Az alapvető elemi függvények, az ezekben rejlő tulajdonságok és a hozzájuk tartozó gráfok a matematikai ismeretek egyik alapját képezik, jelentőségükben hasonlóak a szorzótáblához. Az elemi funkciók képezik minden elméleti kérdés tanulmányozásának alapját, támaszát.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Az alábbi cikk kulcsfontosságú anyagokat tartalmaz az alapvető elemi funkciók témakörében. Bevezetjük a kifejezéseket, meghatározzuk őket; Tanulmányozzuk részletesen az egyes elemi függvénytípusokat, és elemezzük tulajdonságaikat.

Az alapvető elemi függvények következő típusait különböztetjük meg:

1. definíció

• állandó függvény (konstans);
• n-edik gyök;
• teljesítmény funkció;
• exponenciális függvény;
• logaritmikus függvény;
• trigonometrikus függvények;
• testvéri trigonometrikus függvények.

Egy konstans függvényt a következő képlet határoz meg: y = C (C egy bizonyos valós szám), és neve is van: konstans. Ez a függvény meghatározza az x független változó bármely valós értékének megfelelését az y változó azonos értékének - C értékének.

A konstans grafikonja egy egyenes, amely párhuzamos az abszcissza tengellyel, és egy (0, C) koordinátájú ponton halad át. Az érthetőség kedvéért az y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 konstans függvények grafikonjait mutatjuk be (a rajzon fekete, piros és kék színnel jelölve).

2. definíció

Ezt az elemi függvényt az y = x n képlet határozza meg (n egynél nagyobb természetes szám).

Tekintsük a függvény két változatát.

1. n-edik gyök, n – páros szám

Az érthetőség kedvéért mutatunk egy rajzot, amely az ilyen függvények grafikonjait mutatja: y = x, y = x 4 és y = x8. Ezek a funkciók színkóddal vannak ellátva: fekete, piros és kék.

A páros fokú függvény grafikonjai hasonló megjelenésűek a kitevő más értékeinél.

3. definíció

Az n-edik gyökfüggvény tulajdonságai, n páros szám

• definíciós tartomány – az összes nemnegatív valós szám halmaza [ 0 , + ∞) ;
• ha x = 0, függvény y = x n értéke nulla;
• ez a függvény általános forma függvénye (nem páros és nem páratlan);
• tartomány: [ 0 , + ∞) ;
• ez az y = x n függvény páros gyökkitevőjével a teljes definíciós tartományban növekszik;
• a függvénynek felfelé mutató konvexitása van a teljes definíciós tartományban;
• nincsenek inflexiós pontok;
• nincsenek aszimptoták;
• a függvény grafikonja páros n-re átmegy a (0; 0) és (1; 1) pontokon.

1. n-edik gyök, n – páratlan szám

Egy ilyen függvény a valós számok teljes halmazán definiálva van. Az érthetőség kedvéért vegyük figyelembe a függvények grafikonjait y = x 3, y = x 5 és x 9. A rajzon színekkel jelöljük: fekete, piros és kék a görbék színei.

Az y = x n függvény gyökkitevőjének egyéb páratlan értékei hasonló típusú grafikont adnak.

4. definíció

Az n-edik gyökfüggvény tulajdonságai, n páratlan szám

• definíciós tartomány – az összes valós szám halmaza;
• ez a függvény páratlan;
• értéktartomány – az összes valós szám halmaza;
• az y = x n függvény páratlan gyökkitevőkre növekszik a teljes definíciós tartományban;
• a függvénynek van konkávitása a (- ∞ ; 0 ] intervallumon és konvexitása a [ 0 , + ∞ ) intervallumon;
• az inflexiós pontnak vannak koordinátái (0; 0);
• nincsenek aszimptoták;
• A páratlan n függvény grafikonja átmegy a (- 1 ; - 1), (0 ; 0) és (1 ; 1) pontokon.

Teljesítmény funkció

5. definíció

A hatványfüggvényt az y = x a képlet határozza meg.

A grafikonok megjelenése és a függvény tulajdonságai a kitevő értékétől függenek.

• ha egy hatványfüggvény egész kitevője a, akkor a hatványfüggvény gráfjának típusa és tulajdonságai attól függnek, hogy a kitevő páros vagy páratlan, valamint attól, hogy milyen előjelű a kitevő. Vizsgáljuk meg ezeket a különleges eseteket az alábbiakban részletesebben;
• a kitevő lehet tört vagy irracionális - ettől függően a gráfok típusa és a függvény tulajdonságai is változnak. A speciális eseteket több feltétel felállításával elemezzük: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• egy hatványfüggvénynek lehet nulla kitevője is, az alábbiakban ezt az esetet is elemezzük részletesebben.

Elemezzük a hatványfüggvényt y = x a, ha a páratlan pozitív szám, például a = 1, 3, 5...

Az érthetőség kedvéért feltüntetjük az ilyen hatványfüggvények grafikonjait: y = x (grafikus színe fekete), y = x 3 (a grafikon kék színe), y = x 5 (a grafikon piros színe), y = x 7 (a grafikus szín zöld). Ha a = 1, akkor az y = x lineáris függvényt kapjuk.

6. definíció

Hatványfüggvény tulajdonságai, ha a kitevő páratlan pozitív

• a függvény növekszik x ∈ esetén (- ∞ ; + ∞) ;
• a függvénynek van konvexitása x ∈ (- ∞ ; 0 ] esetén, és konkávsága x ∈ [ 0 ; + ∞) esetén (a lineáris függvény kivételével);
• az inflexiós pontnak vannak koordinátái (0 ; 0) (a lineáris függvény nélkül);
• nincsenek aszimptoták;
• a függvény áthaladási pontjai: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Elemezzük a hatványfüggvényt y = x a, ha a páros pozitív szám, például a = 2, 4, 6...

Az egyértelműség kedvéért feltüntetjük az ilyen teljesítményfüggvények grafikonjait: y = x 2 (a grafika fekete színe), y = x 4 (a grafikon kék színe), y = x 8 (a grafikon piros színe). Ha a = 2, akkor egy másodfokú függvényt kapunk, amelynek grafikonja egy másodfokú parabola.

7. definíció

Hatványfüggvény tulajdonságai, ha a kitevő páros pozitív:

• definíciós tartomány: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• csökkenő x ∈ esetén (- ∞ ; 0 ] ;
• a függvénynek van konkávitása x ∈ (- ∞ ; + ∞) esetén;
• nincsenek inflexiós pontok;
• nincsenek aszimptoták;
• a függvény áthaladási pontjai: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Az alábbi ábra a hatványfüggvény grafikonjaira mutat példákat y = x a, ha a páratlan negatív szám: y = x - 9 (a grafika fekete színe); y = x - 5 (a grafikon kék színe); y = x - 3 (a grafikon piros színe); y = x - 1 (a grafikus szín zöld). Ha a = - 1, akkor fordított arányosságot kapunk, amelynek grafikonja egy hiperbola.

8. definíció

Hatványfüggvény tulajdonságai, ha a kitevő páratlan negatív:

Ha x = 0, akkor egy második típusú szakadást kapunk, mivel lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ a = - 1, - 3, - 5, … esetén. Így az x = 0 egyenes függőleges aszimptota;

• tartomány: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• a függvény páratlan, mert y (- x) = - y (x);
• a függvény x ∈ - ∞ esetén csökken; 0 ∪ (0 ; + ∞);
• a függvénynek van konvexitása x ∈ (- ∞ ; 0) esetén, és konkávsága x ∈ (0 ; + ∞) esetén;
• nincsenek inflexiós pontok;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, ha a = - 1, - 3, - 5, . . . .

• a függvény áthaladási pontjai: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Az alábbi ábra példákat mutat be az y = x a hatványfüggvény grafikonjaira, amikor a páros negatív szám: y = x - 8 (a grafika fekete színe); y = x - 4 (a grafikon kék színe); y = x - 2 (a grafikon piros színe).

9. definíció

Hatványfüggvény tulajdonságai, ha a kitevő páros negatív:

• definíciós tartomány: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Ha x = 0, akkor egy második típusú szakadást kapunk, mivel lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ a = - 2, - 4, - 6, … esetén. Így az x = 0 egyenes függőleges aszimptota;

• a függvény páros, mert y(-x) = y(x);
• a függvény növekszik x ∈ (- ∞ ; 0) esetén, és csökken x ∈ 0 esetén; + ∞ ;
• a függvény homorúsága van x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• nincsenek inflexiós pontok;
• vízszintes aszimptota – egyenes y = 0, mert:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, ha a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• a függvény áthaladási pontjai: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Már az elején ügyeljen a következő szempontra: abban az esetben, ha a páratlan nevezőjű pozitív tört, egyes szerzők a -∞ intervallumot veszik ennek a hatványfüggvénynek a definíciós tartományának; + ∞ , ami azt jelenti, hogy az a kitevő irreducibilis tört. Jelenleg számos algebrával és elemzési elvekkel foglalkozó oktatási publikáció szerzői NEM DEFINÍCIÓK a hatványfüggvényeket, ahol a kitevő az argumentum negatív értékeinek páratlan nevezőjű törtrésze. Az alábbiakban pontosan ehhez az állásponthoz ragaszkodunk: a [ 0 ; + ∞) . Javaslat a tanulóknak: ismerje meg a tanár véleményét ezzel kapcsolatban, hogy elkerülje a nézeteltéréseket.

Tehát nézzük a teljesítményfüggvényt y = x a , ha a kitevő racionális vagy irracionális szám, feltéve, hogy 0< a < 1 .

Szemléltessük grafikonokkal a hatványfüggvényeket y = x a, ha a = 11 12 (a grafika fekete színe); a = 5 7 (a grafikon piros színe); a = 1 3 (a grafikon kék színe); a = 2 5 (a grafikon zöld színe).

Az a kitevő egyéb értékei (feltéve, hogy 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

10. definíció

A hatványfüggvény tulajdonságai 0-nál< a < 1:

• tartomány: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• a függvény növekszik x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• a függvény konvex x ∈ (0 ; + ∞) esetén;
• nincsenek inflexiós pontok;
• nincsenek aszimptoták;

Elemezzük a hatványfüggvényt y = x a, ha a kitevő nem egész racionális vagy irracionális szám, feltéve, hogy a > 1.

Szemléltessük grafikonokkal a hatványfüggvényt y = x a adott körülmények között, példaként a következő függvényekkel: y = x 5 4, y = x 4 3, y = x 7 3, y = x 3 π (a grafikonok fekete, piros, kék, zöld színe, illetőleg).

Az a kitevő egyéb értékei, ha > 1, hasonló grafikont adnak.

11. definíció

A hatványfüggvény tulajdonságai > 1 esetén:

• definíciós tartomány: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• tartomány: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• ez a függvény általános forma függvénye (nem páratlan és nem páratlan);
• a függvény növekszik x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• a függvény homorú x ∈ (0 ; + ∞) esetén (amikor 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• nincsenek inflexiós pontok;
• nincsenek aszimptoták;
• a függvény áthaladási pontjai: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Ha a páratlan nevezővel rendelkező negatív tört, akkor egyes szerzők munkáiban az a vélemény, hogy a definíciós tartomány ebben az esetben a - ∞ intervallum; 0 ∪ (0 ; + ∞) azzal a fenntartással, hogy az a kitevő irreducibilis tört. Jelenleg az algebráról és az elemzési elvekről szóló oktatási anyagok szerzői NEM DEFINÍCIÓK a hatványfüggvényeket kitevővel, páratlan nevezőjű tört formájában az argumentum negatív értékeihez. Továbbá pontosan ehhez a nézethez ragaszkodunk: a (0 ; + ∞) halmazt vesszük a tört negatív kitevővel rendelkező hatványfüggvények definíciós tartományának. Javaslat a tanulóknak: A nézeteltérések elkerülése érdekében ezen a ponton tisztázza tanára elképzelését.

Folytassuk a témát, és elemezzük a hatványfüggvényt y = x a feltéve: - 1< a < 0 .

Mutassuk be a következő függvények grafikonjait: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (fekete, piros, kék, zöld szín a vonalak, ill.

12. definíció

A teljesítményfüggvény tulajdonságai - 1-nél< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞, ha -1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• tartomány: y ∈ 0 ; + ∞ ;
• ez a függvény általános forma függvénye (nem páratlan és nem páratlan);
• nincsenek inflexiós pontok;

Az alábbi rajz az y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 hatványfüggvények grafikonját mutatja (a görbék fekete, piros, kék, zöld színei).

13. definíció

A hatványfüggvény tulajdonságai a< - 1:

• definíciós tartomány: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ ha a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• tartomány: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ez a függvény általános forma függvénye (nem páratlan és nem páratlan);
• a függvény x ∈ 0 esetén csökken; + ∞ ;
• a függvénynek van egy homorúsága x ∈ 0 esetén; + ∞ ;
• nincsenek inflexiós pontok;
• vízszintes aszimptota – egyenes y = 0;
• a függvény áthaladási pontja: (1; 1) .

Ha a = 0 és x ≠ 0, akkor az y = x 0 = 1 függvényt kapjuk, amely meghatározza azt az egyenest, amelyből a (0; 1) pont ki van zárva (megegyeztünk, hogy a 0 0 kifejezés nem kap jelentést ).

Az exponenciális függvénynek van formája y = a x, ahol a > 0 és a ≠ 1, és ennek a függvénynek a grafikonja másképp néz ki az a bázis értéke alapján. Nézzünk speciális eseteket.

Először nézzük meg azt a helyzetet, amikor az exponenciális függvény bázisának értéke nullától egyig (0< a < 1) . Jó példa erre az a = 1 2 (a görbe kék színe) és a = 5 6 (a görbe piros színe) függvények grafikonjai.

Az exponenciális függvény grafikonjai hasonló megjelenésűek lesznek a 0 feltétel mellett az alap többi értékei esetében is< a < 1 .

14. definíció

Az exponenciális függvény tulajdonságai, ha az alap kisebb egynél:

• tartomány: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ez a függvény általános forma függvénye (nem páratlan és nem páratlan);
• egy exponenciális függvény, amelynek bázisa kisebb, mint egy, a teljes definíciós tartományban csökken;
• nincsenek inflexiós pontok;
• vízszintes aszimptota – egyenes y = 0, x változóval + ∞;

Tekintsük most azt az esetet, amikor az exponenciális függvény bázisa nagyobb egynél (a > 1).

Illusztráljuk ezt a speciális esetet az y = 3 2 x (a görbe kék színe) és az y = e x (a gráf piros színe) exponenciális függvények grafikonjával.

Az alap egyéb értékei, nagyobb mértékegységek hasonló megjelenést kölcsönöznek az exponenciális függvény grafikonjának.

15. definíció

Az exponenciális függvény tulajdonságai, ha a bázis nagyobb egynél:

• definíciós tartomány – a valós számok teljes halmaza;
• tartomány: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ez a függvény általános forma függvénye (nem páratlan és nem páratlan);
• egy exponenciális függvény, amelynek bázisa nagyobb, mint egy, növekszik x ∈ - ∞; + ∞ ;
• a függvénynek van egy homorúsága x ∈ - ∞ helyen; + ∞ ;
• nincsenek inflexiós pontok;
• vízszintes aszimptota – egyenes y = 0, x változóval - ∞;
• a függvény áthaladási pontja: (0; 1) .

A logaritmikus függvény alakja y = log a (x), ahol a > 0, a ≠ 1.

Egy ilyen függvény csak az argumentum pozitív értékeire van definiálva: x ∈ 0 esetén; + ∞ .

A logaritmikus függvény grafikonja az a bázis értéke alapján eltérő megjelenésű.

Tekintsük először azt a helyzetet, amikor 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Az alap egyéb értékei, nem nagyobb egységek, hasonló típusú grafikont adnak.

16. definíció

A logaritmikus függvény tulajdonságai, ha az alap kisebb egynél:

• definíciós tartomány: x ∈ 0 ; + ∞ . Mivel x jobbról nullára irányul, a függvényértékek +∞-ra hajlanak;
• értéktartomány: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ez a függvény általános forma függvénye (nem páratlan és nem páratlan);
• logaritmikus
• a függvénynek van egy homorúsága x ∈ 0 esetén; + ∞ ;
• nincsenek inflexiós pontok;
• nincsenek aszimptoták;

Most nézzük meg azt a speciális esetet, amikor a logaritmikus függvény alapja nagyobb egynél: a > 1 . Az alábbi rajz az y = log 3 2 x és y = ln x logaritmikus függvények grafikonjait mutatja (a grafikonok kék, illetve piros színe).

Az egynél nagyobb alapértékek hasonló típusú grafikont adnak.

17. definíció

A logaritmikus függvény tulajdonságai, ha az alap nagyobb egynél:

• definíciós tartomány: x ∈ 0 ; + ∞ . Mivel x jobbról nullára hajlik, a függvényértékek - ∞ ;
• értéktartomány: y ∈ - ∞ ; + ∞ (a valós számok teljes halmaza);
• ez a függvény általános forma függvénye (nem páratlan és nem páratlan);
• a logaritmikus függvény növekszik x ∈ 0 esetén; + ∞ ;
• a függvény konvex x ∈ 0 esetén; + ∞ ;
• nincsenek inflexiós pontok;
• nincsenek aszimptoták;
• a függvény áthaladási pontja: (1; 0) .

A trigonometrikus függvények szinusz, koszinusz, érintő és kotangens. Nézzük meg mindegyik tulajdonságait és a hozzájuk tartozó grafikákat.

Általában minden trigonometrikus függvényt a periodicitás tulajdonsága jellemez, pl. amikor a függvények értékei ismétlődnek az argumentum különböző értékeihez, amelyek egymástól az f (x + T) = f (x) periódusban különböznek (T a periódus). Így a „legkisebb pozitív periódus” elemmel egészül ki a trigonometrikus függvények tulajdonságainak listája. Ezenkívül megjelöljük az argumentum azon értékeit, amelyeknél a megfelelő függvény nullává válik.

1. Szinuszfüggvény: y = sin(x)

Ennek a függvénynek a grafikonját szinuszhullámnak nevezzük.

18. meghatározás

A szinuszfüggvény tulajdonságai:

• definíciós tartomány: a valós számok teljes halmaza x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• a függvény eltűnik, ha x = π · k, ahol k ∈ Z (Z az egész számok halmaza);
• a függvény növekszik x ∈ - π 2 + 2 π · k esetén; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z és csökkenő x ∈ π 2 + 2 π · k esetén; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• a szinuszfüggvénynek lokális maximumai vannak a π 2 + 2 π · k pontokban; 1 és helyi minimumok pontokban - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
• a szinuszfüggvény konkáv, ha x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z és konvex, ha x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
• nincsenek aszimptoták.

1. Koszinusz függvény: y = cos(x)

Ennek a függvénynek a grafikonját koszinuszhullámnak nevezzük.

19. meghatározás

A koszinusz függvény tulajdonságai:

• definíciós tartomány: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• legkisebb pozitív periódus: T = 2 π;
• értéktartomány: y ∈ - 1 ; 1;
• ez a függvény páros, mivel y (- x) = y (x);
• a függvény növekszik x ∈ - π + 2 π · k esetén; 2 π · k, k ∈ Z és csökkenő x ∈ 2 π · k esetén; π + 2 π k, k ∈ Z;
• a koszinuszfüggvény lokális maximumokkal rendelkezik a 2 π · k pontokban; 1, k ∈ Z és lokális minimumok a π + 2 π · k pontokban; - 1, k ∈ z;
• a koszinuszfüggvény konkáv, ha x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z és konvex, ha x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
• Az inflexiós pontok koordinátái π 2 + π · k; 0, k ∈ Z
• nincsenek aszimptoták.

1. Érintő függvény: y = t g (x)

Ennek a függvénynek a grafikonját ún tangens.

20. definíció

Az érintőfüggvény tulajdonságai:

• definíciós tartomány: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, ahol k ∈ Z (Z az egész számok halmaza);
• Az érintőfüggvény viselkedése a lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ definíciós tartomány határán . Így az x = π 2 + π · k k ∈ Z egyenesek függőleges aszimptoták;
• a függvény eltűnik, ha x = π · k k ∈ Z esetén (Z az egész számok halmaza);
• értéktartomány: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ez a függvény páratlan, mivel y (- x) = - y (x) ;
• a függvény növekszik, mint - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
• az érintőfüggvény konkáv x ∈ [π · k esetén; π 2 + π · k) , k ∈ Z és konvex x ∈ esetén (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
• Az inflexiós pontok koordinátái π · k ; 0, k ∈ Z;

1. Kotangens függvény: y = c t g (x)

Ennek a függvénynek a grafikonját kotangentoidnak nevezzük. .

21. meghatározás

A kotangens függvény tulajdonságai:

• definíciós tartomány: x ∈ (π · k ; π + π · k) , ahol k ∈ Z (Z az egész számok halmaza);

A kotangens függvény viselkedése a lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ definíciós tartomány határán, lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Így az x = π · k k ∈ Z egyenesek függőleges aszimptoták;

• legkisebb pozitív periódus: T = π;
• a függvény eltűnik, ha x = π 2 + π · k k ∈ Z esetén (Z az egész számok halmaza);
• értéktartomány: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• ez a függvény páratlan, mivel y (- x) = - y (x) ;
• a függvény csökkenőben van x ∈ π · k esetén; π + π k, k ∈ Z;
• a kotangens függvény konkáv x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z esetén és konvex x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z esetén;
• Az inflexiós pontok koordinátái π 2 + π · k; 0, k ∈ Z;
• Nincsenek ferde vagy vízszintes aszimptoták.

Az inverz trigonometrikus függvények az arcszinusz, az arkkoszinusz, az arctangens és az arckotangens. Gyakran az „ív” előtag jelenléte miatt a névben az inverz trigonometrikus függvényeket ívfüggvényeknek nevezik. .

1. Arc szinuszfüggvény: y = a r c sin (x)

22. definíció

Az arcszinusz függvény tulajdonságai:

• ez a függvény páratlan, mivel y (- x) = - y (x) ;
• az arcszinuszfüggvénynek van egy homorúsága x ∈ 0 esetén; 1 és konvexitás x ∈ - 1 esetén; 0 ;
• az inflexiós pontoknak van koordinátája (0; 0), amely egyben a függvény nullája is;
• nincsenek aszimptoták.

1. Ív koszinusz függvény: y = a r c cos (x)

23. definíció

Az ív koszinusz függvény tulajdonságai:

• definíciós tartomány: x ∈ - 1 ; 1;
• tartomány: y ∈ 0 ; π;
• ez a függvény általános formájú (sem páros, sem nem páratlan);
• a függvény a teljes definíciós tartományban csökken;
• az ív koszinuszfüggvénynek van egy homorúsága x ∈ - 1-nél; 0 és konvexitás x ∈ 0 esetén; 1;
• Az inflexiós pontok koordinátái 0; π 2;
• nincsenek aszimptoták.

1. Ívtangens függvény: y = a r c t g (x)

24. definíció

Az arctangens függvény tulajdonságai:

• definíciós tartomány: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• értéktartomány: y ∈ - π 2 ; π 2;
• ez a függvény páratlan, mivel y (- x) = - y (x) ;
• a függvény növekszik a teljes definíciós tartományban;
• az arctangens függvénynek van konkávitása x ∈ (- ∞ ; 0 ] esetén és konvexitása x ∈ [ 0 ; + ∞ ) esetén;
• az inflexiós pontnak vannak koordinátái (0; 0), amely egyben a függvény nullája is;
• a vízszintes aszimptoták az y = - π 2 egyenesek x → - ∞ és y = π 2 mint x → + ∞ (az ábrán az aszimptoták zöld vonalak).

1. Ív érintő függvény: y = a r c c t g (x)

25. meghatározás

Az arccotangens függvény tulajdonságai:

• definíciós tartomány: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
• tartomány: y ∈ (0; π) ;
• ez a funkció általános formájú;
• a függvény a teljes definíciós tartományban csökken;
• az ív kotangens függvénynek van egy homorúsága x ∈ [ 0 ; + ∞) és konvexitás x ∈ esetén (- ∞ ; 0 ] ;
• az inflexiós pont koordinátái 0; π 2;
• vízszintes aszimptoták az y = π egyenesek x → - ∞ (zöld vonal a rajzon) és y = 0 x → + ∞ pontban.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Ebben a leckében folytatjuk a racionális kitevővel rendelkező hatványfüggvények tanulmányozását, és megvizsgáljuk a negatív racionális kitevővel rendelkező függvényeket.

1. Alapfogalmak és definíciók

Idézzük fel a negatív egész kitevővel rendelkező hatványfüggvények tulajdonságait és grafikonjait.

Páros n esetén:

Példa funkció:

Az ilyen függvények összes grafikonja két fix ponton megy keresztül: (1;1), (-1;1). Az ilyen típusú függvények sajátossága a paritásuk, a grafikonok szimmetrikusak a műveleti erősítő tengelyéhez képest.

Rizs. 1. Egy függvény grafikonja

Páratlan n esetén:

Példa funkció:

Az ilyen függvények grafikonjai két fix ponton haladnak át: (1;1), (-1;-1). Az ilyen típusú függvények sajátossága, hogy páratlanok, a gráfok az origóhoz képest szimmetrikusak.

Rizs. 2. Egy függvény grafikonja

2. Függvény negatív racionális kitevővel, grafikonok, tulajdonságok

Emlékezzünk vissza az alapdefinícióra.

A racionális pozitív kitevővel rendelkező nem negatív a szám hatványát számnak nevezzük.

A racionális negatív kitevővel rendelkező pozitív a szám hatványát számnak nevezzük.

Az egyenlőségért:

Például: ; - a kifejezés definíció szerint nem létezik negatív racionális kitevővel rendelkező fokú; létezik, mert a kitevő egész szám,

Térjünk át a hatványfüggvények racionális negatív kitevőjű vizsgálatára.

Például:

A függvény grafikonjának ábrázolásához létrehozhat egy táblázatot. Ezt másként fogjuk csinálni: először megszerkesztjük és tanulmányozzuk a nevező grafikonját - ez ismert számunkra (3. ábra).

Rizs. 3. Egy függvény grafikonja

A nevezőfüggvény grafikonja egy fix ponton (1;1) halad át. Az eredeti függvény grafikonjának ábrázolásakor ez a pont megmarad, miközben a gyök is nullára, a függvény a végtelenbe hajlik. És fordítva, mivel x a végtelenbe hajlik, a függvény nullára hajlik (4. ábra).

Rizs. 4. Függvénygrafikon

Tekintsünk egy másik függvényt a vizsgált függvénycsaládból.

Fontos, hogy definíció szerint

Tekintsük a függvény grafikonját a nevezőben: , ennek a függvénynek a gráfja ismert számunkra, definíciós tartományában növekszik és átmegy az (1;1) ponton (5. ábra).

Rizs. 5. Egy függvény grafikonja

Az eredeti függvény grafikonjának ábrázolásakor az (1;1) pont marad, miközben a gyök is nullára, a függvény a végtelenbe hajlik. És fordítva, mivel x a végtelenbe hajlik, a függvény nullára hajlik (6. ábra).

Rizs. 6. Egy függvény grafikonja

A vizsgált példák segítenek megérteni, hogyan folyik a grafikon, és milyen tulajdonságai vannak a vizsgált függvénynek - egy negatív racionális kitevővel rendelkező függvénynek.

E család függvényeinek grafikonjai az (1;1) ponton haladnak át, a függvény a teljes definíciós tartományon csökken.

Funkció hatóköre:

A funkció nem felülről, hanem alulról korlátozott. A függvénynek nincs sem a legnagyobb, sem a legkisebb értéke.

A függvény folyamatos, és minden pozitív értéket vesz fel nullától plusz végtelenig.

A függvény lefelé konvex (15.7. ábra)

Az A és B pontokat felvesszük a görbén, rajtuk egy szakaszt húzunk, a teljes görbe a szakasz alatt van, ez a feltétel a görbe tetszőleges két pontjára teljesül, ezért a függvény lefelé konvex. Rizs. 7.

Rizs. 7. A függvény konvexitása

3. Tipikus problémák megoldása

Fontos megérteni, hogy ennek a családnak a funkcióit alulról nulla határolja, de nem a legkisebb értékkel bírnak.

1. példa - keresse meg egy függvény maximumát és minimumát a \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] intervallumon

Grafikon (2. ábra).

2. ábra: $f\left(x\right)=x^(2n)$ függvény grafikonja

Természetes páratlan kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságai

A definíció tartománya minden valós szám.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- a függvény páratlan.

$f(x)$ folytonos a teljes definíciós tartományban.

A tartomány minden valós szám.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

A függvény a teljes definíciós tartományban növekszik.

$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$ esetén.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

A függvény konkáv $x\in (-\infty ,0)$ esetén, és konvex $x\in (0,+\infty)$ esetén.

Grafikon (3. ábra).

3. ábra: $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ függvény grafikonja

Hatványfüggvény egész kitevővel

Először is mutassuk be az egész kitevővel rendelkező fok fogalmát.

3. definíció

A $n$ egész kitevővel rendelkező $a$ valós szám hatványát a következő képlet határozza meg:

4. ábra.

Tekintsünk most egy egész kitevővel rendelkező hatványfüggvényt, annak tulajdonságait és gráfját.

4. definíció

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ egész kitevőjű hatványfüggvénynek nevezzük.

Ha a fokszám nagyobb nullánál, akkor egy természetes kitevővel rendelkező hatványfüggvény esetéhez jutunk. Fentebb már tárgyaltuk. $n=0$ esetén egy $y=1$ lineáris függvényt kapunk. Megfontolását az olvasóra bízzuk. Továbbra is figyelembe kell venni egy negatív egész kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságait

Negatív egész kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságai

A meghatározás tartománya: $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ha a kitevő páros, akkor a függvény páros, ha páratlan, akkor a függvény páratlan.

$f(x)$ folytonos a teljes definíciós tartományban.

Hatály:

Ha a kitevő páros, akkor $(0,+\infty)$, ha páratlan, akkor $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Páratlan kitevő esetén a függvény a következőképpen csökken: $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Ha a kitevő páros, a függvény $x\in (0,+\infty)$ értékkel csökken. és a következővel nő: $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ a teljes definíciós tartományban

Ismeri a funkciókat y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x stb. Mindezek a funkciók a hatványfüggvény, azaz a függvény speciális esetei y=x p, ahol p egy adott valós szám. A hatványfüggvény tulajdonságai és grafikonja jelentősen függ egy valós kitevővel rendelkező hatvány tulajdonságaitól, és különösen attól, hogy milyen értékekre xÉs p fokozatnak van értelme x p. Folytassuk a kitevőtől függően különböző esetek hasonló vizsgálatát p.

Index p=2n- páros természetes szám.

Ebben az esetben a teljesítmény függvény y=x 2n, Ahol n- természetes szám, a következőkkel rendelkezik

tulajdonságok:

definíciós tartomány - minden valós szám, azaz az R halmaz;

értékkészlet - nem negatív számok, azaz y nagyobb vagy egyenlő, mint 0;

funkció y=x 2n sőt, mert x 2n =(-x) 2n

a függvény az intervallumon csökken x<0 és növeli az intervallumot x>0.

Egy függvény grafikonja y=x 2n ugyanolyan alakú, mint például egy függvény grafikonja y=x 4 .

2. Mutató p=2n-1- páratlan természetes szám Ebben az esetben a hatványfüggvény y=x 2n-1, ahol egy természetes szám, a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

definíciós tartomány - R halmaz;

értékkészlet - R készlet;

funkció y=x 2n-1 furcsa, mert (- x) 2n-1 =x 2n-1 ;

a függvény a teljes valós tengelyen növekszik.

Egy függvény grafikonja y=x2n-1 ugyanolyan alakú, mint például egy függvény grafikonja y=x3.

3. Mutató p=-2n, Ahol n- természetes szám.

Ebben az esetben a teljesítmény függvény y=x -2n =1/x 2n a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

értékkészlet - pozitív számok y>0;

függvény y =1/x 2n sőt, mert 1/(-x) 2n =1/x 2n ;

a függvény növekszik az x intervallumon<0 и убывающей на промежутке x>0.

Az y függvény grafikonja =1/x 2n ugyanolyan alakú, mint például az y függvény grafikonja =1/x 2 .

4. Mutató p=-(2n-1), Ahol n- természetes szám. Ebben az esetben a teljesítmény függvény y=x -(2n-1) a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

definíciós tartomány - R halmaz, kivéve x=0;

értékkészlet - R halmaz, kivéve y=0;

funkció y=x -(2n-1) furcsa, mert (- x) -(2n-1) =-x -(2n-1) ;

a függvény időközönként csökken x<0 És x>0.

Egy függvény grafikonja y=x -(2n-1) ugyanolyan alakú, mint például egy függvény grafikonja y=1/x 3 .

1. Inverz trigonometrikus függvények, tulajdonságaik és grafikonjaik.

Inverz trigonometrikus függvények, tulajdonságaik és grafikonjaik.Inverz trigonometrikus függvények (körfüggvények, ívfunkciók) - matematikai függvények, amelyek a trigonometrikus függvények inverzei.

1. arcsin függvény

Egy függvény grafikonja .

Arcsine számok m ezt a szögértéket nevezzük x, amelyekre

A függvény folytonos és a teljes számegyenesen korlátos. Funkció szigorúan növekszik.

1. [Szerkesztés]Az arcsin függvény tulajdonságai

1. [Szerkesztés]Az arcsin függvény lekérése

Adott a funkció A teljes egészében definíciós tartomány történetesen ő darabonként monoton, és ezért a fordított megfeleltetés nem függvény. Ezért azt a szegmenst fogjuk figyelembe venni, amelyen szigorúan nő, és minden értéket felvesz értéktartomány- . Mivel egy függvényhez egy intervallumon az argumentum minden értéke a függvény egyetlen értékének felel meg, akkor ezen az intervallumon inverz függvény amelynek gráfja szimmetrikus egy függvény grafikonjára egy szakaszon egy egyeneshez képest

Teljesítmény funkció a forma függvénye y = xp, ahol p egy adott valós szám.

A teljesítményfüggvény tulajdonságai

1. Ha a jelző p = 2n- páros természetes szám:
   • definíciós tartomány - minden valós szám, azaz az R halmaz;
   • értékkészlet - nem negatív számok, azaz y ≥ 0;
   • a funkció páros;
   • a függvény az x ≤ 0 intervallumon csökken, az x ≥ 0 intervallumon pedig növekszik.
   Példa egy p = 2n kitevővel rendelkező függvényre: y = x 4.


2. Ha a jelző p = 2n - 1- páratlan természetes szám:
   • definíciós tartomány - R halmaz;
   • értékkészlet - R készlet;
   • a függvény páratlan;
   • a függvény a teljes valós tengelyen növekszik.
   Példa egy p = 2n - 1 kitevővel rendelkező függvényre: y = x 5.


3. Ha a jelző p = -2n, Ahol n- természetes szám:
   • értékkészlet - pozitív számok y > 0;
   • a funkció páros;
   • a függvény növekszik az x 0 intervallumon.
   Példa egy p = -2n kitevővel rendelkező függvényre: y = 1/x 2.


4. Ha a jelző p = -(2n - 1), Ahol n- természetes szám:
   • definíciós tartomány - R halmaz, kivéve x = 0;
   • értékkészlet - R készlet, kivéve y = 0;
   • a függvény páratlan;
   • a függvény x 0 intervallumonként csökken.
   Példa egy függvényre, amelynek kitevője p = -(2n - 1): y = 1/x 3.


5. Ha a jelző p- pozitív valós, nem egész szám:
   • definíciós tartomány - nem negatív számok x ≥ 0;
   • értékkészlet - nem negatív számok y ≥ 0;
   • a függvény növekszik az x ≥ 0 intervallumon.
   Példa egy p kitevővel rendelkező függvényre, ahol p egy pozitív valós nem egész szám: y = x 4/3.


6. Ha a jelző p- negatív valós, nem egész szám:
   • definíciós tartomány - pozitív számok x > 0;
   • értékkészlet - pozitív számok y > 0;
   • a függvény az x > 0 intervallumon csökken.
   Példa egy p kitevővel rendelkező függvényre, ahol p egy negatív valós nem egész szám: y = x -1/3.