A korlátok minden matematikahallgatónak sok gondot okoznak. A korlát megoldásához néha sok trükköt kell alkalmaznia, és a különféle megoldási módszerek közül pontosan azt kell választania, amely megfelel egy konkrét példának.

Ebben a cikkben nem segítünk megérteni képességei határait vagy megérteni az irányítás határait, de megpróbálunk válaszolni a kérdésre: hogyan kell megérteni a korlátokat a magasabb matematikában? A megértés tapasztalattal jár, ezért adunk néhányat részletes példák megoldáshatárok magyarázatokkal.

Limit fogalom a matematikában

Az első kérdés: mi ez a határ és mi a határ? Beszélhetünk a numerikus sorozatok és függvények határairól. Érdekel minket a függvény határainak fogalma, mivel velük találkoznak leggyakrabban a diákok. De először a határ legáltalánosabb meghatározása:

Tegyük fel, hogy van valami változó. Ha ez az érték a változás folyamatában végtelenül megközelít egy bizonyos számot a , azután a Ennek az értéknek a határa.

Egy bizonyos intervallumban meghatározott függvényhez f (x) = y az ilyen számot limitnek nevezik A , amelyre a funkció hajlamos NS hajlamos egy bizonyos pontra a ... Pont a abba az intervallumba tartozik, amelyen a függvény definiálva van.

Nehezen hangzik, de nagyon egyszerű írni:

Lim- angolról határ az a határ.

A határ meghatározására van geometriai magyarázat is, de itt nem térünk ki az elméletre, hiszen minket inkább a gyakorlati, mint a kérdés elméleti oldala érdekel. Amikor ezt mondjuk NS valamilyen értékre hajlik, ez azt jelenti, hogy a változó nem veszi fel a szám értékét, hanem végtelenül közel áll hozzá.

Mondjunk egy konkrét példát. A kihívás az, hogy megtaláljuk a határt.

A példa megoldásához cserélje ki az értéket x = 3 függvénybe. Kapunk:

Egyébként, ha érdekel, olvass el egy külön cikket ebben a témában.

A példákban NS törekedhet bármilyen értékre. Ez lehet bármilyen szám vagy végtelen. Íme egy példa, amikor NS hajlamos a végtelenségig:

Intuitív módon világos, hogy minél nagyobb a szám a nevezőben, annál kisebb értéket vesz fel a funkció. Tehát korlátlan növekedéssel NS jelentése 1 / x csökkenni fog, és megközelíti a nullát.

Amint láthatja, a határ megoldásához csak be kell cserélnie a függvénybe a törekedni kívánt értéket NS ... Ez azonban a legegyszerűbb eset. A határ megtalálása gyakran nem olyan egyértelmű. Bizonytalanságok, mint pl 0/0 vagy végtelen / végtelen ... Mit kell tenni ilyen esetekben? Trükkökhöz folyamodni!

Bizonytalanságok belül

A végtelenség / végtelen forma bizonytalansága

Legyen egy határ:

Ha megpróbáljuk a végtelent helyettesíteni a függvénnyel, akkor a számlálóban és a nevezőben is végtelenséget kapunk. Általánosságban elmondható, hogy az ilyen bizonytalanságok feloldásában van egy bizonyos művészeti elem: meg kell jegyezni, hogy egy funkció hogyan alakítható át úgy, hogy a bizonytalanság megszűnik. Esetünkben elosztjuk a számlálót és a nevezőt NS felső tagozaton. Mi történik?

A fenti példából már tudjuk, hogy a nevezőben x -et tartalmazó kifejezések nullára hajlanak. Akkor a megoldás a határértékre a következő:

Nyilvánosságra hozni a bizonytalanságokat, mint pl végtelen / végtelen oszd el a számlálót és a nevezőt NS a legmagasabb fokig.

Mellesleg! Olvasóink számára most 10% kedvezmény jár

Egy másik típusú bizonytalanság: 0/0

Mint mindig, a helyettesítés az értékfüggvényben x = -1 ad 0 a számlálóban és a nevezőben. Nézzen meg egy kicsit alaposabban, és észre fogja venni, hogy van egy másodfokú egyenletünk a számlálóban. Keresd meg a gyökereket és írd le:

Rövidítsük le és kapjuk meg:

Tehát, ha olyan bizonytalansággal kell szembenéznie, mint a 0/0 - számolja ki a számlálót és a nevezőt.

A példák megoldásának megkönnyítése érdekében táblázatot adunk néhány függvény korlátairól:

L'Hôpital uralma belül

Egy másik hatékony technika mindkét típusú bizonytalanság kiküszöbölésére. Mi a módszer lényege?

Ha bizonytalanság van a határban, akkor a számláló és a nevező deriváltját vesszük, amíg a bizonytalanság el nem tűnik.

L'Hôpital szabálya így néz ki:

Fontos pont : léteznie kell annak a határnak, amelyben a számláló és a nevező helyett a számláló és a nevező származékai vannak.

És most egy igazi példa:

Tipikus bizonytalanság 0/0 ... Vegyük a számláló és nevező származékait:

Voila, a kétértelműség gyorsan és elegánsan megoldódik.

Reméljük, hogy hasznosan tudja alkalmazni ezeket az információkat a gyakorlatban, és választ talál arra a kérdésre, "hogyan lehet megoldani a határokat a magasabb matematikában". Ha egy pontban ki kell számolnia egy sorozat határt vagy egy függvény korlátját, és nincs ideje erre a munkára a "egyáltalán" szóból, forduljon a professzionális hallgatói szolgálathoz a gyors és részletes megoldásért.

Ma megvizsgálunk néhány új problémát a határ megtalálására egy ponton. Kezdjük azzal egyszerű példák az értékhelyettesítést leggyakrabban az iskolai matematika tananyagának 11. évfolyamán veszik figyelembe.
Ezután megállunk és elemezzük a határokat bizonytalanságokkal, a bizonytalanságok nyilvánosságra hozatalának módszereivel, az első és a második fontos határ és azok következményeinek felhasználásával.
Ezek a példák nem fedik le teljes egészében a témát, de sok kérdést tisztáznak.

Keresse meg a függvény korlátját egy pontban:

46. ​​példa Egy függvény határát egy ponton a helyettesítés határozza meg

Mivel a tört nevezője nem fordul nullára, minden iskolai végzős képes megoldani egy ilyen problémát.

47. példa Van egy töredék polinomunk, ráadásul a nevező nem tartalmaz szingularitást (nem egyenlő nullával).
Egy másik feladat, valójában a 11. osztálynak.

48. példa A helyettesítési módszerrel meghatározzuk a függvény határértékét
A feltételből az következik, hogy a függvény határa kettővel egyenlő, ha a változó a végtelenség felé hajlik.

49. példa. Az x = 2 közvetlen helyettesítés azt mutatja, hogy a pont határának szingularitása van (0/0). Ez azt jelenti, hogy mind a számláló, mind a nevező implicit módon tartalmaz (x-2) -t.
Elvégezzük a polinomok faktorizálását prímtényezőkké, majd töröljük a törtet a megadott tényezővel (x-2).
A maradék tört határértékét a helyettesítési módszerrel találjuk meg.

50. példa Egy függvény határa egy ponton szingularitással rendelkezik (0/0).
Megszabadulunk a gyökök közötti különbségtől, ha megszorozzuk a gyökösszeggel (konjugált kifejezés), kibővítjük a polinomot.
Továbbá a függvény egyszerűsítésével megtaláljuk a határérték egységét.

51. példa Vegyünk egy komplex határok problémáját.
Eddig az irracionalitást megszüntették a konjugált kifejezéssel való szorzással.
Itt, a nevezőben, köbgyökünk van, ezért a kockák közötti különbség képletét kell használnia.
Az összes többi átalakítást feltételről állapotra ismételjük.
A polinomot prímtényezőkre bontjuk,
tovább töröljük a szingularitást bevezető tényezővel (0)
és x = -3 helyettesítésével megtaláljuk a függvény határát a pontban

52. példa Az űrlap egyik jellemzőjét (0/0) az első figyelemre méltó korlát és annak következményei alapján tárjuk fel.
Először a trigonometrikus képlet szerint írjuk fel a szinuszok különbségét
sin (7x) -sin (3x) = 2sin (2x) cos (5x).
Továbbá kiegészítjük a tört számlálóját és nevezőjét olyan kifejezésekkel, amelyek szükségesek a fontos határok kiemeléséhez.
Átmegyünk a korlátok szorzatán, és becsüljük az egyes tényezők beágyazódását.

Íme az első figyelemre méltó korlát:

és annak következményei


ahol a és b tetszőleges számok.

53. példa A bizonytalanság feltárására, amikor a változó nullára hajlik, a második figyelemre méltó korlátot használjuk.
A kitevő kiemeléséhez a kitevőt a 2. figyelemre méltó határértékre visszük, és minden más, ami a határon marad, az exponenciális fokot adja.


Itt egy következtetést használtunk a második figyelemre méltó korlátból:

Funkció korlátjának kiszámítása egy pontban:

54. példa Meg kell találnia egy függvény határát egy ponton. Az érték egyszerű helyettesítése azt mutatja, hogy nullák osztása van.
Ennek kibontásához bontjuk fel a polinomokat prímtényezőkké, és végezzük el a törlést egy olyan tényezővel, amely bevezeti a szingularitást (x + 2).
A számláló azonban tartalmaz (x + 2) -t is, ami azt jelenti, hogy x = -2 esetén a határ nulla.

55. példa Törtfüggvényünk van - a számlálóban a gyökerek különbsége, a nevezőben - napló.
A közvetlen helyettesítés a forma (0/0) sajátosságát adja.
A változó mínusz eggyel hajlamos, ami azt jelenti, hogy az (x + 1) forma szingularitásait meg kell keresni és meg kell szabadulni.
Ehhez megszabadulunk az irracionalitástól, ha megszorozzuk a gyökösszeggel, és a másodfokú függvényt prímtényezőkké bővítjük.
Az összes törlés után a helyettesítési módszer határozza meg a funkció korlátját a pontban

56. példa A szublimit függvény kinézetéből tévesen azt a következtetést vonhatjuk le, hogy az első korlátot kell alkalmazni, de a számítások azt mutatták, hogy minden sokkal egyszerűbb.
Először a szinuszok összegét írjuk a nevezőbe sin (2x) + sin (6x) = 2sin (4x) * cos (2x).
Ezután tg -t (2x) festünk, és a kettős szög sin (4x) = 2sin (2x) cos (2x) szinuszát.
Egyszerűsítjük a szinuszokat, és a helyettesítési módszerrel kiszámítjuk a tört határértékét

57. példa A második figyelemre méltó korlát használatának problémája:
a lényeg az, hogy ki kell választania azt a részt, amely a kitevőt adja.
A többi, ami a határszakaszban a kitevőben marad, megadja a kitevő mértékét.


Ezzel még nem ér véget a függvények és szekvenciák határaival kapcsolatos problémák elemzése.
Több mint 150 kész válasz a funkciók határáig, ezért tanulmányozza és ossza meg az anyagokkal kapcsolatos linkeket osztálytársaival.

Ebben a cikkben elmagyarázzuk, mi a funkciókorlát. Először magyarázzuk el általános pontok, amelyek nagyon fontosak e jelenség lényegének megértéséhez.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Limit koncepció

A matematikában alapvetően fontos az ∞ szimbólummal jelölt végtelenség fogalma. Végtelenül nagy + ∞ vagy végtelenül kicsi - ∞ számként kell érteni. Amikor a végtelenségről beszélünk, gyakran mindkét jelentést egyszerre értjük, de a + ∞ vagy - ∞ alak jelölését nem szabad egyszerűen ∞ -val helyettesíteni.

A függvénykorlát lim x → x 0 f (x). Alul írjuk az x fő argumentumot, és a nyíllal jelezzük, hogy melyik x 0 értékre fog hajlamos. Ha az x 0 érték egy konkrét valós szám, akkor a függvény határértékével van dolgunk egy ponton. Ha az x 0 érték a végtelenbe hajlik (nem számít, ∞, + ∞ vagy - ∞), akkor beszélnünk kell a függvény végtelen korlátjáról.

A határ véges és végtelen. Ha megegyezik egy adott valós számmal, azaz lim x → x 0 f (x) = A, akkor véges korlátnak nevezzük, de ha lim x → x 0 f (x) = ∞, lim x → x 0 f (x) = + ∞ vagy lim x → x 0 f (x) = - ∞, akkor végtelen.

Ha nem tudjuk meghatározni sem véges, sem végtelen értéket, ez azt jelenti, hogy ilyen korlát nem létezik. Példa erre az esetre a szinusz határa a végtelenben.

Ebben az alfejezetben elmagyarázzuk, hogyan lehet megtalálni egy függvény határértékét egy ponton és a végtelenben. Ehhez be kell vezetnünk az alapvető definíciókat, és emlékeznünk kell arra, hogy mik a numerikus szekvenciák, valamint azok konvergenciája és divergenciája.

1. definíció

Az A szám az f (x) függvény határa, mint x → ∞, ha értékeinek sorrendje A -hoz konvergál bármely végtelenül nagy (negatív vagy pozitív) argumentumsor esetén.

A függvény határértékének jelölése így néz ki: lim x → ∞ f (x) = A.

2. definíció

Az x → ∞ függvényben az f (x) függvény határa végtelen, ha bármely végtelenül nagy érvsorozat értéksora is végtelenül nagy (pozitív vagy negatív).

A rekord így néz ki: lim x → ∞ f (x) = ∞.

1. példa

Bizonyítsa be az egyenlőséget lim x → ∞ 1 x 2 = 0 a határ fő definíciójának használatával, mint x → ∞.

Megoldás

Kezdjük azzal, hogy az x x 1, 2, 3, végtelenül nagy pozitív értéksorhoz írjuk az 1 x 2 függvény értéksorát. ... ... , n ,. ... ... ...

1 1> 1 4> 1 9> 1 16>. ... ... > 1 n 2>. ... ...

Látjuk, hogy az értékek fokozatosan csökkennek, 0 -ra hajlanak. Lásd a képen:

x = - 1, - 2, - 3 ,. ... ... , - n ,. ... ...

1 1> 1 4> 1 9> 1 16>. ... ... > 1 - n 2>. ... ...

Itt is látható egy monoton nullára csökkenés, ami megerősíti az egyenlőség feltételében megadott adatok helyességét:

Válasz: A megadott helyessége az egyenlőség feltételében megerősítést nyer.

2. példa

Keresse meg a lim x → ∞ e 1 10 x határértéket.

Megoldás

A korábbiakhoz hasonlóan kezdjük azzal, hogy az f (x) = e 1 10 x értéksorozatokat leírjuk egy végtelenül nagy pozitív érvsorhoz. Például x = 1, 4, 9, 16, 25 ,. ... ... , 10 2 ,. ... ... → + ∞.

e 1 10; e 4 10; e 9 10; e 16 10; e 25 10; ... ... ... ; e 100 10; ... ... ... = = 1, 10; 1, 49; 2, 45; 4, 95; 12, 18; ... ... ... ; 22026, 46; ... ... ...

Azt látjuk adott sorrendben végtelenül pozitív, ezért f (x) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞

Folytatjuk egy végtelenül nagy negatív sorozat értékeinek írását, például x = - 1, - 4, - 9, - 16, - 25 ,. ... ... , - 10 2 ,. ... ... → - ∞.

e - 10; e - 4 10; e - 9 10; e - 16 10; e - 25 10; ... ... ... ; e - 100 10; ... ... ... = = 0, 90; 0, 67; 0, 40; 0, 20; 0,08; ... ... ... ; 0,0000045; ... ... ... x = 1, 4, 9, 16, 25 ,. ... ... , 10 2 ,. ... ... → ∞

Mivel ez is hajlamos a nullára, akkor f (x) = lim x → ∞ 1 e 10 x = 0.

A probléma megoldása jól látható az ábrán. A kék pontok pozitív értékek sorozatát jelzik, a zöldek - negatív értékeket.

Válasz: lim x → ∞ e 1 10 x = + ∞, n p és x → + ∞ 0, n p és x → - ∞.

Térjünk át egy függvény határértékének egy ponton történő kiszámítására. Ehhez tudnunk kell, hogyan kell helyesen meghatározni az egyoldalú korlátot. Ez hasznos lesz számunkra, hogy megtaláljuk a függvény grafikonjának függőleges aszimptotáit.

3. definíció

A B szám az f (x) függvény határa a bal oldalon, mint x → a abban az esetben, ha értékeinek sorrendje az xn függvény a értékei kisebbek maradnak, mint a (xn< a).

Az ilyen korlátot írásban lim x → a - 0 f (x) = B.

Most tegyük fel, hogy mennyi a függvény határa a jobb oldalon.

4. definíció

A B szám az f (x) függvény jobb oldali korlátja, mint x → a abban az esetben, ha értékeinek sorrendje az xn függvény a értékei nagyobbak maradnak, mint a (xn> a) ...

Ezt a korlátot a következőképpen írjuk: lim x → a + 0 f (x) = B.

Megtalálhatjuk az f (x) függvény határértékét valamikor, amikor a bal és a jobb oldalon egyenlő határok vannak rá, azaz lim x → a f (x) = lim x → a - 0 f (x) = lim x → a + 0 f (x) = B. Mindkét határ végtelensége esetén a függvény határa a kezdeti pontban is végtelen lesz.

Most tisztázzuk ezeket a meghatározásokat azáltal, hogy leírjuk a megoldást egy konkrét problémára.

3. példa

Bizonyítsuk be, hogy az f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 függvénynek véges határa van az x 0 = 2 pontban, és számítsuk ki értékét.

Megoldás

A probléma megoldása érdekében emlékeznünk kell egy függvény határának meghatározására egy ponton. Először is bizonyítsuk be, hogy az eredeti függvénynek van bal határa. Írjunk fel egy függvény értéksorozatát, amely x 0 = 2 -re konvergál, ha x n< 2:

f (-2); f (0); f (1); f 1 1 2; f 1 3 4; f 1 7 8; f 1 15 16; ... ... ... ; f 1 1023 1024; ... ... ... = = 8, 667; 2, 667; 0,167; - 0,958; - 1, 489; 1, 747; -1 874; ... ... ... ; -1, 998; ... ... ... → - 2

Mivel a fenti sorrend - 2 -re csökken, felírhatjuk, hogy lim x → 2 - 0 1 6 x - 8 2 - 8 = - 2.

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

A függvény értékei ebben a sorrendben így néznek ki:

f (6); f (4); f (3); f 2 1 2; f 2 3 4; f 2 7 8; f 2 15 16; ... ... ... ; f 2 1023 1024; ... ... ... = = 7, 333; - 5, 333; - 3, 833; -2, 958; -2,489; - 2,247; - 2, 124; ... ... ... , - 2, 001 ,. ... ... → - 2

Ez a sorozat is - 2 -re konvergál, tehát lim x → 2 + 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.

Azt kaptuk, hogy ennek a függvénynek a jobb és bal oldalán a határok egyenlők lesznek, ami azt jelenti, hogy az f (x) = 1 6 (x - 8) 2-8 függvény határa az x 0 = 2 pontban létezik, és lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.

A megoldás előrehaladását az ábrán láthatja (zöld pontok - x n -hez konvergáló értékek< 2 , синие – к x n > 2).

Válasz: Ennek a függvénynek a jobb és bal oldalán lévő határok egyenlők lesznek, ami azt jelenti, hogy a függvény határa létezik, és lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.

A határok elméletének mélyebb tanulmányozásához javasoljuk, hogy olvassa el a függvény folytonosságáról szóló cikket és a töréspontok fő típusait.

Ha hibát észlel a szövegben, válassza ki azt, és nyomja meg a Ctrl + Enter billentyűkombinációt

Állandó szám a hívott határ szekvenciák(x n) ha tetszőlegesen kicsi pozitív számε > 0 van egy N szám, amely minden értéket tartalmaz x n, amelyre n> N, kielégíti az egyenlőtlenséget

| x n - a |< ε. (6.1)

A következőképpen írják: vagy x n → a.

Az egyenlőtlenség (6.1) egyenlő a kettős egyenlőtlenséggel

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

ami azt jelenti, hogy a pontok x n, valamilyen n> N számtól kiindulva, az intervallumon belül helyezkedik el (a-ε, a + ε ), azaz beleesik bármilyen kicsibeε -a pont környéke a.

Korlátos sorozatot hívunk összetartó, másképp - divergens.

A függvénykorlát fogalma a sorozat határa fogalmának általánosítása, mivel a sorozat határa tekinthető egy egész argumentum x n = f (n) függvényének határértékének n.

Adjunk meg egy f (x) függvényt és hagyjuk a - határpont ennek a függvénynek a tartománya D (f), azaz pont, amelynek bármely szomszédsága a D (f) halmaz pontjaitól eltérő pontokat tartalmaz a... Pont a a D (f) halmazba tartozhat vagy nem.

1. definíció.Az A állandó számot hívják határ funkció f (x) nál nél x →a ha az argumentumértékek bármelyik sorozatára (x n) hajlamos a, a megfelelő sorozatoknak (f (x n)) ugyanaz az A határa.

Ezt a meghatározást ún a függvény határértékének meghatározása Heine szerint, vagy " sorozatok nyelvén”.

2. definíció... Az A állandó számot hívják határ funkció f (x) nál nél x →a if, tetszőlegesen tetszőlegesen kis pozitív ε szám megadásával, lehet ilyen δ -t találni> 0 (ε -tól függően), ami mindenkinek x fekszemε-számnegyedek a, azaz számára x kielégíti az egyenlőtlenséget
0 < x-a< ε , az f (x) függvény értékei benne lesznekε-szomszédsága az A számnak, azaz| f (x) -A |< ε.

Ezt a meghatározást ún a függvény Cauchy -korlátjának meghatározása, vagy „Az ε - δ nyelven “.

Az 1. és 2. definíció egyenértékű. Ha az f (x) függvény x -ként →a van határ egyenlő A -val, ez így van írva

. (6.3)

Abban az esetben, ha a sorozat (f (x n)) korlátlanul növekszik (vagy csökken) bármely közelítési módszer esetén x a határáig a, akkor azt mondjuk, hogy az f (x) függvénynek van végtelen határ,és írd le így:

Egy változót (azaz sorozatot vagy függvényt) hívunk, amelynek határa nulla végtelenül kis érték.

Olyan változót nevezünk, amelynek határa egyenlő a végtelennel végtelenül nagy.

A gyakorlatban keresse meg a határt, használja a következő tételeket.

1. Tétel ... Ha minden határ megvan

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Megjegyzés... Olyan kifejezések, mint 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - bizonytalanok, például két végtelenül kicsi vagy végtelenül nagy mennyiség aránya, és az ilyen korlát megtalálását "bizonytalanságok nyilvánosságra hozatalának" nevezik.

2. Tétel. (6.7)

azok. állandó kitevővel léphet a végpontra a diploma alján, különösen ;

(6.8)

(6.9)

3. Tétel.

(6.10)

(6.11)

ahol e » 2,7 a természetes logaritmus alapja. A (6.10) és (6.11) képlet az első csodálatos határés a második figyelemre méltó korlát.

A (6.11) képlet következményeit a gyakorlatban is alkalmazzák:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

különösen a korlát

Ha x → a és egyben x> a, akkor x -et írnak→ a + 0. Ha különösen a = 0, akkor a 0 + 0 szimbólum helyett írjon +0. Hasonlóképpen, ha x →a és ezenkívül x a-0. A számok és ennek megfelelően hívják őket határ a jobb oldalonés határ maradt funkció f (x) azon a ponton a... Ahhoz, hogy az f (x) függvénynek legyen határa, mint x →a szükséges és elegendő ahhoz ... Az f (x) függvényt meghívjuk folyamatos azon a ponton x 0, ha korlát

. (6.15)

A feltétel (6.15) a következőképpen írható át:

,

vagyis a függvény előjele alatti határig való áthaladás akkor lehetséges, ha az adott ponton folyamatos.

Ha megsértik az egyenlőséget (6.15), akkor azt mondják nál nél x = x o funkció f (x) Van szünet. Tekintsük az y = 1 / x függvényt. Ennek a függvénynek a tartománya a halmaz R, kivéve x = 0. Az x = 0 pont a D (f) halmaz határpontja, mivel bármely szomszédságában, azaz a 0 pontot tartalmazó bármely nyitott intervallum a D (f) pontjait tartalmazza, de maga nem tartozik ebbe a halmazba. Az f (x o) = f (0) érték nem definiált, így a függvény diszkontinuitással rendelkezik az x o = 0 pontban.

Az f (x) függvényt meghívjuk folyamatos a jobb oldalon a ponton x o, ha a határ

,

és ponton folyamatos maradt x o, ha a határ

.

A függvény folytonossága egy ponton x o egyenértékű a folytonosságával ezen a ponton mind a jobb, mind a bal oldalon.

Ahhoz, hogy a funkció folyamatos legyen a ponton x o például a jobb oldalon először is szükség van egy véges korlátra, másodszor pedig, hogy ez a határ egyenlő legyen f (x o) -val. Ezért ha a két feltétel közül legalább az egyik nem teljesül, akkor a függvény megszakad.

1. Ha létezik a határ, és nem egyenlő f (x o) -val, akkor azt mondják funkció f (x) azon a ponton x o van első szünet, vagy Ugrás.

2. Ha a határ+ ∞ vagy -∞ vagy nem létezik, akkor azt mondják, hogy in pont x o a funkciónak hiányossága van második fajta.

Például az y = ctg x függvény x esetén→ A +0 korlátja + ∞, ennélfogva az x = 0 pontban második típusú diszkontinuitással rendelkezik. Y függvény = E (x) (egész része x) az egész abszcisszával rendelkező pontokon az első típusú megszakítások vagy ugrások vannak.

Egy olyan függvényt hívunk meg, amely az intervallum minden pontján folyamatos folyamatos v. A folytonos függvény szilárd görbén jelenik meg.

Bármely mennyiség folyamatos növekedésével kapcsolatos sok probléma a második figyelemre méltó határértékhez vezet. Ilyen feladatok például a következők: a hozzájárulás növekedése az összetett kamatok törvénye szerint, az ország népességének növekedése, a radioaktív anyagok bomlása, a baktériumok szaporodása stb.

Fontolgat Ya.I. Perelman példája a szám értelmezését adja e az összetett kamatok problémájában. Szám e van egy határ ... A takarékpénztárakban a kamatpénzt évente hozzáadják az állóeszközökhöz. Ha a kapcsolat gyakrabban jön létre, akkor a tőke gyorsabban növekszik, mivel nagy összeg vesz részt az érdeklődés kialakításában. Vegyünk egy tisztán elméleti, nagyon leegyszerűsített példát. Legyen a bank 100 den. egységek évi 100% -os arányban. Ha a kamatpénzt csak egy év múlva adják hozzá az állóeszközhöz, akkor erre a dátumra 100 den. egységek 200 monetáris egységgé változik. Most nézzük meg, mi lesz 100 den. egységek, ha félévente kamatozó pénzt adnak hozzá az állóeszközökhöz. Fél év után 100 den. egységek 100 -ra nő× 1,5 = 150, és hat hónappal később - 150× 1,5 = 225 (monetáris egységek). Ha a csatlakozást az év 1/3 -án végezzük, akkor az év után 100 den. egységek váljon 100 -ra× (1 +1/3) 3 hüvelyk 237 (monetáris egységek). 0,1 évre, 0,01 évre, 0,001 évre, stb. Meghosszabbítjuk a kamatozó pénzhez való csatlakozás határidejét. Aztán 100 denből. egységek egy év múlva kiderül:

100 × (1 +1/10) 10 "259 (monetáris egységek),

100 × (1 + 1/100) 100 * 270 (monetáris egységek),

100 × (1 + 1/1000) 1000 * 271 (monetáris egységek).

A kamatlekötési feltételek korlátlan csökkentésével a felhalmozott tőke nem nő végtelenül, hanem megközelít egy bizonyos határt, amely megközelítőleg 271. Az évi 100% -os kiosztott tőke nem nőhet több mint 2,71 -szeresére, még akkor sem, ha kamatot adtak hozzá a tőkéhez másodpercenként, mert a limit

3.1. PéldaEgy numerikus sorozat határának meghatározásával bizonyítsa be, hogy az x n = (n-1) / n szekvencia határa 1.

Megoldás.Ezt bizonyítanunk kellε Nem vettünk> 0 -t, mert létezik egy N természetes szám, amely minden n N esetében a következő egyenlőtlenségre érvényes:| x n -1 |< ε.

Vegyünk bármilyen e> 0. Mivel; x n -1 = (n + 1) / n - 1 = 1 / n, akkor N megtalálásához elég megoldani az 1 / n egyenlőtlenséget< e. Ezért n> 1 / e és ezért N az 1 / egész számának tekinthető e, N = E (1 / e ). Ezzel bebizonyítottuk, hogy a határ.

3. példa.2 ... Keresse meg a közös kifejezés által megadott sorozat határait .

Megoldás.Alkalmazjuk az összeghatár -tételt, és megtaláljuk az egyes tagok határát. Mert n→ ∞ az egyes tagok számlálója és nevezője a végtelenségig hajlik, és a hányadoshatárt közvetlenül nem tudjuk alkalmazni. Ezért először átalakítjuk x n az első tag számlálóját és nevezőjét elosztva n 2, és a második be n... Ezután a hányados és összeghatár tétel alkalmazásával a következőket találjuk:

.

3.3. Példa. ... Megtalálja .

Megoldás. .

Itt alkalmaztuk a fokkorlát -tételt: a fokhatár megegyezik az alaphatár mértékével.

3. példa.4 ... Megtalálja ( ).

Megoldás.A határkülönbség -tételt lehetetlen alkalmazni, mivel bizonytalanság áll fenn az űrlapon ∞-∞ ... Átalakítjuk a közös tag képletét:

.

3. példa.5 ... Egy f (x) = 2 1 / x függvény van megadva. Bizonyítsuk be, hogy nincs határ.

Megoldás.Használjuk a függvény határainak 1. definícióját egy sorozat szerint. Vegyünk egy 0 -hoz konvergáló (x n) sorozatot, azaz Mutassuk meg, hogy az f (x n) = érték eltérően viselkedik a különböző sorozatoknál. Legyen x n = 1 / n. Nyilván akkor a határ Most válasszunk úgy x n egy sorozat, amelynek közös kifejezése x n = -1 / n, szintén nullára hajlik. Ezért nincs korlát.

3. példa.6 ... Bizonyítsuk be, hogy nincs határ.

Megoldás.Legyen x 1, x 2, ..., x n, ... sorozat, amelyhez
... Hogyan viselkedik az (f (x n)) = (sin x n) szekvencia különböző x n → ∞ esetén

Ha x n = p n, akkor sin x n = sin p n = 0 mindenre nés a határ Ha
x n = 2 p n + p / 2, akkor sin x n = sin (2 p n + p / 2) = sin p / 2 = 1 mindenkinek nés innen a határ. Tehát nem létezik.

Widget a határértékek online kiszámításához

A felső ablakban a sin (x) / x helyett írja be azt a függvényt, amelynek a határértékét szeretné megtalálni. Az alsó ablakban írja be azt a számot, amelyre az x hajlamos, és nyomja meg a Calcular gombot, hogy megkapja a kívánt korlátot. És ha az eredményablak jobb felső sarkában a Lépések megjelenítése gombra kattint, akkor részletes megoldást kap.

Funkcióbeviteli szabályok: sqrt (x) - négyzetgyök, cbrt (x) - kockagyök, exp (x) - kitevő, ln (x) - természetes logaritmus, sin (x) - szinusz, cos (x) - koszinusz, cser (x) az érintő, a kiságy (x) a kotangens, az arcsin (x) az arcsine, az arccos (x) az inverz koszinusz, az arctan (x) az arctangens. Jelek: * szorzás, / osztás, ^ hatványozás, helyett végtelenség Végtelenség. Példa: a függvényt így adjuk meg: sqrt (tan (x / 2)).

Funkció y = f (x) a törvényt (szabályt) hívják meg, amely szerint az X halmaz minden x eleme az Y halmaz egyetlen és csak egy eleméhez van társítva.

X elem ∈ X hívják függvény érv vagy független változó.
Y elem ∈ Y hívják funkció értéke vagy függő változó.

Az X halmazt hívjuk funkció hatóköre.
Y elemek halmaza ∈ Y amelyek előképeket tartalmaznak az X halmazban függvény értéktartománya vagy értéke.

A tényleges függvény az ún fent (lent) határolva ha van olyan M szám, amely a következő egyenlőtlenségekre érvényes:
.
A numerikus függvényt hívják korlátozott ha van olyan M szám, amely mindenkire vonatkozik:
.

Felső széle vagy pontos felső határ egy valós függvényt a számok közül a legkisebbnek nevezünk, ami felülről korlátozza értékeinek tartományát. Vagyis ez egy olyan s szám, amelyre mindenki és bárki számára létezik ilyen érv, amelynek függvénye meghaladja az s ′ -ot:.
A függvény felső határa a következőképpen jelölhető:
.

Illetőleg Alsó szél vagy pontos alsó határ egy valós függvényt a számok közül a legnagyobbnak neveznek, amely alulról korlátozza értékeinek tartományát. Vagyis ez egy ilyen i szám, amelyre mindenki és bárki számára létezik olyan érv, amelynek függvényértéke kisebb, mint i ′:.
A függvény alsó határa a következőképpen jelölhető:
.

Egy függvény határának meghatározása

Egy függvény határának meghatározása Cauchy szerint

Véges funkciókorlátok a végpontokban

Legyen a függvény a végpont valamely szomszédságában definiálva, kivéve talán magát a pontot. azon a ponton, ha létezik olyan, létezik olyan, amely attól függ, hogy minden x esetében, amelynél az egyenlőtlenség
.
A funkciókorlátot a következőképpen jelöljük:
.
Vagy a.

A létezés és az egyetemesség logikai szimbólumait felhasználva a függvény határának meghatározása a következőképpen írható fel:
.

Egyoldalú korlátok.
Bal oldali korlát a pontban (bal oldali határ):
.
Jobb oldali korlát a pontban (jobb oldali határ):
.
A bal és jobb határt gyakran a következőképpen jelölik:
; .

Egy függvény véges határai a végtelen pontokban

A végtelen pontok határértékeit hasonló módon határozzák meg.
.
.
.
Gyakran nevezik őket:
; ; .

Egy pont szomszédságának fogalmának használata

Ha bevezetjük a pont lyukas szomszédságának fogalmát, akkor egységes definíciót adhatunk a függvény véges határára véges és végtelenül távoli pontokon:
.
Itt a végpontok
; ;
.
A végtelen pontok bármely környékét kilyukasztják:
; ; .

Végtelen funkciókorlátok

Meghatározás
Legyen a függvény definiálva egy pont valamely defektes környékén (véges vagy végtelenül távoli). A funkció határa f (x) mint x → x 0 egyenlő a végtelennel ha bármilyen önkényesen nagy számra M > 0 , létezik egy δ M szám > 0 M -től függően úgy, hogy minden x -hez, amely a szúrt δ M -hez - a pont szomszédságához tartozik: a következő egyenlőtlenség érvényes:
.
Egy végtelen határt a következőképpen jelölünk:
.
Vagy a.

A létezés és az egyetemesség logikai szimbólumait felhasználva a függvény végtelen korlátjának meghatározása a következőképpen írható fel:
.

A végtelen határok meghatározását is megadhatja bizonyos jelekkel, amelyek egyenlőek és:
.
.

A függvény korlátjának univerzális meghatározása

A pont szomszédságának fogalmát felhasználva egyetemes definíciót adhatunk a függvény véges és végtelen határára, mind a véges (két- és egyoldalas), mind a végtelenül távoli pontokra:
.

A Heine függvényhatár meghatározása

Határozzuk meg a függvényt valamely X halmazon :.
Az a számot a függvény határértékének nevezzük azon a ponton:
,
ha bármely x -hez konvergáló sorozatra 0 :
,
amelynek elemei az X halmazba tartoznak,
.

Írjuk fel ezt a definíciót a létezés és az egyetemesség logikai szimbólumai segítségével:
.

Ha az X halmazra az x pont bal oldali szomszédságát vesszük 0 , akkor megkapjuk a bal határ definícióját. Ha jobboldali, akkor megkapjuk a megfelelő határ definícióját. Ha a végtelen pont szomszédságát X halmaznak vesszük, akkor megkapjuk a végtelen függvény határának definícióját.

Tétel
A függvény határainak Cauchy és Heine általi meghatározása egyenértékű.
Bizonyíték

Tulajdonságok és korlátozástételek egy függvényhez

Továbbá úgy véljük, hogy a figyelembe vett függvények a pont megfelelő szomszédságában vannak definiálva, amely egy véges szám vagy az egyik szimbólum :. Ez lehet egyoldalú határpont is, vagyis legyen formája vagy. A szomszédság kétirányú a kétirányú korlát és egyirányú az egyirányú.

Alaptulajdonságok

Ha az f függvény értékei (x) változtatni (vagy definiálatlanná tenni) véges számú x ponton 1, x 2, x 3, ... x n, akkor ez a változás semmilyen módon nem befolyásolja a függvény határainak létezését és nagyságát egy tetszőleges x pontban 0 .

Ha van véges korlát, akkor az x pont lyukas környéke van 0 amelyen a függvény f (x) korlátozott:
.

Legyen a függvény az x pontban 0 végső nulla korlát:
.
Ekkor az intervallum bármelyik c számához létezik az x pont lyukas környéke 0 minek,
, ha;
, ha.

Ha a pont néhány lyukas szomszédságában állandó, akkor.

Ha vannak véges korlátok és az x pont néhány lyukas szomszédságában 0
,
azután .

Ha, és a pont valamelyik környékén
,
azután .
Különösen, ha a pont valamely szomszédságában
,
akkor ha, akkor és;
ha, akkor és.

Ha az x pont valamilyen lyukas környékén 0 :
,
és vannak véges (vagy végtelen számú jel) egyenlő határok:
, azután
.

A fő tulajdonságok igazolása az oldalon található
"A függvény határainak alapvető tulajdonságai."

A függvény korlátjának aritmetikai tulajdonságai

Hagyja, hogy a függvények definiálhatók legyenek a pont néhány lyukas környékén. És legyenek véges korlátok:
és.
És legyen C állandó, azaz adott szám. Azután
;
;
;
, ha.

Ha akkor.

Az aritmetikai tulajdonságok igazolását lásd az oldalon
"A függvény határainak aritmetikai tulajdonságai."

Cauchy -kritérium egy függvény határa meglétére

Tétel
Egy véges vagy végtelenül távoli x pont néhány lyukas szomszédságában meghatározott függvényhez 0 , ezen a ponton véges korlát van, szükséges és elegendő, hogy bármely ε esetén > 0 az x pontnak ilyen lyukas szomszédsága volt 0 , hogy bármely pontra és ebből a környékből a következő egyenlőtlenség érvényes:
.

Komplex funkciókorlát

Összetett függvényhatártétel
Legyen a függvénynek határa, és a pont lyukas szomszédságát képezze le a pont lyukas környékére. Legyen definiálva a függvény ezen a környéken, és legyen korlátozva.
Itt - végpontok vagy végtelenül távoli pontok :. A szomszédságok és a hozzájuk tartozó korlátok lehetnek két- és egyoldalúak.
Ekkor van egy összetett függvény határa, és egyenlő:
.

A komplex függvény határértékére vonatkozó tételt akkor alkalmazzuk, ha a függvény nincs definiálva egy ponton, vagy értéke eltér a határtól. Ennek a tételnek az alkalmazásához ki kell lyukasztani azt a pontot, ahol a függvény értékkészlete nem tartalmazza a pontot:
.

Ha a függvény egy ponton folyamatos, akkor a határjel alkalmazható a folytonos függvény argumentumára:
.
Az alábbiakban ennek az esetnek megfelelő tétel található.

Tétel egy függvény folytonos függvényének határára
Legyen a g függvény határa t) mint t → t 0 , és egyenlő x -el 0 :
.
Itt pont t 0 lehet véges vagy végtelenül távoli :.
És hagyjuk az f függvényt (x) x pontban folyamatos 0 .
Ekkor van egy f összetett függvény határa (g (t)), és egyenlő f -vel (x 0):
.

A tételek bizonyítékai az oldalon találhatók
"Egy komplex függvény határa és folytonossága."

Végtelenül kicsi és végtelenül nagy funkciók

Végtelenül kicsi funkciók

Meghatározás
A függvényt infinitezimálisnak nevezzük, ha
.

Összeg, különbség és termék véges számú végtelen kicsi függvény számára végtelen kicsi függvény.

Korlátozott funkció eredménye a pont néhány lyukas szomszédságában, egy végtelenül kicsi számára egy végtelenül kicsi függvény.

Ahhoz, hogy egy függvénynek véges határa legyen, szükséges és elegendő
,
hol van végtelenül kicsi függvény.

"A végtelen kicsi függvények tulajdonságai".

Végtelenül nagy funkciók

Meghatározás
A függvényt végtelenül nagynak nevezzük, ha
.

Összeg vagy különbség korlátozott funkció, a pont néhány lyukas szomszédságában, és egy végtelenül nagy függvény a végtelen nagyszerű funkció nál nél .

Ha a függvény végtelenül nagy, és a függvény korlátos a pont néhány lyukas környékén, akkor
.

Ha a függvény a pont néhány lyukas szomszédságában kielégíti az egyenlőtlenséget:
,
és a funkció végtelenül kicsi:
, és (a pont néhány lyukas környékén), akkor
.

A tulajdonságok igazolása a szakaszban található
"A végtelenül nagy függvények tulajdonságai."

A végtelenül nagy és a végtelenül kicsi függvények kapcsolata

A végtelenül nagy és végtelenül kicsi függvények közötti kapcsolat a két korábbi tulajdonságból következik.

Ha a függvény végtelenül nagy, akkor a függvény végtelenül kicsi.

Ha a függvény végtelenül kicsi, és, akkor a függvény végtelenül nagy a.

A végtelenül kicsi és a végtelenül nagy függvény kapcsolata szimbolikusan kifejezhető:
, .

Ha egy végtelenül kicsi függvénynek határozott előjele van, azaz pozitív (vagy negatív) a pont valamely defektes környékén, akkor ez a tény a következőképpen fejezhető ki:
.
Ugyanígy, ha egy végtelenül nagy függvénynek határozott jele van, akkor ezt írják:
.

Ezután a végtelenül kicsi és a végtelenül nagy függvények közötti szimbolikus kapcsolat kiegészíthető a következő összefüggésekkel:
, ,
, .

A végtelen szimbólumokat összekötő további képletek az oldalon találhatók
„Pontok a végtelenben és tulajdonságaik”.

A monoton függvények határai

Meghatározás
Az X valós számok bizonyos halmazán meghatározott függvényt hívjuk meg szigorúan növekszik ha mindenképpen fennáll az egyenlőtlenség:
.
Ennek megfelelően azért szigorúan csökken függvény, a következő egyenlőtlenség érvényes:
.
For nem csökkenő:
.
For nem növekvő:
.

Ebből következik, hogy a szigorúan növekvő függvény szintén nem csökken. A szigorúan csökkenő függvény szintén nem növekvő.

A függvény az ún monoton ha nem csökken vagy nem növekszik.

Tétel
A függvény ne csökkenjen azon az intervallumon, ahol.
Ha felülről az M: szám határolja, akkor van egy véges korlát. Ha nem felülről határolt, akkor.
Ha alulról az m :, szám korlátozza, akkor van egy véges korlát. Ha nem alulról korlátozva, akkor.

Ha az a és b pontok a végtelenben vannak, akkor kifejezésekben a határjelek azt jelentik.
Ez a tétel tömörebben fogalmazható meg.

A függvény ne csökkenjen azon az intervallumon, ahol. Aztán vannak egyoldalú korlátok az a és b pontban:
;
.

Hasonló tétel egy nem növekvő függvényre.

A függvény ne növekedjen azon az intervallumon, ahol. Aztán vannak egyoldalú korlátok:
;
.

A tétel bizonyítása az oldalon található
"A monoton funkciók határai".

Hivatkozások:
L. D. Kudryavtsev. A matematikai elemzés menete. 1. kötet. Moszkva, 2003.
CM. Nikolsky. A matematikai elemzés menete. 1. kötet. Moszkva, 1983.