Egy háromszög szögeinek összege. Teljes leckék - Tudás hipermarket

Bizonyíték:

• Adott háromszög ABC.
• Húzza a DK vonalat a B csúcson keresztül párhuzamosan az AC alapjával.
• \\ CBK szög \u003d \\ C szög belső keresztirányban DK és AC párhuzamosan, és BC szekcióval.
• \\ szög DBA \u003d \\ szög Belső kereszteződés DK-nél \\ párhuzamos AC és az AB szekvencia. A szög DBK kihajtogatott és egyenlő
• \\ szög DBK \u003d \\ szög DBA + \\ szög B + \\ szög CBK
• Mivel a kihajtogatott szög 180 ^ \\ kör, és \\ szög CBK \u003d \\ szög C és \\ szög DBA \u003d \\ szög A, 180 ^ \\ kör \u003d \\ szög A + \\ szög B + \\ szög C

A tétel bizonyított

A háromszög összeg tételének következményei:

1. A derékszögű háromszög akut szögeinek összege: 90 °.
2. Egy egyenlő szögű derékszögű háromszögben minden akut szög 45 °.
3. Egy egyenlő oldalú háromszögben minden szög 60 °.
4. Bármely háromszögben mind az összes sarok éles, vagy két sarok éles, és a harmadik tompa vagy egyenes.
5. A háromszög külső sarka megegyezik a szomszédos két belső szög összegével.

Háromszög külső szög tétel

Egy háromszög külső szöge a háromszög két fennmaradó szöge összege, amelyek nem szomszédosak a külső szöggel

Bizonyíték:

• Adott háromszög ABC, ahol BCD a külső szög.
• \\ BAC szög \\ ABC + szög BCA \u003d 180 ^ 0
• Az egyenlőségből a szög \\ BCD szög + BCA szög \u003d 180 ^ 0
• Kapunk \\ BCD szög \u003d \\ BAC szög + ABC szög.

Szekciók: Matematika

Bemutatás . (1. dia)

Leckék típusa:lecke az új anyagok megtanulására.

Órán kívüli célok:

• Nevelési:
  • vegye figyelembe a tétel egy háromszög szögeinek összegét,
  • mutassa meg a tétel alkalmazását a problémák megoldásában.
• Nevelési:
  • a hallgatók pozitív hozzáállása a tudáshoz,
  • a leckék önbizalmának felkeltése a hallgatókba.
• Fejlesztés:
  • analitikus gondolkodás fejlesztése,
  • "tanulási készségek" fejlesztése: a tudás, készségek és képességek felhasználása az oktatási folyamatban,
  • logikai gondolkodás fejlesztése, a gondolataik egyértelmű megfogalmazásának képessége.

Felszerelés:interaktív tábla, prezentáció, kártyák.

AZ OSZTÁLYOK IDŐTARTAMA

I. Szervezeti pillanat

- Ma az órában emlékeztetünk a téglalap, egyenlő szárú és egyenlő oldalú háromszögek meghatározására. Ismételjük meg a háromszögek szögeinek tulajdonságait. A belső egyoldalú és belső keresztező szögek tulajdonságait alkalmazva igazoljuk a tételt egy háromszög szögeinek összegén és megtanuljuk, hogyan lehet alkalmazni azt a problémák megoldására.

II. Orálisan(2. dia)

1) Keresse meg az ábrákat téglalap alakú, egyenlő szárú, egyenlő oldalú háromszöget.
2) Adjon meghatározást ezeknek a háromszögeknek.
3) Fogalmazza meg az egyenlő oldalú és az egyenlő oldalú háromszög szögeinek tulajdonságait.

4) Az ábrán a KE II NH. (3. dia)

- Adja meg ezeknek a vonalaknak a szekcióit
- Keresse meg a belső egyoldalú sarkokat, a belső keresztező sarkokat, nevezze meg tulajdonságaikat

III. Az új anyag magyarázata

Tétel.A háromszög szögeinek összege 180 °

A tétel megfogalmazása szerint a srácok rajzot készítenek, felírják a feltételt, a következtetést. A kérdések megválaszolásával önállóan igazolják a tételt.

Adott: Bizonyít:

Bizonyíték:

1. Húzza a BD II AC vonalat a háromszög B csúcsán.
2. Adja meg a párhuzamos vonalak metszőpontját.
3. Mi a helyzet a CBD és az ACB szögekkel? (rögzítsen)
4. Mit tudunk a CAB és az ABD szögekről? (rögzítsen)
5. Cserélje ki a CBD szöget az ACB szögre
6. Végezzen következtetést.

IV. Egészítsd ki a mondatot.(4. dia)

1. A háromszög szögeinek összege ...
2. Egy háromszögben az egyik szög egyenlő, a másikban a háromszög harmadik szöge ...
3. A derékszögű háromszög akut szögeinek összege:
4. Egyszögletes derékszögű háromszög szögei ...
5. Egy egyenlő oldalú háromszög szögei ...
6. Ha az egyenlő szélességű háromszög oldalsó szöge 1000, akkor az alapnál a szöget ...

V. Egy kis történelem.(5-7. Diák)

Tétel. Egy háromszög belső szögeinek összege egyenlő két derékszöggel.

Vegyünk egy ABC háromszöget (208. ábra). Jelöljük meg annak belső szögeit 1, 2 és 3 számmal. Bizonyítsuk be

∠1 + ∠2 + ∠3 \u003d 180 °.

Rajzoljunk át egy háromszög néhány csúcsán, például B, egy МN egyenes vonalat, amely párhuzamos az АС-vel.

A B csúcson három szöget kaptunk: ∠4, ∠2 és ∠5. Összegük a kibontakozó szög, tehát egyenlő: 180 °:

∠4 + ∠2 + ∠5 \u003d 180 °.

De ∠4 \u003d ∠1 belső keresztirányú szögek az МN és АС párhuzamos vonalakon és az AB szekvencián.

∠5 \u003d ∠3 a belső keresztirányú szögek az МN és АС párhuzamos vonalakon és a ВС metszőpontokon.

Ezért ,4 és 5 helyettesíthetők ∠1 és ∠3 egyenlőkkel.

Ezért ∠1 + ∠2 + ∠3 \u003d 180 °. A tétel bizonyított.

2. A háromszög külső sarkának tulajdonsága.

Valójában, az ABC háromszögben (209. ábra) ∠1 + ∠2 \u003d 180 ° - ∠3, de ∠BCD is, ennek a háromszögnek a külső szöge, amely nem szomszédos ∠1 és ∠2-vel, szintén 180 ° - ∠3 ...

Így:

∠1 + ∠2 \u003d 180 ° - ∠3;

∠BCD \u003d 180 ° - ∠3.

Ezért ∠1 + ∠2 \u003d ∠BCD.

A háromszög külső szöge levezethető tulajdonsága tisztázza a korábban bebizonyított tétel tartalmát a háromszög külső szögén, amelyben csak azt állították, hogy egy háromszög külső szöge nagyobb, mint egy háromszög belső szöge, amely nem szomszédos; most megállapítást nyert, hogy a külső szög megegyezik mindkét szomszédos belső szög összegével.

3. Egy derékszögű háromszög tulajdonsága, 30 ° -kal.

Legyen az ACB derékszögű háromszög B szöge egyenlő 30 ° -kal (210. ábra). Ekkor a másik akut szöge 60 ° lesz.

Bizonyítsuk be, hogy az AC láb egyenlő az AB hypotenuse felével. Húzzuk ki az AC lábat a C derékszög csúcsán és tegyük félre a CM szegmenst, amely megegyezik az AC szegmenssel. Összekapcsoljuk az M pontot a B ponttal. A kapott BCM háromszög megegyezik az ACB háromszöggel. Látjuk, hogy az ABM háromszög minden szöge 60 °, tehát ez a háromszög egyenlő oldalú.

Az AC láb megegyezik az AM felével, és mivel az AM egyenlő AB-vel, az AC láb megegyezik az AB hipotenuzusának felével.

Egy háromszög szögeinek összege - fontos, de nagyon egyszerű téma, amelyet a hetedik osztályban tanítanak a geometria területén. A téma egy tételből, egy rövid bizonyítékból és számos logikus következtetésből áll. A téma ismerete segít a geometriai problémák megoldásában a tárgy későbbi tanulmányozása során.

Tétel - mekkora a tetszőleges háromszög szögeinek összege?

A tétel szerint: ha bármilyen háromszöget vesz, függetlenül annak típusától, az összes szög összege mindig 180 fok lesz. Ezt a következőképpen bizonyítják:

• vegyünk például egy ABC háromszöget, húzzunk egy egyeneset a csúcsán lévő B ponton és jelöljük "a" -nak, míg az "a" egyenes szigorúan párhuzamos az AC oldallal;
• az "a" egyenes vonal, valamint az AB és BC oldalak között a szögeket jelöljük, az 1. és 2. számmal jelölve őket;
• az 1. szög egyenlő az A szöggel, és a 2. szög egyenlő a C szöggel, mivel ezeket a szögeket keresztirányúnak tekintik;
• így az 1, 2 és 3 szög közötti összeget (amelyet a B szög helyén jelölünk) egyenlőnek tekintünk a B csúcsnál elhelyezett szögtel és 180 fok.

Ha a számokkal jelölt szögek összege 180 fok, akkor az A, B és C szögek összegét egyenlőnek kell tekinteni 180 foknak. Ez a szabály igaz minden háromszögre.

Mi következik a geometriai tételből

Szokásos a fenti tétel számos következményének kiemelése.

• Ha a derékszögű háromszöget vesszük figyelembe a probléma megoldásában, akkor annak egyik sarka alapértelmezés szerint 90 fok lesz, és az akut szögek összege szintén 90 fok lesz.
• Ha egy derékszögű egyenlő szárú háromszögről beszélünk, akkor annak akut szöge, összesen 90 fok, egyenként egyenlő lesz 45 fokkal.
• Egy egyenlő oldalú háromszög három egyenlő szögből áll, egyenként 60 ° -kal, és összesen 180 ° -kal.
• Bármely háromszög külső szöge megegyezik a szomszédos két belső szög közötti összeggel.

Az alábbi szabály levezethető - bármelyik háromszögben legalább két éles sarok található. Egyes esetekben egy háromszög három éles sarkból áll, és ha csak kettő van, akkor a harmadik sarok tompa vagy jobb lesz.

Bizonyíték

Legyen ABC " - tetszőleges háromszög. Vessük át a tetején B egyenes, egyenes vonallal AC (egy ilyen vonalat euklideszi vonalnak hívnak). Jelöljünk meg egy pontot rajta D úgy, hogy a pontok A és D feküdjön egy egyenes vonal másik oldalán időszámításunk előtt.Angles DBC és ACB egyenlő, mint a szekantum által kialakított belső kereszteződés időszámításunk előtt párhuzamos egyenes vonallal AC és BD... Ezért a háromszög szögeinek összege a csúcsokon B és TÓL TŐL megegyezik a szöggel ABDA háromszög mindhárom szöge összege megegyezik a szögek összegével ABD és BAC... Mivel ezek a sarkok belsőleg egyoldalasak AC és BD az ülésen AB, akkor összegük 180 °. A tétel bizonyított.

Következmények

A tétel azt sugallja, hogy bármely háromszögnek két akut szöge van. Valójában, ha a bizonyítékot ellentmondással alkalmazzák, tegyük fel, hogy egy háromszögnek csak egy hétszöge van, vagy egyáltalán nincs akut szöge. Ezután ennek a háromszögnek legalább két szöge van, amelyek mindegyike legalább 90 °. Ezen szögek összege nem lehet kevesebb, mint 180 °. És ez lehetetlen, mivel a háromszög összes szöge összege 180 °. Q.E.D.

Általánosítás a simplex elméletre

Hol helyezkedik el a szimplex i és j oldalának szöge?

Megjegyzések

• Egy gömbön a háromszög szögeinek összege mindig meghaladja a 180 ° -ot, a különbséget gömbfeleslegnek hívják, és arányos a háromszög területével.
• A Lobachevsky-síkban a háromszög szögeinek összege mindig kevesebb, mint 180 °. A különbség a háromszög területével is arányos.

Lásd még

Wikimedia Alapítvány. 2010.

Nézze meg, mi a "Tétel háromszög szögeinek összegével" más szótárakban:

A poligonok tulajdonságai az euklideszi geometriában: A gon n szögeinek összege 180 ° (n 2). Tartalom 1 Bizonyítás 2 Megjegyzés ... Wikipedia

A Pitagorasz-tétel az euklideszi geometria egyik alapvető tétele, amely megmutatja a derékszögű háromszög oldalai közötti kapcsolatot. Tartalom 1 ... Wikipedia

A Pitagorasz-tétel az euklideszi geometria egyik alapvető tétele, amely megmutatja a derékszögű háromszög oldalai közötti kapcsolatot. Tartalom 1 Nyilatkozatok 2 Bizonyítékok ... Wikipedia

A koszinusz-tétel a Pythagora-tétel általánosítása. A háromszög oldalának négyzete megegyezik a másik két oldal négyzetének összegével, anélkül, hogy ezeknek az oldalaknak a kettős szorzata a köztük lévő szög koszinuszával történik. Egy lapos háromszöghez, amelynek a, b, c oldala és α szöge ... ... Wikipedia

Ennek a kifejezésnek más jelentése van, lásd Háromszög (jelentések). A háromszög (az euklideszi térben) egy három vonalszakaszból álló geometriai alak, amely három pontot összeköt, amelyek nem felelnek meg egy egyenesen. Három pont, ... ... Wikipedia

A normál jelölésű háromszög a legegyszerűbb sokszög 3 csúccsal (sarokkal) és 3 oldallal; a sík azon része, amelyet három pont határol, amelyek nem felelnek meg egy egyenesen, és három szegmens, amelyek ezeket a pontokat párosítva összekötik. A háromszög csúcsai ... Wikipedia

Ókori görög matematikus. A 3. században Alexandriában dolgozott. időszámításunk előtt e. A "Beginning" (15 könyv) fő munkája, amely az elemi geometria ősi matematikájának alapjait, a számelméletet, a kapcsolatok általános elméletét, valamint a területek és térfogatok meghatározásának módszerét, ... enciklopédikus szótár

- (Kr. e. 275 és 270 között halt meg) Ókori görög matematikus. Információ születésének idejéről és helyéről nem érkezett hozzánk, de tudjuk, hogy Euklidész Alexandriában élt, és tevékenységének korszaka I. Ptolemaiosz uralkodásának idején esik Egyiptomban ... ... Big Encyclopedic Dictionary

Az euklideszi geometriahoz hasonló geometria, mivel meghatározza az ábrák mozgását, de abban különbözik az euklideszi geometriától, hogy öt posztulátumának egyikét (második vagy ötödik) helyettesíti negálása. Az egyik euklideszi posztuláció tagadása ... Collier Encyclopedia