Зведення у ступінь, правила, приклади. Зведення дробу алгебри в ступінь Зведення дробу в ступінь формули

Будівлі в саду

Тема зводиться до того, що нам необхідно множити однакові дроби. Ця стаття розповість, яке необхідно використовувати правило, щоб правильно зводити дроби алгебри в натуральний ступінь.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Правило зведення алгебраїчного дробу до ступеня, його доказ

Перед тим, як почати зводити у ступінь, необхідно поглибити знання за допомогою статті про ступінь з натуральним показником, де є добуток однакових множників, які знаходяться на підставі ступеня, причому їх кількість визначена показником. Наприклад, число 23 = 2 · 2 · 2 = 8 .

При зведенні у ступінь найчастіше використовуємо правило. Для цього окремо зводять у ступінь чисельник та окремо знаменник. Розглянемо з прикладу 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9 . Правило застосовується для зведення дробу до натурального ступеня.

При зведенні алгебраїчного дробу в натуральний ступіньотримуємо новий, де чисельник має ступінь вихідного дробу, а знаменник – ступінь знаменника. Все це має вигляд a b n = a n b n , де і b є довільними многочленами, b є ненульовим, а n натуральним числом.

Доказ цього правила записується у вигляді дробу, який необхідно звести у ступінь, ґрунтуючись на самому визначенні з натуральним показником. Тоді отримуємо множення дробів виду a b n = a b · a b · . . . · a b = a · a · . . . · a b · b · . . . · b = a n b n

Приклади, рішення

Правило зведення алгебраїчної дробу на ступінь проводиться послідовно: спочатку чисельник, потім знаменник. Коли в чисельнику і знаменнику є багаточлен, тоді завдання зведеться до зведення заданого многочлена в ступінь. Після чого буде вказано новий дріб, який дорівнює вихідному.

Приклад 1

Виконати зведення дробу x 2 3 · y · z 3 квадрат.

Рішення

Необхідно зафіксувати ступінь x 2 3 · y · z 3 2 . За правилом зведення алгебраїчної дробу в ступінь отримуємо рівність виду x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 . Тепер необхідно зробити перетворення отриманого дробу до алгебраїчної виду, виконуючи зведення в ступінь. Тоді отримаємо вираз виду

x 2 2 3 · y · z 3 2 = x 2 · 2 3 2 · y 2 · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6

Усі випадки зведення у ступінь не передбачають докладного роз'яснення, тому саме рішення має короткий запис. Тобто отримуємо, що

x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6

Відповідь: x 2 3 · y · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6 .

Якщо чисельник та знаменник мають багаточлени, тоді необхідно зводити весь дріб у ступінь, після чого застосовувати формули скороченого множення для його спрощення.

Приклад 2

Звести дріб 2 · x - 1 x 2 + 3 · x · y - y у квадрат.

Рішення

З правила маємо, що

2 · x - 1 x 2 + 3 · x · y - y 2 = 2 · x - 1 2 x 2 + 3 · x · y - y 2

Щоб перетворити вираз, необхідно скористатися формулою квадрата суми трьох доданків у знаменнику, а чисельнику – квадратом різниці, що дозволить спростити вираз. Отримаємо:

2 · x - 1 2 x 2 + 3 · x · y - y 2 = = 2 · x 2 - 2 · 2 · x · 1 + 1 2 x 2 2 + 3 · x · y 2 + - y 2 + 2 · x 2 · 3 · x · y + 2 · x 2 · (- y) + 2 · 3 · x · y · - y = = 4 · x 2 - 4 · x + 1 x 4 + 9 · x 2 · y 2 + y 2 + 6 · x 3 · y - 2 · x 2 · y - 6 · x · y 2

Відповідь: 2 · x - 1 2 x 2 + 3 · x · y - y 2 = 4 · x 2 - 4 · x + 1 x 4 + 9 · x 2 · y 2 + y 2 + 6 · x 3 · y - 2 · x 2 · y - 6 · x · y 2

Зауважимо, що при зведенні в натуральний ступінь дріб, який не можемо скоротити, отримуємо також нескоротний дріб. Це не спрощує її для подальшого вирішення. Коли заданий дріб може бути скорочений, тоді при зведенні в ступінь отримуємо, що необхідно виконання скорочення дробу алгебри, щоб уникнути виконання скорочення після того, як зведемо в ступінь.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Настав час ознайомитися з зведенням алгебраїчного дробу до ступеня. Це з алгебраїчними дробами за змістом ступеня зводиться до множення однакових дробів. У цій статті ми дамо відповідне правило і розглянемо приклади зведення алгебраїчних дробів у натуральний ступінь.

Навігація на сторінці.

Правило зведення алгебраїчного дробу до ступеня, його доказ

Перш ніж говорити про зведення в ступінь алгебраїчної дробу, не завадить згадати, що є твір однакових множників, що стоять на підставі ступеня, а їх кількість визначається показником. Наприклад, 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .

А тепер згадаємо правило зведення у ступінь звичайного дробу – для цього потрібно окремо звести у вказаний ступінь чисельник, та окремо – знаменник. Наприклад, . Зазначене правило поширюється на зведення алгебраїчного дробу до натурального ступеня.

Зведення алгебраїчного дробу до натурального ступенядає новий дріб, у чисельнику якого зазначена ступінь чисельника вихідного дробу, а знаменнику – ступінь знаменника. У літерному вигляді цьому правилу відповідає рівність , де a і b – довільні багаточлени (у окремих випадках одночлени чи числа), причому b – ненульовий многочлен, а n – .

Доказ озвученого правила зведення алгебраїчного дробу в ступінь засновано на визначенні ступеня з натуральним показником і на тому, як ми визначили множення дробів алгебри : .

Приклади, рішення

Отримане в попередньому пункті правило зводить зведення алгебраїчного дробу до ступеня до зведення в цей ступінь чисельника і знаменника вихідного дробу. Оскільки чисельником і знаменником вихідної алгебраїчної дробу є многочлены (у окремому випадку одночлени чи числа), то вихідне завдання зводиться до спорудження ступінь многочленов . Після виконання цієї дії буде отримано новий алгебраїчний дріб, тотожно рівний зазначеного ступеня вихідного алгебраїчного дробу.

Розглянемо рішення кількох прикладів.

приклад.

Зведіть алгебраїчну дріб у квадрат.

Рішення.

Запишемо ступінь. Тепер звертаємося до правила зведення алгебраїчного дробу до ступеня, воно нам дає рівність . Залишилося перетворити отриманий дріб до виду дробу алгебри, виконавши зведення одночленів в ступінь . Так .

Зазвичай при зведенні дробу алгебри в ступінь хід рішення не пояснюють, а рішення записують коротко. Нашому прикладу відповідає запис .

Відповідь:

Коли в чисельнику та/або в знаменнику алгебраїчної дробу знаходяться багаточлени, особливо двочлени, то при її зведенні до ступеня доцільно використовувати відповідні формули скороченого множення .

приклад.

Зведіть алгебраїчну дріб у другий ступінь.

Рішення.

За правилом зведення дробу у ступінь маємо .

Для перетворення отриманого виразу в чисельнику скористаємося формулою квадрата різниці, а знаменнику – формулою квадрата суми трьох доданків :

Відповідь:

На закінчення відзначимо, що якщо ми зводимо в натуральний ступінь нескоротний алгебраїчну дріб, то в результаті теж вийде нескоротний дріб. Якщо ж вихідний дріб скоротний, то перед зведенням його в ступінь доцільно виконати скорочення дробу алгебри , щоб не виконувати скорочення після зведення в ступінь.

Список літератури.

Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Всі права захищені.
Охороняється законом про авторське право. Жодну частину сайту, включаючи внутрішні матеріали та зовнішнє оформлення, не можна відтворювати у будь-якій формі або використовувати без попереднього письмового дозволу правовласника.

Продовжуючи розмову про степінь числалогічно розібратися зі знаходженням значення ступеня. Цей процес отримав назву зведення в ступінь. У цій статті ми вивчимо, як виконується зведення в ступінь, при цьому торкнемося всіх можливих показників ступеня – натуральний, цілий, раціональний та ірраціональний. І за традицією докладно розглянемо рішення прикладів зведення чисел у різні ступені.

Навігація на сторінці.

Що означає «зведення у ступінь»?

Почати слід із пояснення, що називають зведенням у ступінь. Ось відповідне визначення.

Визначення.

Зведення в ступінь- Це знаходження значення ступеня числа.

Таким чином, знаходження значення ступеня числа a з показником r і зведення числа a у ступінь r – це те саме. Наприклад, якщо поставлено завдання «обчисліть значення ступеня (0,5) 5», то його можна переформулювати так: «Зведіть число 0,5 до ступеня 5».

Тепер можна переходити безпосередньо до правил, за якими виконується зведення у ступінь.

Зведення числа до натурального ступеня

Насправді рівність виходячи з звичайно застосовується як . Тобто, при зведенні числа a в дрібний ступінь m/n спочатку витягується корінь n-ого ступеня з числа a, після чого отриманий результат зводиться в цілий ступінь m.

Розглянемо рішення прикладів зведення на дробовий ступінь.

приклад.

Обчисліть значення ступеня.

Рішення.

Покажемо два способи розв'язання.

Перший метод. За визначенням ступеня з дробовим показником. Обчислюємо значення ступеня під знаком кореня, після чого отримуємо кубічний корінь: .

Другий спосіб. За визначенням ступеня з дробовим показником та на підставі властивостей коренів справедливі рівністі . Тепер витягаємо корінь , нарешті, зводимо в цілий ступінь .

Очевидно, що отримані результати зведення в дрібний ступінь збігаються.

Відповідь:

Зазначимо, що дробовий показник ступеня може бути записаний у вигляді десяткового дробу або змішаного числа, у цих випадках його слід замінити відповідним звичайним дробом, після чого виконувати зведення в ступінь.

приклад.

Обчисліть (44,89) 2,5.

Рішення.

Запишемо показник ступеня у вигляді звичайного дробу (при необхідності дивіться статтю): . Тепер виконуємо зведення в дробовий ступінь:

Відповідь:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Слід також сказати, що зведення чисел у раціональні ступені є досить трудомістким процесом (особливо коли в чисельнику та знаменнику дробового показника ступеня знаходяться досить великі числа), який зазвичай проводиться з використанням обчислювальної техніки.

На закінчення цього пункту зупинимося на зведенні числа нуль у дрібний ступінь. Дробного ступеня нуля виду ми надали наступного змісту: якщо маємо , а за нуль у ступені m/n не визначено. Отже, нуль у дробовому позитивному ступені дорівнює нулю, наприклад, . А нуль у дробовій негативною мірою немає сенсу, наприклад, немає сенсу висловлювання і 0 -4,3 .

Зведення в ірраціональний ступінь

Іноді виникає потреба дізнатися значення ступеня числа з ірраціональним показником. При цьому в практичних цілях зазвичай достатньо отримати значення ступеня з точністю деякого знака. Відразу відзначимо, що це значення на практиці обчислюється за допомогою електронної обчислювальної техніки, оскільки зведення в ірраціональний ступінь вручну вимагає великої кількості громіздких обчислень. Але все ж таки опишемо в загальних рисах суть дій.

Щоб отримати наближене значення ступеня числа a з ірраціональним показником, береться деяке десяткове наближення показника ступеня і обчислюється значення ступеня. Це значення є наближеним значенням ступеня числа a з ірраціональним показником . Чим точніше десяткове наближення числа буде взято спочатку, тим точніше значення ступеня буде отримано в результаті.

Як приклад обчислимо наближене значення ступеня 2 1,174367. Візьмемо наступне десяткове наближення ірраціонального показника: . Тепер зведемо 2 раціональний ступінь 1,17 (суть цього процесу ми описали в попередньому пункті), отримуємо 2 1,17 ≈2,250116 . Таким чином, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Якщо взяти точніше десяткове наближення ірраціонального показника ступеня, наприклад, то отримаємо точніше значення вихідного ступеня: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Список літератури.

Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. МатематикаЖ підручник для 5 кл. загальноосвітніх установ.
Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 7 кл. загальноосвітніх установ.
Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 9 кл. загальноосвітніх установ.
Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

На уроці буде розглянуто узагальнений варіант множення дробів - це зведення в ступінь. Насамперед, мова йтиме про натуральний ступінь дробу та про приклади, що демонструють подібні дії з дробами. На початку уроку, також, ми повторимо зведення в натуральний ступінь цілих виразів і побачимо, яким чином це стане у нагоді для вирішення подальших прикладів.

Тема: Алгебраїчні дроби. Арифметичні операції над алгебраїчними дробами

Урок: Зведення алгебраїчного дробу до ступеня

1. Правила зведення дробів та цілих виразів у натуральний ступінь з елементарними прикладами

Правило зведення звичайних та алгебраїчних дробів у натуральний ступінь:

Можна провести аналогію зі ступенем цілого виразу та згадати, що розуміється під зведенням його у ступінь:

приклад 1. .

Як видно з прикладу, зведення дробу в ступінь - це окремий випадок множення дробів, що вивчалося на попередньому уроці.

Приклад 2. а) б) - Мінус йде, тому що ми звели вираз у парний ступінь.

Для зручності роботи зі ступенями згадаємо основні правила зведення в натуральний ступінь:

- Добуток ступенів;

- Розподіл ступенів;

Зведення ступеня до ступеня;

Ступінь твору.

Приклад 3 - це відомо нам ще з теми «Зведення в ступінь цілих виразів», крім одного випадку: не існує.

2. Найпростіші приклади на зведення алгебраїчних дробів у натуральний ступінь

Приклад 4. Звести дріб у ступінь.

Рішення. При зведенні парного ступеня мінус йде:

Приклад 5. Звести дріб у ступінь.

Рішення. Тепер користуємося правилами зведення ступеня в ступінь одразу без окремого розписування:

Тепер розглянемо комбіновані завдання, в яких нам буде необхідно і зводити дроби до ступеня, і множити їх, і ділити.

Приклад 6. Виконати дії.

Рішення. . Далі необхідно зробити скорочення. Розпишемо один раз докладно, як ми це робитимемо, а потім будемо вказувати результат відразу за аналогією: . Аналогічно (або за правилом поділу ступенів). Маємо: .

Приклад 7. Виконати дії.

Рішення. . Скорочення здійснено за аналогією з прикладом, розібраним раніше.

Приклад 8. Виконати дії.

Рішення. . У цьому прикладі ми ще раз детальніше розписали процес скорочення ступенів у дробах, щоб закріпити цей спосіб.

3. Більш складні приклади на зведення алгебраїчних дробів у натуральний ступінь (з урахуванням знаків та з доданками в дужках)

Приклад 9. Виконати дії .

Рішення. У цьому прикладі вже пропустимо окреме множення дробів, а одразу скористаємося правилом їх множення та запишемо під один знаменник. При цьому слідкуємо за знаками - у зазначеному випадку дроби зводяться парними ступенями, тому мінуси зникають. Наприкінці виконаємо скорочення.

Приклад 10. Виконати дії .

Рішення. У даному прикладі присутній поділ дробів, пригадаємо, що при цьому перший дріб множиться на другий, але перевернутий.