Hatványozás, szabályok, példák. Algebrai tört hatványra emelése Tört felemelése képlet hatványára

A téma abból fakad, hogy egyenlő törteket kell szoroznunk. Ebből a cikkből megtudhatja, milyen szabályt kell használnia az algebrai törtek természetes hatványra emeléséhez.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Az algebrai tört hatványra emelésének szabálya, annak bizonyítása

Mielőtt elkezdené a hatványra emelést, elmélyítse tudását egy természetes kitevős hatványról szóló cikk segítségével, ahol a hatvány alapját képező azonos tényezők szorzata van, és ezek száma meg van határozva. a kitevő által. Például a 2 3 = 2 2 2 = 8 szám.

Hatványra emeléskor leggyakrabban a szabályt használjuk. Ehhez emelje a számlálót és a nevezőt külön hatványra. Nézzük a 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9 példát. A szabály a tört természetes hatványra való emelésére vonatkozik.

Nál nél algebrai tört természetes hatványra emelése kapunk egy újat, ahol a számláló az eredeti tört fokát, a nevező pedig a nevező fokát tartalmazza. Ez az egész úgy néz ki, hogy a b n = a n b n, ahol a és b tetszőleges polinomok, b nem nulla, és n egy természetes szám.

Ennek a szabálynak a bizonyítása tört alakban van felírva, amelyet hatványra kell emelni, maga a definíció alapján természetes kitevővel. Ekkor megkapjuk az a b n = a b · a b · alakú törtek szorzatát. . . · a b = a · a · . . . · a b · b · . . . b = a n b n

Példák, megoldások

Az algebrai tört hatványra emelésének szabályát szekvenciálisan hajtjuk végre: először a számlálót, majd a nevezőt. Ha a számlálóban és a nevezőben polinom van, akkor maga a feladat lesz az adott polinom hatványra emelése. Ezután egy új tört jelenik meg, amely megegyezik az eredetivel.

1. példa

Tegye négyzetre az x 2 3 · y · z 3 törtet.

Megoldás

Az x 2 3 · y · z 3 2 fokszám rögzítése szükséges. Az algebrai tört hatványra emelésének szabályával x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 alakú egyenlőséget kapunk. Most a kapott törtet hatványra emelve algebrai formává kell alakítani. Ekkor megkapjuk a forma kifejezését

x 2 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 2 y 2 z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

A hatványozás minden esete nem igényel részletes magyarázatot, így maga a megoldás is rövid jelöléssel rendelkezik. Vagyis ezt kapjuk

x 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Válasz: x 2 3 · y · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6.

Ha a számlálónak és a nevezőnek polinomja van, akkor a teljes törtet hatványra kell emelni, majd rövidített szorzóképleteket kell használni az egyszerűsítéshez.

2. példa

Tegye négyzetre a 2 x - 1 x 2 + 3 x y - y törtet.

Megoldás

A szabályból ez van

2 x - 1 x 2 + 3 x y - y 2 = 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2

A kifejezés átalakításához a nevezőben lévő három tag összegének négyzetének képletét kell használni, a számlálóban pedig a különbség négyzetét, ami leegyszerűsíti a kifejezést. Kapunk:

2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = = 2 x 2 - 2 2 x 1 + 1 2 x 2 2 + 3 x y 2 + - y 2 + 2 · x 2 · 3 · x · y + 2 · x 2 · (- y) + 2 · 3 · x · y · - y = = 4 · x 2 - 4 · x + 1 x 4 + 9 · x 2 · y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2

Válasz: 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 · x 2 · y - 6 · x · y 2

Vegyük észre, hogy ha olyan törtet emelünk, amelyet nem tudunk természetes hatványra redukálni, akkor egy redukálhatatlan törtet is kapunk. Ez nem könnyíti meg a későbbi megoldást. Ha egy adott tört csökkenthető, akkor hatványra emeléskor azt tapasztaljuk, hogy szükséges az algebrai tört redukciója, hogy elkerüljük a hatványra emelés utáni csökkentést.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Ideje ismerkedni algebrai tört hatványra emelése. Ezt a műveletet az algebrai törtekkel a fok értelmében az azonos törtek szorzására redukáljuk. Ebben a cikkben megadjuk a megfelelő szabályt, és példákat tekintünk az algebrai törtek természetes hatványra emelésére.

Oldalnavigáció.

Az algebrai tört hatványra emelésének szabálya, annak bizonyítása

Mielőtt egy algebrai tört hatványra emeléséről beszélnénk, nem árt megjegyezni, hogy mi a hatvány alapjának azonos tényezők szorzata, és számukat a kitevő határozza meg. Például 2 3 =2·2·2=8.

Most emlékezzünk a közönséges tört hatványra emelésének szabályára - ehhez külön kell emelni a számlálót a jelzett hatványra, és külön a nevezőt. Például, . Ez a szabály egy algebrai tört természetes hatványra emelésére vonatkozik.

Algebrai tört felemelése természetes hatványraúj törtet ad, amelynek számlálója az eredeti tört számlálójának jelzett fokát tartalmazza, a nevező pedig a nevező fokát. Szó szerinti formában ez a szabály az egyenlőségnek felel meg, ahol a és b tetszőleges polinomok (bizonyos esetekben monomok vagy számok), b pedig nem nulla polinom, n pedig .

Az algebrai tört hatványra emelésének szabályának bizonyítása a természetes kitevővel rendelkező hatvány definícióján és azon alapul, hogy miként határoztuk meg az algebrai törtek szorzását: .

Példák, megoldások

Az előző bekezdésben kapott szabály az algebrai tört hatványra való emelését az eredeti tört számlálójának és nevezőjének erre a hatványra való emelésére csökkenti. És mivel az eredeti algebrai tört számlálója és nevezője polinomok (adott esetben monomok vagy számok), az eredeti feladat a polinomok hatványra emelése. Ennek a műveletnek a végrehajtása után egy új algebrai törtet kapunk, amely megegyezik az eredeti algebrai tört meghatározott mértékével.

Nézzünk meg néhány példa megoldását.

Példa.

Egy algebrai tört négyzetére.

Megoldás.

Írjuk fel a végzettséget. Most rátérünk az algebrai tört hatványra emelésének szabályára, amely egyenlőséget ad . Marad hátra, hogy a kapott törtet algebrai törtté alakítsuk, a monomokat hatványra emelve. Így .

Általában egy algebrai tört hatványra emelésekor nem magyarázzák el a megoldást, hanem röviden leírják a megoldást. Példánk megfelel a bejegyzésnek .

Válasz:

.

Ha egy algebrai tört számlálója és/vagy nevezője polinomokat, különösen binomiálisokat tartalmaz, akkor hatványra emelésekor célszerű a megfelelő rövidített szorzóképleteket használni.

Példa.

Algebrai tört összeállítása másodfokra.

Megoldás.

A tört hatványra emelésének szabálya szerint megvan .

Az eredményül kapott kifejezés számlálóvá alakításához használjuk négyzetes különbség képlete, és a nevezőben - a három tag összegének négyzetének képlete:

Válasz:

Végezetül megjegyezzük, hogy ha egy irreducibilis algebrai törtet természetes hatványra emelünk, akkor az eredmény is irreducibilis tört lesz. Ha az eredeti tört redukálható, akkor hatványra emelés előtt célszerű elvégezni az algebrai tört redukcióját, hogy ne hajtsa végre a csökkentést hatványra emelése után.

Bibliográfia.

• Algebra: tankönyv 8. osztály számára. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M.: Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. osztály. 2 órában 1. rész. Tankönyv általános oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich. - 11. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépőknek): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.

A szerzői jog okos hallgatók tulajdona

Minden jog fenntartva.
Szerzői jogi törvény védi. Az oldal egyetlen része sem, beleértve a belső anyagokat és a megjelenést, semmilyen formában nem reprodukálható vagy felhasználható a szerzői jog tulajdonosának előzetes írásbeli engedélye nélkül.

Folytatva a beszélgetést arról foka Logikus, hogy kitaláljuk, hogyan találjuk meg a diploma értékét. Ezt a folyamatot ún hatványozás. Ebben a cikkben megvizsgáljuk, hogyan történik a hatványozás, miközben érintjük az összes lehetséges kitevőt - természetes, egész, racionális és irracionális. És a hagyomány szerint részletesen megvizsgáljuk a számok különféle hatalmakba emelésének példáit.

Oldalnavigáció.

Mit jelent a "hatványosítás"?

Kezdjük azzal, hogy elmagyarázzuk, mit nevezünk hatványozásnak. Itt van a vonatkozó meghatározás.

Meghatározás.

Hatványozás- ez egy szám hatványértékének megállapítása.

Így egy a szám hatványának r kitevőjű megtalálása és az a szám r hatványra emelése ugyanaz. Például, ha a feladat „számítsa ki a hatvány (0,5) 5 értékét”, akkor a következőképpen lehet újrafogalmazni: „Emelje fel a 0,5-öt 5-ös hatványra.”

Most közvetlenül léphet azokhoz a szabályokhoz, amelyek szerint a hatványozás történik.

Egy szám természetes hatványra emelése

A gyakorlatban a alapú egyenlőséget általában a formában alkalmazzák. Azaz, amikor egy a számot m/n törthatványra emelünk, először az a szám n-edik gyökét veszik fel, majd az eredményt m egész hatványra emeljük.

Nézzük meg a törthatványra emelés példáinak megoldásait.

Példa.

Számítsa ki a fokozat értékét!

Megoldás.

Két megoldást mutatunk be.

Első út. A törtkitevős fok definíciója szerint. Kiszámoljuk a fok értékét a gyökérjel alatt, majd kivonjuk a kockagyököt: .

Második út. A tört kitevővel rendelkező fok definíciója alapján és a gyökök tulajdonságai alapján a következő egyenlőségek igazak: . Most kivonjuk a gyökeret , végül egész hatványra emeljük .

Nyilvánvalóan a törthatványra emelés kapott eredményei egybeesnek.

Válasz:

Megjegyzendő, hogy a tört kitevő felírható tizedes törtként vagy vegyes számként is, ilyenkor le kell cserélni a megfelelő közönséges törtre, majd hatványra emelni.

Példa.

Számítsd ki (44,89) 2.5.

Megoldás.

Írjuk fel a kitevőt közönséges tört formájában (ha szükséges, lásd a cikket): . Most végrehajtjuk az emelést törthatványra:

Válasz:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Azt is el kell mondani, hogy a számok racionális hatványokra emelése meglehetősen munkaigényes folyamat (főleg, ha a törtkitevő számlálója és nevezője kellően nagy számokat tartalmaz), amelyet általában számítástechnikával hajtanak végre.

Ennek a pontnak a befejezéseként nézzük meg, hogy a nulla számot törthatványra emeljük. Az alak nulla törthatványának a következő jelentést adtuk: amikor van , és nullánál az m/n teljesítmény nincs meghatározva. Tehát a nullától a tört pozitív hatványhoz nulla, például, . És a nullának egy tört negatív hatványban nincs értelme, például a 0 -4,3 kifejezéseknek nincs értelme.

Irracionális hatalommá emelés

Néha meg kell találni a jelentését egy irracionális kitevővel rendelkező szám hatványai. Ebben az esetben gyakorlati célokra általában elegendő egy bizonyos előjelre pontos fokértéket meghatározni. Rögtön megjegyezzük, hogy a gyakorlatban ezt az értéket elektronikus számítógépek segítségével számítják ki, mivel irracionális teljesítményre emelése manuálisan nagyszámú körülményes számítást igényel. De továbbra is általánosságban leírjuk a cselekvések lényegét.

Egy irracionális kitevővel rendelkező a szám hatványának közelítő értékének meghatározásához a kitevő tizedes közelítését veszik, és kiszámítják a hatvány értékét. Ez az érték az a szám hatványának közelítő értéke irracionális kitevővel. Minél pontosabb egy szám tizedes közelítését veszi kezdetben, annál pontosabb lesz a fokérték a végén.

Példaként számítsuk ki a 2 hatvány közelítő értékét 1,174367... . Vegyük az irracionális kitevő következő decimális közelítését: . Most felemeljük a 2-t az 1,17 racionális hatványra (a folyamat lényegét az előző bekezdésben leírtuk), így 2 1,17 ≈2,250116 kapunk. És így, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ha például az irracionális kitevő pontosabb decimális közelítését vesszük, akkor az eredeti kitevő pontosabb értékét kapjuk: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliográfia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika tankönyv 5. osztálynak. oktatási intézmények.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 7. osztálynak. oktatási intézmények.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 8. osztálynak. oktatási intézmények.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 9. osztálynak. oktatási intézmények.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. és mások Algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv az általános oktatási intézmények 10 - 11. évfolyamai számára.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépők számára).

A lecke a törtek szorzásának – a hatványra emelésnek – egy általánosabb változatát vizsgálja. Mindenekelőtt a törtek természetes hatványairól és példákról fogunk beszélni, amelyek hasonló műveleteket mutatnak be törtekkel. A lecke elején áttekintjük az egész kifejezések természetes erőkre emelését is, és meglátjuk, hogy ez mennyire lesz hasznos további példák megoldásához.

Téma: Algebrai törtek. Aritmetikai műveletek algebrai törtekkel

Lecke: Algebrai tört hatványra emelése

1. Törtek és egész kifejezések természetes hatványokká emelésének szabályai elemi példákkal

A közönséges és algebrai törtek természetes hatványra emelésének szabálya:

Vonhat analógiát egy teljes kifejezés mértékével, és emlékezhet arra, hogy mit jelent az, hogy hatványra emeli:

1. példa .

Amint a példából látható, a tört hatványra emelése a törtek szorzásának speciális esete, amelyet az előző leckében tanulmányoztunk.

2. példa a) , b) - a mínusz eltűnik, mert a kifejezést egyenletes hatványra emeltük.

A diplomákkal való munka kényelme érdekében emlékezzünk meg a természetes fokozatba emelés alapvető szabályairól:

- a hatványok szorzata;

- fokozatok felosztása;

Fokozat fokra emelése;

A termék foka.

3. példa - ezt az „Egész kifejezések hatványozása” témakörből tudjuk, egy eset kivételével: nem létezik.

2. Az algebrai törtek természetes hatványokká emelésének legegyszerűbb példái

4. példa: Emeljen egy tört hatványt.

Megoldás. Egyenletes teljesítményre emelve a mínusz eltűnik:

5. példa: Emelj egy törtet hatványra.

Megoldás. Most a fokozat fokozatos fokozatba emelésének szabályait használjuk külön ütemezés nélkül:

.

Most nézzük meg azokat a kombinált problémákat, amelyekben törteket kell hatványokká emelnünk, szorozni és osztani.

6. példa: Hajtsa végre a műveleteket.

Megoldás. . Ezután csökkentést kell végrehajtania. Írjuk le egyszer részletesen, hogyan tesszük ezt, majd analógiával azonnal jelezzük az eredményt: . Hasonlóan (vagy a hatalommegosztás szabálya szerint). Nekünk van: .

7. példa. Hajtsa végre a műveleteket.

Megoldás. . A redukciót a korábban tárgyalt példával analóg módon végeztük.

8. példa. Hajtsa végre a műveleteket.

Megoldás. . Ebben a példában még egyszer részletesebben leírtuk a hatványok törtszámbeli csökkentésének folyamatát, hogy ezt a módszert megszilárdítsuk.

3. Bonyolultabb példák algebrai törtek természetes hatványokká emelésére (előjelek figyelembevételével és zárójelben lévő kifejezésekkel)

9. példa: Műveletek végrehajtása .

Megoldás. Ebben a példában már kihagyjuk a törtek külön szorzását, és azonnal használjuk a szorzási szabályt, és egy nevező alá írjuk őket. Ugyanakkor követjük a jeleket - ebben az esetben a törtek páros hatványra emelkednek, így a mínuszok eltűnnek. A végén elvégezzük a redukciót.

10. példa: Műveletek végrehajtása .

Megoldás. Ebben a példában van egy törtek felosztása, ne feledjük, hogy ebben az esetben az első törtet megszorozzuk a másodikkal, de fordítva.