Méret: px

Megjelenítés indítása oldalról:

átirat

1 Több változó függvényei 11. Több változó függvényének meghatározása. FNP határértéke és folytonossága 1. Több változós függvény definíciója DEFINÍCIÓ. Legyen X = ( 1 n i X i R ) U R. Függvény: X U-t n változó függvényének nevezzük. Írja fel: u = 1 n ahol a törvény meghatározza az 1 n és u közötti megfelelést. Az u = 1 n értéket 1 = 1 = n = n esetén a következőképpen írjuk fel: u = 1 n vagy u 1 1 n n

2 Név: X függvény tartomány Jelölve: Du 1 n argumentum független változó U tartomány Jelölve: Eu u u U függő változó függvény. FELADATOK MÓDJA FNP 1 szóbeli; táblázatos; 3 elemző: és az explicit hozzárendelés i.e. képlet u = 1 n b implicit hozzárendelés, azaz. egyenlet F 1 n u =. 4 Funkció = grafikusan beállítható. MEGHATÁROZÁS. Az = függvény grafikonja a térben lévő pontok koordinátákkal rendelkező helye; ; D. Az = függvény grafikonját „felületnek” is nevezzük.

3 A = függvény szintvonala azon pontok helye a síkban, ahol a függvény ugyanazt a C értéket veszi fel. 1 A szintvonal az a D-beli egyenes, amelynek az egyenlete = C. A szintvonal a vetület a az = függvény grafikonja metszésvonalának O síkja és a = C sík. Feltesszük, hogy C egyenlő C 1 C 1 + h C 1 + h C 1 + nh-val. Megkapjuk azokat a szintvonalakat, amelyek elhelyezkedése alapján meg tudjuk ítélni a függvény grafikonját, és ebből következően a függvény változásának természetét.

4 Így ahol "vastagabbak" a vonalak, ott gyorsabban változik a függvény, ott meredekebb lesz a függvényt ábrázoló felület.

5 Az u = függvény szintfelülete az O tér azon pontjainak lokusza, ahol a függvény ugyanazt a C értéket veszi fel. A szintfelület egyenlete: = C.. Több változós függvény határa > > ilyen hogy ha U * akkor UA.

60; == ahol DO. ; O u = = ahol DO. ; ; Analógia útján az 1 n sorozatot egy n-dimenziós térben lévő pont derékszögű koordinátáinak tekintjük, és n változó függvényét tekintjük egy pont függvényének ebben a térben. Jelölje: R n n-dimenziós tér u = ahol 1 n R n n változó függvényei.

7 Ha 1 1 O, akkor a köztük lévő távolságot jelöljük: 1-et a következő képlettel találjuk: Ha O, akkor Ha O, akkor Általánosítva ezeket a képleteket, feltételezzük, hogy az n-dimenziós tér pontjai közötti távolság 1 1 n 1 n R n egyenlő nn-nel

8 Legyen 1 n R n. Az általunk kisebb távolságra lévő R n pontok halmazát a pont -szomszédságának nevezzük, és U-t jelölünk. Más szóval, az 1 n -szomszédság olyan 1 n pontokból áll, amelyekre az 1 1 nn egyenlőtlenség érvényes n-re = 1 U = (O =< } = +. При n = U { O т.е. U точки круг с центром в точке и радиусом. При n = 3 U { O } т.е. U точки шар с центром в точке и радиусом. }

9 -az R n pont szomszédságát a pont nélkül, átszúrtnak nevezzük, és U*-val jelöljük. Legyen n változó u = függvénye az R n pont valamelyik szomszédságában definiálva, kivéve, ha ő maga lehet. MEGHATÁROZÁS. Az AR számot a függvény határértékének nevezzük, mivel a függvény határértékére hajlik abban a pontban, ha > > úgy, hogy ha U *, akkor UA. Írd általános esetben: lim A A prè Az = : lim A függvényre.

10 Megjegyzés. 1 U * feltétel azt jelenti, hogy a következő egyenlőtlenség igaz: n 1 1 n Az UA feltétel azt jelenti, hogy az A egyenlőtlenség igaz< 3 Так как формально определение предела функции n переменных ничем не отличается от определения предела функции одной переменной то все утверждения которые были получены о пределах функции одной переменной и в которых не используется упорядоченность точек числовой прямой остаются верными и для предела функции n переменных. 4 Определение бесконечно nagyszerű funkció n változós függvény esetére átvitt szó szerint is önállóan kell megfogalmazni.

11 3. Több változóból álló függvény folytonossága Legyen u = valamilyen R n szomszédságban. DEFINÍCIÓ 1. Egy függvényt folytonosnak nevezünk egy pontban, ha az egyenlőség lim igaz, vagy más szóval, ha > > olyan, hogy ha U, azaz.< то U т.е. <. Справедливы утверждения: 1 арифметические операции над непрерывными в точке функциями приводят к непрерывным в этой точке функциям при условии что деление производится на функцию не обращающуюся в ноль; сложная функция составленная из нескольких непрерывных функций тоже будет непрерывной.

12 Ha az u = függvény a pont valamely szomszédságában van definiálva, kivéve, hogy önmaga lehet, de nem folytonos ebben a pontban, akkor a pontban nem folytonosnak nevezzük, maga a pont pedig szakadási pont. Legyen G néhány ponthalmaz R n-ben és G-ben. Egy pontot egy G halmaz belső pontjának nevezzük, ha U G. Egy halmazt, amelynek belső pontját nyitottnak nevezzük. Egy pontot G halmaz határpontjának nevezzük, ha bármely -szomszédsága G-ből származó pontokat és G-hez nem tartozó pontokat is tartalmaz. A G halmaz összes határpontjának halmazát a határának nevezzük. A határát tartalmazó halmazt zártnak nevezzük.

13 Egy G halmazt akkor nevezünk összefüggőnek, ha bármely két pontja összeköthető e halmaz pontjaiból álló folytonos görbével. Megjegyzés. Az n-dimenziós térben egy folytonos görbe az 1 n pontok lokusza, amelyek koordinátái kielégítik az 1 = 1 t = t n = n t egyenletet, ahol 1 = 1 t = t n = n t a t; paraméter folytonos függvényei. Az összekapcsolt nyitott halmazt régiónak nevezzük. Az összekapcsolt zárt halmazt zárt régiónak nevezzük. Határozottnak nevezzük azt a régiót, amely teljes egészében az O pont valamely szomszédságában fekszik.

14 TÉTEL Az FNP Weierstrass- és Cauchy-tételének analógja. Ha egy n változós u = függvény folytonos egy zárt és korlátos D tartományban, akkor 1 korlátos; eléri maximális és minimális értékét D-ben; 3 felveszi az összes közbenső értéket bármely két értéke között.

15 1. Részleges deriváltak Az érthetőség kedvéért a továbbiakban minden definíciót és állítást -x vagy 3 változó függvényére fogalmazunk meg. Nagyobb számú ismeretlen esetén ezeket természetes módon általánosítjuk. Legyen = D = D O D nyitott terület. Legyen D. Adjunk hozzá egy növekményt az értéket változatlanul hagyva, hogy a pont + D. Ebben az esetben = = = + növekményt kap. az = függvény részleges növekményének nevezzük egy pontban.

16 DEFINÍCIÓ. A reláció határértékét, ha létezik és véges, az = függvény parciális deriváltjának nevezzük a pontban lévő változóhoz képest. Kijelölni: ill

17 Megjegyzések. 1 A és elnevezéseket egész számokként kell értelmezni, nem pedig két mennyiség hányadosaként. A külön vett kifejezéseknek nincs jelentésük. jellemzi a függvény változási sebességét = on a ponton a parciális derivált fizikai jelentése on. Hasonlóképpen, az = függvény parciális deriváltja a pontban lévő változóhoz képest: lim lim Jelölje:

18 A korrespondencia és egy D 1 D D-n definiált függvény. A = függvény változóhoz viszonyított parciális deriváltjának nevezzük és jelöljük A függvény = parciális deriváltjaira való keresés műveletét a függvény differenciálásának nevezzük. = a változóhoz képest, ill. ; ; ; ;. e

19 Valójában ez az = függvény közönséges deriváltja, amelyet az egyik változó függvényének tekintünk, a másik változó állandó értékével. Ezért a parciális deriváltak számítása ugyanazon szabályok szerint történik, mint egy változó függvénye esetén. Ebben az esetben az egyik változót állandónak tekintjük. PÉLDA. Keress parciális deriváltokat egy = + + 3 függvényre és függvényre!

20 KÉT VÁLTOZÓ függvényének parciális deriváltjainak GEOMETRIAI JELENTÉSE. Legyen az = függvénynek parciális deriváltja. Legyen az S felület az = függvény grafikonja. S P T A Aztán tg tg S P K B

5 Fejezet TÖBB VÁLTOZÓ FUNKCIÓI R n tér A több változó függvényének fogalma Definíció Az összes (, n) rendezett halmaz halmazát, ahol n valós számok, n-dimenziósnak nevezzük.

13. Magasabb rendek parciális deriváltjai Legyen = birtokában és D O-n definiálva. A és függvényeket egy függvény elsőrendű parciális deriváltjának vagy egy függvény első parciális deriváltjának is nevezik. és általában

TÖBB VÁLTOZÓ FUNKCIÓI Egy független változó függvényei nem fedik le a természetben létező összes függőséget. Ezért természetes a funkcionális függőség jól ismert fogalmának kiterjesztése és bevezetése

M I N I S T E R S T O E D U R A O V A N I A I A N A U K I R O S S I O Y F E D E R A T I O N SZÖVETSÉGI ÁLLAMI AUTONÓM FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY "Nemzetkutatás

I Több változó függvényének meghatározása Definíciós tartomány Sok jelenség tanulmányozása során két vagy több független változó függvényével kell foglalkozni, például a testhőmérséklet adott pillanatban.

ELŐADÁS N9. Több változó függvényei. Határ. Folytonosság..Alapvető definíciók és jelölések.....több változó függvényének fogalma.... 3.Több változó függvényének határa....3 4.Folytonosság

Előadások Fejezet Több változó függvényei Alapfogalmak Több változó egyes függvényei jól ismertek Mondjunk néhány példát Egy háromszög területének kiszámításához ismert a Heron-képlet S

Az előadást Musina MV egyetemi docens készítette. Függvény folytonossága Legyen egy y = f(x) függvény egy x pontban, és ennek a pontnak valamely szomszédságában Az y = f(x) függvényt nevezzük folytonosnak a x pont, ha létezik

TÖBB VÁLTOZÓ FUNKCIÓI 1. Alapfogalmak. Ha minden D halmazból származó, egymástól független változópár egy változóhoz van társítva, akkor azt kettő függvényének nevezzük.

2. szakasz A határok elmélete Téma: Numerikus sorozatok Numerikus sorozatok meghatározása 2 Korlátozott és korlátlan sorozatok 3 Monoton sorozatok 4 Végtelenül kicsi és

3. fejezet Több változó funkciója 1 Alapfogalmak Legyen n + 1 1, n változó, amelyek úgy kapcsolódnak egymáshoz, hogy az 1, n változók minden számértékkészlete egyedinek felel meg.

~ 1 ~ TÖBB VÁLTOZÓ FUNKCIÓJA 3 Két változó funkciója, definíciós tartomány, meghatározási módok és geometriai jelentés. Definíció: z f-t két változó függvényének nevezzük, ha mindegyik értékpár,

44 Példa Keresse meg egy komplex függvény = sin v cos w teljes deriváltját ahol v = ln + 1 w= 1 A (9) képlet szerint dvwvw = vwd sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Most megtaláljuk a teljes differenciált a komplex függvény f

Függvények folytonossága Függvény folytonossága egy pontban Egyoldali határértékek Definíció Az A számot az f(x) függvény bal oldali határértékének nevezzük, mivel x-et a-ra hajlamosítjuk, ha bármely számra létezik ilyen szám

Gratulálunk az új tanév kezdetéhez. Sok sikert kívánok sok változó és differenciálegyenlet függvényeinek tanulmányozásához. A tanszék weboldala http://kvm.gubkin.ru 1 Sok változó függvényei 2 Definíció

TARTALOM BEVEZETÉS 5 Témakör TÖBB VÁLTOZÓ DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSI FUNKCIÓI Előadástér R 6 Előadás Több változó függvényének határértéke és folytonossága 5 3. előadás Több változó függvényei

3. Végtelenül nagy sorozatok DEFINÍCIÓ. Egy numerikus sorozatot ( n ) végtelennek nevezünk, ha M> NN úgy, hogy n >M, n>n. EGY VÉGTELEN NAGY SZEKVENCIA GEOMETRIAI ÉRTELMEZÉSE

8. témakör TÖBB VÁLTOZÓ DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSI FUNKCIÓI 8.1. Több változó függvényei. Parciális deriváltak Terv 1. Két és több változós függvény fogalma Határ és folytonosság

4. Függvényfolytonosság 1. Alapdefiníciók Legyen f(x) az x pont valamelyik környezetében. DEFINÍCIÓ 1. Egy f(x) függvényt folytonosnak nevezünk egy x pontban, ha az f(x) egyenlőség igaz. (egy)

Utóbbi. Meghatározás. Ha valamilyen törvény szerint minden természetes számhoz (N) hozzárendelünk egy számot ( ), akkor ez egy számsort,... (vagy csak egy sorozatot) határoz meg.

ELŐADÁS N33. Egy komplex változó függvényei. Korlátok. Folytonosság. elemi függvények. Az FKP differenciálása. A származékok tulajdonságai. 1. Komplex számok sorozatai. Korlátozás... 1.Korlátozott

Matematikai elemzés Szekció: Bevezetés az elemzésbe Témakör: Egy függvény függvényhatárának határértéke és tulajdonságai, végtelenül nagy függvények és tulajdonságaik Előadó Januscsik OB 215 3 Egy függvény határértéke 1 Határérték meghatározása

[ definíció geometriai ábrázolása két változó függvényéhez a függvények megadásának módjai halmazok osztályozása R (n) függvény határértéke - folytonossági tételek folytonos függvényekre - példák ] Függvény

Az RGR irányelvei és változatai a Több változó funkciója témában a Tervezés szakos hallgatók számára. Ha a mennyiséget a mennyiségek értékeinek beállításával, egymástól függetlenül egyedileg határozzák meg,

Legyen képes: Témakör 1. Függvény határértéke és folytonossága Függvények és numerikus sorozatok határértékeinek kiszámítása különféle technikák segítségével, beleértve a figyelemre méltó határértékeket, végtelen kicsinyek összehasonlítása

Bevezetés több változó függvényének elemzésébe L.I. Terekhin, I.I. Több változó függvényeinek javítása 1. előadás Eddig egy független változó függvényelméletét tanulmányozták részletesen. Valójában

6. témakör Sorozatok és függvények korlátai, tulajdonságaik és alkalmazásai 1 Több változó függvényének elmélete (argumentumok) Több változó függvényének differenciálszámítása Függvénydefiníció

Egy implicit függvény differenciálása Tekintsük a (,) = C függvényt (C = const) Ez az egyenlet egy implicit függvényt definiál () Tegyük fel, hogy megoldottuk ezt az egyenletet és találtunk egy explicit kifejezést = () Most meg tudjuk

7. lecke Átlagérték tételek. L'Hôpital-szabály 7. Átlagérték-tételek A középérték-tételek három tételből állnak: Rolle-, Lagrange- és Cauchy-tétel, amelyek mindegyike általánosítja az előzőt. Ezeket a tételeket más néven

Gyakorlati gyakorlat EGY KOMPLEX ÉS IMPLICIT FÜGGVÉNY DIFFERENCIÁLÁSA Komplex függvény differenciálása Implicit függvény differenciálása egy egyenlettel Implicit és parametrikusan adott rendszerek

VÁLTOZÓK ÉS ÁLLANDÓK A mérés eredményeként fizikai mennyiségek(idő, terület, térfogat, tömeg, sebesség stb.) ezek számértékei meghatározásra kerülnek. A matematika a mennyiségekkel foglalkozik, elvont

Téma Határok elmélete Gyakorlati gyakorlat Numerikus sorozatok Numerikus sorozat definíciója Korlátozott és korlátlan sorozatok Monoton sorozatok Végtelenül kicsi

1 Pontok elhelyezkedése a komplex síkon Határozzuk meg két valós változó függvényeihez a pontok síkon való elhelyezkedésére vonatkozó geometriai alapfogalmakat. Meghatározásokat adunk

Összeállította: VPBelkin 1 1. előadás Több változó függvénye 1 Alapfogalmak Egy változónak az 1, n változóktól való függését \u003d f (1, n) függvényének nevezzük n argumentum 1, n függvényének. A következőkben megvizsgáljuk

5 Azt a pontot, ahol az F F F vagy legalább az egyik derivált nem létezik, a felület szinguláris pontjának nevezzük.Ebben a pontban a felületnek nem lehet érintősíkja Definíció Normális a felületre

EGY VÁLTOZÓ FÜGGVÉNYE A függvény fogalma A függvény fogalma két halmaz elemei közötti kapcsolat megállapításához kapcsolódik Példa: A a természetes számok halmaza, B pedig a természetes számok négyzeteinek halmaza

Moszkvai Állami Műszaki Egyetem, amelyet N.E. Bauman Alaptudományi Kar Matematikai Modellezés Tanszék А.Н. Kanatnikov, A.P. Krisenko

8 Komplex számsor Tekintsünk egy számsort k a, (46) alakú komplex számokkal, ahol (a k) egy adott számsorozat k komplex tagokkal

Előadás. funkcionális sorok. Funkcionális sorozat definíciója Funkcionális sorozatnak nevezzük azt a sorozatot, amelynek tagjai x függvényei: u = u (x) + u + K+ u + K = Ha x-nek adott x értéket, akkor

8. ELŐADÁS Függvény differenciája egy pontban Komplex és inverz függvény származéka Függvény differenciája egy pontban Legyen az f () függvény a pont valamelyik szomszédságában definiálva Ha az f () függvény növekménye lehet

Előadások 89 5. fejezet Függvény folytonossága 5 Függvény folytonossága egy pontban A függvény folytonosságának fogalma a magasabb matematika egyik alapfogalma Nyilvánvaló, hogy a folytonos függvény grafikonja

JELLEMZŐ PÉLDÁK MEGOLDÁSA Keresse meg a D definíció tartományát és az y függvény E értékkészletét Megoldás Az y függvény akkor van definiálva, ha azok, ha Ezért a függvény tartománya az f halmaz; D R Mert

2 2. Metrikus terek A matematikában az egyik gyakran előforduló fogalom a távolság fogalma. Az analitikus geometriában használják az euklideszi geometriai objektumok tulajdonságainak tanulmányozásakor.

Persze, feladat. Bizonyítsuk be, hogy a Riemann-függvény, ha 0, m m R(), ha, m, m 0, és a tört irreducibilis, 0, ha irracionális, akkor minden racionális pontban nem folytonos, és minden irracionális pontban folytonos. Megoldás.

Matematika és Informatika Tanszék Felsőmatematika elemei Oktatási és módszertani komplexum távtechnológiát alkalmazó középfokú szakképzésben tanuló hallgatók számára Modul Differenciálszámítás Összeállította:

MÓDSZERTANI UTASÍTÁSOK SZÁMÍTÁSI FELADATOKHOZ A FELSŐ MATEMATIKA TERVEZÉSÉN "KÖZÖSSÉGES DIFFERENCIÁL-EGYENLETEK SOROZAT KETTŐS INTEGRÁLOK" III. RÉSZ TÉMASOROZAT Tartalom Sorozat Numerikus sorozat Konvergencia és divergencia

Oktatási és Tudományos Minisztérium Orosz Föderáció szövetségi állam költségvetése oktatási intézmény felsőoktatás"Moszkvai Repülési Intézet (nemzeti kutatás

Moszkvai Állami Műszaki Egyetem, amelyet N.E. Bauman Alaptudományi Kar Matematikai Modellezés Tanszék А.Н. Kanatnyikov,

Matematikai elemzés (v.) 1 Számsor. 1.1 A számsor fogalma. Számsorok konvergenciája. Meghatározás. Tekintsünk egy numerikus sorozatot (a n ), és alkossunk egy kifejezést a következő alakban: a 1 + a +... + a

A komplex változó fogalma A komplex változó határértéke és folytonossága Legyen két D és Δ komplex számhalmaz, és minden z D számhoz rendeljünk egy ω Δ számot, amelyet jelölünk.

HATÁROZOTT INTEGRÁL. Integrálösszegek és határozott integrál Legyen egy y = f () függvény definiálva a [, b ] szakaszon, ahol< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

EGY VÁLTOZÓ FUNKCIÓJÁNAK DIFFERENCIÁLÁSA. A DERIVÁV ALKALMAZÁSA FÜGGVÉNYVIZSGÁLATHOZ A deriváltak és a magasabb rendű differenciálok fogalma Az f derivált (az elsőrendű deriváltnak (ill.

10 Függvények vizsgálata és ábrázolás 10 FÜGGVÉNYEK KUTATÁSA ÉS GRAFIKOK ábrázolása 1 Növelő és csökkentő függvény 1 x (1 1 DEFINÍCIÓ Az y = f (x) függvényt növekvőnek (nem csökkenőnek) nevezzük.

4. előadás Elsőrendű differenciálegyenletek Általános fogalmak Differenciál egyenletek olyan egyenleteknek nevezzük, amelyekben az ismeretlenek egy vagy több változó függvényei, és az egyenletekben

Kérdések a vizsgára való felkészüléshez Témakör. Lineáris algebra 1. Mi az a determináns? Milyen transzformációk során nem változik a determináns értéke? 2. Milyen esetekben egyenlő a determináns nullával? Ami ezután következik

N ELŐADÁS Infinitezimális és végtelenül nagy függvények tulajdonságai Figyelemreméltó határértékek Függvények folytonossága Infinitezimals tulajdonságok Határérték létezésének jelei 3Végtelen nagyok tulajdonságai 4Első

EGY VÁLTOZÓ FUNKCIÓJÁNAK DIFFERENCIÁLÁSA A derivált fogalma, geometriai és fizikai jelentése A derivált fogalmához vezető problémák Az S érintő definíciója az y f (x) egyeneshez az A x pontban; f(

Lim 3 Függvények differenciálása 3 Függvény deriváltja Az f függvény deriváltját egy pontban a következő határértéknek nevezzük f f df f " d, ahol f " és df d a derivált szimbólumai A derivált keresésének művelete

Moszkvai Állami Műszaki Egyetem, amelyet N.E. Bauman Alaptudományi Kar Matematikai Modellezés Tanszék А.Н. Kanatnikov, A.P. Krisenko

Matematikai elemzés Szekció: FNP integráció Téma: Második típusú görbe vonalú integrál Oktató Pakhomova E.G. 2013 10 10. Görbe vonalú A második típusú görbe integrál integrál a koordináták felett

6. előadás 1 SA Lavrenchenko származékok 1 Derivált definíciók A függvény deriváltja alapvető fogalom differenciálszámítás a különbségi reláció határaként definiált 11. definíció (derivált

Függvénygráfok felépítése 1. Tervezze meg egy függvény vizsgálatát grafikon ábrázolásakor 1. Határozza meg a függvény tartományát! Gyakran hasznos egy függvény több értékét figyelembe venni. Fedezze fel egy függvény speciális tulajdonságait:

5. SZAKASZ Egy változó függvényeinek integrálszámítása

9. előadás. A magasabb rendű származékok és differenciálok, tulajdonságaik. A függvény szélső pontjai. Fermat és Rolle tételei. Legyen az y függvény valamilyen [b] intervallumon differenciálható. Ebben az esetben a származéka

5. előadás Alapvető elemi függvények deriváltjai Absztrakt: Egy változó függvény deriváltjának fizikai és geometriai értelmezése, valamint egy függvény és egy szabály differenciálására vonatkozó példák.

OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYOS MINISZTÉRIUM MOSZKVA ÁLLAMI MŰSZAKI EGYETEM "MAMI" "Felsőmatematika" Tanszék, MA Bodunov, SI Borodina, VV Pokazeev, BE Teush OI Tkachenko, DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS

AZ OROSZ FÖDERÁCIÓ OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYOS MINISZTÉRIUMA GOU VPO "SZIBÉRIAI ÁLLAMI GEODÉTAI AKADÉMIA" OG Pavlovskaya ES Plyusnina MATEMATIKA Rész Több változó funkciói Módszertani utasítások

I Halmazok Alapfogalmak Halmazok leképezése A halmaz a matematika egyik alapfogalma, amely nincs definiálva A halmaz elemekből áll Tetszőleges típusú elemgyűjtemény

Több változóból álló függvények esetén bevezethető a határérték és a folytonosság fogalma. A korábban bevezetett határérték és folytonosság fogalma egy változó függvényére e fogalmak speciális esetei több változós függvényekre.

Az A számot hívják funkciókorláty= f(X)\u003d f (x 1, x 2, ... x n) ahogy X hajlamos X-re (0) \u003d (x 1 (0) , x 2 (0) , ... x n (0)) (vagy X pont (0) ), ha bármely, akár tetszőlegesen kis  pozitív számra van olyan pozitív  (-től függően, azaz  =  ()), hogy minden X pontra, amelyet X-től (0) -nél kisebb távolság választ el. , (kivéve talán az X pontot (0) , azok. at) igaz a következő egyenlőtlenség: |f(X) - A|<.

A függvény határértékét az X (0) pontban jelöljük
vagy f(X)A XX (0) vagy
.

Tehát az A szám az y \u003d f (X) függvény határértéke XX (0) esetén, ha bármely > 0 esetén van olyan -környezete az X (0) pontnak, hogy minden pontra ebből a környezetből az f (X ) függvény értékei a függvényértékek numerikus tengelyén az A pont -környékébe kerülnek.

A sok változó függvényeinek határértékeinek kiszámítása sokkal nehezebb, mint egy változó függvényei esetében. Ha csak két irány van azon az egyenesen, amelyben az argumentum a határpontig tud húzódni (jobbra és balra), akkor nagyobb dimenziójú terekben (akár kétdimenziós térben is - a síkon) van egy végtelen számú ilyen irány, és a függvény határai különböző irányokban nem eshetnek egybe. Néhány esetben azonban az ilyen határértékek meglehetősen könnyen kiszámíthatók (például lásd Kremer tankönyvét, 407. o.).

Sok változóból álló függvényt nevezünk folyamatos egy ponton, ha azon a ponton definiálva van, benne van végső határ, és ez a határ egyenlő a függvény értékével ezen a ponton, azaz.
.

Egy két változóból álló függvény folytonosságának geometriai jelentése az, hogy ennek a függvénynek a grafikonja egy folytonos felület.

Több változó függvényének parciális deriváltjai

Vegyük az X = (x 1, x 2, ... x n) pontot. Adjunk az x 1 argumentumnak x 1 növekményt, az x 2 argumentumnak x 2 növekményt stb., az x n argumentumnak egy x n növekményt; akkor a z=f(x) függvény kapja a növekményt Ezt az értéket hívják teljes növekmény Ha csak az egyik argumentum növekményét adjuk meg, akkor a függvény eredő növekményeit hívjuk magán. Például a,, részleges lépések.

Általános esetben a függvény teljes növekménye nem egyenlő a privátok összegével, bár néha előfordulhat ilyen helyzet.

Például keressük meg a z= 1/(x 1 x 2) függvény részleges és teljes növekményét.

Az x 1 argumentum általi részleges növekmény a következő formában lesz:

Az x 2 argumentum általi részleges növekmény a következő formában lesz:

A teljes növekmény a következő formában lesz:

Megmutatható, hogy ebben a példában a részleges növekmény összege nem egyenlő a z függvény teljes növekményével:

privát származék több változóból álló függvények z=f(X) a függvény megfelelő részleges növekményének és a vizsgált argumentum növekményének arányának határértékét nevezik meg, mivel az utóbbi nullára hajlik (ha ez a határ létezik):.

A részleges származékot jelöljük vagy z/x j .

A parciális deriváltak definíciójából következik, hogy a z/x j derivált megtalálásához minden változó argumentumot állandónak kell tekinteni, kivéve egy -x j -t.

Különösen, ha z két x és y változó függvénye (z=f(x, y)), akkor a parciális deriváltja x-hez képest
, és ennek megtalálásához figyelembe kell vennünk az y állandó argumentumot. z parciális deriváltja egyenlő
, és ennek megtalálásához az x argumentumot állandónak kell tekinteni.

Például keressük meg a következő függvények parciális származékait:

1. példa.z=xlny+y/x

Az x-re vonatkozó parciális derivált meghatározásához feltételezzük, hogy y konstans. Ekkor z x "=lny* (x)" +y*(1/x)" =lny+y*(-1)*x -2 =lny–y/(x 2).

Hasonlóképpen megkülönböztetjük ezt a függvényt y függvényében, feltételezve, hogy x állandó: z y "=x(lny)" + (1/x)*(y)" =x/y+ 1/x

2. példa.z=xy

Az x-re vonatkozó parciális derivált egy hatványfüggvény deriváltja, azaz. z x "=yx y -1 .

Az y-ra vonatkozó parciális derivált az exponenciális függvény deriváltja, azaz z y "=x y lnx.

A parciális derivatíva fogalmának nagyon világos gazdasági jelentése van. Mivel a közgazdaságtanban több változó függvényei egy mennyiségnek több más tényezőtől való függőségét fejezik ki (néha ideértve az időt is), a parciális derivált e mennyiség időbeli változásának sebességeként vagy egy másik vizsgált tényezőhöz viszonyítva működik, feltéve, hogy más tényezők is ezt teszik. nem változtat.

Például hagyja, hogy az üzlet fagylaltot áruljon - krémes 25 rubelért. darabonként, csokoládé 30 rubelért. darabonként és pisztácia 32 rubelért. egy darab. Legyen x 1 a krémes fagylalt értékesítési mennyisége (darab), x 2 - a csokoládé fagylalt értékesítési mennyisége (darab), x 3 - a pisztácia fagylalt értékesítési mennyisége (darab). Ezután az üzletnek az ilyen típusú fagylaltok értékesítéséből származó z (rubel) bevétele három változó függvényében számítható ki: z \u003d 25x 1 + 30x 2 + 32x 3. Keressük meg ennek a függvénynek a parciális deriváltját x 1-re vonatkozóan: = 25. Mi ennek az értéknek a gazdasági jelentése? Megmutatja, hogy mennyivel nő a bevétel a tejszínfagylalt értékesítésének egyetlen változásával, feltéve, hogy a többi fagylaltfajták értékesítése változatlan marad. Más szóval, ez a teljes bevétel változásának mértéke a fagylalt-eladások változásához viszonyítva. Hasonló érvelés végezhető mindkét másik változóra.

A fent tárgyalt parciális derivált fogalma arra utal elsőrendű parciális származék. Vezessük be a magasabb rendű parciális deriváltak fogalmait.

Ha az elsőrendű parciális deriváltok differenciálható függvények, akkor ezek parciális deriváltjai is megtalálhatók, amelyek ún. másodrendű parciális származékok:
. A másodrendű parciális deriváltok alapján harmadrendű parciális származékok számíthatók stb.

Bebizonyítható, hogy ha a z = f(x, y) függvény másodrendű parciális deriváltjai egy ponton folytonosak, akkor ezen a ponton
.

FEJEZET III. Több változó függvényei 11.§. Több változó függvényének meghatározása. FNP határértéke és folytonossága 1. Több változós függvény definíciója DEFINÍCIÓ. Legyen X = ((x 1, x 2, …, x n) | x i X i ), U. Az f: X U függvényt n változó függvényének nevezzük. Ezt írják: u = f(x 1, x 2, ..., x n), ahol f az a törvény, amely meghatározza az x 1, x 2, ..., x n és u közötti megfelelést. Az u \u003d f (x 1, x 2, ..., xn) értéke x 1 \u003d x 01, x 2 \u003d x 02, ..., xn \u003d x 0n u \u003d f (x 01, x 02, ..., x 0n) vagy

Név: X - függvénytartomány (Jelölve: D (u)), x 1, x 2, ..., xn - argumentumok (független változók), U - tartomány (Jelölve: E (u)), u (u U) – függő változó (függvény). FELADATOK MÓDJA FNP 1) verbális; 2) táblázatos; 3) analitikus: a) explicit hozzárendelés (azaz az u = f(x 1, x 2, ..., xn) képlettel) b) implicit hozzárendelés (azaz az F(x 1, x 2, ) egyenlettel. .., xn ,u) = 0). 4) A z = f(x,y) függvény grafikusan megadható. MEGHATÁROZÁS. A z = f(x,y) függvény grafikonja az (x; y; f(x,y)), (x,y) D(z) koordinátákkal rendelkező pontok helye a térben. A z = f(x,y) függvény grafikonját a „z = f(x,y) felületnek” is nevezzük.

A z = f(x,y) függvény szintvonala azon sík (x,y) pontjainak lokusza, ahol a függvény ugyanazt a C értéket veszi fel. 1) A szintvonal egy D(z)-beli egyenes. amelynek az egyenlete f( x,y) = C. 2) A szintvonal a z = f(x,y) függvény és a z = C grafikon metszésvonalának xOy síkra való vetülete. C-t beállítjuk a következővel: C 1, C 1 + h, C 1 + 2h, …, C 1 + nh. Szintvonalakat kapunk, amelyek elhelyezkedése alapján meg tudjuk ítélni a függvény grafikonját, és ebből következően a függvény változásának természetét.

Az u = f(x,y,z) függvény szintfelülete az Oxyz tér azon pontjainak lokusza, ahol a függvény ugyanazt a C értéket veszi fel. A szintfelület egyenlete: f(x,y,z) = C. 2. Több változóból álló függvény határértéke Visszahívás: Az A számot az f(x) függvény határértékének nevezzük, mivel x hajlamos x 0-ra (az f(x) függvény határértéke az x 0 pontban). ha >0 >0 úgy, hogy ha x U * (x 0, ), akkor f(x) U(A,). 0 >0 úgy, hogy ha x U * (x 0,), akkor f(x) U(A,).">

(x,y) MxOy ; z = f(x,y) = f(M), ahol M D xOy. (x,y,z) M Oxyz u = f(x,y,z) = f(M), ahol M D Oxyz. Analógia útján az (x 1, x 2, …, x n) sorozatot egy n-dimenziós térben lévő pont derékszögű koordinátáinak tekintjük, és n változó függvényét tekintjük egy pont függvényének ebben a térben. Jelölik: n egy n-dimenziós tér, u = f(M), ahol M(x 1, x 2, …, x n) n n változó függvényei.

Ha M 1 (x 1), M 2 (x 2) Ox, akkor a köztük lévő távolságot (jelölése: | M 1 M 2 |) a következő képlettel határozzuk meg: Ha M 1 (x 1,y 1), M 2 ( x 2,y 2) xOy, akkor Ha M 1 (x 1,y 1,z 1), M 2 (x 2,y 2,z 2) Oxyz, akkor ezeket a képleteket általánosítva feltételezzük, hogy a pontok távolsága n -dimenziós tér M 1 (x 1, x 2, …, xn), M 2 (y 1, y 2, …, yn) n

Legyen M 0 (x 01, x 02, …, x 0n) n. Az M 0-tól kisebb távolságra lévő n pontok halmazát az M 0 pont -szomszédságának nevezzük, és U(M 0,)-vel jelöljük. Más szavakkal, az M 0 (x 01, x 02, …, x 0n) -szomszédság M(x 1, x 2, …, xn) pontokból áll, amelyekre az egyenlőtlenség érvényes. Amikor n = 1 U(M 0, ) = (M Ox | |M 0 M| = |x – x 0 |

Az M 0 n pontnak az M 0 pont nélküli környezetét átszúrtnak nevezzük, és U*(M 0,)-val jelöljük. Legyen n változó u = f(M) függvénye az M 0 pont valamely környezetében. n, kivéve talán magát az M 0-t. Az A számot az f(M) függvény határértékének nevezzük, mivel M M 0-ra hajlik (az f(M) függvény határértéke az M 0 pontban), ha >0 >0 úgy, hogy ha MU * (M 0, ), majd f(M) U(A,). Írjuk fel általános esetben: A z = f(x,y) függvényre: 0 >0 úgy, hogy ha M U * (M 0,), akkor f(M) U(A,). Írjuk fel általános esetben: A z = f (x, y) függvényre: ">

Megjegyzések. 1)Az M U * (M 0,) feltétel azt jelenti, hogy az egyenlőtlenség teljesül: 2)Az f(M) U(A,) feltétel azt jelenti, hogy f(M) teljesíti az egyenlőtlenséget | f(M) – A |

0 >0 úgy, hogy ifM U(M 0,) "title="(!LANG:3. Több változóból álló függvény folytonossága Legyen u = f(M) az M 0 n valamelyik szomszédságában. DEFINÍCIÓ 1. Az f(M) függvényt folytonosnak nevezzük az M 0 pontban, ha az egyenlőség igaz, vagy más szóval, ha >0 >0 úgy, hogy ha M U(M 0,)" class="link_thumb"> 12 !} 3. Több változós függvény folytonossága Legyen u = f(M) valamilyen M 0 n szomszédságban. DEFINÍCIÓ 1. Egy f(M) függvényt folytonosnak nevezünk egy M 0 pontban, ha az egyenlőség fennáll, vagy más szóval, ha >0 >0 úgy, hogy ha M U(M 0,) (azaz | MM 0 | 0 >0 , úgy, hogy ha MU(M 0,) "> 0 >0 úgy, hogy ha MU(M 0,) (azaz | MM 0 | 0 >0 úgy, hogy ha MU(M 0,) " title=" (!LANG: 3. Több változóból álló függvény folytonossága Legyen u = f(M) valamilyen M 0 n szomszédságban DEFINÍCIÓ 1. Az f(M) függvényt folytonosnak nevezzük az M 0 pontban, ha az egyenlőség igaz, ill. más szóval, ha >0 >0 úgy, hogy ha M U(M 0,)"> title="3. Több változós függvény folytonossága Legyen u = f(M) valamilyen M 0 n szomszédságban. DEFINÍCIÓ 1. Egy f(M) függvényt folytonosnak nevezünk egy M 0 pontban, ha az egyenlőség igaz, vagy más szóval, ha >0 >0 úgy, hogy ha M U(M 0,)">!}

Ha az u = f(M) függvény az M 0 pont valamelyik szomszédságában van definiálva (magának M 0 kivételével), de ezen a ponton nem folytonos, akkor az M 0 pontban nem folytonosnak nevezzük, és magát az M 0 pontot töréspontnak nevezzük. Legyen G néhány ponthalmaz n-ben és M 0 G-ben. Egy M 0 pontot egy G halmaz belső pontjának nevezzük, ha U(M 0,) G. Egy halmazt, amelynek minden pontja belső, nyitottnak nevezzük. Egy M 0 pontot egy G halmaz határpontjának nevezzük, ha bármely -szomszédsága tartalmaz G-ből származó és G-hez nem tartozó pontokat is. A G halmaz összes határpontjának halmazát a határának nevezzük. A határát tartalmazó halmazt zártnak nevezzük.

Egy G halmazt akkor nevezünk összefüggőnek, ha bármely két pontja összekapcsolható a halmaz pontjaiból álló folytonos görbével. Megjegyzés. Az n-dimenziós térben egy folytonos görbe az M(x 1, x 2, ..., xn) pontok lokusza, amelyek koordinátái kielégítik az x 1 = x 1 (t), x 2 = x 2 (t) egyenleteket. , ..., xn = xn (t), ahol x 1 = x 1 (t), x 2 = x 2 (t), ..., xn = xn (t) a t (;) paraméter folytonos függvényei. ). Az összekapcsolt nyitott halmazt régiónak nevezzük. Az összekapcsolt zárt halmazt zárt régiónak nevezzük. Határozottnak nevezzük azt a régiót, amely teljes egészében az O(0,0,…,0) pont valamelyik szomszédságában fekszik.

TÉTEL (az FNP Weierstrass- és Cauchy-tételével analóg). Ha egy n változós u = f(M) függvény folytonos egy zárt és korlátos D tartományban, akkor 1) korlátos; 2) eléri a maximális és minimális értéket D-ben; 3) felveszi az összes közbenső értéket bármely két értéke között.

12. §. Részleges deriváltak Az érthetőség kedvéért a továbbiakban minden definíciót és állítást 2 (vagy 3) változó függvényére fogalmazunk meg. Nagyobb számú ismeretlen esetén ezeket természetes módon általánosítjuk. Legyen z = f(x,y), D(z) = D xOy, D nyitott terület. Legyen M 0 (x 0,y 0) D. Növeljük x 0-t x-el, y 0 értékét változatlanul hagyva (úgy, hogy az M(x 0 + x,y 0) D pont legyen). Ebben az esetben z \u003d f (x, y) növekményt kap: xz (M 0) \u003d f (M) - f (M 0) \u003d f (x 0 + x, y 0) - f (x) 0, y 0). x z(M 0)-t a z = f(x,y) függvény részleges növekményének nevezzük x-hez képest az M 0 (x 0,y 0) pontban.

Megjegyzések. 1) A és megjelöléseket egész szimbólumokként kell érteni, nem pedig két mennyiség hányadosaként. A külön-külön vett z(x 0,y 0) és x kifejezéseknek nincs jelentésük. 2) jellemzi a z = f(x, y) függvény x-hez viszonyított változási sebességét az M 0 (x 0, y 0) pontban (a parciális derivált x-hez viszonyított fizikai jelentése). Hasonlóképpen definiáljuk a z = f(x,y) függvény parciális deriváltját az y változóhoz képest az M 0 (x 0,y 0) pontban:

A megfelelés(ek) a D 1 (D 2) D(f) függvényen definiált függvény. Ezt a z = f(x,y) függvény parciális deriváltjának nevezzük az x (y) változóhoz képest, és rendre y-vel jelöljük.

Valójában a z = f(x,y) függvény közönséges deriváltja az egyik x változó függvényeként (illetve y) a másik változó állandó értékén. Ezért a parciális deriváltak kiszámítása ugyanazon szabályok szerint történik, mint egy változó függvényére. Ebben az esetben az egyik változót állandónak tekintjük. PÉLDA. Határozzuk meg az f(x,y) = x 2 + xy 2 + y 3 függvény parciális deriváltjait x és y függvényében

KÉT VÁLTOZÓ függvényének parciális deriváltjainak GEOMETRIAI JELENTÉSE. Legyen a z = f(x,y) függvénynek parciális deriváltja x-hez képest M′0-ban (x 0,y 0). Legyen az S felület a z = f(x,y) függvény grafikonja. Ekkor hol van az S felület és az y sík metszésvonalának P 0 (x 0,y 0, f(x 0,y 0)) pontjában húzott érintő dőlésszöge az Ox tengelyhez képest y 0.

Több változó függvényének folytonossága

Vezessünk be egy fontos segédfogalmat, egy adott pont szomszédságának fogalmát.

szomszédság sugár r pontokat M 0 (x 0 , nál nél 0) az összes pont összessége ( x, nál nél) az egyenlőtlenség kielégítése, azaz egy sugarú körön belül elhelyezkedő összes pont összessége r egy pontra összpontosítva M 0 (x 0 , nál nél 0).

Ha azt mondjuk, hogy a függvény f(x, nál nél) rendelkezik valamilyen tulajdonsággal „a pont közelében ( x 0 , nál nél 0)" vagy "a pont közelében ( x 0 , nál nél 0)", akkor ez alatt azt értjük, hogy van egy olyan kör középpontjával ( x 0 , nál nél 0), amelynek minden pontján az adott függvény a megadott tulajdonsággal rendelkezik.

Mielőtt megvizsgálnánk a több változóból álló függvény folytonosságának fogalmát, nézzük meg a több változó függvényének határértékét.

Hagyja a függvényt

z = f(x, nál nél),

4. definíció. Szám DE függvény határértékének nevezzük f(x, nál nél) amikor arra törekszünk M(x, nál nél) lényegre törő M 0 (x 0 , nál nél 0) ha minden e > 0 számhoz van olyan szám r> 0, ami minden pontra vonatkozik M(x, nál nél), amelyre érvényes az egyenlőtlenség, az egyenlőtlenség

.

Ha szám DE a függvény határa f(x, nál nél) nál nél M(x, nál nél) ® M 0 (x 0 , nál nél 0), akkor írnak

.

5. definíció. Legyen a lényeg M 0 (x 0 , nál nél 0) a funkció hatókörébe tartozik f(x, nál nél). Funkció z = f(x, nál nél) a pontban folytonosnak nevezzük M 0 (x 0 , nál nél 0) ha az egyenlőség

, (2)

és a melankólia M(x, nál nél) a lényegre hajlik M 0 (x 0 , nál nél 0) önkényesen, a funkció hatókörében maradva.

Ha jelöljük x = x 0+D x, nál nél = nál nél 0+D nál nél, akkor a (2) egyenlőség a következőképpen írható át:

(3)

Jelöli . D-nél x® 0 és D nál nél® 0 Dr ® 0, és fordítva, ha Dr ® 0, akkor D x® 0 és D nál nél ® 0.

Olyan függvényt hívunk, amely valamely tartomány minden pontján folytonos folyamatos a területen.

Ha valamikor N(x 0 , nál nél 0) a (2) feltétel nem teljesül, akkor a pont N(x 0 , nál nél 0) a függvény töréspontjának nevezzük z = f(x, nál nél). Előfordulhat, hogy a (3) feltétel nem teljesül, például a következő esetekben:

1) z = f(x, nál nél) valamely szomszédság minden pontján definiálva van N(x 0 , nál nél 0), kivéve magát a pontot N(x 0 , nál nél 0);

2) funkció z = f(x, nál nél) a pont szomszédságában lévő összes ponton definiálva van N(x 0 , nál nél 0), de nincs határ ;

3) a függvény a szomszédság minden pontján meg van határozva N(x 0 , nál nél 0) és van egy határ, de .

12. példa. Funkció z = x 2 + nál nél 2 bármilyen érték esetén folytonos xÉs nál nél, azaz a sík bármely pontján Ohu.

Sőt, bármilyenek is legyenek a számok xÉs nál nél, D xés D nál nél, nekünk van

Következésképpen,.

Adjunk példát egy nem folytonos függvényre.

13. példa A függvény mindenhol definiálva van, kivéve a ponton x = 0, nál nél = 0.

Vegye figyelembe az értékeket z egyenes vonal mentén y=kx (k= const). Nyilván ezen a vonalon

,

azok. funkció z az origón áthaladó bármely egyenes mentén, a meredekségtől függően állandó értéket tart k egyenes. Ezért az origót különböző utakon közelítve különböző határértékeket kapunk, ami azt jelenti, hogy a függvény f(x, nál nél) nincs határa, amikor a pont ( x, nál nél) a felületen Ohu megközelíti a koordináták origóját. Ezért a funkció ezen a ponton nem folytonos. Ez a függvény nem bővíthető az origónál úgy, hogy folytonossá váljon. Könnyen belátható viszont, hogy ez a függvény más pontokon folyamatos.

Mutassunk rá néhányat fontos tulajdonságait több változó függvényei, folyamatosak egy zárt és korlátos tartományban. Ezek a tulajdonságok hasonlóak egy olyan változó függvényéhez, amely egy intervallumon folytonos.

1. tulajdonság. Ha a funkció f(x, nál nél, …) definiált és folyamatos egy zárt és korlátos tartományban D, majd a régióban D van legalább egy pont N(x 0 , nál nél 0 , …) úgy, hogy a régió összes többi pontjára a reláció

f(x 0 , nál nél 0 , …) ³ f(x, nál nél, …),

és legalább egy pont R(x 1 , nál nél 1 , …) úgy, hogy a régió összes többi pontjára a reláció

f(x 1 , nál nél 1 , …) £ f(x, nál nél, …).

Funkció értéke f(x 0 , nál nél 0 , …) = M hívni fogjuk legmagasabb érték funkciókat f(x, nál nél, …) régiójában D, és az érték f(x 1 , nál nél 1 , …) = T – a legkisebb érték.

Ez a tulajdonság a következőképpen van megfogalmazva. Folyamatos függvény zárt korlátos tartományban D legalább egyszer eléri a legnagyobb érték Més a legkisebb érték T.

2. tulajdonság. Ha a funkció f(x, nál nél, …) folytonos egy zárt és korlátos tartományban Dés ha MÉs T a függvény legnagyobb és legkisebb értékei f(x, nál nél, …) a tartományban, akkor bármely m számra, amely kielégíti a feltételt T < m < M, van egy ilyen pont a régióban R*(x * , nál nél* , …), hogy az egyenlőség fennáll f(x * , nál nél* , …) = m.

Tulajdonságkövetkezmény 2. Ha a függvény f(x, nál nél, …) folytonos egy zárt korlátos tartományban, és pozitív és negatív értékeket is felvesz, akkor a tartományon belül vannak olyan pontok, ahol a függvény f(x, nál nél, …) eltűnik.