezéseket parciális differenciáloknak nevezzük. A független х és у változókhoz ∆x = dx, ∆y = dy állítjuk be. Ezért dZ = Adx + Bdy.

1. Tétel.(szükséges feltétel funkció differenciálása). Ha Z = f (x; y) differenciálható az M (x; y) pontban, akkor ezen a ponton folytonos, és részleges deriváltjai vannak, és , és = A; = B.

Így felírhatjuk dZ = dx + dy vagy dZ = d x Z + d y Z.

2. Tétel. Ha Z = f (x; y) az M (x; y) pontban Z ′ x és Z ′ folyamatos parciális deriváltja van, akkor ezen a ponton differenciálható, és teljes differenciáját az írott képlet fejezi ki felett.

Ahhoz, hogy a Z = f (x; y) függvény egy ponton differenciálható legyen, szükséges, hogy legyen benne részderivált, és elegendő, ha a ponton folyamatos parciális deriváltjai legyenek.

Egy vagy több változó függvényének differenciálszámainak kiszámítására vonatkozó szabály számtani tulajdonságai megmaradnak két vagy több változó függvényének differenciái esetén.

1. Magasabb rendű differenciálművek

A teljes differenciált nevezzük elsőrendű differenciálnak. Legyen Z = f (x; y) folyamatos másodrendű parciális deriváltja. A másodrendű differenciálást ebben az esetben a képlet határozza meg
... Keressük d 2 Z = d ( dx + dy) = ( dx + dy) х ′ dx + ( dx + dy) у ′ dу = ( dx + dy) dx + ( dx + dy) dу, innen d 2 Z = dx 2 +2 dxdy + dy 2. Szimbolikusan ezt a következőképpen írhatjuk fel: d 2 Z = (
) 2 Z. Hasonlóképpen kaphatjuk meg a képletet

d 3 Z = d (d 2 Z) == (
) 3 Z, és d n Z esetén (
) n Z. Mindezek az összefüggések csak akkor érvényesek, ha a Z = f (x; y) függvény x és y változói függetlenek.

1. Összetett függvény származéka. Teljes származék

Legyen Z = f (x; y) két x és y változó függvénye, amelyek mindegyike a t x = x (t), y = y (t) független változó függvénye. Ebben az esetben Z = f (x (t); y (t)) egy független t változó összetett függvénye, és az x és y változók köztes változók.

Tétel. Ha Z = f (x; y) differenciálható az M (x, y) és x = x (t) pontban, akkor y = y (t) a t független változó differenciálható függvényei, akkor a derivált összetett funkció Z (t) = f (x (t); y (t)) a képlet alapján számítjuk ki
.

Bizonyíték. Adjuk meg egy független t a mentt növekményt. Ekkor x = x (t) és y = y (t) increx és ∆y lépést kap. Ezek viszont a Z funkció ∆Z növekedését okozzák. Mivel Z = f (x; y) hipotézis szerint differenciálható M (x, y) -ben, akkor teljes növekedése ∆Z =
, ahol α → 0 β → 0, mint ∆х → 0 és ∆у → 0. Osztjuk ∆Z -t ∆t -vel, és átmegyünk a ∆t → 0 határértékre, majd ∆х → 0 és ∆у → 0 a х = х (t) függvények folytonossága miatt; y = y (t) kapjuk :, vagyis.

8 invariancia a teljes differenciál alakjában

A komplex függvény megkülönböztetésére vonatkozó szabályok segítségével kimutatható, hogy a teljes differenciál invariancia tulajdonsággal rendelkezik, azaz megtartja ugyanazt a formát, függetlenül attól, hogy az argumentumok független változók vagy független változók függvényei.

Legyen Z = f (x; y), ahol x, y független változók, akkor a teljes differenciál (1. rend) dZ = alakú

Tekintsünk egy összetett függvényt Z = f (x; y), ahol x = x (u, ), y = y (u, ), azaz funkció

Tekintsünk két változó függvényét z = f (x, y)és annak teljes növekedése a ponton M 0 (x 0, y 0)

Δ z = f (x 0 + Δ x, y 0 + Δ y) - f (x 0, y 0).

Meghatározás... Ha léteznek számok Pés Qúgy, hogy a teljes növekmény ábrázolható

Δ z = PΔ x + QΔ y + ε Δρ,

hol és ε→ 0 nál nél Δρ→ 0 , majd a kifejezés PΔ x + QΔ y függvény teljes differenciáljának nevezzük z = f (x, y) azon a ponton M 0 (x 0, y 0).

Ebben az esetben a teljes funkciónövekedés két részből áll: az első részből PΔ x + QΔ y tekintetében lineáris Δ xés Δ y, a második végtelenül kisebb rendű, összehasonlítva.

Teljes differenciál funkció z = f (x, y) jelöli dz, vagyis

dz = PΔ x + QΔ y.

Azt a függvényt, amelynek teljes pontkülönbsége van egy adott ponton, differenciálhatónak nevezzük.

Tétel... Ha u = f (M) ponton differenciálható M 0, akkor folyamatos benne.

Megjegyzés... A két változó függvényének folytonossága nem jelenti annak differenciálhatóságát.

Példa. folyamatos benne (0,0) , de nem rendelkezik részleges származékkal - nem létezik. Hasonlóképpen nincs részleges derivált a tekintetében y... Következésképpen a funkció nem differenciálható.

Tétel [a differenciálhatóság szükséges feltétele]... Ha z = f (x, y) ponton differenciálható M 0, akkor ezen a ponton részleges deriváltjai vannak ahhoz képest xés y, és

f ′ x (x 0, y 0) = P, f ′ y (x 0, y 0) = Q.

Megjegyzés... A részleges származékok létezéséből nem következik a differenciálhatóság. Példa:

Nekünk van , de a függvény nem folyamatos, ezért nem differenciálható.

Tétel [elegendő feltétel a differenciálhatósághoz]... Ha a függvény első parciális deriváltjai z = f (x, y) a pont valamely szomszédságában vannak definiálva M 0 (x 0, y 0)és a ponton folyamatosak M 0, akkor ennek a függvénynek teljes differenciája van ezen a ponton.

Megjegyzés... Nekünk van

Δ z = f ′ x (x 0, y 0) Δ x + f ′ y (x 0, y 0) Δ y + ε Δρ,

ahol ε→ 0 nál nél Δρ→ 0 ... Ennélfogva,

f (x 0 + Δ x, y 0 + Δ y) - f (x 0, y 0) ≈ f ′ x (x 0, y 0) Δ x + f ′ y (x 0, y 0) Δ y

f (x 0 + Δ x, y 0 + Δ y) ≈ f (x 0, y 0) + f ′ x (x 0, y 0) Δ x + f ′ y (x 0, y 0) Δ y.

Ezt a képletet használják a hozzávetőleges számításokhoz.

Rögzítve Δ xés Δ y a teljes differencia a változók függvénye xés y:

Rakjuk dx = Δ x, dy = Δ yés ezeket a mennyiségeket független változók differenciáinak nevezzük.

Aztán megkapjuk a képletet

vagyis a függvény teljes differenciája megegyezik az első részderivatívák szorzatának összegével az argumentumok megfelelő differenciáival.

Három változó függvényének teljes differenciálját hasonló módon határozzák meg és fejezik ki. Ha u = f (x, y, z)és vannak számok P, Q, R oly módon, hogy

Δ u = PΔ x + QΔ y + RΔ z + εΔρ, ε → 0 nál nél δρ→ 0 ,

akkor a teljes differencia a kifejezés

du = PΔ x + QΔ y + RΔ z.

Ha ennek a függvénynek az első parciális deriváltjai folyamatosak, akkor

ahol dx = Δ x, dz = Δ z, dz = Δ z.

Meghatározás... Néhány függvény második rendjének teljes differenciálja a teljes differenciáljának teljes differenciája.

Ha z = f (x, y), dz = z ′ x dx + z ′ y dy, azután

Érintősík és felület normál

Vegye figyelembe a felületet S az egyenlet adja meg

z = f (x, y).

Legyen f (x, y) részleges deriváltjai vannak egy bizonyos területen. Fontolgat M 0 (x 0, y 0).

- az érintő meredeksége a pontban M 0 felület egy síkbeli szakaszához y = y 0, vagyis a vonalhoz z = f (x, y 0)... Ennek a vonalnak az érintője így néz ki:

z-z 0 = f ′ x (x 0, y 0) (x-x 0), y = y 0.

Hasonlóképpen a sík egy szakasza x = x 0 megadja az egyenletet

z-z 0 = f ′ y (x 0, y 0) (y-y 0), x = x 0.

Mindkét egyenest tartalmazó sík egyenlete

z-z 0 = f 'x (x 0, y 0) (x-x 0) + f' y (x 0, y 0) (y-y 0)

és a felület érintő síkjának nevezzük S azon a ponton P 0 (x 0, y 0, z 0).

Vegye figyelembe, hogy az érintő sík egyenlete átírható

z-z 0 = df.

Így a teljes differenciál geometriai jelentése: a pontbeli differenciál M 0 növelésére (x-x 0, y-y 0) az érintőssík egy pontjának a felületre történő felhelyezésének növekedése z = f (x, y) azon a ponton (x 0, y 0) ugyanazokért a lépésekért.

Az érintő síknak normál vektora van a pontban (x 0, y 0, z 0) - \ vec (n) = (f 'x (x 0, y 0), f' y (x 0, y 0), -1)... Vonal a ponton keresztül P 0és van irányvektoruk \ vec (n), a felszín normáljának nevezzük z = f (x, y) ezen a ponton. Az egyenletei:

Az összetett funkciók megkülönböztetése

Adjunk meg egy differenciálható függvényt z = F (v, w) amelynek argumentumai a változók differenciálható függvényei xés y:

v = v (x, y), w = w (x, y).

Ha ebben az esetben a függvény

z = F (v (x, y), w (x, y)) = \ Phi (x, y)

van értelme, akkor a komplex függvénynek nevezzük xés y.

Tétel... Részleges származékok z ′ x, z 'y bonyolult függvények léteznek, és képletekkel fejezik ki

Ha vés w- egy változó differenciálható funkciói t, vagyis

v = v (t), w = w (t),

és a funkciónak van értelme

z = F (v (t), w (t)) = f (t),

akkor deriváltját a képlet fejezi ki

Ezt a származékot teljes származtatottnak nevezik.

Ha differenciálható függvény van megadva

u = F (ξ, η, ζ),

akinek érvei ξ = ξ (t), η = η (t), ζ = ζ (t)- a változó differenciálható funkciói tés funkció

u = F (ξ (t), η (t), ζ (t))