Ebben a témában olvassa el a témával kapcsolatos irányelveket, és alaposan elemezze a kézikönyv példáinak megoldását. Végezze el az önellenőrző gyakorlatokat.

A valószínűségelmélet elemei.

A kombinatorika alapfogalmai. Azokat a feladatokat, amelyekben véges számú elemből különféle kombinációkat kell készíteni, és meg kell számolni az összes lehetséges ilyen kombináció számát, az ún. kombinatorikus.

A matematikának ez az ága széleskörű gyakorlati alkalmazást talál a természettudomány és a technológia számos kérdésében.

Szálláshelyek. Legyen egy halmaz, amely tartalmazza n elemeket. Minden egyes rendezett részhalmaza tartalmazza m elemeket nevezzük szállás tól től n elemek által m elemeket.

A definícióból az következik, hogy és milyen elhelyezésekből n elemek által m- ezt m-elem részhalmazok, amelyek az elemek összetételében vagy sorrendjében különböznek egymástól.

Elhelyezések száma innen n elemek által m Az egyes elemeket a képlet jelöli ki és számítja ki.

Elhelyezések száma innen n elemek által m elemek mindegyikében egyenlő a termékkel m egymás után csökkenő természetes számok, amelyek közül a legnagyobb n.

Az első szorzatának többszörösére n a természetes számokat általában jelölik ( n-faktoriális):

Ezután az elhelyezések számának képlete től n elemek által m az elemek más formában is felírhatók: .

1. példa Hányféleképpen lehet egy 25 fős tanulóból álló csoportból kiválasztani egy eszközt az igazgatóból, igazgatóhelyettesből és szakszervezeti vezetőből álló csoportból?

Megoldás. A csoport eszközeinek összetétele három elemből álló 25 elemből álló rendezett halmaz. Eszközök. A kívánt módok száma megegyezik a 25 elemből álló elrendezések számával, amelyek mindegyike három elemből áll: , vagy .

2. példa Az érettségi előtt egy 30 fős diákcsoport fényképet cserélt. Hány fotót osztottak ki összesen?

Megoldás. Egy fénykép átvitele egyik diákról a másikra két elem 30 elemének elhelyezése. A kívánt fényképek száma megegyezik 30 elem elhelyezésének számával, egyenként két elemből: .

Permutációk. Szálláshelyek tól n elemek által n elemeket nevezzük permutációk tól től n elemeket.

A definícióból következik, hogy a permutációk az elhelyezések speciális esetei. Mivel minden permutáció tartalmazza az összeset n halmaz elemei, akkor a különböző permutációk csak az elemek sorrendjében térnek el egymástól.

Permutációk száma innen n egy adott halmaz elemeit a képlet jelöli és számítja ki

3. példa Hány négyjegyű szám alkotható az 1, 2, 3, 4 számokból ismétlés nélkül?

Megoldás. Feltétel szerint egy négy elemből álló halmaz adott, amelyeket meghatározott sorrendbe kell rendezni. Tehát meg kell találnia négy elem permutációinak számát: , azaz az 1. 2, 3, 4 számokból 24 négyjegyű számot készíthet (ismétlődő számok nélkül)

4. példa Hányféleképpen lehet egyszerre 10 vendéget leültetni tíz helyen? ünnepi asztal?

Megoldás. A kívánt módok száma megegyezik tíz elem permutációinak számával: .

Kombinációk. Legyen egy sor n elemeket. Mindegyik részhalmaza, amely a m elemeket nevezzük kombináció tól től n elemek által m elemeket.

Így a kombinációk n elemek által m az elemek mindenek m-elem részhalmazok n-elem halmaz, és csak azok számítanak különböző halmazoknak, amelyeknek az elemei egyenlőtlen összetételűek.

Az egymástól az elemek sorrendjében eltérő részhalmazokat nem tekintjük különállónak.

Alhalmazok száma by m elemek mindegyike egy halmazban található n elemek, azaz kombinációinak száma n elemek által m Az egyes elemek elemeit a következő képlettel jelöljük és számítjuk ki: vagy .

A kombinációk száma a következő tulajdonságokkal rendelkezik: ().

5. példa Hány meccset kell játszania 20 futballcsapatnak egy egyfordulós bajnokságban?

Megoldás. Bármelyik csapat játéka óta A a csapattal B megegyezik a csapattal B a csapattal A, akkor minden játék 20 elem 2 kombinációja. Az összes játék kívánt száma megegyezik a 20 elemből álló kombinációk számával, amelyek mindegyike 2 elemből áll: .

6. példa Hányféleképpen osztható csapatokba 12 fő, ha minden csapatban 6 fő van?

Megoldás. Az egyes brigádok összetétele 12, 6 elemből álló véges halmaz. Ez azt jelenti, hogy a kívánt utak száma megegyezik a 12 elemből álló 6-os kombinációk számával:
.

Véletlenszerű események. Egy esemény valószínűsége. A valószínűségszámítás olyan matematikai tudomány, amely véletlenszerű események mintázatait tanulmányozza. A valószínűségszámítás alapfogalmai közé tartoznak a kísérletek és az események.

Alatt teszt (tapasztalat) megérteni egy adott feltételrendszer megvalósulását, aminek következtében valamilyen esemény folyamatosan bekövetkezik.

Például egy érme feldobása egy próba; a címer megjelenése iszap és számok - események.

véletlenszerű esemény egy adott teszthez kapcsolódó esemény, amely a teszt során előfordulhat, de előfordulhat, hogy nem. A „véletlen” szót gyakran kihagyják a rövidség kedvéért, és egyszerűen „eseményt” mondanak. Például egy célba lőtt lövés élmény, a véletlenszerű események ebben az élményben a ütés vagy a kihagyás.

Az ilyen feltételek melletti eseményt ún hiteles ha a kísérlet eredményeként folyamatosan előfordulnia kell, és lehetetlen hacsak nem ismert, hogy megtörténik. Például egy kockadobásnál legfeljebb hat pont elvesztése egy bizonyos esemény; tíz pont megszerzése egy kocka dobásakor lehetetlen esemény.

Az események ún összeegyeztethetetlen ha ketten nem jelenhetnek meg együtt. Például egy lövéssel történő eltalálás és hiányzás összeférhetetlen események.

Azt mondják, hogy egy adott élményformában több esemény is komplett rendszer események, ha ezek közül legalább az egyik a kísérlet eredményeként feltétlenül bekövetkezik. Például kockadobáskor az egy, kettő, három, négy, öt és hat pont eseményei egy teljes eseménycsoportot alkotnak.

Az események ún ugyanúgy lehetséges ha egyikük sem lehetséges objektíve a többinél. Például egy érme feldobásakor egy címer vagy egy szám elvesztése is ugyanilyen valószínű esemény.

Minden eseménynek van bizonyos fokú lehetősége. Egy esemény objektív lehetőségének mértékének számszerű mérőszáma az esemény valószínűsége. Eseményvalószínűség A jelöljük P(A).

Engedd ki a rendszerből n ellentmondó, egyformán valószínű teszteredmények m az eredmények kedveznek az eseménynek A. Azután valószínűség fejlesztéseket A hozzáállásnak nevezik m az eseménynek kedvezõ kimenetelek száma A, a próba összes kimenetelének számához: .

Ezt a képletet a valószínűség klasszikus definíciójának nevezik.

Ha B- bizonyos esemény n=mÉs P(B)=1; ha TÓL TŐL lehetetlen esemény m=0És P(C)=0; ha A véletlenszerű esemény És .

Így egy esemény valószínűsége a következő határok között van: .

7. példa A kocka egyszer el van dobva. Keresse meg az események valószínűségét: A- páros számú pont megjelenése; B– legalább öt pont megjelenése; C– legfeljebb öt pont megjelenése.

Megoldás. A tapasztalatnak hat egyformán lehetséges független kimenetele van (egy, kettő, három, négy, öt és hat pont megjelenése), amelyek egy teljes rendszert alkotnak.

esemény A három eredmény kedvez (kettő, négy és hat pont), tehát ; esemény B- két eredmény (öt és hat pont visszaesés), ezért ; esemény C- öt eredmény (egy, kettő, három, négy, öt pont elesése), tehát .

A valószínűség kiszámításakor gyakran kell kombinatorikai képleteket használni.

Tekintsünk példákat a valószínűségek közvetlen kiszámítására.

8. példa Egy urnában 7 piros és 6 kék golyó található. Egyszerre két golyót vesznek ki az urnából. Mennyi a valószínűsége, hogy mindkét golyó piros (az esemény A)?

Megoldás. Az egyformán lehetséges független kimenetek száma egyenlő .

esemény A szívességet eredmények. Következésképpen, .

9. példa Egy 24 alkatrészből álló tételben öt hibás. 6 darab véletlenszerűen kerül kiválasztásra a kötegből. Határozza meg annak valószínűségét, hogy e 6 alkatrész között 2 hibás lesz (esemény B)?

Megoldás. Az egyformán lehetséges független kimenetelek száma .

Számoljuk meg az eredmények számát m kedvez az eseménynek B. A véletlenszerűen kiválasztott hat alkatrész között 2 hibás és 4 szabványosnak kell lennie. Ötből két hibás alkatrész választható ki módokon, és 19 szabványos alkatrészből 4 szabvány alkatrész választható ki
módokon.

A hibás alkatrészek minden kombinációja megfelel a szabványos alkatrészek minden kombinációjának, így . Következésképpen,
.

10. példa Kilenc különböző könyv található véletlenszerűen egy polcon. Határozza meg annak valószínűségét, hogy négy bizonyos könyv kerül egymás mellé (esemény TÓL TŐL)?

Megoldás. Itt az egyformán lehetséges független kimenetek száma . Számoljuk meg az eredmények számát T kedvez az eseménynek TÓL TŐL. Képzeljük el, hogy négy konkrét könyvet kötünk össze, majd a köteget egy polcra helyezhetjük módon (kötés plusz a maradék öt könyv). A köteg belsejében négy könyv átrendezhető módokon. Ebben az esetben a kötegen belüli minden kombináció kombinálható a köteg kialakításának mindegyik módjával, pl. . Következésképpen, .

Valószínűségszámítás és matematikai statisztika

1. ELMÉLETI RÉSZ

1 Valószínűségi változók sorozatainak és valószínűségi eloszlásának konvergenciája

Valószínűségelméletben az embernek foglalkoznia kell különböző típusok valószínűségi változók konvergenciája. Tekintsük a következő főbb konvergenciatípusokat: valószínűség szerint, egy valószínűséggel, p rendű átlaggal, eloszlás szerint.

Legyenek, ... valamilyen (, Ф, P) valószínűségi téren adott valószínűségi változók.

Definíció 1. Valószínűségi változók sorozatát, ... valószínűségi változóhoz való konvergálásnak nevezzük (jelölés:), ha valamelyik > 0

2. definíció. Valószínűségi változók sorozatát, ... egy valószínűséggel konvergálnak (majdnem valószínűleg, szinte mindenhol) egy valószínűségi változóhoz, ha

azok. ha az eredmények halmazának, amelyeknél () nem konvergál ()-hez, nulla a valószínűsége.

Az ilyen típusú konvergenciát a következőképpen jelöljük: , vagy, vagy.

3. definíció. Valószínűségi változók sorozatát, ... p, 0 rendű átlagban konvergensnek nevezzük.< p < , если

4. definíció. Valószínűségi változók sorozatát, ... valószínűségi változóhoz való eloszlásban konvergálónak nevezzük (jelölés:), ha bármely korlátos folytonos függvényre

A valószínűségi változók eloszlásának konvergenciáját csak az eloszlásfüggvényeik konvergenciája határozza meg. Ezért akkor is van értelme ilyen konvergenciáról beszélni, ha a valószínűségi változók különböző valószínűségi tereken vannak megadva.

1. tétel.

a) A (P-a.s.) érdekében szükséges és elegendő, hogy bármely > 0 esetén

) A () sorozat akkor és csak akkor alapvetõ, ha bármely > 0 valószínûséggel.

Bizonyíték.

a) Legyen A \u003d (: | - | ), A \u003d A. Ezután

Ezért az a) állítás a következő implikációs lánc eredménye:

Р(: )= 0 P() = 0 = 0 Р(А) = 0, m 1 P(A) = 0, > 0 P() 0, n 0, > 0 P( ) 0,

n 0, > 0.) Jelölje = (: ), = . Ekkor (: (()) nem alapvető ) = és ugyanúgy, mint az a) pontban, megmutatjuk, hogy (: (()) nem alapvető ) = 0 P( ) 0, n.

Tétel bizonyított

2. Tétel (Cauchy-féle majdnem biztos konvergenciakritérium)

Ahhoz, hogy a valószínűségi változók sorozata () az egyes valószínűséggel konvergáljon (valamelyik valószínűségi változóhoz), szükséges és elegendő, hogy az egyes valószínűséggel alapvető legyen.

Bizonyíték.

Ha, akkor +

ahonnan a tétel feltételének szükségessége következik.

Legyen most a () sorozat alapvető, egyes valószínűséggel. Jelölje L = (: (()) nem alapvető). Ekkor minden numerikus sorozat () alapvető, és a numerikus sorozatokra vonatkozó Cauchy-kritérium szerint létezik (). Tegyük fel

Az így definiált függvény egy valószínűségi változó és.

A tétel bizonyítást nyert.

2 A karakterisztikus függvények módszere

A karakterisztikus függvények módszere a valószínűségszámítás analitikai apparátusának egyik fő eszköze. A karakterisztikus függvények elmélete a valószínűségi változók mellett (valós értékeket vesz fel) komplex értékű valószínűségi változók használatát igényli.

A valószínűségi változókhoz kapcsolódó definíciók és tulajdonságok közül sok könnyen átvihető az összetett esetre. Tehát az M matematikai elvárása ?komplex értékű valószínűségi változó ?=?+?? biztosnak tekinthető, ha a matematikai elvárások M ?őket ?. Ebben az esetben értelemszerűen M-t állítunk be ?= M ? + ?M ?. A véletlen elemek függetlenségének definíciójából következik, hogy komplex értékű mennyiségeket ?1 =?1+??1 , ?2=?2+??2akkor és csak akkor függetlenek, ha a valószínűségi változók ( ?1 , ?1) És ( ?2 , ?2), vagy ami ugyanaz, független ?-algebra F ?1, ?1 és F ?2, ?2.

Az L szóközzel együtt 2valós valószínűségi változók véges második pillanattal, figyelembe vehetjük az összetett értékű valószínűségi változók Hilbert terét. ?=?+?? M | ?|2?|2= ?2+?2, és a skalárszorzat ( ?1 , ?2)= M ?1?2¯ , ahol ?2¯ egy összetett konjugált valószínűségi változó.

Az algebrai műveletekben az Rn vektorokat algebrai oszlopoknak tekintjük,

Sorvektorként a* - (a1,a2,…,an). Ha Rn , akkor a skalárszorzatuk (a,b) mennyiségként értendő. Ez egyértelmű

Ha aRn és R=||rij|| akkor egy nxn rendű mátrix

Definíció 1. Legyen F = F(x1,….,xn) az n-dimenziós eloszlásfüggvény (, ()-ben). Jellegzetes funkcióját függvénynek nevezzük

2. definíció . Ha? = (?1,…,?n) egy valószínűségi téren definiált véletlenvektor in értékekkel, akkor jellemző függvénye a függvény

hol van F? = F?(х1,….,хn) - vektoreloszlási függvény?=(?1, … , ?n).

Ha az F(x) eloszlásfüggvény sűrűsége f = f(x), akkor

Ebben az esetben a karakterisztikus függvény nem más, mint az f(x) függvény Fourier-transzformációja.

A (3)-ból következik, hogy egy véletlenvektor ??(t) karakterisztikus függvénye az egyenlőséggel is definiálható

A karakterisztikus függvények alapvető tulajdonságai (n=1 esetén).

Legyen? = ?(?) - valószínűségi változó, F? =F? (x) - eloszlásfüggvénye és - karakterisztikus függvénye.

Megjegyzendő, hogy ha, akkor.

Valóban,

ahol azt a tényt használtuk, hogy a független (korlátozott) valószínűségi változók szorzatának matematikai elvárása megegyezik a matematikai elvárásaik szorzatával.

A (6) tulajdonság kulcsfontosságú a független valószínűségi változók összegére vonatkozó határtételek karakterisztikus függvények módszerével történő bizonyításában. Ebben a vonatkozásban az eloszlásfüggvényt az egyes tagok eloszlásfüggvényei szerint sokkal összetettebben fejezzük ki, nevezetesen, ahol a * jel az eloszlások konvolúcióját jelenti.

Minden eloszlásfüggvény társítható egy valószínűségi változóhoz, amelynek ez a függvénye az eloszlásfüggvénye. Ezért a karakterisztikus függvények tulajdonságainak bemutatásakor a valószínűségi változók jellemző függvényeinek figyelembevételére szorítkozhatunk.

1. tétel. Legyen? - valószínűségi változó F=F(х) eloszlásfüggvénnyel és - karakterisztikus függvénye.

A következő tulajdonságok zajlanak:

) egyenletesen folytonos;

) akkor és csak akkor valós értékű függvény, ha F eloszlása ​​szimmetrikus

)ha néhány n ? 1 , akkor mindenre vannak származékai és

)Ha létezik és véges, akkor

) Legyen minden n ? 1 és

akkor mindenre |t|

A következő tétel azt mutatja, hogy a karakterisztikus függvény egyedileg határozza meg az eloszlásfüggvényt.

2. tétel (egyediség). Legyen F és G két eloszlásfüggvény, amelyeknek ugyanaz a karakterisztikus függvénye, azaz mindegyikre

A tétel azt mondja, hogy az F = F(x) eloszlásfüggvény egyedileg visszanyerhető a karakterisztikus függvényéből. A következő tétel az F függvény explicit reprezentációját adja meg.

3. tétel (általánosító képlet). Legyen F = F(x) az eloszlásfüggvény és a karakterisztikus függvénye.

a) Bármely két a, b (a< b), где функция F = F(х) непрерывна,

) Ha akkor az F(x) eloszlásfüggvénynek f(x) sűrűsége van,

4. Tétel. Ahhoz, hogy egy véletlen vektor komponensei függetlenek legyenek, szükséges és elégséges, hogy a karakterisztikus függvénye a komponensek karakterisztikus függvényeinek szorzata legyen:

Bochner-Khinchin tétel . Legyen folytonos függvény. Ahhoz, hogy karakterisztikus legyen, szükséges és elég, ha nem negatív-definit, azaz bármely valós t1, ..., tn és bármilyen komplex számra

5. Tétel. Legyen egy valószínűségi változó karakterisztikus függvénye.

a) Ha egyesekre, akkor a valószínűségi változó egy lépéses rácsváltozó, azaz

) Ha két különböző pontra, hol van egy irracionális szám, akkor egy valószínűségi változó? degenerált:

ahol a valamilyen állandó.

c) Ha, akkor egy valószínűségi változó? elfajzott.

1.3. Központi határtétel független azonos eloszlású valószínűségi változókra

Legyen () független, azonos eloszlású valószínűségi változók sorozata. Matematikai elvárás M= a, variancia D= , S = és Ф(х) - a normáltörvény eloszlásfüggvénye (0,1) paraméterekkel. Bevezetjük a valószínűségi változók sorozatát is

Tétel. Ha 0<<, то при n P(< x) Ф(х) равномерно относительно х ().

Ebben az esetben a () sorozatot aszimptotikusan normálisnak nevezzük.

Abból a tényből, hogy M = 1 és a folytonossági tételekből az következik, hogy a gyenge konvergenciával együtt FM f() Mf() bármely folytonos korlátos f esetén létezik M f() Mf() konvergenciája bármely folytonos f, úgy, hogy |f(x)|< c(1+|x|) при каком-нибудь.

Bizonyíték.

Az egyenletes konvergencia itt a Φ(x) gyenge konvergenciájának és folytonosságának a következménye. Továbbá, az általánosság elvesztése nélkül, feltételezhetjük, hogy a = 0, mivel különben figyelembe lehetne venni a () sorozatot, míg a () sorozat nem változna. Ezért a szükséges konvergencia bizonyításához elegendő megmutatni, hogy (t) e, ha a = 0.

(t) = , ahol =(t).

Mivel M létezik, létezik és a dekompozíció

Ezért a n

A tétel bizonyítást nyert.

1.4 A matematikai statisztika fő feladatai, rövid ismertetése

A tömeges véletlenszerű jelenségekre vonatkozó törvényszerűségek megállapítása statisztikai adatok - a megfigyelések eredményei - tanulmányozásán alapul. A matematikai statisztika első feladata a statisztikai információk gyűjtésének és csoportosításának módszereinek megjelölése. A matematikai statisztika második feladata a statisztikai adatok elemzésére szolgáló módszerek kidolgozása a vizsgálat céljaitól függően.

A matematikai statisztika bármely problémájának megoldásához két információforrás áll rendelkezésre. Az első és leghatározottabb (explicit) a megfigyelések (kísérletek) eredménye egy skaláris vagy vektoros valószínűségi változó valamely általános sokaságából származó minta formájában. Ebben az esetben az n mintanagyság rögzíthető, vagy a kísérlet során növekedhet (azaz a statisztikai elemzés ún. szekvenciális eljárásai használhatók).

A második forrás a vizsgált objektum érdeklődésre számot tartó tulajdonságaira vonatkozó összes előzetes információ, amely az aktuális pillanatig felhalmozódott. Formálisan az a priori információ mennyisége tükröződik a kezdeti statisztikai modellben, amelyet a probléma megoldása során választunk. Egy esemény valószínűségének kísérleti eredmények alapján történő, szokásos értelemben vett közelítő meghatározásáról azonban nem kell beszélni. Egy mennyiség hozzávetőleges meghatározása általában azt jelenti, hogy meg lehet jelölni azokat a hibahatárokat, amelyekből a hiba nem jön ki. Az esemény gyakorisága tetszőleges számú kísérlet esetén az egyes kísérletek eredményeinek véletlenszerűsége miatt véletlenszerű. Az egyes kísérletek eredményeinek véletlenszerűsége miatt a gyakoriság jelentősen eltérhet az esemény valószínűségétől. Ezért, ha egy esemény ismeretlen valószínűségét ennek az eseménynek a gyakoriságaként határozzuk meg számos kísérletben, nem tudjuk jelezni a hiba határait, és nem tudjuk garantálni, hogy a hiba nem lépi túl ezeket a határokat. Ezért a matematikai statisztikában általában nem az ismeretlen mennyiségek hozzávetőleges értékeiről beszélnek, hanem azok megfelelő értékeiről, becsléseiről.

Az ismeretlen paraméterek becslésének problémája akkor merül fel, ha az általános sokaság eloszlásfüggvénye egy paraméterig ismert. Ebben az esetben olyan statisztikát kell találni, amelynek mintaértéke egy véletlen minta xn figyelembe vett megvalósításához a paraméter közelítő értékének tekinthető. Egy statisztikát, amelynek tetszőleges xn realizálása esetén a mintaértékét egy ismeretlen paraméter közelítő értékének vesszük, pontbecslésnek vagy egyszerűen becslésnek nevezzük, és - a pontbecslés értékének. A pontbecslésnek jól meghatározott követelményeknek kell megfelelnie ahhoz, hogy a mintaértéke megfeleljen a paraméter valódi értékének.

A vizsgált probléma megoldásának egy másik megközelítése is lehetséges: ilyen statisztikákat találni, és így valószínûséggel? a következő egyenlőtlenség teljesült:

Ebben az esetben intervallumbecslésről beszélünk. Intervallum

konfidencia intervallumnak nevezzük a konfidenciafaktorral?.

A kísérletek eredményei alapján megbecsülve egyik-másik statisztikai jellemzőt, felvetődik a kérdés: mennyire áll összhangban a kísérleti adatokkal az a feltevés (hipotézis), hogy az ismeretlen jellemző pontosan azzal az értékkel rendelkezik, mint a kiértékelése eredményeként kapott? Így jön létre a matematikai statisztika második fontos problémaosztálya - a hipotézisek tesztelésének problémái.

Bizonyos értelemben a statisztikai hipotézis tesztelésének feladata a paraméterbecslési probléma fordítottja. Egy paraméter kiértékelésekor semmit sem tudunk a valódi értékéről. Egy statisztikai hipotézis tesztelésekor valamilyen oknál fogva annak értékét ismertnek tételezzük fel, és ezt a feltételezést a kísérlet eredményei alapján ellenőrizni kell.

A matematikai statisztika számos problémájában olyan valószínűségi változók sorozatát veszik figyelembe, amelyek ilyen vagy olyan értelemben konvergálnak egy bizonyos határértékhez (véletlenszerű változóhoz vagy állandóhoz), amikor.

Így a matematikai statisztika fő feladatai a becslések megtalálására szolgáló módszerek kidolgozása és a becsült jellemzőkhöz való közelítésük pontosságának vizsgálata, valamint a hipotézisek tesztelésére szolgáló módszerek kidolgozása.

5 Statisztikai hipotézisvizsgálat: alapfogalmak

A statisztikai hipotézisek tesztelésének racionális módszereinek kidolgozása a matematikai statisztika egyik fő feladata. Statisztikai hipotézis (vagy egyszerűen hipotézis) minden olyan állítás, amely a kísérlet során megfigyelt valószínűségi változók eloszlásának formájára vagy tulajdonságaira vonatkozik.

Legyen olyan minta, amely az általános sokaságból vett véletlenszerű minta megvalósítása, amelynek eloszlássűrűsége egy ismeretlen paramétertől függ.

A paraméter ismeretlen valódi értékére vonatkozó statisztikai hipotéziseket parametrikus hipotéziseknek nevezzük. Sőt, ha skalár, akkor egyparaméteres hipotézisekről beszélünk, ha vektorról, akkor többparaméteres hipotézisekről.

A statisztikai hipotézist egyszerűnek nevezzük, ha megvan a formája

ahol a paraméter adott értéke.

A statisztikai hipotézist komplexnek nevezzük, ha van formája

ahol - a paraméterértékek egy halmaza, amely egynél több elemből áll.

Az űrlap két egyszerű statisztikai hipotézise tesztelése esetén

ahol a paraméter két adott (különböző) értéke van, az első hipotézist általában fő hipotézisnek, a másodikat alternatív vagy versengő hipotézisnek nevezik.

A hipotézisek tesztelésének kritériuma, vagy statisztikai kritériuma az a szabály, amely szerint a mintaadatok alapján döntenek akár az első, akár a második hipotézis érvényességéről.

A kritériumot egy kritikus halmaz segítségével határozzuk meg, amely egy véletlen minta mintaterének egy részhalmaza. A döntés a következőképpen születik:

) ha a minta a kritikus halmazba tartozik, akkor a főhipotézist elvetjük és az alternatív hipotézist elfogadjuk;

) ha a minta nem tartozik a kritikus halmazhoz (azaz a mintatér halmazának komplementeréhez tartozik), akkor az alternatív hipotézist elvetjük és a főhipotézist elfogadjuk.

Bármely kritérium alkalmazásakor a következő típusú hibák lehetségesek:

1) fogadja el a hipotézist, ha az igaz - az első típusú hiba;

) elfogadni a hipotézist, ha igaz – ez a második típusú hiba.

Az első és második típusú hibák elkövetésének valószínűsége a következőket jelöli:

ahol az esemény valószínűsége, feltéve, hogy a hipotézis igaz. A jelzett valószínűségek kiszámítása egy véletlenszerű minta eloszlásának sűrűségfüggvényével történik:

Az I. típusú hiba elkövetésének valószínűségét a teszt szignifikanciaszintjének is nevezik.

Azt az értéket, amely megegyezik a fő hipotézis elvetésének valószínűségével, ha igaz, a kritérium hatványának nevezzük.

1.6 Függetlenségi kritérium

Van egy minta ((XY), …, (XY)) egy kétváltozós eloszlásból

L ismeretlen eloszlásfüggvénnyel, melyhez a H: hipotézis tesztelése szükséges, ahol van néhány egydimenziós eloszlásfüggvény.

A módszertan alapján egy egyszerű illeszkedési tesztet készíthetünk a H hipotézishez. Ezt a technikát véges számú kimenetelű diszkrét modelleknél alkalmazzák, ezért egyetértünk abban, hogy egy valószínűségi változó véges számú s értéket vesz fel, amelyet betűkkel jelölünk, a második komponens pedig k értéket. Ha az eredeti modell más szerkezetű, akkor a valószínűségi változók lehetséges értékeit előzetesen külön csoportosítjuk az első és a második komponens szerint. Ebben az esetben a halmaz s intervallumra, az értékkészlet - k intervallumra, magát az értékkészletet pedig - N=sk téglalapokra osztja.

Jelölje a pár megfigyeléseinek számával (a téglalaphoz tartozó mintaelemek számával, ha csoportosítottuk az adatokat), így. A megfigyelések eredményei kényelmesen két előjelből álló konjugációs táblázat formájában vannak elrendezve (1.1. táblázat). Az alkalmazásokban és általában két olyan jellemzőt jelent, amelyek alapján a megfigyelés eredményeit osztályozzák.

Legyen Р, i=1,…,s, j=1,…,k. Ekkor a függetlenségi hipotézis azt jelenti, hogy vannak olyan s+k állandók, hogy és, azaz.

1.1. táblázat

Összeg . . .. . .. . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .Összeg . . .n

Így a H hipotézis arra az állításra redukálódik, hogy a gyakoriságok (számuk egyenlő N = sk) a polinomiális törvény szerint oszlanak meg a megadott specifikus szerkezetű eredmények valószínűségeivel (a p eredmények valószínűségi vektorát meghatározzuk r=s+k-2 ismeretlen paraméter értékével.

Ennek a hipotézisnek a teszteléséhez maximális valószínűségi becsléseket találunk azokra az ismeretlen paraméterekre, amelyek meghatározzák a vizsgált sémát. Ha a nullhipotézis igaz, akkor a likelihood függvény L(p)= alakú, ahol a c tényező nem függ az ismeretlen paraméterektől. Ezért a határozatlan Lagrange-szorzók módszerével azt kapjuk, hogy a kívánt becslések alakja

Ezért a statisztikák

L() at, mivel a határeloszlás szabadságfokainak száma N-1-r=sk-1-(s+k-2)=(s-1)(k-1).

Tehát kellően nagy n esetén a következő hipotézisvizsgálati szabály használható: a H hipotézist akkor és csak akkor utasítjuk el, ha a tényleges adatokból számított t statisztikai érték kielégíti az egyenlőtlenséget.

Ennek a kritériumnak aszimptotikusan (a) adott szignifikanciaszintje van, és függetlenségi kritériumnak nevezik.

2. GYAKORLATI RÉSZ

1. Feladatmegoldások a konvergencia típusairól

1. Bizonyítsuk be, hogy a konvergencia szinte biztosan a valószínűség konvergenciáját jelenti. Adjon meg egy tesztesetet, amely megmutatja, hogy az ellenkezője nem igaz!

Megoldás. Hagyja, hogy a valószínűségi változók sorozata szinte biztosan konvergáljon egy x valószínűségi változóhoz. Szóval valakinek? > 0

Azóta

és xn x-hez való konvergenciája szinte biztosan azt jelenti, hogy xn valószínûséggel konvergál x-hez, mivel ebben az esetben

De fordítva nem igaz. Legyen olyan független valószínűségi változók sorozata, amelyeknek ugyanaz az F(x) eloszlásfüggvénye, amely egyenlő nullával x pontban? 0 és egyenlő x > 0 esetén. Tekintsük a sorozatot

Ez a sorozat valószínűsége nullához konvergál, mivel

nullára hajlik bármilyen fix? És. A nullához való konvergencia azonban szinte biztosan nem fog megtörténni. Igazán

egységre hajlamos, vagyis 1 valószínűséggel tetszőleges és n valószínűséggel a sorozatban vannak olyan implementációk, amelyek meghaladják a ?-t.

Megjegyzendő, hogy az xn-re támasztott néhány további feltétel jelenlétében a valószínűség konvergenciája szinte biztos konvergenciát jelent.

Legyen xn egy monoton sorozat. Bizonyítsuk be, hogy ebben az esetben az xn-nek az x-hez való valószínűségi konvergenciája xn-nek x-hez való konvergenciáját jelenti 1-es valószínűséggel.

Megoldás. Legyen xn monoton csökkenő sorozat, azaz. Érvelésünk leegyszerűsítése érdekében feltételezzük, hogy x º 0, xn ³ 0 minden n esetén. Hagyja, hogy xn valószínűség szerint konvergáljon x-hez, de a konvergencia szinte biztosan nem megy végbe. Akkor létezik? > 0 úgy, hogy minden n-re

De az elmondottak azt is jelentik, hogy minden n

ami ellentmond az xn és az x valószínűségi konvergenciájának. Így az x-hez való valószínűség szerint konvergáló monoton sorozat esetén az 1-es valószínűséggel való konvergencia (majdnem biztosan) is bekövetkezik.

Hagyja, hogy az xn sorozat valószínűség szerint konvergáljon x-hez. Bizonyítsuk be, hogy ebből a sorozatból ki lehet választani egy x-hez konvergáló sorozatot 1 as valószínűséggel.

Megoldás. Legyen továbbá valamilyen pozitív számsorozat, és legyen olyan pozitív szám, hogy a sorozat. Készítsünk n1 indexsorozatot

Aztán a sorozat

Mivel a sorozat konvergál, akkor bármelyik? > 0, a sorozat többi része nullára hajlik. De akkor inkább nullára és

Bizonyítsuk be, hogy bármely pozitív sorrend átlagának konvergenciája a valószínűség konvergenciáját jelenti. Mondjon egy példát, amely megmutatja, hogy az ellenkezője nem igaz!

Megoldás. Hagyja, hogy az xn sorozat p > 0 rendű átlagban konvergáljon x-hez, azaz.

Használjuk az általánosított Csebisev-egyenlőtlenséget: önkényesre? > 0 és p > 0

Ezt engedve és figyelembe véve ezt kapjuk

azaz xn valószínűség szerint konvergál x-hez.

A valószínűség konvergenciája azonban nem jár átlagosan p > 0 nagyságrendű konvergenciával. Ezt mutatja be a következő példa. Tekintsük az áW, F , Rñ valószínűségi teret, ahol F = B a Borel s-algebra és R a Lebesgue mérték.

A következőképpen határozzuk meg a valószínűségi változók sorozatát:

Az xn sorozat valószínûséggel 0-hoz konvergál, hiszen

de bármely p > 0 esetén

vagyis a konvergenciának átlagosan nem lesz.

Legyen, mi mindenre n . Bizonyítsuk be, hogy ebben az esetben xn az átlagos négyzetben konvergál x-hez.

Megoldás. Jegyezzük meg. Kérjen becslést. Tekintsünk egy valószínűségi változót. Legyen? egy tetszőleges pozitív szám. Aztán at és at.

Ha, akkor és. Következésképpen, . És mert? tetszőlegesen kicsi, majd at, azaz a négyzetgyökérben.

Bizonyítsuk be, hogy ha xn valószínűség szerint konvergál x-hez, akkor gyenge konvergenciánk van. Adjon meg egy tesztesetet, amely megmutatja, hogy az ellenkezője nem igaz!

Megoldás. Bizonyítsuk be, hogy ha minden x pontban, amely folytonossági pont (ez a gyenge konvergencia szükséges és elégséges feltétele), ott van xn eloszlásfüggvénye, és x.

Legyen x az F függvény folytonossági pontja. Ha, akkor a vagy egyenlőtlenségek közül legalább az egyik igaz. Azután

Hasonlóképpen legalább az egyik egyenlőtlenségre vagy és

Ha, akkor önkényesen kicsire? > 0 létezik N úgy, hogy minden n > N esetén

Másrészt, ha x egy folytonossági pont, akkor lehet ilyet találni? > 0, ami egy tetszőlegesen kicsi

Tehát önkényesen kicsire? és létezik olyan N, hogy n esetén >N

vagy ami ugyanaz,

Ez azt jelenti, hogy u a folytonosság minden pontján konvergál. Ezért a valószínűség konvergenciája gyenge konvergenciát jelent.

A fordított állítás általában véve nem állja meg a helyét. Ennek igazolására olyan valószínűségi változók sorozatát veszünk, amelyek nem állandóak 1 valószínűséggel, és ugyanazzal az F(x) eloszlásfüggvénnyel. Feltételezzük, hogy minden n mennyiségre és függetlenek. Nyilvánvalóan gyenge konvergencia megy végbe, mivel a sorozat minden tagjának ugyanaz az eloszlásfüggvénye. Fontolgat:

| A függetlenségből és a mennyiségek azonos eloszlásából az következik

Válasszunk olyan nem degenerált valószínűségi változók eloszlásfüggvényei közül, mint például az F(x), amely minden kellően kicsi ? esetén eltér nullától. Ekkor nem nullázódik, mivel n korlátlanul növekszik, és a valószínűség konvergenciája nem megy végbe.

7. Legyen gyenge konvergencia, ahol 1 valószínűséggel konstans. Bizonyítsuk be, hogy ebben az esetben a valószínűség szerint konvergál.

Megoldás. Legyen 1 valószínűséggel egyenlő a-val. Ekkor a gyenge konvergencia bármely esetén konvergenciát jelent. Azóta, akkor vele és vele. Vagyis vele és vele. Ebből következik, hogy bármely > 0 valószínűség

nullára hajlamosak. Ez azt jelenti

nullára hajlamos, azaz valószínűség szerint konvergál a -hoz.

2.2 Problémák megoldása a CPT-ben

A Г(x) gammafüggvény értékét x=-nél a Monte Carlo módszerrel számítjuk ki. Határozzuk meg azt a minimális próbaszámot, amely szükséges ahhoz, hogy 0,95-ös valószínűséggel számíthassunk arra, hogy a számítások relatív hibája egy százaléknál kisebb lesz.

Mert legfeljebb nekünk van

Ismeretes, hogy

Ha megváltoztatjuk az (1) értéket, egy véges intervallumon keresztül egy integrálhoz jutunk:

Ezért van

Amint látja, az és formában ábrázolható, ahol egyenletesen oszlik el. Legyen előállított statisztikai tesztek. Ekkor a statisztikai analóg a mennyiség

ahol független, egyenletes eloszlású valószínűségi változók. Ahol

A CLT-ből az következik, hogy paraméterekkel aszimptotikusan normális.

Ez azt jelenti, hogy a relatív számítási hiba valószínűségét biztosító tesztek minimális száma nem több, mint.

2000 független, azonos eloszlású valószínűségi változóból álló sorozatot veszünk figyelembe, amelynek matematikai elvárása 4 és variancia 1,8. Ezeknek a mennyiségeknek a számtani átlaga egy valószínűségi változó. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó értéket vesz fel a (3,94; 4,12) intervallumban!

Legyen …,… független valószínűségi változók sorozata, amelyek azonos eloszlásúak, M=a=4 és D==1,8. Ekkor a CLT alkalmazható a () szekvenciára. Véletlenszerű érték

Annak a valószínűsége, hogy értéket vesz fel a () intervallumban:

n=2000 esetén 3,94 és 4,12 kapjuk

3 Hipotézisek tesztelése a függetlenség kritériumával

A vizsgálat eredményeként kiderült, hogy 782 világos szemű apának is van világos szemű fia, 89 világos szemű apának pedig sötét szemű fia. 50 sötét szemű apának is van sötét szemű fia, 79 sötét szemű apának pedig világos szemű fia. Van-e kapcsolat az apák szemszíne és a fiaik szemszíne között? A megbízhatósági szintet 0,99-nek tekintjük.

2.1. táblázat

Gyerekek ApákSum Világos szeműSötét szemű Világos szemű78279861Sötét szemű8950139Sum8711291000

H: Nincs kapcsolat a gyerekek és az apák szemének színe között.

H: kapcsolat van a gyerekek és az apák szemének színe között.

s=k=2=90,6052 1 szabadságfokozatból

A számítás a Mathematica 6-ban történt.

Mivel > , akkor a H hipotézist, amely arról szól, hogy az apák és a gyermekek szemszíne között szignifikancia szinten nincs összefüggés, el kell utasítani, és el kell fogadni a H alternatív hipotézist.

Azt állítják, hogy a gyógyszer hatása az alkalmazás módjától függ. Ellenőrizze ezt az állítást a táblázatban szereplő adatok alapján. 2.2 A megbízhatósági szintet 0,95-nek tekintjük.

2.2. táblázat

Eredmény Alkalmazási mód ABC kedvezőtlen 111716 Kedvező 202319

Megoldás.

A probléma megoldására két jellemzőből álló kontingenciatáblázatot használunk.

2.3. táblázat

Eredmény Jelentkezési mód Összeg ABC Kedvező 11171644 Kedvező 20231962 Összeg 314035106

H: a gyógyszerek hatása nem függ az alkalmazás módjától

H: a gyógyszerek hatása az alkalmazás módjától függ

A statisztikát a következő képlet alapján számítjuk ki

s=2, k=3, =0,734626 2 szabadságfokozattal.

A számítás a Mathematica 6-ban készült

Az eloszlási táblázatok szerint azt találjuk.

Amennyiben< , то гипотезу H, про отсутствия зависимости действия лекарств от способа применения, при уровне значимости, следует принять.

Következtetés

Ez a cikk elméleti számításokat mutat be a „Függetlenségi kritérium”, valamint „A valószínűségszámítás határtételei”, a „Valószínűségszámítás és matematikai statisztika” kurzusból. A munka során a függetlenségi kritérium gyakorlati tesztelése megtörtént; továbbá a független valószínűségi változók adott sorozataira igazoltuk a centrális határtétel teljesülését.

Ez a munka hozzájárult a valószínűségszámítás ezen szakaszaival kapcsolatos ismereteim bővítéséhez, irodalmi forrásokkal való munkához, valamint a függetlenségi kritérium tesztelésének technikájának elsajátításához.

valószínűségi statisztikai hipotézis tétel

Linklista

1. Feladatok gyűjtése a valószínűségelméletből megoldással. Uch. pótlék / Szerk. V.V. Semenets. - Harkov: HTURE, 2000. - 320-as évek.

Gikhman I.I., Skorokhod A.V., Yadrenko M.I. Valószínűségelmélet és matematikai statisztika. - K .: Vishcha iskola, 1979. - 408 p.

Ivchenko G.I., Medvegyev Yu.I., Matematikai statisztika: Proc. juttatás az egyetemek számára. - M.: Feljebb. iskola, 1984. - 248s., .

Matematikai statisztika: Proc. egyetemeknek / V.B. Goryanov, I.V. Pavlov, G.M. Tsvetkova és mások; Szerk. V.S. Zarubina, A.P. Kriscsenko. - M.: MSTU kiadó im. N.E. Bauman, 2001. - 424p.

Korrepetálás

Segítségre van szüksége egy téma tanulásában?

Szakértőink tanácsot adnak vagy oktatói szolgáltatásokat nyújtanak az Önt érdeklő témákban.
Jelentkezés benyújtása a téma megjelölésével, hogy tájékozódjon a konzultáció lehetőségéről.

A matematika számos területet foglal magában, amelyek közül az egyik az algebrával és a geometriával együtt a valószínűségelmélet. Vannak olyan kifejezések, amelyek ezeken a területeken közösek, de rajtuk kívül vannak olyan konkrét szavak, képletek, tételek is, amelyek csak egy adott „résre” jellemzőek.

A „valószínűségelmélet” kifejezés pánikot okoz egy felkészületlen diákban. Valóban, a képzelet olyan képeket rajzol, ahol szörnyű háromdimenziós képletek jelennek meg, és egy probléma megoldása egy egész notebookot foglal el. A gyakorlatban azonban egyáltalán nem minden olyan szörnyű: elég egyszer megérteni egyes kifejezések jelentését, és belemerülni egy kissé sajátos érvelési logika lényegébe, hogy egyszer s mindenkorra ne féljünk a feladatoktól. Ebben a tekintetben megvizsgáljuk a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika alapfogalmait - ez egy fiatal, de rendkívül érdekes tudásterület.

Miért tanuljunk fogalmakat

A nyelv funkciója, hogy információt közvetítsen egyik embertől a másikhoz, hogy az megértse, megértse és használni tudja. Mindegyik matematikai fogalom egyszerűen megmagyarázható, de ebben az esetben az adatcsere sokkal tovább tart. Képzelje el, hogy a „hipoténusz” szó helyett mindig azt kell mondania, hogy „egy derékszögű háromszög leghosszabb oldala” – ez rendkívül kényelmetlen és hosszú.

Ezért találnak ki új kifejezéseket az emberek bizonyos jelenségekre, folyamatokra. A valószínűségszámítás alapfogalmai - esemény, esemény valószínűsége stb. - pontosan ugyanígy jelentek meg. Ez azt jelenti, hogy a képletek használatához, a problémák megoldásához és a készségek életben való alkalmazásához nemcsak az új szavak memorizálására van szükség, hanem meg kell érteni, hogy mindegyik mit jelent. Minél mélyebben felismered őket, elmélyedsz a jelentésükben, annál szélesebbé válik képességeid köre, és annál teljesebben érzékeled a körülötted lévő világot.

Mi a tárgy jelentése

Ismerkedjünk meg a valószínűségszámítás alapfogalmaival. A valószínűség klasszikus definíciója a következő: a kutatónak megfelelő eredmények aránya a lehetséges kimenetelek teljes számához viszonyítva. Hogy egy egyszerű példát mondjunk, amikor egy személy dob egy kockával, az a hat oldal bármelyikén felbukkanhat. Így az eredmények összesen hat. Annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott oldal kiesik, 1/6.

Egy adott eredmény megjelenésének előrejelzésének képessége rendkívül fontos számos szakember számára. Hány hibás alkatrész várható egy tételben? Attól függ, mennyit kell előállítani. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a gyógyszer segít a betegség leküzdésében? Ez az információ abszolút létfontosságú. De ne vesztegessük az időt további példákra, és kezdjünk el egy új területet felfedezni számunkra.

Első találkozás

Tekintsük a valószínűségszámítás alapfogalmait és azok használatát. A jogban, a természettudományokban, a közgazdaságtanban mindenhol használatosak az alábbiakban bemutatott képletek és kifejezések, hiszen ezek közvetlenül a statisztikákhoz, mérési hibákhoz kapcsolódnak. A kérdés részletesebb tanulmányozása új képleteket nyit meg, amelyek hasznosak a pontosabb és összetettebb számításokhoz, de kezdjük egy egyszerűvel.

A valószínűségszámítás és a matematikai statisztika egyik legalapvetőbb és legalapvetőbb fogalma a véletlenszerű esemény. Magyarázzuk el világos szavakkal: a kísérlet összes lehetséges kimenetele közül csak egyet figyelünk meg eredményeként. Még ha ennek az eseménynek a valószínűsége sokkal nagyobb is, mint a másiké, akkor is véletlenszerű lesz, mivel elméletileg a kimenetel más is lehet.

Ha kísérletsorozatot végeztünk és bizonyos számú eredményt kaptunk, akkor mindegyik valószínűségét a következő képlettel számítjuk ki: P(A) = m/n. Itt m az, hogy egy tesztsorozat során hányszor figyeltük meg a számunkra érdekes eredmény megjelenését. Az n viszont az elvégzett kísérletek teljes száma. Ha 10-szer feldobunk egy érmét és 5-ször kapunk farkat, akkor m=5 és n=10.

Eseménytípusok

Előfordul, hogy bizonyos eredmények garantáltan megfigyelhetők minden kísérletben - egy ilyen eseményt megbízhatónak neveznek. Ha ez soha nem történik meg, lehetetlennek fogják nevezni. Az ilyen eseményeket azonban nem használják fel a valószínűségszámítási problémák körülményei között. Az alapfogalmak, amelyeket sokkal fontosabb ismerni, a közös és össze nem egyeztethető események.

Előfordul, hogy egy kísérlet során két esemény történik egyszerre. Például két kockával dobunk – ebben az esetben az, hogy az egyiken "hat" esett ki, nem garantálja, hogy a másodiknál ​​nem esik ki másik szám. Az ilyen eseményeket közösnek nevezzük.

Ha egy kockával dobunk, akkor két szám soha nem eshet ki egyszerre. Ebben az esetben a kiesett „egy”, „kettő” stb. kimenetele összeférhetetlen eseménynek minősül. Nagyon fontos megkülönböztetni, hogy az egyes esetekben mely kimenetelekre kerül sor – ez attól függ, hogy milyen képleteket használunk a valószínűségek megállapításának problémájában. Néhány bekezdés után folytatjuk a valószínűségszámítás alapfogalmainak tanulmányozását, amikor figyelembe vesszük az összeadás és szorzás jellemzőit. Hiszen nélkülük egyetlen probléma sem oldható meg.

összeg és termék

Tegyük fel, hogy te és egy barátod dobnak egy kockával, ők pedig „négyest”. A nyeréshez "öt" vagy "hat" kell szereznie. Ebben az esetben a valószínűségek összegződnek: mivel mindkét szám felbukkanásának esélye 1/6, a válasz így fog kinézni: 1/6 + 1/6 = 1/3.

Most képzeld el, hogy kétszer dobsz a kockával, és a barátod 11 pontot kap. Most egymás után kétszer kell "hatot" dobnia. Az események függetlenek egymástól, ezért a valószínűségeket meg kell szorozni: 1/6 * 1/6 = 1/36.

A valószínűségszámítás alapfogalmai és tételei közül figyelmet kell fordítani az együttes események valószínűségeinek összegére, vagyis az egyidejűleg bekövetkező eseményekre. Az összeadási képlet ebben az esetben így fog kinézni: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Kombinatorika

Nagyon gyakran meg kell találnunk egy objektum egyes paramétereinek összes lehetséges kombinációját, vagy ki kell számítanunk a kombinációk számát (például titkosítás kiválasztásakor). Ebben segítségünkre lesz a valószínűségelmélethez szorosan kapcsolódó kombinatorika. Az alapfogalmak itt tartalmaznak néhány új szót, és számos képlet ebből a témából biztosan jól jön.

Tegyük fel, hogy három számunk van: 1, 2, 3. Ezeket kell használni az összes lehetséges háromjegyű szám felírásához. hányan lesznek? Válasz: n! (a felkiáltójel faktoriálist jelent). Egy bizonyos számú különböző elem (számok, betűk stb.) kombinációit, amelyek csak elhelyezkedésük sorrendjében különböznek egymástól, permutációnak nevezzük.

Azonban sokkal gyakrabban szembesülünk ilyen helyzetekkel: 10 számjegy (nullától kilencig) alkotja a jelszót vagy kódot. Tegyük fel, hogy a hossza 4 karakter. Hogyan lehet kiszámítani a lehetséges kódok teljes számát? Erre van egy speciális képlet: (n!)/(n - m)!

A fent javasolt probléma feltételét figyelembe véve n=10, m=4. Továbbá csak egyszerű matematikai számításokra van szükség. Egyébként az ilyen kombinációkat elhelyezésnek nevezzük.

Végül ott van a kombinációk fogalma - ezek olyan sorozatok, amelyek legalább egy elemben különböznek egymástól. Számukat a következő képlettel számítjuk ki: (n!) / (m! (n-m)!).

Várható érték

Fontos fogalom, amellyel a tanuló már a tantárgy első óráin találkozik, a matematikai elvárás. Ez az összes lehetséges eredő érték összege, szorozva a valószínűségükkel. Alapvetően ez az átlagos szám, amelyet teszteredményként megjósolhatunk. Például három olyan érték van, amelyek valószínűségei zárójelben vannak megadva: 0 (0,2); 1 (0,5); 2 (0,3). Számítsuk ki a matematikai elvárást: M(X) = 0*0,2 + 1*0,5 + 2*0,3 = 1,1. Így a javasolt kifejezésből látható, hogy ez az érték állandó, és nem függ a teszt eredményétől.

Ezt a fogalmat sok képlet használja, és a jövőben többször is találkozni fog vele. Nem nehéz vele dolgozni: az összeg matematikai elvárása megegyezik a szőnyeg összegével. elvárások - M(X+Y) = M(X) + M(Y). Ugyanez vonatkozik a termékre is: M(XY) = M(X) * M(Y).

Diszperzió

Emlékeznie kell az iskolai fizikatanfolyamról, hogy a szóródás szóródik. Mi a helye a valószínűségszámítás alapfogalmai között?

Nézz meg két példát. Egy esetben a következőket kapjuk: 10(0,2); 20(0,6); 30(0,2). A másikban - 0(0,2); 20(0,6); 40 (0,2). A matematikai elvárás mindkét esetben ugyanaz lesz, hogyan lehet összehasonlítani ezeket a helyzeteket? Végül is szabad szemmel látjuk, hogy az értékek terjedése a második esetben sokkal nagyobb.

Ehhez vezették be a diszperzió fogalmát. Ahhoz, hogy megkapjuk, ki kell számítani az egyes valószínűségi változók különbségeinek összegének matematikai elvárását és a matematikai elvárást. Vegyük a számokat az előző bekezdésben írt első példából.

Először számítsuk ki a matematikai elvárást: M(X) = 10*0,2 + 20*0,6 + 30*0,2 = 20. Ezután a diszperziós érték: D(X) = 40.

A statisztika és a valószínűségszámítás másik alapfogalma a szórás. Kiszámítása nagyon egyszerű: csak a variancia négyzetgyökét kell venni.

Itt megjegyezhet egy olyan egyszerű kifejezést is, mint a terjedelem. Ez egy olyan érték, amely a minta maximális és minimális értéke közötti különbséget jelzi.

Statisztika

Egyes alapiskolai fogalmakat nagyon gyakran használnak a természettudományokban. Ezek közül kettő a számtani átlag és a medián. Biztosan emlékszel, hogyan találd meg az értékeit. De minden esetre emlékezzünk vissza: a számtani átlag az összes érték összege osztva a számukkal. Ha 10 érték van, akkor összeadjuk és elosztjuk 10-zel.

A medián a központi érték az összes lehetséges érték között. Ha páratlan számú értékünk van, akkor növekvő sorrendben írjuk ki, és válasszuk ki a középsőt. Ha páros számú értékünk van, akkor a két központit vesszük, és elosztjuk kettővel.

A halmaz mediánja és a két szélső - maximum és minimum - értéke között elhelyezkedő további két értéket kvartilisnek nevezzük. Kiszámításuk ugyanúgy történik - páratlan számú elem esetén a sor közepén lévő számot veszik, páros számmal pedig a két központi elem összegének felét.

Van egy speciális grafikon is, amelyen láthatja az összes mintaértéket, annak tartományát, mediánját, negyedéves intervallumát, valamint a kiugró értékeket - azokat az értékeket, amelyek nem illeszkednek a statisztikai hibába. Az így kapott képnek nagyon specifikus (és még nem is matematikai) neve van - "bajuszos doboz".

terjesztés

Az eloszlás a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika alapfogalmaira is vonatkozik. Röviden, ez egy általánosított információ az összes valószínűségi változóról, amelyet a teszt eredményeként láthatunk. A fő paraméter itt az egyes értékek előfordulási valószínűsége lesz.

A normális eloszlás olyan, amelynek egy központi csúcsa van, amely a leggyakrabban előforduló értéket tartalmazza. Egyre kevésbé valószínű eredmények ívesen térnek el tőle. Általában a grafikon oldalról úgy néz ki, mint egy "csúszda". A jövőben meg fogja tanulni, hogy a valószínűségelmélet alapvető határérték-tétele szorosan kapcsolódik ehhez az eloszlástípushoz. Leírja a matematika általunk vizsgált ága szempontjából fontos törvényszerűségeket, amelyek nagyon hasznosak a különféle számításoknál.

De vissza a témához. Két további típusú eloszlás létezik: aszimmetrikus és multimodális. Az első úgy néz ki, mint egy "normál" gráf fele, vagyis az ív csak a csúcsérték egyik oldalára ereszkedik le. Végül a multimodális eloszlás az, amelyre több „felső” érték is létezik. A grafikon tehát lefelé, majd felfelé megy. Bármely eloszlásban a leggyakoribb értéket módusnak nevezzük. Ez a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika egyik alapfogalma is.

Gauss-eloszlás

A Gauss-eloszlás vagy normál eloszlás olyan, amelyben a megfigyelések átlagtól való eltérése egy bizonyos törvénynek engedelmeskedik.

Röviden, a mintaértékek fő szórása exponenciálisan a mód felé hajlik - a leggyakoribb közülük. Pontosabban, az összes érték 99,6%-a három szóráson belül van (ne felejtsük el, hogy ezt a fogalmat fentebb figyelembe vettük?).

A Gauss-eloszlás a valószínűségszámítás egyik alapfogalma. Segítségével megértheti, hogy egy elem egyik vagy másik paraméter szerint a „tipikus” kategóriába tartozik-e - így becsülik meg az ember magasságát és súlyát az életkor, az értelmi fejlettség, a pszichológiai jellemzők szerint. állam, és még sok más.

Hogyan kell alkalmazni

Érdekes módon az "unalmas" matematikai adatok az Ön javára fordíthatók. Például egy fiatal férfi valószínűségszámítást és statisztikákat alkalmazott, hogy több millió dollárt nyerjen a ruletten. Igaz, előtte fel kellett készülnöm - több hónapig, hogy rögzítsem a játékok eredményeit a különböző kaszinókban.

Az elemzés után megállapította, hogy az egyik táblázat enyhén meg van dőlve, ami azt jelenti, hogy számos érték statisztikailag szignifikánsan gyakrabban jelenik meg, mint mások. Egy kis számítás, türelem – és most azon törik a fejüket az intézmény tulajdonosai, hogy milyen szerencsés lehet valaki.

Rengeteg olyan hétköznapi feladat van, amelyet nem lehet megoldani a statisztikák nélkül. Például, hogyan lehet meghatározni, hogy egy boltnak hány ruhát kell rendelnie különböző méretekben: S, M, L, XL? Ehhez elemezni kell, hogy ki vásárol gyakrabban ruhát a városban, a kerületben, a közeli üzletekben. Ha nem szerez ilyen információt, a tulajdonos rengeteg pénzt veszít.

Következtetés

A valószínűségszámítás egy csomó alapfogalmát megvizsgáltuk: teszt, esemény, permutációk és elhelyezések, matematikai elvárás és variancia, módus és normális eloszlás... Ezen kívül számos képletet is figyelembe vettünk, amelyeket magasabb szinten tanulmányozunk. oktatási intézményben több mint egy hónapos órákra.

Ne felejtsük el: a matematika szükséges a közgazdaságtan, a természettudományok, az informatika, a mérnöki szakok tanulmányozása során. A statisztikát, mint annak egyik területét itt sem lehet figyelmen kívül hagyni.

Most kicsi a dolog: gyakorolj, oldj meg problémákat és példákat. Még a valószínűségszámítás alapfogalmai és definíciói is feledésbe merülnek, ha nem szánja az időt az ismétlésre. Ezenkívül a következő képletek nagyrészt az általunk megvizsgált képleteken alapulnak. Ezért próbáljon meg emlékezni rájuk, különösen azért, mert nincs belőlük olyan sok.