Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek megoldási módszerei. Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek

Vegyünk egy példát: oldja meg az egyenlőtlenséget (0,5) (7 - 3*x)< 4.

Vegye figyelembe, hogy 4 = (0,5) 2 . Ekkor az egyenlőtlenség (0,5)(7 - 3*x) alakot ölt.< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

A következőt kapjuk: 7 - 3*x>-2.

Ezért: x<3.

Válasz: x<3.

Ha az egyenlőtlenségben lévő bázis nagyobb lenne egynél, akkor az alaptól való megszabaduláskor nem kell az egyenlőtlenség előjelét megváltoztatni.

A legtöbb matematikai probléma ilyen vagy olyan megoldása magában foglalja a numerikus, algebrai vagy funkcionális kifejezések átalakítását. A fentiek különösen érvényesek a döntésre. A matematika egységes államvizsga változataiban ez a típusú feladat különösen a C3 feladatot tartalmazza. A C3-as feladatok megoldásának megtanulása nemcsak az egységes államvizsga sikeres letétele miatt fontos, hanem azért is, mert ez a készség hasznos lesz a középiskolai matematika kurzus tanulmányozása során.

A C3 feladatok elvégzésekor különféle típusú egyenleteket és egyenlőtlenségeket kell megoldania. Köztük van racionális, irracionális, exponenciális, logaritmikus, trigonometrikus, modulokat (abszolút értékeket) tartalmazó, valamint kombinált. Ez a cikk az exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek fő típusait, valamint a megoldásukra szolgáló különféle módszereket tárgyalja. Olvasson más típusú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásáról a matematika egységes államvizsga C3-as problémáinak megoldási módszereivel foglalkozó cikkek „” szakaszában.

Mielőtt elkezdenénk elemezni a konkrét exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek, matematika oktatóként azt javaslom, hogy ecseteljen néhány elméleti anyagot, amelyre szükségünk lesz.

Exponenciális függvény

Mi az exponenciális függvény?

Az űrlap funkciója y = egy x, Ahol a> 0 és a≠ 1-et hívnak exponenciális függvény.

Alapvető az exponenciális függvény tulajdonságai y = egy x:

Egy exponenciális függvény grafikonja

Az exponenciális függvény grafikonja az kitevő:

Exponenciális függvények grafikonjai (kitevők)

Exponenciális egyenletek megoldása

Tájékoztató jellegű olyan egyenleteknek nevezzük, amelyekben az ismeretlen változó csak néhány hatvány kitevőjében található.

Megoldásokért exponenciális egyenletek ismernie kell és tudnia kell használni a következő egyszerű tételt:

1. tétel. Exponenciális egyenlet a f(x) = a g(x) (Ahol a > 0, a≠ 1) ekvivalens az egyenlettel f(x) = g(x).

Ezenkívül hasznos megjegyezni az alapvető képleteket és a fokozatokkal végzett műveleteket:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

1. példa Oldja meg az egyenletet:

Megoldás: A fenti képleteket és helyettesítéseket használjuk:

Ekkor az egyenlet a következőképpen alakul:

A kapott másodfokú egyenlet diszkriminánsa pozitív:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Ez azt jelenti, hogy ennek az egyenletnek két gyökere van. Megtaláljuk őket:

Továbblépve a fordított helyettesítésre, a következőket kapjuk:

A második egyenletnek nincs gyökere, mivel az exponenciális függvény szigorúan pozitív az egész definíciós tartományban. Oldjuk meg a másodikat:

Az 1. Tételben elmondottakat figyelembe véve áttérünk az ekvivalens egyenletre: x= 3. Ez lesz a válasz a feladatra.

Válasz: x = 3.

2. példa Oldja meg az egyenletet:

Megoldás: Az egyenletnek nincs korlátozása a megengedett értékek tartományára vonatkozóan, mivel a gyök kifejezésnek bármilyen értékre van értelme x(exponenciális függvény y = 9 4 -x pozitív és nem egyenlő nullával).

Az egyenletet ekvivalens transzformációkkal oldjuk meg a szorzás és a hatványosztás szabályaival:

Az utolsó átmenetet az 1. Tétel szerint hajtottuk végre.

Válasz:x= 6.

3. példa Oldja meg az egyenletet:

Megoldás: az eredeti egyenlet mindkét oldala osztható 0,2-vel x. Ez az átmenet egyenértékű lesz, mivel ez a kifejezés bármely érték esetén nagyobb, mint nulla x(az exponenciális függvény definíciós tartományában szigorúan pozitív). Ekkor az egyenlet a következő alakot veszi fel:

Válasz: x = 0.

4. példa Oldja meg az egyenletet:

Megoldás: az egyenletet elemire egyszerűsítjük ekvivalens transzformációk segítségével a cikk elején megadott hatványosztási és szorzási szabályok segítségével:

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk 4-gyel x, mint az előző példában, egy ekvivalens transzformáció, mivel ez a kifejezés egyetlen érték esetén sem egyenlő nullával x.

Válasz: x = 0.

5. példa. Oldja meg az egyenletet:

Megoldás: funkció y = 3x, amely az egyenlet bal oldalán áll, növekszik. Funkció y = —x Az egyenlet jobb oldalán lévő -2/3 csökken. Ez azt jelenti, hogy ha ezen függvények grafikonjai metszik egymást, akkor legfeljebb egy pont. Ebben az esetben könnyen kitalálható, hogy a grafikonok a pontban metszik egymást x= -1. Nem lesz más gyökere.

Válasz: x = -1.

6. példa. Oldja meg az egyenletet:

Megoldás: ekvivalens transzformációkkal egyszerűsítjük az egyenletet, mindenhol szem előtt tartva, hogy az exponenciális függvény bármilyen érték esetén szigorúan nagyobb nullánál xés a cikk elején megadott hatványok szorzatának és hányadosának kiszámítási szabályait alkalmazva:

Válasz: x = 2.

Exponenciális egyenlőtlenségek megoldása

Tájékoztató jellegű egyenlőtlenségeknek nevezzük, amelyekben az ismeretlen változót csak néhány hatvány kitevője tartalmazza.

Megoldásokért exponenciális egyenlőtlenségek a következő tétel ismerete szükséges:

2. tétel. Ha a> 1, akkor az egyenlőtlenség a f(x) > a g(x) egyenértékű egy azonos jelentésű egyenlőtlenséggel: f(x) > g(x). Ha 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) egyenértékű az ellenkező értelmű egyenlőtlenséggel: f(x) < g(x).

7. példa. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

Megoldás: Mutassuk be az eredeti egyenlőtlenséget a következő formában:

Osszuk el ennek az egyenlőtlenségnek mindkét oldalát 3 2-vel x, ebben az esetben (a függvény pozitivitása miatt y= 3 2x) az egyenlőtlenség jele nem változik:

Használjuk a helyettesítést:

Ekkor az egyenlőtlenség a következő formában jelenik meg:

Tehát az egyenlőtlenség megoldása az intervallum:

a fordított helyettesítésre lépve a következőket kapjuk:

Az exponenciális függvény pozitivitása miatt a bal oldali egyenlőtlenség automatikusan teljesül. A logaritmus jól ismert tulajdonságát felhasználva továbblépünk az ekvivalens egyenlőtlenségre:

Mivel a fokszám alapja egynél nagyobb szám, ekvivalens (a 2. tétel szerint) a következő egyenlőtlenségre való átmenet:

Szóval végre megérkeztünk válasz:

8. példa. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

Megoldás: A szorzás és a hatványosztás tulajdonságait felhasználva átírjuk az egyenlőtlenséget a következő alakba:

Vezessünk be egy új változót:

Ezt a helyettesítést figyelembe véve az egyenlőtlenség a következőképpen alakul:

A tört számlálóját és nevezőjét 7-tel megszorozva a következő ekvivalens egyenlőtlenséget kapjuk:

Tehát a változó következő értékei kielégítik az egyenlőtlenséget t:

Ezután a fordított helyettesítésre áttérve a következőket kapjuk:

Mivel a fokszám alapja itt nagyobb egynél, az egyenlőtlenségre való átmenet ekvivalens lesz (a 2. tétel szerint):

Végre megkapjuk válasz:

9. példa. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

Megoldás:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát elosztjuk a következő kifejezéssel:

Mindig nagyobb, mint nulla (az exponenciális függvény pozitivitása miatt), így az egyenlőtlenség jelét nem kell megváltoztatni. Kapunk:

t az intervallumban található:

Továbblépve a fordított helyettesítésre, azt találjuk, hogy az eredeti egyenlőtlenség két esetre oszlik:

Az első egyenlőtlenségnek az exponenciális függvény pozitivitása miatt nincs megoldása. Oldjuk meg a másodikat:

10. példa. Oldja meg az egyenlőtlenséget:

Megoldás:

Parabola ágak y = 2x+2-x 2 lefelé irányul, ezért felülről korlátozza az az érték, amelyet a csúcsánál elér:

Parabola ágak y = x 2 -2x Az indikátor +2-je felfelé irányul, ami azt jelenti, hogy alulról az az érték korlátozza, amelyet a csúcsánál elér:

Ugyanakkor a függvény alulról is korlátosnak bizonyul y = 3 x 2 -2x+2, ami az egyenlet jobb oldalán található. A legkisebb értékét ugyanabban a pontban éri el, mint a kitevőben lévő parabola, és ez az érték 3 1 = 3. Tehát az eredeti egyenlőtlenség csak akkor lehet igaz, ha a bal oldali és a jobb oldali függvény felveszi az értéket. , egyenlő 3-mal (e függvények értéktartományának metszéspontja csak ez a szám). Ez a feltétel egyetlen ponton teljesül x = 1.

Válasz: x= 1.

Hogy megtanuljak dönteni exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek, ezek megoldásában folyamatosan edzeni kell. Különböző oktatási segédletek, elemi matematikai feladatfüzetek, versenyfeladat-gyűjtemények, iskolai matematika órák, valamint szakmai oktatóval lebonyolított egyéni órák segíthetnek ebben a nehéz feladatban. Őszintén kívánok sok sikert a felkészüléshez és a vizsgán kiváló eredményeket.

Szergej Valerievich

P.S. Kedves Vendégeink! Kérjük, ne írjon kéréseket az egyenletek megoldására a megjegyzésekben. Sajnos erre végképp nincs időm. Az ilyen üzenetek törlődnek. Kérjük, olvassa el a cikket. Talán olyan kérdésekre talál választ, amelyek nem tették lehetővé, hogy önállóan megoldják a feladatot.

Egyenletrendszerek megoldási módszerei

Először röviden idézzük fel, milyen módszerek léteznek általában az egyenletrendszerek megoldására.

Létezik négy fő módja megoldások egyenletrendszerekre:

Behelyettesítési mód: vegyük fel a megadott egyenletek bármelyikét és fejezzük ki $y$-t $x$-ban, majd a $y$-t behelyettesítjük a rendszeregyenletbe, ahonnan a $x.$ változót találjuk, ezt követően könnyen ki tudjuk számolni a $y.$ változó

Összeadás módszere: Ennél a módszernél az egyik vagy mindkét egyenletet meg kell szoroznia olyan számokkal, hogy ha mindkettőt összeadja, az egyik változó „eltűnik”.

Grafikus módszer: a rendszer mindkét egyenletét a koordinátasíkon ábrázoljuk, és megtaláljuk a metszéspontjukat.

Új változók bevezetésének módja: ebben a módszerben néhány kifejezést lecserélünk a rendszer egyszerűsítése érdekében, majd a fenti módszerek valamelyikét alkalmazzuk.

Exponenciális egyenletrendszerek

1. definíció

Az exponenciális egyenletekből álló egyenletrendszereket exponenciális egyenletrendszereknek nevezzük.

Megfontoljuk az exponenciális egyenletrendszerek megoldását példák segítségével.

1. példa

Egyenletrendszer megoldása

1. kép

Megoldás.

Ennek a rendszernek a megoldására az első módszert fogjuk használni. Először fejezzük ki $y$-t az első egyenletben $x$-ban.

2. ábra.

Helyettesítsük be a $y$-t a második egyenletbe:

\ \ \[-2-x=2\] \ \

Válasz: $(-4,6)$.

2. példa

Egyenletrendszer megoldása

3. ábra.

Megoldás.

Ez a rendszer egyenértékű a rendszerrel

4. ábra.

Alkalmazzuk az egyenletek megoldásának negyedik módszerét. Legyen $2^x=u\ (u >0)$ és $3^y=v\ (v >0)$, kapjuk:

5. ábra.

Oldjuk meg a kapott rendszert az összeadás módszerével. Adjuk össze az egyenleteket:

\ \

Aztán a második egyenletből azt kapjuk

Visszatérve a helyettesítésre, egy új exponenciális egyenletrendszert kaptam:

6. ábra.

Kapunk:

7. ábra.

Válasz: $(0,1)$.

Exponenciális egyenlőtlenségek rendszerei

2. definíció

Az exponenciális egyenletekből álló egyenlőtlenségrendszereket exponenciális egyenlőtlenségek rendszereinek nevezzük.

Megfontoljuk az exponenciális egyenlőtlenségek rendszereinek megoldását példák segítségével.

3. példa

Oldja meg az egyenlőtlenségek rendszerét!

8. ábra.

Megoldás:

Ez az egyenlőtlenségek rendszere egyenértékű a rendszerrel

9. ábra.

Az első egyenlőtlenség megoldásához idézzük fel a következő tételt az exponenciális egyenlőtlenségek ekvivalenciájáról:

1. tétel. Az $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $ egyenlőtlenség, ahol $a >0,a\ne 1$ ekvivalens két rendszer gyűjteményével

\

Ahol $b$ szerepe lehet egy hétköznapi szám, vagy esetleg valami keményebb. Példák? Igen, kérem:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\vége(igazítás)\]

Azt hiszem, a jelentés világos: van egy $((a)^(x))$ exponenciális függvény, amelyet összehasonlítanak valamivel, majd megkérik, hogy keresse meg a $x$-t. Különösen klinikai esetekben a $x$ változó helyett valamilyen $f\left(x \right)$ függvényt tehetnek be, és ezzel egy kicsit bonyolítják az egyenlőtlenséget. :)

Természetesen bizonyos esetekben az egyenlőtlenség súlyosabbnak tűnhet. Például:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Vagy akár ez:

Általánosságban elmondható, hogy az ilyen egyenlőtlenségek bonyolultsága nagyon eltérő lehet, de végül mégis az egyszerű $((a)^(x)) \gt b$ konstrukcióra redukálódnak. És valahogy kitaláljuk egy ilyen konstrukciót (különösen klinikai esetekben, amikor semmi sem jut eszünkbe, a logaritmusok segítenek nekünk). Ezért most megtanítjuk, hogyan kell megoldani az ilyen egyszerű konstrukciókat.

Egyszerű exponenciális egyenlőtlenségek megoldása

Vegyünk egy nagyon egyszerű dolgot. Például ezt:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Nyilvánvalóan a jobb oldali szám átírható kettő hatványaként: $4=((2)^(2))$. Így az eredeti egyenlőtlenség nagyon kényelmes formában átírható:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

És most viszket a kezem, hogy „áthúzzam” a hatványok alapjaiban szereplő ketteseket, hogy megkapjam a $x \gt 2$ választ. Mielőtt azonban bármit is áthúznánk, emlékezzünk a kettő erejére:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Mint látható, minél nagyobb a szám a kitevőben, annál nagyobb a kimeneti szám. – Köszönöm, Cap! - kiált fel az egyik diák. Ez másként? Sajnos előfordul. Például:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ jobb))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Itt is minden logikus: minél nagyobb a fokszám, annál többszörösére szorozódik a 0,5-ös szám önmagával (azaz osztódik fele). Így a kapott számsorozat csökken, és az első és a második sorozat közötti különbség csak az alapban van:

• Ha az $a \gt 1$ fok alapja, akkor a $n$ kitevő növekedésével a $((a)^(n))$ szám is növekedni fog;
• És fordítva, ha $0 \lt a \lt 1$, akkor a $n$ kitevő növekedésével a $((a)^(n))$ szám csökkenni fog.

Ezeket a tényeket összegezve megkapjuk a legfontosabb állítást, amelyen az exponenciális egyenlőtlenségek teljes megoldása alapul:

Ha $a \gt 1$, akkor a $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ egyenlőtlenség ekvivalens a $x \gt n$ egyenlőtlenséggel. Ha $0 \lt a \lt 1$, akkor a $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ egyenlőtlenség ekvivalens a $x \lt n$ egyenlőtlenséggel.

Más szóval, ha az alap egynél nagyobb, egyszerűen eltávolíthatja - az egyenlőtlenség jele nem változik. És ha az alap kisebb, mint egy, akkor azt is el lehet távolítani, de ugyanakkor meg kell változtatni az egyenlőtlenség jelét.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy nem vettük figyelembe az $a=1$ és $a\le 0$ opciókat. Mert ezekben az esetekben bizonytalanság merül fel. Tegyük fel, hogyan kell megoldani egy $((1)^(x)) \gt 3$ alakú egyenlőtlenséget? Egy minden hatalomnak megint ad egyet – soha nem kapunk hármat vagy többet. Azok. nincsenek megoldások.

Negatív okokból minden még érdekesebb. Vegyük például ezt az egyenlőtlenséget:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

Első pillantásra minden egyszerű:

Jobb? De nem! Elég, ha $x$ helyett pár páros és pár páratlan számot helyettesít, hogy megbizonyosodjon arról, hogy a megoldás hibás. Nézd meg:

\[\begin(align) & x=4\Jobbra ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Jobbra ((\bal(-2 \jobbra))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Jobbra ((\bal(-2 \jobbra))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Jobbra ((\bal(-2 \jobbra))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(igazítás)\]

Amint látja, a jelek váltakoznak. De vannak törthatványok és egyéb hülyeségek is. Hogyan lehetne például kiszámítani a $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (mínusz kettő hét hatványa)? Semmiképpen!

Ezért a határozottság kedvéért feltételezzük, hogy minden exponenciális egyenlőtlenségben (és mellesleg egyenletekben is) $1\ne a \gt 0$. És akkor minden nagyon egyszerűen megoldódik:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Jobbra \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \jobbra). \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Általánosságban emlékezzünk a fő szabályra: ha egy exponenciális egyenletben az alap nagyobb egynél, egyszerűen eltávolíthatja azt; és ha az alap egynél kisebb, akkor azt is el lehet távolítani, de az egyenlőtlenség jele megváltozik.

Példák megoldásokra

Tehát nézzünk meg néhány egyszerű exponenciális egyenlőtlenséget:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\vége(igazítás)\]

Az elsődleges feladat minden esetben ugyanaz: az egyenlőtlenségeket a legegyszerűbb $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ alakra redukálni. Pontosan ezt fogjuk most tenni az egyes egyenlőtlenségekkel, ugyanakkor megismételjük a fokok és az exponenciális függvények tulajdonságait. Akkor gyerünk!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Mit lehet itt csinálni? Nos, a bal oldalon már van egy jelző kifejezés - semmit sem kell megváltoztatni. De a jobb oldalon van valami baromság: tört, és még gyök is a nevezőben!

Emlékezzünk azonban a törtekkel és hatványokkal való munka szabályaira:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\vége(igazítás)\]

Mit jelent? Először is könnyen megszabadulhatunk a törttől, ha negatív kitevőjű hatványsá alakítjuk. Másodszor pedig, mivel a nevezőnek van gyöke, jó lenne hatványsá alakítani - ezúttal törtkitevővel.

Alkalmazzuk ezeket a műveleteket egymás után az egyenlőtlenség jobb oldalára, és nézzük meg, mi történik:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \jobbra))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \jobbra)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Ne felejtsük el, hogy amikor egy fokot hatványra emelünk, ezeknek a fokoknak a kitevői összeadódnak. És általában, ha exponenciális egyenletekkel és egyenlőtlenségekkel dolgozunk, feltétlenül ismerni kell a hatványokkal való munka legegyszerűbb szabályait:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \jobbra))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\vége(igazítás)\]

Valójában csak az utolsó szabályt alkalmaztuk. Ezért az eredeti egyenlőtlenségünket a következőképpen írjuk át:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Jobbra ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Most megszabadulunk a kettőtől az alapnál. Mivel 2 > 1, az egyenlőtlenség jele változatlan marad:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Jobbra x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

Ez a megoldás! A fő nehézség egyáltalán nem az exponenciális függvényben van, hanem az eredeti kifejezés megfelelő átalakításában: óvatosan és gyorsan kell a legegyszerűbb formájába hozni.

Tekintsük a második egyenlőtlenséget:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Is-is. Itt a tizedes törtek várnak ránk. Amint azt már sokszor mondtam, minden hatványos kifejezésben meg kell szabadulni a tizedesjegyektől – gyakran csak így lehet gyors és egyszerű megoldást találni. Itt megszabadulunk a következőktől:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Jobbra ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\vége(igazítás)\]

Itt is megvan a legegyszerűbb egyenlőtlenség, és még 1/10-es alappal is, azaz. egynél kevesebb. Nos, eltávolítjuk az alapokat, miközben a jelet „kevesebbről” „többre” változtatjuk, és megkapjuk:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\vége(igazítás)\]

Megkaptuk a végső választ: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Figyelem: a válasz pontosan egy halmaz, és semmi esetre sem $x \lt -1$ alakú konstrukció. Mert formálisan egy ilyen konstrukció egyáltalán nem halmaz, hanem egyenlőtlenség a $x$ változóhoz képest. Igen, nagyon egyszerű, de nem ez a válasz!

Fontos jegyzet. Ezt az egyenlőtlenséget más módon is meg lehetne oldani – mindkét oldalt egynél nagyobb bázisú hatalommá redukálva. Nézd meg:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Jobbra ((\bal(((10)^(-1)) \jobbra))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \jobbra))^(2))\Jobbra ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Egy ilyen transzformáció után ismét egy exponenciális egyenlőtlenséget kapunk, de 10 > 1 alappal. Ez azt jelenti, hogy egyszerűen áthúzhatjuk a tízet - az egyenlőtlenség előjele nem változik. Kapunk:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\vége(igazítás)\]

Amint látja, a válasz pontosan ugyanaz volt. Ugyanakkor megkíméltük magunkat a jel megváltoztatásának szükségességétől, és általában emlékezni kell minden szabályra. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Azonban ne hagyja, hogy ez megijessze. Nem számít, mi szerepel a mutatókban, maga az egyenlőtlenség megoldásának technológiája ugyanaz marad. Ezért először jegyezzük meg, hogy 16 = 2 4. Írjuk át az eredeti egyenlőtlenséget ennek a ténynek a figyelembevételével:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(igazítás)\]

Hurrá! Megkaptuk a szokásos másodfokú egyenlőtlenséget! A jel nem változott sehol, mivel az alap kettő - egynél nagyobb szám.

Függvény nullai a számegyenesen

Elrendezzük a $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ függvény előjeleit - nyilván a grafikonja egy parabola lesz felfelé ágakkal, tehát lesznek pluszok ” az oldalakon. Minket az a régió érdekel, ahol a függvény nullánál kisebb, pl. $x\in \left(2;5 \right)$ a válasz az eredeti problémára.

Végül vegyünk egy másik egyenlőtlenséget:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Ismét egy exponenciális függvényt látunk, amelynek alapjában tizedes tört található. Alakítsuk át ezt a törtet közönséges törtté:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Jobbra \\ & \Jobbra ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\bal(((5)^(-1)) \jobbra))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

Ebben az esetben a korábban megadott megjegyzéssel éltünk - a további megoldásunk egyszerűsítése érdekében az alapot 5 > 1-re csökkentettük. Tegyük ugyanezt a jobb oldallal is:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ jobb))^(2))=((5)^(-1\cpont 2))=((5)^(-2))\]

Írjuk át az eredeti egyenlőtlenséget mindkét transzformáció figyelembevételével:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Jobbra ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \jobbra)))\ge ((5)^(-2))\]

Az alap mindkét oldalon megegyezik, és meghaladja az egyet. Nincsenek más kifejezések a jobb és a bal oldalon, ezért egyszerűen „áthúzzuk” az ötösöket, és egy nagyon egyszerű kifejezést kapunk:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(igazítás)\]

Itt óvatosabbnak kell lenni. Sok diák szereti egyszerűen felvenni az egyenlőtlenség mindkét oldalának négyzetgyökét, és valami ilyesmit írni: $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Ezt semmi esetre sem szabad megtenni , mivel egy pontos négyzet gyöke modulus, és semmi esetre sem eredeti változó:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\jobbra|\]

A modulokkal való munka azonban nem a legkellemesebb élmény, igaz? Szóval nem fogunk dolgozni. Ehelyett egyszerűen mozgassuk az összes tagot balra, és oldjuk meg a szokásos egyenlőtlenséget az intervallum módszerrel:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Ismét megjelöljük a kapott pontokat a számegyenesen, és megnézzük a jeleket:

Mivel egy nem szigorú egyenlőtlenséget oldottunk meg, a grafikonon minden pont árnyékolt. Ezért a válasz a következő lesz: $x\in \left[ -1;1 \right]$ nem intervallum, hanem szegmens.

Általánosságban szeretném megjegyezni, hogy az exponenciális egyenlőtlenségekben nincs semmi bonyolult. A ma végrehajtott összes átalakítás jelentése egy egyszerű algoritmuson alapul:

• Keressük meg az alapot, amelyre az összes fokot csökkentjük;
• Óvatosan hajtsa végre az átalakításokat, hogy megkapja a $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ alakú egyenlőtlenséget. Természetesen a $x$ és $n$ változók helyett lehetnek sokkal összetettebb függvények is, de a jelentés nem fog változni;
• Húzd át a fokok alapjait. Ebben az esetben az egyenlőtlenség jele megváltozhat, ha az alap $a \lt 1$.

Valójában ez egy univerzális algoritmus minden ilyen egyenlőtlenség megoldására. És minden más, amit ebben a témában elmondanak, csak konkrét technikák és trükkök, amelyek leegyszerűsítik és felgyorsítják az átalakulást. Most egy ilyen technikáról fogunk beszélni. :)

Racionalizálási módszer

Tekintsük az egyenlőtlenségek egy másik halmazát:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9)) \jobbra))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(igazítás)\]

Szóval mi olyan különleges bennük? Könnyűek. Bár, állj meg! A π számot emeljük valamilyen hatványra? Miféle ostobaság?

Hogyan lehet a $2\sqrt(3)-3$ számot hatványra emelni? Vagy $3-2\sqrt(2)$? A problémás írók nyilvánvalóan túl sok Hawthornt ittak, mielőtt leültek dolgozni. :)

Valójában semmi ijesztő ezekben a feladatokban. Hadd emlékeztesselek: az exponenciális függvény a $((a)^(x))$ formájú kifejezés, ahol az $a$ alap bármely pozitív szám egy kivételével. A π szám pozitív – ezt már tudjuk. A $2\sqrt(3)-3$ és a $3-2\sqrt(2)$ számok is pozitívak – ez könnyen belátható, ha nullával hasonlítja össze őket.

Kiderült, hogy mindezeket az „ijesztő” egyenlőtlenségeket nem oldják meg másként, mint a fent tárgyalt egyszerűek? És ugyanúgy megoldódnak? Igen, ez teljesen igaz. Példájuk alapján azonban egy olyan technikát szeretnék figyelembe venni, amely nagymértékben időt takarít meg az önálló munkára és a vizsgákra. Szó lesz a racionalizálás módszeréről. Szóval figyelem:

Bármely $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ formájú exponenciális egyenlőtlenség egyenértékű a $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \) egyenlőtlenséggel jobbra) \gt 0 $.

Ez az egész módszer :) Gondoltad volna, hogy lesz valami más játék? Semmi ilyesmi! De ez az egyszerű tény, szó szerint egy sorban leírva, nagyban leegyszerűsíti a munkánkat. Nézd meg:

\[\begin(mátrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \jobbra) \jobbra)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(mátrix)\]

Tehát nincs több exponenciális függvény! És nem kell emlékeznie arra, hogy a jel megváltozik-e vagy sem. De felmerül egy új probléma: mit kezdjünk a \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] rohadt szorzóval? Nem tudjuk, mi a π szám pontos értéke. A kapitány azonban a nyilvánvalóra utal:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\kb. 3,14... \gt 3\Jobbra \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Általánosságban elmondható, hogy a π pontos értéke nem igazán vonatkozik ránk - csak az a fontos, hogy megértsük, hogy minden esetben $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. ez egy pozitív állandó, és ezzel oszthatjuk az egyenlőtlenség mindkét oldalát:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(igazítás)\]

Mint látható, egy bizonyos pillanatban mínusz eggyel kellett osztanunk - és az egyenlőtlenség előjele megváltozott. A végén kibővítettem a másodfokú trinomit Vieta tételével - nyilvánvaló, hogy a gyökök egyenlőek $((x)_(1))=5$ és $((x)_(2))=-1$ . Ezután mindent a klasszikus intervallum módszerrel oldanak meg:

Minden pontot eltávolítunk, mert az eredeti egyenlőtlenség szigorú. Minket a negatív értékű régió érdekel, ezért a válasz $x\in \left(-1;5 \right)$. Ez a megoldás. :)

Térjünk át a következő feladatra:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Itt általában minden egyszerű, mert a jobb oldalon van egy egység. És ne feledjük, hogy az egy tetszőleges szám, amelyet nulla hatványra emelünk. Még akkor is, ha ez a szám irracionális kifejezés a bal oldalon:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \jobbra))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \jobbra))^(0)); \\\vége(igazítás)\]

Nos, ésszerűsítsük:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Már csak a jelek kitalálása van hátra. A $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ faktor nem tartalmazza a $x$ változót - ez csak egy konstans, és meg kell találnunk az előjelét. Ehhez vegye figyelembe a következőket:

\[\begin(mátrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \jobbra)=0 \\\end(mátrix)\]

Kiderült, hogy a második tényező nem csak egy állandó, hanem egy negatív állandó! És ezzel osztva az eredeti egyenlőtlenség előjele az ellenkezőjére változik:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(igazítás)\]

Most minden teljesen nyilvánvalóvá válik. A jobb oldali négyzetháromság gyökei: $((x)_(1))=0$ és $((x)_(2))=2$. Jelöljük őket a számegyenesen, és megnézzük a $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ függvény előjeleit:

A pluszjellel jelölt intervallumokra vagyunk kíváncsiak. Nincs más hátra, mint leírni a választ:

Térjünk át a következő példára:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \) jobb))^(16-x))\]

Nos, itt minden teljesen nyilvánvaló: az alapok ugyanannyi hatványt tartalmaznak. Ezért mindent röviden leírok:

\[\begin(mátrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(mátrix)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \jobbra))) \gt ((3)^(-2\cdot \ left(16-x \right))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(igazítás)\]

Amint látható, a transzformációs folyamat során negatív számmal kellett szorozni, így az egyenlőtlenség előjele megváltozott. A legvégén ismét alkalmaztam Vieta tételét a másodfokú trinomiális faktorálására. Ennek eredményeként a válasz a következő lesz: $x\in \left(-8;4 \right)$ - ezt bárki ellenőrizheti egy számegyenes rajzolásával, a pontok megjelölésével és a jelek megszámlálásával. Közben áttérünk a „halmazunk” utolsó egyenlőtlenségére:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Mint látható, a bázison ismét egy irracionális szám, a jobb oldalon pedig ismét egy egység található. Ezért az exponenciális egyenlőtlenségünket a következőképpen írjuk át:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \) jobb))^(0))\]

Racionalizálást alkalmazunk:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \jobbra)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \jobbra) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \jobbra)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(igazítás)\ ]

Az azonban teljesen nyilvánvaló, hogy $1-\sqrt(2) \lt 0$, mivel $\sqrt(2)\kb 1,4... \gt 1$. Ezért a második tényező ismét egy negatív állandó, amellyel az egyenlőtlenség mindkét oldala felosztható:

\[\begin(mátrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \jobbra)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(mátrix)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(igazítás)\]

Költözz másik bázisra

Külön probléma az exponenciális egyenlőtlenségek megoldása során a „helyes” alap keresése. Sajnos egy feladatnál első pillantásra nem mindig egyértelmű, hogy mit vegyünk alapul, és ennek mértéke szerint mit kell tenni.

De ne aggódj: itt nincs varázslat vagy „titkos” technológia. A matematikában minden olyan készség, amely nem algoritmizálható, könnyen fejleszthető gyakorlással. Ehhez azonban különböző bonyolultságú problémákat kell megoldania. Például így:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ vége(igazítás)\]

Nehéz? Ijedős? Könnyebb, mint egy csirkét az aszfalton ütni! Próbáljuk meg. Első egyenlőtlenség:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Nos, szerintem itt minden világos:

Átírjuk az eredeti egyenlőtlenséget, mindent kettes alapra redukálva:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Jobbra \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Igen, igen, jól hallottad: csak a fent leírt racionalizálási módszert alkalmaztam. Most óvatosan kell dolgoznunk: van egy tört-racionális egyenlőtlenségünk (ennek van egy változója a nevezőben), ezért mielőtt bármit nullával egyenlővé tennénk, mindent közös nevezőre kell hoznunk, és meg kell szabadulnunk az állandó tényezőtől. .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(igazítás)\]

Most a standard intervallum módszert használjuk. A számláló nullái: $x=\pm 4$. A nevező csak akkor megy nullára, ha $x=0$. Összesen három pontot kell bejelölni a számegyenesen (minden pont ki van tűzve, mert az egyenlőtlenség jele szigorú). Kapunk:

Ahogy sejtheti, az árnyékolás azokat az intervallumokat jelöli, amelyeknél a bal oldali kifejezés negatív értékeket vesz fel. Ezért a végső válasz egyszerre két intervallumot fog tartalmazni:

Az intervallumok végeit nem tartalmazza a válasz, mert az eredeti egyenlőtlenség szigorú volt. A válasz további ellenőrzésére nincs szükség. Ebben a tekintetben az exponenciális egyenlőtlenségek sokkal egyszerűbbek, mint a logaritmikusok: nincs ODZ, nincsenek korlátozások stb.

Térjünk át a következő feladatra:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Itt sincs semmi probléma, hiszen már tudjuk, hogy $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, így az egész egyenlőtlenség a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Jobbra ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Figyelem: a harmadik sorban úgy döntöttem, hogy nem vesztegetem az időt apróságokra, és azonnal mindent elosztok (-2)-vel. Minul került az első zárójelbe (most mindenhol pluszok vannak), kettőt pedig konstans tényezővel csökkentették. Pontosan ezt kell tennie, amikor valódi számításokat készít független és tesztmunkához – nem kell minden műveletet és átalakítást közvetlenül leírnia.

Ezután az intervallumok ismert módszere lép működésbe. Számláló nullák: de nincsenek. Mert a diszkrimináns negatív lesz. Viszont a nevező csak akkor áll vissza, ha $x=0$ - ugyanúgy, mint legutóbb. Nos, egyértelmű, hogy a $x=0$-tól jobbra a tört pozitív értékeket vesz fel, balra pedig negatív értékeket. Mivel minket a negatív értékek érdekelnek, a végső válasz: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

Mit kell tenni a tizedes törtekkel az exponenciális egyenlőtlenségekben? Így van: szabaduljon meg tőlük, alakítsa át őket közönségessé. Itt fogjuk lefordítani:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\jobbra nyíl ((\bal(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Jobbra ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)) (4)\jobbra)^(x)). \\\vége(igazítás)\]

Mit kaptunk tehát az exponenciális függvények alapjaiban? És kaptunk két kölcsönösen fordított számot:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\jobbra nyíl ((\left(\frac(25)(4) \ jobb))^(x))=((\bal(((\bal(\frac(4)(25) \jobb))^(-1)) \jobb))^(x))=((\ balra(\frac(4)(25) \jobbra))^(-x))\]

Így az eredeti egyenlőtlenség a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25)) \jobbra))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\vége(igazítás)\]

Természetesen a hatványok azonos bázisú szorzásakor a kitevőik összeadódnak, ami a második sorban történt. Ezen kívül a jobb oldali egységet képviseltük, hatalomként is a 4/25-ös alapban. Már csak az ésszerűsítés marad hátra:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Vegye figyelembe, hogy $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, azaz. a második tényező egy negatív állandó, és ezzel osztva az egyenlőtlenség előjele megváltozik:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Jobbra x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Végül az utolsó egyenlőtlenség a jelenlegi „halmazból”:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Elvileg itt is egyértelmű a megoldás ötlete: az egyenlőtlenségben szereplő összes exponenciális függvényt a „3-as” bázisra kell redukálni. De ehhez egy kicsit trükköznie kell a gyökerekkel és az erőkkel:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\vége(igazítás)\]

Ezeket a tényeket figyelembe véve az eredeti egyenlőtlenség a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\jobbra))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\vége(igazítás)\]

Ügyeljen a számítások 2. és 3. sorára: mielőtt bármit is tenne az egyenlőtlenséggel, feltétlenül hozza azt a formába, amelyről az óra elején beszéltünk: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Mindaddig, amíg néhány baloldali tényező, további állandók stb. vannak a bal vagy a jobb oldalon, nem hajtható végre az indokok racionalizálása vagy „áthúzása”.! Számtalan feladatot végeztek el hibásan, mert nem értik ezt az egyszerű tényt. Magam is folyamatosan figyelem ezt a problémát tanítványaimmal, amikor még csak most kezdjük az exponenciális és logaritmikus egyenlőtlenségek elemzését.

De térjünk vissza a feladatunkhoz. Próbáljunk meg ezúttal racionalizálás nélkül. Emlékezzünk: a fokszám alapja nagyobb, mint egy, így a hármasokat egyszerűen át lehet húzni - az egyenlőtlenség jele nem változik. Kapunk:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(igazítás)\]

Ez minden. Végső válasz: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Stabil kifejezés elkülönítése és változó cseréje

Befejezésül négy további exponenciális egyenlőtlenség megoldását javaslom, ami a felkészületlen hallgatók számára már így is elég nehéz. Ahhoz, hogy megbirkózzon velük, emlékeznie kell a diplomákkal való munka szabályaira. Különösen a közös tényezők zárójelbe helyezése.

De a legfontosabb dolog az, hogy megtanuljuk megérteni, hogy pontosan mit lehet kivenni a zárójelekből. Az ilyen kifejezést stabilnak nevezik - új változóval jelölhető, és így megszabadulhat az exponenciális függvénytől. Tehát nézzük a feladatokat:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(igazítás)\]

Kezdjük a legelső sorral. Írjuk ezt az egyenlőtlenséget külön:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Vegye figyelembe, hogy $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, tehát a jobb oldali oldala átírható:

Figyeljük meg, hogy az egyenlőtlenségben nincs más exponenciális függvény, kivéve a $((5)^(x+1))$. És általában a $x$ változó sehol máshol nem jelenik meg, ezért vezessünk be egy új változót: $((5)^(x+1))=t$. A következő konstrukciót kapjuk:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(igazítás)\]

Visszatérünk az eredeti változóhoz ($t=((5)^(x+1))$), és ugyanakkor ne feledjük, hogy 1=5 0 . Nekünk van:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\vége(igazítás)\]

Ez a megoldás! Válasz: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Térjünk át a második egyenlőtlenségre:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Itt minden ugyanaz. Vegye figyelembe, hogy $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Ezután a bal oldalt át lehet írni:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \jobbra. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\vége(igazítás)\]

Körülbelül így kell megoldást készíteni valódi tesztekhez és önálló munkához.

Nos, próbáljunk meg valami bonyolultabbat. Például itt van az egyenlőtlenség:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Mi itt a probléma? Először is, a bal oldali exponenciális függvények alapjai különböznek: 5 és 25. Azonban 25 = 5 2, tehát az első tag átalakítható:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(igazítás) )\]

Mint látható, először mindent ugyanarra az alapra hoztunk, majd azt vettük észre, hogy az első tag könnyen redukálható a másodikra ​​- csak bővíteni kell a kitevőt. Most már nyugodtan bevezethet egy új változót: $((5)^(2x+2))=t$, és a teljes egyenlőtlenség a következőképpen lesz átírva:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(igazítás)\]

És még egyszer: semmi nehézség! Végső válasz: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Térjünk át a végső egyenlőtlenségre a mai leckében:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Az első dolog, amire figyelnie kell, természetesen az első hatvány alapjában lévő tizedes tört. Meg kell szabadulni tőle, és ugyanakkor az összes exponenciális függvényt ugyanarra az alapra kell vinni - a „2” számra:

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Jobbra ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\jobbra nyíl ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \jobbra))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(igazítás)\]

Remek, megtettük az első lépést – minden ugyanarra az alapra vezetett. Most ki kell választania egy stabil kifejezést. Vegye figyelembe, hogy $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Ha bevezetünk egy új változót $((2)^(4x+6))=t$, akkor az eredeti egyenlőtlenség a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\vége(igazítás)\]

Természetesen felmerülhet a kérdés: hogyan fedeztük fel, hogy 256 = 2 8? Sajnos itt csak a kettő (és egyben a három és az öt) hatványait kell ismerni. Nos, vagy osszuk el a 256-ot 2-vel (lehet osztani, hiszen a 256 páros szám), amíg meg nem kapjuk az eredményt. Valahogy így fog kinézni:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Ugyanez a helyzet hárommal (a 9, 27, 81 és 243 számok a fokszámai), és a héttel (a 49 és 343 számokat is jó lenne megjegyezni). Nos, az ötösnek is vannak „szép” diplomái, amelyeket tudnod kell:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\vége(igazítás)\]

Természetesen, ha kívánja, ezeket a számokat visszaállíthatja az elméjében, ha egyszerűen egymás után megszorozza őket. Ha azonban több exponenciális egyenlőtlenséget kell megoldania, és mindegyik következő nehezebb, mint az előző, akkor az utolsó dolog, amire gondolni kell, néhány szám hatványa. És ebben az értelemben ezek a problémák összetettebbek, mint a „klasszikus” egyenlőtlenségek, amelyeket az intervallum módszerrel oldanak meg.

Remélem, ez a lecke segített a téma elsajátításában. Ha valami nem világos, kérdezze meg a megjegyzésekben. És találkozunk a következő órákon. :)