A valószínűségszámítás és a matematikai statisztika az. A valószínűségszámítás és a matematikai statisztika alapjai
Valószínűségszámítás és matematikai statisztika
1. ELMÉLETI RÉSZ
1 Valószínűségi változók sorozatainak és valószínűségi eloszlásának konvergenciája
Valószínűségelméletben az embernek foglalkoznia kell különböző fajták valószínűségi változók konvergenciája. Tekintsük a következő főbb konvergenciatípusokat: valószínűségben, egy valószínűséggel, p-rendű átlag, eloszlásban.
Legyenek,… valamilyen (, Ф, P) valószínűségi téren adott valószínűségi változók.
Definíció 1. Valószínűségi változók sorozatát, ... valószínűségi változóhoz való konvergálásnak nevezzük (jelölés :) ha bármely> 0
2. definíció. Valószínűségi változók sorozatát, ... egy valószínűséggel konvergálnak (majdnem biztosan, szinte mindenhol) egy valószínűségi változóhoz, ha
azok. ha az eredmények halmazának, amelyeknél () nem konvergál ()-hez, nulla a valószínűsége.
Ezt a típusú konvergenciát a következőképpen jelöljük:, vagy, vagy.
Definíció 3. Valószínűségi változók sorozatát, ... p, 0 rendű átlagos konvergensnek nevezzük< p < , если
4. definíció. Valószínűségi változók sorozatát, ... valószínűségi változóhoz való eloszlásban konvergálnak (jelölés :) ha bármely korlátos folytonos függvényre
A valószínűségi változók eloszlásának konvergenciáját csak az eloszlásfüggvényeik konvergenciája határozza meg. Ezért van értelme ilyen típusú konvergenciáról beszélni akkor is, ha a valószínűségi változók különböző valószínűségi tereken vannak megadva.
1. tétel.
a) A (P-a.s.) érdekében szükséges és elegendő, hogy bármely> 0 esetén
) A () sorozat akkor és csak akkor alapvetõ valószínûséggel, ha bármely> 0 esetén.
Bizonyíték.
a) Legyen A = (: | - |), A = A. Ekkor
Ezért az a) állítás a következő implikációs lánc eredménye:
P (:) = 0 P () = 0 = 0 P (A) = 0, m 1 P (A) = 0,> 0 P () 0, n 0,> 0 P () 0,
n 0,> 0.) Jelölje = (:), =. Ekkor (: (()) nem alapvető) = és, mint az a-ban, megmutatjuk, hogy (: (()) nem alapvető) = 0 P () 0, n.
A tétel bizonyítva van
2. Tétel (Cauchy konvergenciakritériuma szinte biztos)
Ahhoz, hogy a valószínűségi változók sorozata () az egyes valószínűséggel konvergáljon (valamilyen valószínűségi változóhoz), szükséges és elegendő, hogy az egyes valószínűséggel alapvető legyen.
Bizonyíték.
Ha, akkor +
amiből az következik, hogy a tétel feltétele szükséges.
Legyen most a () sorozat alapvető, egyes valószínűséggel. Jelöljük L = (: (()) nem alapvető). Ekkor minden numerikus sorozat () alapvető, és a numerikus sorozatokra vonatkozó Cauchy-kritérium szerint létezik (). Rakjuk
Az így definiált függvény egy valószínűségi változó és.
A tétel bizonyítva van.
2 A karakterisztikus függvények módszere
A karakterisztikus függvények módszere a valószínűségelmélet analitikai apparátusának egyik fő eszköze. A karakterisztikus függvények elmélete a valószínűségi változók mellett (valós értékeket vesz fel) komplex értékű valószínűségi változók használatát igényli.
A valószínűségi változókhoz kapcsolódó definíciók és tulajdonságok közül sok könnyen átvihető az összetett esetre. Tehát a matematikai elvárás M ?komplex értékű valószínűségi változó ?=?+?? Határozottnak tekinthető, ha a matematikai elvárások M ?őket ?... Ebben az esetben értelemszerűen M ?= M ? + ?M ?... A véletlenszerű elemek függetlenségének definíciójából következik, hogy a komplex értékű mennyiségek ?1 =?1+??1 , ?2=?2+??2akkor és csak akkor függetlenek, ha valószínűségi változópárok ( ?1 , ?1) és ( ?2 , ?2), vagy ami ugyanaz, független ?-algebra F 1, 1 és F ?2, ?2.
Az L szóközzel együtt 2valós valószínűségi változók véges második pillanattal, figyelembe vehetjük az összetett értékű valószínűségi változók Hilbert terét. ?=?+?? M | ?|2?|2= ?2+?2, és a pontszorzat ( ?1 , ?2) = M ?1?2¯ , ahol ?2¯ - komplex konjugált valószínűségi változó.
Az algebrai műveletekben az Rn vektorokat algebrai oszlopoknak tekintjük,
Sorvektorként a * - (a1, a2, ..., an). Ha Rn, akkor a skalárszorzatuk (a, b) jelenti az értéket. Ez egyértelmű
Ha aRn és R = || rij || akkor egy nхn sorrendű mátrix
Definíció 1. Legyen F = F (х1,…., Хn) az n-dimenziós eloszlásfüggvény (, ()-ben). Jellegzetes funkcióját függvénynek nevezzük
2. definíció . Ha? = (? 1, ...,? N) egy valószínűségi téren definiált véletlenvektor в értékekkel, majd a karakterisztikus függvényét függvénynek nevezzük
hol van F? = F? (X1,…., Xn) a vektor eloszlásfüggvénye? = (? 1,…,? N).
Ha az F (x) eloszlásfüggvény sűrűsége f = f (x), akkor
Ebben az esetben a karakterisztikus függvény nem más, mint az f (x) függvény Fourier-transzformációja.
A (3)-ból következik, hogy egy véletlenvektor ?? (t) karakterisztikus függvénye is meghatározható az egyenlőséggel
A karakterisztikus függvények alapvető tulajdonságai (n = 1 esetben).
Hagyjuk? =?(?) - valószínűségi változó, F? = F? (x) - eloszlásfüggvénye és - karakterisztikus függvénye.
Megjegyzendő, hogy ha, akkor.
Valóban,
ahol felhasználták azt a tényt, hogy a független (korlátozott) valószínűségi változók szorzatának matematikai elvárása megegyezik matematikai elvárásaik szorzatával.
A (6) tulajdonság kulcsfontosságú a független valószínűségi változók összegére vonatkozó határtételek karakterisztikus függvények módszerével történő bizonyításában. Ebben a vonatkozásban az eloszlásfüggvényt az egyes tagok eloszlásfüggvényeivel sokkal összetettebben fejezzük ki, nevezetesen, ahol a * jel az eloszlások konvolúcióját jelenti.
Minden eloszlásfüggvényhez társíthat egy valószínűségi változót, amelynek eloszlási függvénye ez a függvény. Ezért a karakterisztikus függvények tulajdonságainak leírása során a valószínűségi változók jellemző függvényeinek figyelembevételére szorítkozhatunk.
1. tétel. Hagyjuk? - egy F = F (x) eloszlásfüggvénnyel rendelkező valószínűségi változó és - karakterisztikus függvénye.
A következő tulajdonságok zajlanak:
) egyenletesen folytonos;
) akkor és csak akkor valós értékű függvény, ha az F eloszlás szimmetrikus
) ha néhány n? 1, akkor mindenre vannak származékai és
) Ha létezik és véges, akkor
) Legyen minden n? 1 és
akkor mindenre |t | A következő tétel azt mutatja, hogy a karakterisztikus függvény egyedileg határozza meg az eloszlásfüggvényt. 2. tétel (egyediség). Legyen F és G két eloszlásfüggvény, amelyeknek ugyanaz a karakterisztikus függvénye, azaz mindegyikre A tétel azt mondja, hogy az F = F (x) eloszlásfüggvényt a karakterisztikus függvényéből egyedileg rekonstruáljuk. A következő tétel az F függvény explicit reprezentációját adja meg. 3. tétel (általánosító képlet). Legyen F = F (x) eloszlásfüggvény és karakterisztikus függvénye. a) Bármely két a, b (a< b), где функция F = F(х) непрерывна, ) Ha akkor az F (x) eloszlásfüggvénynek f (x) sűrűsége van, 4. Tétel. Ahhoz, hogy egy véletlen vektor komponensei függetlenek legyenek, szükséges és elégséges, hogy a karakterisztikus függvénye a komponensek karakterisztikus függvényeinek szorzata legyen: Bochner-Khinchin tétel .
Legyen folytonos függvény, Ahhoz, hogy karakterisztikus legyen, szükséges és elegendő, hogy nem negatív definit legyen, azaz bármely valós t1, ..., tn és bármilyen komplex szám esetén 5. Tétel. Legyen egy valószínűségi változó karakterisztikus függvénye. a) Ha egyesekre, akkor a valószínűségi változó egy lépcsős rács, azaz ) Ha két különböző pontra, hol van egy irracionális szám, akkor egy valószínűségi változó? degenerált: ahol a valamilyen állandó. c) Ha, akkor egy valószínűségi változó? elfajzott. 1.3. Központi határtétel független azonos eloszlású valószínűségi változókra Legyen () független, azonos eloszlású valószínűségi változók sorozata. A matematikai elvárás M = a, a variancia D =, S =, és Ф (х) a normáltörvény (0,1) paraméterű eloszlásfüggvénye. Bevezetjük a valószínűségi változók sorozatát is Tétel. Ha 0<<, то при n P(< x) Ф(х) равномерно относительно х (). Ebben az esetben a () sorozatot aszimptotikusan normálisnak nevezzük. Abból, hogy М = 1 és a folytonossági tételekből az következik, hogy a gyenge konvergenciával együtt FM f () Mf () bármely folytonos korlátos f esetén a М f () Mf () konvergencia is bekövetkezik bármely folytonos f esetén. hogy |f (x) |< c(1+|x|) при каком-нибудь. Bizonyíték. Az egyenletes konvergencia itt Φ (x) gyenge konvergenciájának és folytonosságának a következménye. Továbbá az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy a = 0, mivel ellenkező esetben a () sorozatot figyelembe lehetne venni, míg a () sorozat nem változna. Ezért a szükséges konvergencia bizonyításához elegendő megmutatni, hogy (t) e, ha a = 0. (t) =, ahol = (t). Mivel M létezik, akkor a dekompozíció Ezért a n A tétel bizonyítva van. 1.4 A matematikai statisztika fő feladatai, rövid ismertetése A masszív véletlenszerű jelenségeknek kitett minták felállítása statisztikai adatok – a megfigyelések eredményei – tanulmányozásán alapul. A matematikai statisztika első feladata annak jelzése, hogyan történik a statisztikák gyűjtése és csoportosítása. A matematikai statisztika második feladata a statisztikai adatok elemzésére szolgáló módszerek kidolgozása a vizsgálat céljaitól függően. A matematikai statisztika bármely problémájának megoldásához két információforrás áll rendelkezésre. Az első és legmeghatározóbb (explicit) egy skaláris vagy vektoros valószínűségi változó bizonyos általános sokaságából származó minta formájában végzett megfigyelések (kísérletek) eredménye. Ebben az esetben az n mintanagyság rögzíthető, vagy a kísérlet során növekedhet (vagyis használhatók a statisztikai elemzés ún. szekvenciális eljárásai). A második forrás minden a priori információ a vizsgált objektum érdeklődésre számot tartó tulajdonságairól, amelyek az aktuális pillanatig felhalmozódtak. Formálisan az a priori információ mennyisége tükröződik a kezdeti statisztikai modellben, amelyet a probléma megoldása során választunk. Nem kell azonban a szokásos értelemben vett közelítőről beszélni, amikor egy esemény valószínűségét a kísérletek eredményeiből határozzuk meg. Egy mennyiség hozzávetőleges meghatározása általában azt jelenti, hogy meg lehet jelölni azokat a hibahatárokat, amelyekből a hiba nem jön ki. Az esemény gyakorisága tetszőleges számú kísérlet esetén az egyes kísérletek eredményeinek véletlenszerűsége miatt véletlenszerű. Az egyes kísérletek eredményeinek véletlenszerűsége miatt a gyakoriság jelentősen eltérhet az esemény valószínűségétől. Ezért, ha egy esemény ismeretlen valószínűségét ennek az eseménynek a gyakoriságaként határozzuk meg nagy számú kísérlettel, nem tudjuk megadni a hibahatárokat és garantálni, hogy a hiba nem lépi túl ezeket a határokat. Ezért a matematikai statisztikában általában nem az ismeretlen mennyiségek hozzávetőleges értékeiről beszélnek, hanem azok megfelelő értékeiről, becsléseiről. Az ismeretlen paraméterek becslésének problémája olyan esetekben merül fel, amikor az általános sokaság eloszlásfüggvénye egy paraméterig ismert. Ebben az esetben olyan statisztikát kell találni, amelynek mintaértéke egy véletlen minta xn figyelembe vett megvalósításához a paraméter közelítő értékének tekinthető. Azt a statisztikát, amelynek tetszőleges xn realizálása esetén a mintaértékét egy ismeretlen paraméter közelítő értékének vesszük, pontbecslésnek vagy egyszerűen becslésnek nevezzük, és egy pontbecslés értékének. A pontbecslésnek jól meghatározott követelményeknek kell megfelelnie ahhoz, hogy mintaértéke megfeleljen a paraméter valódi értékének. A vizsgált probléma megoldásának egy másik megközelítése is lehetséges: ilyen statisztikákat találni, és így valószínűséggel? az egyenlőtlenség teljesült: Ebben az esetben intervallumbecslésről beszélünk. Intervallum konfidencia intervallumnak nevezzük a ? konfidenciafaktorral. Egy-egy statisztikai jellemző kísérleti eredmények alapján történő kiértékelése után felvetődik a kérdés: mennyiben egyezik a kísérleti adatokkal az a feltevés (hipotézis), hogy egy ismeretlen jellemző pontosan olyan értékkel bír, mint a kiértékelése eredményeként kapott? Így jön létre a matematikai statisztika második fontos problémaosztálya - a hipotézisek tesztelésének problémája. Bizonyos értelemben a statisztikai hipotézis tesztelésének problémája fordítottja a paraméterbecslés problémájának. Egy paraméter kiértékelésekor semmit sem tudunk a valódi értékéről. Egy statisztikai hipotézis tesztelésekor valamilyen oknál fogva annak értékét ismertnek tételezzük fel, és ezt a feltételezést a kísérlet eredményei alapján ellenőrizni kell. A matematikai statisztika számos problémájában olyan valószínűségi változók sorozatát veszik figyelembe, amelyek ilyen vagy olyan értelemben konvergálnak egy bizonyos határértékhez (véletlenszerű változóhoz vagy állandóhoz), amikor. Így a matematikai statisztika fő feladatai a becslések megtalálására és a becsült jellemzőkhöz való közelítésük pontosságának vizsgálatára szolgáló módszerek kidolgozása, valamint a hipotézisek tesztelésére szolgáló módszerek kidolgozása. 5 Statisztikai hipotézisvizsgálat: alapfogalmak A statisztikai hipotézisek tesztelésének racionális módszereinek kidolgozása a matematikai statisztika egyik fő feladata. Statisztikai hipotézis (vagy egyszerűen hipotézis) minden olyan állítás, amely a kísérlet során megfigyelt valószínűségi változók eloszlásának formájára vagy tulajdonságaira vonatkozik. Legyen olyan minta, amely az általános sokaságból vett véletlenszerű minta megvalósítása, amelynek eloszlássűrűsége egy ismeretlen paramétertől függ. A paraméter ismeretlen valódi értékére vonatkozó statisztikai hipotéziseket parametrikus hipotéziseknek nevezzük. Sőt, ha skalár, akkor egyparaméteres hipotézisekről beszélünk, ha vektorról, akkor többparaméteres hipotézisekről. A statisztikai hipotézist egyszerűnek nevezzük, ha megvan a formája ahol egy adott paraméterérték. A statisztikai hipotézist komplexnek nevezzük, ha van formája ahol a paraméterértékek egy halmaza, amely egynél több elemből áll. Az űrlap két egyszerű statisztikai hipotézise tesztelése esetén ahol a paraméter két adott (különböző) értéke van, az első hipotézist általában fő hipotézisnek, a másodikat pedig alternatív vagy versengő hipotézisnek nevezik. A hipotézisek tesztelésének kritériuma, vagy statisztikai kritériuma az a szabály, amely szerint a mintaadatok alapján döntenek akár az első, akár a második hipotézis érvényességéről. A kritériumot egy kritikus halmaz segítségével állítjuk be, amely egy véletlen minta mintaterének egy részhalmaza. A döntés a következőképpen születik: ) ha a minta a kritikus halmazba tartozik, akkor a főhipotézist elvetjük és egy alternatív hipotézist elfogadunk; ) ha a minta nem tartozik a kritikus halmazhoz (azaz a mintatér halmazának komplementeréhez tartozik), akkor az alternatív hipotézist elvetjük, és a főhipotézist elfogadjuk. Bármely kritérium alkalmazásakor a következő típusú hibák lehetségesek: 1) fogadja el a hipotézist, amikor az helyes - az első típusú hiba; ) fogadja el a hipotézist, amikor az helyes – ez egy második típusú hiba. Az első és második típusú hibák elkövetésének valószínűségét és a következőkkel jelöljük: ahol egy esemény valószínűsége, feltéve, hogy a hipotézis igaz. A jelzett valószínűségek kiszámítása egy véletlenszerű minta eloszlássűrűség-függvényével történik: Az első típusú hiba elkövetésének valószínűségét kritérium szignifikancia szintnek is nevezik. Azt az értéket, amely megegyezik a fő hipotézis elutasításának valószínűségével, ha igaz, a teszt hatványának nevezzük. 1.6 A függetlenség kritériuma Van egy minta ((XY), ..., (XY)) egy kétváltozós eloszlásból L ismeretlen eloszlásfüggvénnyel, amelyhez a H: hipotézis tesztelése szükséges, ahol néhány egydimenziós eloszlásfüggvény található. A módszertan alapján egy egyszerű illeszkedési tesztet készíthetünk a H hipotézishez. Ezt a technikát véges számú kimenetelű diszkrét modelleknél alkalmazzák, ezért egyetértünk abban, hogy egy valószínűségi változó véges számú s értéket vesz fel, amit betűkkel jelölünk, a második komponens pedig k értéket. Ha az eredeti modell eltérő szerkezetű, akkor a valószínűségi változók lehetséges értékeit az első és a második komponens szerint külön csoportosítjuk. Ebben az esetben a halmazt s intervallumra, az értékkészletet k intervallumra, magát az értékkészletet pedig N = sk téglalapokra osztjuk. Jelöljük a pár megfigyeléseinek számával (a téglalaphoz tartozó mintaelemek számával, ha az adatok csoportosítva vannak), így. A megfigyelési eredményeket célszerű két előjelből álló kontingenciatáblázatba rendezni (1.1. táblázat). Az alkalmazásokban, és általában két kritériumot jelent, amelyek alapján a megfigyelési eredmények osztályozása történik. Legyen P, i = 1,…, s, j = 1,…, k. Ekkor a függetlenségi hipotézis azt jelenti, hogy van olyan s + k állandó, hogy és 1.1. táblázat Összeg . . .. . .. . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . ... ... .Összeg . . .n Így a H hipotézis arra az állításra redukálódik, hogy a gyakoriságok (számuk egyenlő N = sk) egy polinomiális törvény szerint oszlanak meg a meghatározott specifikus szerkezetű eredmények valószínűségeivel (a p eredmények valószínűségi vektorát a értékek r = s + k-2 ismeretlen paraméter. Ennek a hipotézisnek a teszteléséhez megtaláljuk a vizsgált sémát meghatározó ismeretlen paraméterek maximális valószínűségi becsléseit. Ha a nullhipotézis érvényes, akkor a likelihood függvény L (p) = alakú, ahol a c tényező nem függ az ismeretlen paraméterektől. Ezért a határozatlan Lagrange-szorzók módszerével azt kapjuk, hogy a keresett becslések alakja Ezért a statisztika L () for, mivel a korlátozó eloszlás szabadságfokainak száma egyenlő N-1-r = sk-1- (s + k-2) = (s-1) (k-1). Tehát kellően nagy n esetén a következő szabály használható a hipotézis tesztelésére: a H hipotézist akkor és csak akkor utasítjuk el, ha a tényleges adatokból számított t statisztika értéke kielégíti az egyenlőtlenséget. Ennek a kritériumnak aszimptotikusan (az) adott szignifikanciaszintje van, és függetlenségi kritériumnak nevezik. 2. GYAKORLATI RÉSZ 1. Megoldások a konvergenciatípusok problémáira 1. Bizonyítsuk be, hogy a konvergencia szinte biztosan feltételezi a valószínűség konvergenciáját. Adjon meg egy tesztesetet, amely megmutatja, hogy az ellenkezője nem igaz! Megoldás. Hagyja, hogy a valószínűségi változók sorozata szinte biztosan konvergáljon egy x valószínűségi változóhoz. Szóval, valakinek? > 0 Azóta és xn-nek x-hez való konvergenciája szinte biztosan azt jelenti, hogy xn valószínûséggel konvergál x-hez, mivel ebben az esetben De ennek az ellenkezője nem igaz. Legyen olyan független valószínűségi változók sorozata, amelyeknek ugyanaz az F (x) eloszlásfüggvénye, amely egyenlő nullával x pontban? 0 és egyenlő x> 0 esetén. Tekintsük a sorozatot Ez a sorozat valószínűsége nullához konvergál, mivel nullára hajlik bármilyen fix? és. A nullához való konvergencia azonban szinte biztosan nem fog megtörténni. Igazán egységre hajlik, vagyis 1 valószínűséggel tetszőleges és n esetén vannak olyan realizációk a sorozatban, amelyek túllépik?. Vegyük észre, hogy ha az xn mennyiségekre további feltételek vonatkoznak, a valószínűség konvergenciája szinte biztosan konvergenciát von maga után. Legyen xn egy monoton sorozat. Bizonyítsuk be, hogy ebben az esetben az xn-nek az x-hez való valószínűségi konvergenciája xn-nek x-hez való konvergenciáját jelenti 1-es valószínűséggel. Megoldás. Legyen xn monoton csökkenő sorozat, azaz. Érvelésünk leegyszerűsítése érdekében feltételezzük, hogy x º 0, xn ³ 0 minden n esetén. Hagyja, hogy xn valószínűség szerint konvergáljon x-hez, de a konvergencia szinte biztosan meghiúsul. Akkor van? > 0 úgy, hogy minden n-re De az elmondottak azt is jelentik, hogy minden n ami ellentmond az xn és az x valószínűségi konvergenciájának. Így az x-hez valószínûséggel konvergáló monoton sorozat esetén a konvergencia 1-es valószínûséggel is megtörténik (majdnem biztosan). Hagyja, hogy az xn sorozat valószínűség szerint konvergáljon x-hez. Bizonyítsuk be, hogy ebből a sorozatból választhatunk olyan sorozatot, amely 1 valószínűséggel konvergál x-hez. Megoldás. Legyen néhány pozitív számsorozat, ráadásul pozitív számok, hogy a sorozat. Készítsünk n1 indexsorozatot Aztán a sorozat Mivel a sorozat konvergál, akkor bármelyik? > 0, a sorozat többi része nullára hajlik. De akkor inkább nullára és Bizonyítsuk be, hogy a konvergencia valamely pozitív sorrend átlagában a valószínűség konvergenciáját jelenti. Mondjon egy példát annak bizonyítására, hogy az ellenkezője nem igaz. Megoldás. Konvergáljon az xn sorozat egy p> 0-s rendű x átlagértékhez, azaz Az általánosított Csebisev-egyenlőtlenséget fogjuk használni: önkényesre? > 0 és p> 0 Ha erre törekszünk és ezt figyelembe vesszük, ezt elérjük azaz xn valószínűség szerint konvergál x-hez. A valószínűségi konvergencia azonban nem jár konvergenciával p> 0 rendű átlagban. Ezt mutatja be a következő példa. Tekintsük az áW, F, Rñ valószínűségi teret, ahol F = B a Borel s-algebra, R a Lebesgue mérték. Határozzuk meg a véletlen változók sorozatát a következőképpen: Az xn sorozat valószínûséggel 0-hoz konvergál, hiszen de bármely p>0 esetén vagyis átlagosan nem fog konvergálni. Legyen, és minden n. Bizonyítsuk be, hogy ebben az esetben xn az átlagos négyzetben konvergál x-hez. Megoldás. Vegye figyelembe, hogy és. Vegyünk egy becslést. Tekintsünk egy valószínűségi változót. Hagyjuk? - tetszőleges pozitív szám. Aztán at és at. Ha, akkor és. Ennélfogva, . És azóta? tetszőlegesen kicsi, és akkor at, azaz a középnégyzetben van. Bizonyítsuk be, hogy ha xn valószínűség szerint konvergál x-hez, akkor gyenge konvergencia következik be. Adjon meg egy tesztesetet, amely megmutatja, hogy az ellenkezője nem igaz! Megoldás. Bizonyítsuk be, hogy ha minden x pontban, amely folytonossági pont (ez a gyenge konvergencia szükséges és elégséges feltétele), ott van az xn mennyiség eloszlásfüggvénye, és az x mennyiség. Legyen х az F függvény folytonossági pontja. Ha, akkor legalább egy egyenlőtlenség vagy. Azután Hasonlóképpen legalább az egyik egyenlőtlenségre vagy és Ha, akkor önkényesen kicsire? > 0 létezik N úgy, hogy minden n> N esetén Másrészt, ha x egy folytonossági pont, akkor lehet ilyet találni? > 0, ami tetszőlegesen kicsi Tehát önkényesen kicsire? és létezik olyan N, hogy n> N esetén vagy ami ugyanaz, Ez azt jelenti, hogy a konvergencia és a folytonosság minden pontján megtörténik. Ezért a valószínűség konvergenciája gyenge konvergenciát jelent. Általánosságban elmondható, hogy fordítva nem igaz. Ennek igazolására 1-es valószínűséggel nem egyenlő valószínűségi változók sorozatát egy állandóra vesszük, és ugyanazzal az F (x) eloszlásfüggvénnyel. Feltételezzük, hogy minden n mennyiségre és függetlenek. Nyilvánvalóan gyenge konvergencia megy végbe, mivel a sorozat minden tagjának ugyanaz az eloszlásfüggvénye. Fontolgat: | A függetlenségből és a mennyiségek azonos eloszlásából az következik A nem degenerált valószínűségi változók eloszlásfüggvényei közül olyan F(x)-et választunk, amely minden kellően kicsi ? esetén nullától eltérő lesz. Ekkor nem nullázódik n korlátlan növekedése esetén, és nem megy végbe a valószínűség konvergenciája. 7. Legyen gyenge konvergencia, ahol van 1-es valószínűségű állandó. Bizonyítsuk be, hogy ebben az esetben a valószínűség szerint konvergál. Megoldás. Legyen egyenlő a-val 1 valószínűséggel. Ekkor a gyenge konvergencia bármely esetén konvergenciát jelent. Azóta, majd at és at. Azaz érte és érte. Ebből következik, hogy bárkinek is? > 0 valószínűség nullára hajlamosak. Ez azt jelenti nullára hajlamos, azaz valószínűség szerint konvergál. 2.2 Feladatok megoldása a központi ponton A Г (x) gammafüggvény értékét x = helyen a Monte Carlo módszerrel számítjuk ki. Határozzuk meg azt a minimális számú tesztet, amely szükséges ahhoz, hogy 0,95-ös valószínűséggel azt várjuk, hogy a relatív számítási hiba egy százaléknál kisebb legyen. Akár mi is Ismeretes, hogy Ha megváltoztatjuk az (1) értéket, egy véges intervallumon keresztül egy integrálhoz jutunk: Nálunk tehát Amint látja, ábrázolható formában, ahol, és egyenletesen oszlik el. Végezzük el a statisztikai teszteket. Ekkor a statisztikai analóg a mennyiség ahol független, egyenletes eloszlású valószínűségi változók. Ahol A CLT-ből az következik, hogy paraméterekkel aszimptotikusan normális. Ez azt jelenti, hogy a relatív számítási hiba valószínűségét biztosító tesztek minimális száma nem több, mint. 2000 független, azonos eloszlású valószínűségi változóból álló sorozatot veszünk figyelembe, amelynek matematikai elvárása 4 és variancia 1,8. Ezeknek a mennyiségeknek a számtani átlaga egy valószínűségi változó. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó értéket vesz fel a (3,94; 4,12) intervallumban! Legyen,…,… független valószínűségi változók sorozata azonos eloszlással, ahol M = a = 4 és D == 1,8. Ekkor a CLT alkalmazható a () szekvenciára. Véletlenszerű érték Annak a valószínűsége, hogy értéket vesz fel a () intervallumban: n = 2000 esetén 3,94 és 4,12 kapjuk 3 Hipotézisek tesztelése a függetlenség kritériumával A vizsgálat eredményeként kiderült, hogy 782 világos szemű apának fia is világos szemű, 89 világos szemű apának pedig sötét szemű fia van. 50 sötét szemű apának is van sötét szemű fia, 79 sötét szemű apának pedig világos szemű fia. Van-e összefüggés az apák szemének színe és a fiaik szemének színe között? A megbízhatósági szintet 0,99-nek kell tekinteni. 2.1. táblázat Gyerekek ApákSum Világos szeműSötét szemű Világos szemű78279861Sötét szemű8950139Sum8711291000 H: nincs kapcsolat a gyermekek és az apák szemének színe között. H: Van kapcsolat a gyerekek és az apák szemszíne között. s = k = 2 = 90,6052 1 szabadságfokozatból A számításokat a Mathematica 6-ban végeztük. Mivel>, akkor a H hipotézist, amely arról szól, hogy az apák és a gyermekek szeme színe között szignifikancia szintjén nincs kapcsolat, el kell utasítani, és az alternatív H hipotézist. Azt állítják, hogy a gyógyszer hatása az adagolás módjától függ. Ellenőrizze ezt az állítást a táblázatban szereplő adatokkal. 2.2 A bizalom szintje 0,95. 2.2. táblázat Eredmény Alkalmazási mód AVS Kedvezőtlen111716Kedvező202319 Megoldás. A probléma megoldásához két jellemzőből álló kontingenciatáblázatot fogunk használni. 2.3. táblázat Eredmény Alkalmazási mód ÖsszegABS Kedvező11171644Kedvező20231962Összeg314035106 H: a gyógyszerek hatása nem függ a beadás módjától H: a gyógyszerek hatása az adagolás módjától függ A statisztikákat a következő képlet alapján számítjuk ki s = 2, k = 3, = 0,734626 2 szabadságfokozattal. A számítás a Mathematica 6-ban készült Az eloszlási táblázatokból azt találjuk. Amennyiben< , то гипотезу H, про отсутствия зависимости действия лекарств от способа применения, при уровне значимости, следует принять. Következtetés Ez a cikk elméleti számításokat tartalmaz a "Függetlenségi kritérium" fejezetből, valamint a "Valószínűségelmélet határtételei", a "Valószínűségelmélet és matematikai statisztika" kurzusból. A munka során a függetlenségi kritérium gyakorlati tesztelése megtörtént; Valamint a független valószínűségi változók adott sorozataira igazoltuk a centrális határtétel teljesülését. Ez a munka hozzájárult a valószínűségelmélet ezen részeinek ismereteinek bővítéséhez, az irodalmi forrásokkal való munkavégzéshez, a függetlenség kritériumának ellenőrzési technikájának szilárdan elsajátításához. valószínűségi statisztikai hipotézis tétel Linkek listája 1. Feladatok gyűjtése a valószínűségelméletből megoldással. Uch. pótlék / Szerk. V.V. Semenets. - Harkov: KhTURE, 2000 .-- 320s. Gikhman I.I., Skorokhod A.V., Yadrenko M.I. Valószínűségelmélet és matematikai statisztika. - K .: Vischa shk., 1979 .-- 408 p. Ivchenko G.I., Medvegyev Yu.I., Matematikai statisztika: Tankönyv. kézikönyv a műszaki főiskolák számára. - M .: Magasabb. shk., 1984 .-- 248s.,. Matematikai statisztika: Tankönyv. egyetemeknek / V.B. Goryanov, I.V. Pavlov, G.M. Tsvetkova és mások; Szerk. V.S. Zarubina, A.P. Kriscsenko. - M .: MSTU kiadó im. N.E. Bauman, 2001 .-- 424s. Segítségre van szüksége egy téma feltárásához?
Szakértőink tanácsot adnak vagy oktatói szolgáltatásokat nyújtanak az Önt érdeklő témákban. A valószínűségszámítás és a matematikai statisztika alapjai A „valószínűségelmélet” kifejezés pánikot okoz egy felkészületlen diákban. Valójában a képzelet olyan képeket rajzol, ahol szörnyű térfogati képletek jelennek meg, és egy probléma megoldása egy egész notebookot igényel. A gyakorlatban azonban egyáltalán nem minden olyan szörnyű: elég egyszer megérteni egyes kifejezések jelentését, és belemerülni egy kissé sajátos érvelési logika lényegébe, hogy végleg ne féljünk a megbízásoktól. Ebben a tekintetben megvizsgáljuk a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika alapfogalmait - ez egy fiatal, de rendkívül érdekes tudásterület. A nyelv funkciója az, hogy információt adjon át egyik emberről a másikra, hogy az megértse, megértse és tudja használni. Minden matematikai fogalom egyszerűen megmagyarázható, de ebben az esetben az adatcsere lényegesen tovább tartana. Képzelje el, hogy a „hipoténusz” szó helyett mindig azt kell mondania, hogy „egy derékszögű háromszög leghosszabb oldala” – ez rendkívül kényelmetlen és időigényes. Ezért az emberek új kifejezéseket találnak ki bizonyos jelenségekre, folyamatokra. Ugyanígy jelentek meg a valószínűségszámítás alapfogalmai - esemény, eseményvalószínűség stb. Ez azt jelenti, hogy a képletek használatához, a problémák megoldásához és a készségek életben történő alkalmazásához nem csak az új szavakat kell emlékezni, hanem meg kell érteni, hogy mindegyik mit jelent. Minél mélyebben felismered őket, elmélyedsz a jelentésükben, annál szélesebbé válik lehetőségeid köre, és annál teljesebben érzékeled a körülötted lévő világot. Ismerkedjünk meg a valószínűségszámítás alapfogalmaival. A valószínűség klasszikus definíciója a következő: a kutató számára kielégítő eredmények aránya a lehetséges kimenetelek teljes számához viszonyítva. Mondjunk egy egyszerű példát: ha valaki dob egy kockával, a hat oldalával felfelé bármelyik kieshet. Így az eredmények összesen hat. Annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott oldal kiesik, 1/6. Egy adott eredmény megjelenésének előrejelzésének képessége rendkívül fontos a legkülönbözőbb szakemberek számára. Hány hibás alkatrész várható a tételben? Ettől függ, hogy mennyit kell előállítani. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a gyógyszer segít a betegség leküzdésében? Az ilyen információk létfontosságúak. De ne vesztegessük az időt további példákra, és kezdjünk el egy új területet felfedezni számunkra. Tekintsük a valószínűségelmélet alapfogalmait és azok használatát. A jogban, a természettudományokban, a közgazdaságtanban mindenhol használatosak az alábbiakban bemutatott képletek és kifejezések, hiszen ezek közvetlenül a statisztikákhoz, mérési hibákhoz kapcsolódnak. Ennek a kérdésnek a részletesebb tanulmányozása új képleteket nyit meg, amelyek hasznosak a pontosabb és összetettebb számításokhoz, de kezdjük az egyszerűekkel. A valószínűségszámítás és a matematikai statisztika egyik legalapvetőbb és legalapvetőbb fogalma a véletlenszerű esemény. Magyarázzuk el érthető szavakkal: a kísérlet összes lehetséges kimenetele közül csak egy figyelhető meg eredményeként. Még akkor is, ha ennek az eseménynek a valószínűsége sokkal nagyobb, mint egy másiké, akkor is véletlen, hiszen elméletileg más is lehetett volna az eredmény. Ha kísérletsorozatot végeztünk, és bizonyos számú eredményt kaptunk, akkor mindegyik valószínűségét a következő képlettel számítjuk ki: P (A) = m / n. Itt m az, hogy egy tesztsorozat során hányszor figyeltük meg a számunkra érdekes eredmény megjelenését. Az n viszont az elvégzett kísérletek teljes száma. Ha 10-szer dobtunk fel egy érmét és 5-ször kaptunk farkat, akkor m = 5 és n = 10. Előfordul, hogy minden vizsgálat során garantáltan megfigyelhető egy bizonyos eredmény - egy ilyen eseményt megbízhatónak neveznek. Ha ez soha nem történik meg, lehetetlennek fogják nevezni. Az ilyen eseményeket azonban nem használják fel a valószínűségelmélet problémáinak feltételei között. Az alapfogalmak, amelyeket sokkal fontosabb ismerni, a közös és össze nem egyeztethető események. Előfordul, hogy egy kísérlet során két esemény történik egyszerre. Például két kockával dobunk – ebben az esetben az a tény, hogy az egyik „hatot” dobott, nem garantálja, hogy a második nem dob újabb számot. Az ilyen eseményeket közös rendezvényeknek nevezzük. Ha egy kockával dobunk, akkor két szám egyszerre soha nem fog kiesni. Ebben az esetben a gördített „egy”, „kettő” stb. formájú eredmények inkonzisztens eseményeknek minősülnek. Nagyon fontos megkülönböztetni, hogy az egyes esetekben milyen kimenetelek következnek be – ez attól függ, hogy milyen képleteket használunk a valószínűségek megállapításának problémájában. Néhány bekezdés után folytatjuk a valószínűségszámítás alapfogalmainak tanulmányozását, amikor figyelembe vesszük az összeadás és szorzás jellemzőit. Valójában nélkülük egyetlen probléma sem oldható meg. Tegyük fel, hogy te és egy barátod dobnak a kockával, és ő dob egy „négyest”. A nyeréshez egy „öt” vagy „hat” kell szereznie. Ebben az esetben a valószínűségek összeadódnak: mivel mindkét szám kiesésének esélye 1/6, a válasz így néz ki: 1/6 + 1/6 = 1/3. Most képzeld el, hogy kétszer dobsz a kockával, és a barátod 11 pontot szerez. Most egymás után kétszer kell „hat”-ot kapnia. Az események függetlenek egymástól, ezért a valószínűségeket meg kell szorozni: 1/6 * 1/6 = 1/36. A valószínűségszámítás alapfogalmai és tételei közül érdemes figyelni az együttes események valószínűségeinek összegére, vagyis az egyidejűleg bekövetkező eseményekre. Az összeadási képlet ebben az esetben így néz ki: P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB). Nagyon gyakran meg kell találnunk egy objektum egyes paramétereinek összes lehetséges kombinációját, vagy ki kell számítanunk a kombinációk számát (például titkosítás kiválasztásakor). Ebben segítségünkre lesz a valószínűségelmélethez szorosan kapcsolódó kombinatorika. Az itt található alapfogalmak között van néhány új szó, és valószínűleg jól jön néhány képlet ebből a témából. Tegyük fel, hogy három számjegyed van: 1, 2, 3. Ezeket kell használni az összes lehetséges háromjegyű szám felírásához. hányan lesznek? Válasz: n! (a felkiáltójel faktoriálist jelent). Számos különböző elem (számok, betűk stb.) kombinációit, amelyek csak elrendezésük sorrendjében különböznek egymástól, permutációnak nevezzük. Azonban sokkal gyakrabban szembesülünk ilyen helyzetekkel: 10 számjegy van (nullától kilencig), amelyből egy jelszó vagy kód áll. Tegyük fel, hogy a hossza 4 karakter. Hogyan lehet kiszámítani a lehetséges kódok teljes számát? Erre van egy speciális képlet: (n!) / (N - m)! A feladat fenti feltételét figyelembe véve n = 10, m = 4. Továbbá csak egyszerű matematikai számításokra van szükség. Egyébként az ilyen kombinációkat elhelyezésnek nevezzük. Végül ott van a kombinációk fogalma - ezek olyan sorozatok, amelyek legalább egy elemben különböznek egymástól. Számukat a következő képlettel számítjuk ki: (n!) / (M! (N-m)!). Fontos fogalom, amellyel a tanuló már a tantárgy első óráin találkozik, a matematikai elvárás. Ez az összes lehetséges eredő érték összege, szorozva a valószínűségükkel. Alapvetően ez az átlag, amit teszteredményként megjósolhatunk. Például három olyan érték van, amelyeknél a valószínűségek zárójelben vannak feltüntetve: 0 (0,2); 1 (0,5); 2 (0,3). Számítsuk ki a matematikai elvárást: M (X) = 0 * 0,2 + 1 * 0,5 + 2 * 0,3 = 1,1. Így a javasolt kifejezésből látható, hogy ez az érték állandó, és nem függ a teszt eredményétől. Ezt a fogalmat sok képlet használja, és a jövőben is sokszor találkozni fog vele. Nem nehéz vele dolgozni: az összeg matematikai elvárása megegyezik a szőnyeg összegével. elvárások - M (X + Y) = M (X) + M (Y). Ugyanez vonatkozik a termékre is: M (XY) = M (X) * M (Y). Emlékezned kell a középiskolai fizikatanfolyamodról, hogy a szóródás szóródik. Mi a helye a valószínűségelmélet alapfogalmai között? Vessen egy pillantást két példára. Egy esetben a következőket kapjuk: 10 (0,2); 20 (0,6); 30 (0,2). A másikban - 0 (0,2); 20 (0,6); 40 (0,2). A matematikai elvárás mindkét esetben azonos lesz, akkor hogyan lehet ezeket a helyzeteket összehasonlítani? Végül is szabad szemmel látjuk, hogy az értékek terjedése a második esetben sokkal nagyobb. Ehhez vezették be a variancia fogalmát. Ahhoz, hogy megkapjuk, ki kell számítani az egyes valószínűségi változók különbségeinek összegének matematikai elvárását és a matematikai elvárást. Vegyük az előző bekezdés első példájában szereplő számokat. Először számítsuk ki a matematikai elvárást: M (X) = 10 * 0,2 + 20 * 0,6 + 30 * 0,2 = 20. Ezután a varianciaérték: D (X) = 40. A statisztika és a valószínűségszámítás másik alapfogalma a szórás. Kiszámítása nagyon egyszerű: csak a variancia négyzetgyökét kell venni. Itt megjegyezhet egy olyan egyszerű kifejezést is, mint a terjedelem. Ez az az érték, amely a minta maximális és minimális értéke közötti különbséget jelenti. Egyes alapiskolai fogalmakat nagyon gyakran használnak a természettudományokban. Ezek közül kettő a számtani átlag és a medián. Valószínűleg emlékszel, hogyan találhatod meg a jelentésüket. De minden esetre emlékezzünk vissza: a számtani átlag az összes érték összege, osztva a számukkal. Ha az értékek 10, akkor összeadjuk és elosztjuk 10-zel. A medián minden lehetséges érték központi eleme. Ha páratlan számú értékünk van, akkor növekvő sorrendben írjuk ki, és kiválasztjuk azt, amelyik középre került. Ha páros számú értékünk van, akkor két központi értéket veszünk, és elosztjuk kettővel. A halmaz mediánja és a két szélső - maximum és minimum - értéke között elhelyezkedő további két értéket kvartilisnek nevezzük. Kiszámításuk ugyanúgy történik - páratlan számú elem esetén a sor közepén található számot veszik, páros számmal pedig a két központi elem összegének felét. Van egy speciális grafikon is, ahol láthatja a minta összes értékét, tartományát, mediánját, negyedéves intervallumát, valamint a kiugró értékeket - olyan értékeket, amelyek nem férnek bele a statisztikai hibába. Az eredményül kapott képnek nagyon specifikus (és még nem is matematikai) neve van - "bajuszos doboz". Az eloszlás a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika alapfogalmaira is vonatkozik. Röviden, ez az összes valószínűségi változó összefoglalása, amelyet a teszt eredményeként láthatunk. A fő paraméter itt az egyes értékek előfordulási valószínűsége lesz. A normál eloszlás az, amelynek egy központi csúcsa van, amely a leggyakoribb mennyiséget tartalmazza. Egyre kevésbé valószínű eredmények ívesen térnek el tőle. Általában a grafikon kívülről úgy néz ki, mint egy "csúszda". A következőkben megtudhatja, hogy ez az eloszlástípus szorosan összefügg a centrális határérték-tétellel, amely alapvető a valószínűségelmélet szempontjából. Leírja azokat a törvényszerűségeket, amelyek a matematika általunk vizsgált ága szempontjából fontosak, és nagyon hasznosak számos számításnál. De vissza a témához. Két további típusú eloszlás létezik: aszimmetrikus és multimodális. Az első úgy néz ki, mint a "normál" gráf fele, vagyis az ív csak egy irányba ereszkedik le a csúcsértéktől. Végül a multimodális eloszlás az, amelynek több „felső” értéke van. Így a grafikon lefelé és felfelé halad. Bármely eloszlásban a leggyakoribb értéket mode-nak nevezzük. Ez a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika egyik alapfogalma is. A Gauss-eloszlás vagy normál eloszlás olyan, amelyben a megfigyelések átlagtól való eltérése egy bizonyos törvénynek engedelmeskedik. Röviden, a fő szóródás a mintaértékekben exponenciálisan hajlik a módra - ezek közül a leggyakoribb. Pontosabban, az összes érték 99,6% -a három szóráson belül van (ne felejtsük el, hogy ezt a fogalmat fentebb figyelembe vettük?). A Gauss-eloszlás a valószínűségszámítás egyik alapfogalma. Segítségével megértheti, hogy egy elem bizonyos paraméterek szerint a "tipikus" kategóriába tartozik-e - így értékelik az ember magasságát és súlyát az életkor, az értelmi fejlettség, a pszichés állapot szerint. és még sok más. Érdekes módon az unalmas matematikai adatok az Ön javára fordíthatók. Például egy fiatal férfi valószínűségszámítást és statisztikákat alkalmazott, hogy több millió dollárt nyerjen a ruletten. Igaz, előtte fel kellett készülnöm - több hónapig, hogy rögzítsem a játékok eredményeit a különböző kaszinókban. Az elemzés elvégzése után megállapította, hogy az egyik táblázat enyhén meg van dőlve, ami azt jelenti, hogy számos érték statisztikailag szignifikánsan gyakrabban jelenik meg, mint mások. Egy kis számítás, türelem – és most azon törik a fejüket a létesítmény tulajdonosai, hogy vajon hogyan lehet ilyen szerencsés az ember. Rengeteg mindennapi háztartási feladat van, amit nem lehet megoldani a statisztikákra való hivatkozás nélkül. Például, hogyan határozható meg, hogy egy boltnak hány különböző méretű ruhát kell rendelnie: S, M, L, XL? Ehhez elemezni kell, hogy ki vásárol gyakrabban ruhát a városban, a környéken, a közeli üzletekben. Ha nem szerez ilyen információt, a tulajdonos rengeteg pénzt veszít. A valószínűségszámítás alapfogalmainak egész sorát lefedtük: teszt, esemény, permutációk és helyszínek, elvárás és szórás, divat és normális eloszlás... Ezen kívül számos képletet megvizsgáltunk, amelyekhez több mint egy hónapig tart az oktatás. felsőoktatási intézményben tanulni. Ne feledje: a matematika elengedhetetlen a közgazdasági, természettudományi, informatikai, mérnöki szakok tanulmányozása során. A statisztikát, mint annak egyik területét itt sem lehet figyelmen kívül hagyni. Most már egyszerű: gyakorolj, oldj meg problémákat és példákat. Még a valószínűségelmélet alapfogalmai és definíciói is feledésbe merülnek, ha nem szánsz időt az ismétlésre. Ezenkívül a következő képletek nagymértékben az általunk figyelembe vett képletekre támaszkodnak. Ezért próbáljon meg emlékezni rájuk, különösen azért, mert nincs belőlük olyan sok. Anya kimosta a keretet A hosszú nyári szünet végén ideje volt lassan visszatérni a felsőbb matematikához, és ünnepélyesen megnyitni egy üres Word-fájlt egy új szakasz létrehozásához -. Bevallom, hogy az első sorok nem egyszerűek, de az első lépés az út fele, ezért arra kérek mindenkit, hogy alaposan tanulmányozza át a bevezető cikket, utána 2-szer könnyebb lesz elsajátítani a témát! Egyáltalán nem túlzok. ... A következő szeptember 1. előestéjén eszembe jut az első osztály és az alapozó .... A betűkből szótagok, a szótagok szavakká, a szavak rövid mondatokká alakulnak - Anya kimosta a keretet. A terver és a matematikai statisztikák kezelése olyan egyszerű, mint megtanulni olvasni! Ehhez azonban ismernie kell a kulcsfontosságú kifejezéseket, fogalmakat és megnevezéseket, valamint néhány konkrét szabályt, amelyeknek ez a lecke szentelt. De először kérem, fogadja gratulációimat a tanév kezdetéhez (folytatása, vége, megjegyzése) és fogadja el az ajándékot. A legjobb ajándék egy könyv, önálló munkához pedig a következő irodalmat ajánlom: 1) Gmurman V.E. Valószínűségelmélet és matematikai statisztika
Legendás tankönyv, amely több mint tíz utánnyomáson esett át. Az áttekinthetőségben és az anyag rendkívül egyszerű bemutatásában különbözik, az első fejezetek pedig szerintem már a 6-7. osztályos tanulók számára is teljesen hozzáférhetőek. 2) Gmurman V.E. Útmutató a problémamegoldáshoz a valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában
Ugyanazon Vlagyimir Efimovics Reshebnik részletes példákkal és problémákkal. SZÜKSÉGSZERŰEN töltse le mindkét könyvet az internetről, vagy szerezze be a papír eredetijét! A 60-as és 70-es évekből származó változat is megfelelő, ami még jobb a bábuknak. Bár a "valószínűségelmélet bábukhoz" kifejezés meglehetősen nevetségesen hangzik, mivel szinte minden az elemi aritmetikai műveletekre korlátozódik. Átugrani azonban helyenként származékaiés integrálok, de ez csak helyenként van így. Igyekszem ugyanezt az egyértelműséget elérni, de figyelmeztetnem kell, hogy a kurzusom erre összpontosít problémamegoldásés minimálisra csökkentik az elméleti számításokat. Így ha részletes elméletre, tételbizonyításokra (tétel-tételekre!) van szüksége, kérjük, olvassa el a tankönyvet. Hát ki akarja megtanulni megoldani a problémákat a valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában a lehető legrövidebb idő alatt, Kövess engem! Kezdésnek elég =) A cikkek olvasása közben célszerű (legalább röviden) megismerkedni a szóban forgó típusok további feladataival. Az oldalon Kész megoldások a felsőbb matematikához Megoldási példákat tartalmazó megfelelő pdf-eket teszünk közzé. Emellett jelentős segítséget fog nyújtani IDZ 18.1 Ryabushko(egyszerűbb) és feldúlta az IDZ-t Chudesenko gyűjteménye szerint(nehezebb). 1) Összege két esemény, és ezt nevezik eseménynek, amely eljön vagy esemény vagy esemény vagy mindkét esemény egyszerre. Abban az esetben, ha az események következetlen, az utolsó lehetőség eltűnik, vagyis jöhet vagy esemény vagy esemény. A szabály nagyszámú kifejezésre vonatkozik, például egy eseményre Rengeteg példa van rá: Az esemény (a kockadobásra nem esik 5 pont) az vagy 1, vagy 2, vagy 3, vagy 4, vagy 6 pont. Esemény (elmaradt nem több két pont) az 1 vagy 2pontokat. Esemény Az esemény abból áll, hogy egy piros lapot (szív vagy tambura), és az esemény Kicsit szórakoztatóbb közös rendezvényekkel foglalkozni: Az esemény abból áll, hogy egy klubot sorsolnak ki a pakliból vagy hét vagy hét klub. A fent megadott definíció szerint legalább valamit- vagy bármely klub vagy bármely hét, vagy ezek "kereszteződése" - a klubok hetese. Könnyű kiszámítani, hogy ez az esemény 12 elemi eredménynek felel meg (9 ütőlap + 3 fennmaradó hetes). Az esemény az, hogy holnap 12.00-kor jön LEGALÁBB EGY az összefoglalt közös rendezvények közül, nevezetesen: - vagy csak eső lesz / csak zivatar / csak nap; Azaz az eseménynek 7 lehetséges kimenetele van. Az eseményalgebra második pillére: 2) Termék szerint két eseményt, és olyan eseménynek nevezünk, amely ezen események együttes megjelenéséből áll, más szóval a szorzás azt jelenti, hogy bizonyos körülmények között és esemény, és esemény. Egy hasonló állítás sok eseményre igaz, így például egy termék bizonyos feltételek mellett azt jelenti és esemény, és esemény, és rendezvény,…, és esemény. Vegyünk egy tesztet, amelyben két érmét dobunk fel
és a következő események: - a fejek az 1. érmére kerülnek; Azután: Könnyen belátható, hogy az események következetlen (mivel pl. 2 fejet és egyben 2 farkot nem lehet leejteni)és forma teljes csoport (mivel figyelembe vették minden két érme feldobásának lehetséges következményei)... Foglaljuk össze az esemény adatait:. Hogyan kell értelmezni ezt a bejegyzést? Nagyon egyszerű - a szorzás logikai összeköttetést jelent ÉSés a kiegészítés az VAGY... Így az összeg érthető emberi nyelven könnyen olvasható: „két fej lesz vagy két fej vagy Az 1. érmének feje lesz és a 2. farkon vagy Az 1. érme farok lesz és a 2. érmén egy sas van" Ez volt a példa, amikor egy tárgyaláson több tárgy is érintett, ebben az esetben két érme. Egy másik gyakorlati feladatokban elterjedt séma az újratesztelés
amikor például ugyanazt a kockát egymás után 3-szor dobják. Bemutatóként vegye figyelembe a következő eseményeket: - 4 pont az 1. dobásnál esik; Aztán az esemény ... Megértem, hogy talán nem túl érdekes példákat elemeznek, de ezek olyan dolgok, amelyekkel gyakran találkozunk a problémákban, és nem lehet kikerülni őket. Az érmén, a kockán és a kártyapaklin kívül színes golyós urnák, több névtelen lövöldözős és egy-egy részletet állandóan kidaráló fáradhatatlan munkás =) Az esemény valószínűsége
A valószínűségelmélet központi fogalma. ... Halálosan logikus dolog, de valahol el kellett kezdenem =) Többféle megközelítés is létezik a meghatározására:
; Ebben a cikkben a valószínűségek klasszikus definíciójára fogok összpontosítani, amelyet a legszélesebb körben alkalmaznak az oktatási feladatokban. Megnevezések... Valamely esemény valószínűségét nagy latin betűvel jelöljük, és magát az eseményt zárójelben tesszük, egyfajta érvként. Például: Ezenkívül egy kis betűt széles körben használnak a valószínűség jelölésére. Különösen az események nehézkes megjelölését és azok valószínűségét lehet elhagyni - annak a valószínűsége, hogy egy érmefeldobás következtében "fejek" esnek ki; Ez az opció népszerű gyakorlati problémák megoldására, mivel lehetővé teszi a megoldás rögzítésének jelentős csökkentését. Mint az első esetben, itt is kényelmes a „beszélő” alsó / felső indexek használata. Mindenki régóta találgatta az imént fentebb leírt számokat, és most megtudjuk, hogyan sikerültek: Egy esemény bekövetkezésének valószínűsége egy adott tesztben az az arány, ahol: - az összes teljes száma ugyanúgy lehetséges, alapvető ennek a tesztnek az eredményei, amelyek formája teljes eseménycsoport; - szám alapvető eredmények, kedvező
esemény. Amikor egy érmét eldobnak, fej vagy farok eshet ki – ezek az események kialakulnak teljes csoportígy az eredmények teljes száma; ugyanakkor mindegyik alapvetőés ugyanúgy lehetséges... Az eseménynek kedvez az eredmény (hulló fejek). A valószínűségek klasszikus meghatározása szerint: Ugyanígy a kockadobás eredményeként elemi, egyformán lehetséges kimenetelek jelenhetnek meg, amelyek egy teljes csoportot alkotnak, és az eseménynek egyetlen kimenetele (ötes bukás) kedvez. Így: Szokásos egy törteket használni, és nyilvánvaló, hogy a valószínűség belül változhat. Sőt, ha, akkor az esemény az lehetetlen, ha - megbízható, és ha, akkor arról beszélünk véletlen esemény. ! Ha a probléma megoldása során a valószínűség más értéket kap, keressen hibát! A valószínűség meghatározásának klasszikus megközelítésében a szélső értékeket (nulla és egy) pontosan ugyanazzal az érveléssel kapjuk meg. Egy 10 piros golyót tartalmazó urnából véletlenszerűen húzzunk egy golyót. Vegye figyelembe a következő eseményeket: egyetlen próba során a valószínűtlen esemény nem fog megtörténni. Éppen ezért nem éri el a főnyereményt a lottón, ha ennek az eseménynek a valószínűsége mondjuk 0,00000001. Igen, igen, te vagy az egyetlen jegy egy adott forgalomban. A nagyszámú jegy és a sok sorsolás azonban nem sokat segít. ... Amikor erről mesélek másoknak, szinte mindig azt hallom válaszul: "de valaki nyer." Rendben, akkor végezzük el a következő kísérletet: kérem, ma vagy holnap vegyen jegyet bármilyen lottójátékra (ne késlekedjen!). És ha nyer... nos, legalább több mint 10 kiló rubelt, feltétlenül iratkozzon le - elmagyarázom, miért történt ez. Persze százalékért =) =) De nem kell szomorkodni, mert van egy ellentétes elv: ha egy esemény valószínűsége nagyon közel van az egységhez, akkor egyetlen tesztben az gyakorlatilag biztos meg fog történni. Ezért ejtőernyős ugrás előtt ne féljen, éppen ellenkezőleg - mosolyogjon! Hiszen abszolút elképzelhetetlen és fantasztikus körülményeknek kell kialakulniuk ahhoz, hogy mindkét ejtőernyő meghibásodjon. Bár mindez dalszöveg, mert az esemény tartalmától függően az első elv viccesnek bizonyulhat, a második pedig szomorú; vagy mindkettő párhuzamos. Talán most ennyi elég is lesz a leckében Feladatok a valószínűség klasszikus meghatározásához a legtöbbet hozzuk ki a képletből. A cikk utolsó részében megvizsgálunk egy fontos tételt: A teljes csoportot alkotó események valószínűségeinek összege eggyel egyenlő... Nagyjából, ha az események egy teljes csoportot alkotnak, akkor 100%-os valószínűséggel néhány megtörténik. A legegyszerűbb esetben a teljes csoportot ellentétes események alkotják, például: - érmefeldobás következtében egy sas kiesik; tétel szerint: Teljesen világos, hogy ezek az események egyformán lehetségesek, és a valószínűségük is azonos. A valószínűségek egyenlősége miatt gyakran egyformán lehetséges eseményeket neveznek azonos valószínűségű
... És íme a nyelvcsavar a részegség mértékének meghatározásához =) Kocka példa: az események ellentétesek, tehát A figyelembe vett tétel kényelmes, mivel lehetővé teszi, hogy gyorsan megtalálja az ellenkező esemény valószínűségét. Tehát, ha ismeri annak valószínűségét, hogy egy ötöst dobnak, könnyen kiszámíthatja annak valószínűségét, hogy nem dobják: Ez sokkal könnyebb, mint összeadni öt elemi eredmény valószínűségét. Az elemi eredményekre egyébként ez a tétel is igaz: !
A valószínűségelméletben a és a betűket nem kívánatos más célra használni. A Tudás Napja tiszteletére nem kérek házi feladatot =), de nagyon fontos, hogy az alábbi kérdésekre tudjon válaszolni: - Milyen típusú rendezvények vannak? Nem, nem kell zsúfolni, ez csak a valószínűségszámítás alapjai – egyfajta alapozó, ami elég hamar belefér a fejedbe. És hogy ez a lehető leghamarabb megtörténjen, azt javaslom, hogy ismerkedjen meg a leckékkel minden szak 2. évfolyamos hallgatóinak Felsőmatematika Tanszék Kedves diákok! Szeretnénk felhívni a figyelmet N.Sh. Kremer professzor áttekintő (beállító) előadására a VZFEI másodéves hallgatói számára a "valószínűségszámítás és matematikai statisztika" tudományágról. Az előadás tárgyalja feladatokat valószínűségszámítás és matematikai statisztika tanulmányozása gazdasági egyetemen és az ő helye egy modern közgazdász képzési rendszerében tekinthető szervezet
független a hallgatók számítógépes tanulási rendszerrel (CDS) és hagyományos tankönyvekkel végzett munkáit adják a főbb rendelkezések áttekintése ennek a kurzusnak a részét, valamint a tanulmányozására vonatkozó iránymutatásokat. A gazdasági egyetemen tanult matematikai tudományágak közül a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika különleges helyet foglal el. Először is, ez a statisztikai tudományágak elméleti alapja. Másodszor, a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika módszereit közvetlenül alkalmazzák a tanulmányban tömeges populációk megfigyelt jelenségek, a megfigyelések eredményeinek feldolgozása és a véletlenszerű jelenségek mintáinak azonosítása. Végül a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika fontos módszertani jelentőséggel bír kognitív folyamatáltalános minta azonosításakor kivizsgálták folyamatok logikailag szolgálnak alapon induktív-deduktív érvelés. Minden másodéves hallgatónak rendelkeznie kell a következő készlettel (esettel) a „Valószínűségszámítás és matematikai statisztika” tudományágban: 1.
Áttekintő telepítési előadás ebben a tudományágban. 2.
Tankönyv N.Sh. Kremer "Valószínűségelmélet és matematikai statisztika" - M .: UNITI - DANA, 2007 (a továbbiakban egyszerűen "tankönyv"). 3.
Tanulási útmutató"Valószínűségszámítás és matematikai statisztika" / szerk. N.Sh. Kremer. - M .: Egyetemi tankönyv, 2005 (a továbbiakban: kézikönyv). 4.
Számítógépes képzési program KOPR szakterületenként (a továbbiakban - "számítógépes program"). Az Intézet honlapján, a „Vállalati erőforrások” oldalon megtalálhatóak a KOPR2 számítógépes program internetes változatai, egy áttekintő telepítési előadás és a kézikönyv elektronikus változata. Ezen kívül a számítógépes program és a kézikönyv is bemutatásra kerül
CD
-
ROM
ah másodéves hallgatóknak.
Ezért "papír formában" a tanulónak csak egy tankönyvre van szüksége. Magyarázzuk meg a megadott készletben (esetben) szereplő egyes tananyagok célját! Az oktatóanyagban a tudományág oktatási anyagának főbb rendelkezései, kellően sok megoldott feladattal illusztrálva. V kézikönyveket Módszertani ajánlásokat adnak az oktatási anyagok önálló tanulmányozásához, kiemelik a kurzus legfontosabb fogalmait és a tipikus feladatokat, megadják az önvizsgálathoz szükséges ellenőrző kérdéseket ebben a tudományágban, megadják a tanulónak kötelezően kitöltendő házi tesztek lehetőségeit, valamint útmutatókat. végrehajtásukra megadjuk. Számítógépes program célja, hogy maximális segítséget nyújtson a kurzus módban való elsajátításában párbeszéd programokat tanulóval a tantermi tanulás hiányának lehető legnagyobb mértékű pótlása érdekében, megfelelő kapcsolattartás a tanárral. A távoktatási rendszerben tanuló hallgató számára az elsődleges, meghatározó jelentősége önálló munka szervezése. Mielőtt elkezdené e tudományág tanulmányozását, olvassa el a jelen áttekintő (orientációs) előadást a végéig. Ez lehetővé teszi, hogy általános képet kapjon a „Valószínűségszámítás és matematikai statisztika” kurzusban használt alapvető fogalmakról és módszerekről, valamint a VZFEI hallgatóinak képzési szintjére vonatkozó követelményekről. Az egyes témák tanulmányozása előtt olvassa el a kézikönyvben a téma tanulmányozására vonatkozó irányelveket. Itt talál egy listát a témával kapcsolatos oktatási kérdésekről, amelyeket tanulmányozni fog; megtudja, melyek azok a fogalmak, definíciók, tételek, problémák a legfontosabbak, amelyeket elsősorban tanulmányozni és elsajátítani kell. Akkor menj tanulni fő tananyag tankönyv szerint a beérkezett módszertani ajánlásoknak megfelelően. Azt tanácsoljuk, hogy külön jegyzetfüzetben vázolja fel a főbb definíciókat, tételek megfogalmazásait, bizonyítási sémáit, képleteit és a tipikus problémák megoldásait. Célszerű képleteket speciális táblázatokba írni a tantárgy egyes részéhez: valószínűségszámítás és matematikai statisztika. A jegyzetek, különösen a képlettáblázatok rendszeres használata hozzájárul azok memorizálásához. Csak a tankönyv egyes témáihoz tartozó alapvető oktatási anyagok átdolgozása után folytathatja a téma tanulmányozását számítógépes képzési program (KOPR2) segítségével. Ügyeljen az egyes témákhoz tartozó számítógépes program felépítésének felépítésére. A téma címe után a téma főbb nevelési kérdéseinek listája található a tankönyv szerint, feltüntetve a tanulmányozandó bekezdések és oldalak számát. (Ne feledje, hogy ezeknek a kérdéseknek a listája minden témakörhöz a kézikönyvben is megtalálható). Ezután rövid formában referenciaanyagot adunk ehhez a témához (vagy a téma egyes bekezdéseihez) - alapvető definíciók, tételek, tulajdonságok és jelek, képletek stb. A téma tanulmányozása során a képernyőn előhívhatja azokat a referenciaanyag-töredékeket is (erről vagy korábbi témákról), amelyekre éppen szükség van. Ezután képzési anyagokat és szükségszerűen tipikus feladatokat kínálnak ( példák), amelynek megoldását a módban tekintjük párbeszéd programok diákkal. Számos példa funkciója arra korlátozódik, hogy a hallgató kérésére a helyes megoldás szakaszait megjelenítse a képernyőn. Ugyanakkor a legtöbb példa mérlegelése során ilyen vagy olyan kérdéseket tesznek fel. Néhány kérdés megválaszolásához írja be a billentyűzetről numerikus válasz, másoknak - válassza ki a helyes választ (vagy válaszokat) több javasolt közül. A beírt választól függően a program megerősíti annak helyességét, vagy azt javasolja, hogy a szükséges elméleti rendelkezéseket tartalmazó tipp elolvasása után próbálja meg újra megadni a helyes megoldást és választ. Sok feladatnál korlátozott a megoldási kísérletek száma (a határérték túllépése esetén a megoldás helyes menete jelenik meg a képernyőn). Vannak olyan példák is, amikor a promptban található információ mennyisége növekszik, ahogy a sikertelen válaszadási kísérletek ismétlődnek. Miután megismerkedett a képzési anyag elméleti rendelkezéseivel és a példákkal, amelyek a megoldás részletes elemzését tartalmazzák, önellenőrzési gyakorlatokat kell végeznie, hogy megszilárdítsa az egyes témakörök tipikus problémáinak megoldási készségeit. Az önkontroll feladatok a tanulóval folytatott párbeszéd elemeit is tartalmazzák. A megoldás befejezése után megismerkedhet a helyes válasszal, és összehasonlíthatja azt a megadottal. Az egyes témákhoz tartozó munka végén végezze el az ellenőrzési feladatokat. A rájuk adott helyes válaszok nem jelennek meg Önnek, válaszai a számítógép merevlemezére kerülnek rögzítésre, hogy a tanár-konzultánssal (oktatóval) tovább megismerkedhessenek. Az 1–7. témakör tanulmányozása után a 3. számú házi tesztet, a 8–11. témakör tanulmányozása után pedig a 4. számú házi tesztet kell teljesítenie. Ezen tesztek lehetőségeit a kézikönyv (elektronikus változata) tartalmazza. Az elvégzendő változat számának meg kell egyeznie az Ön személyi aktája (nyilvántartó könyve, diákigazolványa) számának utolsó számjegyével. Minden teszthez egy interjút kell teljesítenie, ahol meg kell mutatnia a feladatmegoldó képességet és az alapvető fogalmak (definíciók, tételek (bizonyítás nélkül), képletek stb.) ismeretét a teszt témájában. A tudományág tanulmányozása tanfolyami vizsgával zárul. A valószínűségszámítás olyan matematikai tudomány, amely a véletlenszerű jelenségek törvényeit tanulmányozza. A tanulmányozásra kínált tudományág két részből áll: „Valószínűségszámítás” és „Matematikai statisztika”.Korrepetálás
Kérelmet küldeni a téma megjelölésével már most tájékozódni a konzultáció lehetőségéről.Miért tanuljunk fogalmakat
Mi a tárgy jelentése
Első találkozás
Az események típusai
Összeg és szorzat
Kombinatorika
Várható érték
Diszperzió
Statisztika
terjesztés
Gauss-eloszlás
Hogyan kell alkalmazni
Következtetés
mi fog történni legalább egy eseményekről 
, a ha az események nem következetesek – akkor egy és egyetlen esemény ebből az összegből: vagy esemény, vagy esemény, vagy esemény, vagy esemény, vagy esemény.
(páros számú pont lesz) az vagy 2 vagy 4 vagy 6 pont.
- abban a tényben, hogy a "kép" ki lesz bontva (jack vagy hölgy vagy király vagyász).
- vagy csak néhány esemény jön (eső + zivatar / eső + nap / zivatar + nap);
- vagy mindhárom esemény egyszerre jelenik meg.
- az 1. érmére a farok kerül;
- a fejek a 2. érmére kerülnek;
- a 2. érme farokkal jön fel.
és 2-án) fejeket ejtenek;
- az esemény abból áll, hogy mindkét érmén (1 és 2-án) farok lesz;
- az esemény abból áll, hogy az 1. érme fejeket ejt és a 2. érme farok;
- az esemény az, amikor az 1. érme felbukkan és a 2. érmén egy sas látható.
- 5 pont a 2. dobásnál esik;
- 6 pont a 3. dobásnál esik.
abból áll, hogy az 1. dobásnál 4 pontot dobnak és a 2. dobás 5 pontot ér és a 3. dobásnál 6 pont esik. Nyilvánvalóan a kocka esetében lényegesen több kombináció (eredmény) lesz, mintha érmével dobnánk fel.Az esemény valószínűsége
A valószínűség geometriai meghatározása
;
A valószínűség statisztikai meghatározása
.
a következő stílus mellett:
- annak a valószínűsége, hogy 5 pont elesik kockadobás következtében;
- annak a valószínűsége, hogy a pakliból kihúznak egy színű klubkártyát.A valószínűség klasszikus meghatározása:
.
EZ NEM ELFOGADVA (bár nem tilos fejben kiszámolni a százalékot).
- az érmefeldobás következtében farok fog kidobni.
.
.
... Például, ha annak a valószínűsége, hogy a lövő eltalálja a célt, akkor annak a valószínűsége, hogy elhibázza.
- Mi az események véletlenszerűsége és egyenlősége?
- Hogyan érti az események kompatibilitása/összeférhetetlensége kifejezéseket?
- Mi az a komplett eseménycsoport, ellentétes események?
- Mit jelent az események összeadása és szorzása?
- Mi a lényege a valószínűség klasszikus definíciójának?
- Mire használható a teljes csoportot alkotó események valószínűségeinek összeadási tétele?Bevezető rész
