Pozitivní definitivní kvadratické formy

Definice... Kvadratický od n nazývá se neznámo pozitivně definovanépokud je jeho hodnost rovna kladnému indexu setrvačnosti a rovná se počtu neznámých.

Teorém.Kvadratická forma je kladná, pokud a pouze pokud má kladné hodnoty na nenulové množině hodnot proměnných.

Důkaz.Nechte kvadratickou podobu nedegenerovanou lineární transformací neznámých

normalizováno

.

Pro libovolnou nenulovou sadu proměnných hodnot alespoň jedno z čísel nenulové, tj. ... Nutnost věty je prokázána.

Předpokládejme, že kvadratická forma má kladné hodnoty na libovolné nenulové množině proměnných, ale její pozitivní index setrvačnosti je nedegenerovanou lineární transformací neznámých

přivedeme ji do své normální podoby. Bez ztráty obecnosti můžeme předpokládat, že v této normální formě je čtverec poslední proměnné buď chybějící, nebo je v ní zahrnut znaménko mínus, tj. kde nebo. Předpokládejme, že se jedná o nenulovou množinu hodnot proměnných získaných v důsledku řešení soustavy lineárních rovnic

V tomto systému se počet rovnic rovná počtu proměnných a determinantem systému je nenulová hodnota. Podle Cramerovy věty má systém jedinečné řešení a je nenulové. Pro tuto sadu. Rozpor s podmínkou. Docházíme k rozporu s předpokladem, který prokazuje dostatečnost věty.

Pomocí tohoto kritéria nelze z koeficientů zjistit, zda je kvadratická forma pozitivně definována. Odpověď na tuto otázku je dána další větou, pro jejíž formulaci představujeme ještě jeden koncept. Hlavní diagonální nezletilí matice - jedná se o nezletilé osoby umístěné v levém horním rohu:

, , , … , .

Teorém.Kvadratická forma je pozitivní, pokud a pouze pokud jsou všichni její hlavní diagonální nezletilí pozitivní.

Důkazmetodou úplné matematické indukce čísla nproměnné kvadratické formy F.

Indukční hypotéza. Předpokládejme, že pro kvadratické formy s menším počtem proměnných n prohlášení je pravdivé.

Zvažte kvadratickou podobu nproměnné. Pojďme v jedné závorce shromáždit všechny pojmy, které obsahují. Zbývající výrazy tvoří kvadratický tvar v proměnných. Podle indukční hypotézy je prohlášení pravdivé.

Předpokládejme, že kvadratická forma je pozitivní. Pak je kvadratická forma také pozitivní. Pokud předpokládáme, že tomu tak není, pak existuje nenulová sada hodnot proměnných , pro který a odpovídajícím způsobem , a to je v rozporu se skutečností, že kvadratická forma je pozitivní definitivní. Indukční hypotézou jsou všichni hlavní diagonální nezletilí kvadratické formy pozitivní, tj. všichni první hlavní nezletilí kvadratické formy f pozitivní. Poslední major menší kvadratické formy – to je determinant jeho matice. Tento determinant je pozitivní, protože jeho znaménko se kryje se znaménkem matice jeho normální formy, tj. se znaménkem determinantu matice identity.

Nechť jsou všechny hlavní diagonální nezletilé kvadratické formy pozitivní. Poté jsou všechny hlavní diagonální nezletilé kvadratické formy z rovnosti ... Podle indukční hypotézy je kvadratická forma pozitivní definitivní, existuje tedy nedegenerovaná lineární transformace proměnných, která formu dostává do podoby součtu čtverců nových proměnných. Tuto lineární transformaci lze dokončit nedegenerovanou lineární transformací všech proměnných nastavením. Kvadratická forma je touto transformací do formy redukována

Kvadratická formaf (x 1, x 2, ..., x n) n proměnných se nazývá součet, přičemž každý z nich je buď čtvercem jedné z proměnných, nebo součinem dvou různých proměnných, přijatých s určitým koeficientem: f (x 1, x 2, ..., x n) \u003d (ij \u003d a ji).

Matice A složená z těchto koeficientů se nazývá matice kvadratické formy. To je vždy symetrickýmatice (tj. maticová symetrie kolem hlavní úhlopříčky, ij \u003d a ji).

V maticovém zápisu je kvadratická forma f (X) \u003d X T AX, kde

Vskutku

Napíšme například kvadratickou formu ve formě matice.

Abychom to dokázali, najdeme matici kvadratické formy. Jeho diagonální prvky se rovnají koeficientům čtverců proměnných a zbývající prvky se rovnají polovině odpovídajících koeficientů kvadratické formy. proto

Nechť je maticový sloupec proměnných X získán nedegenerovanou lineární transformací maticového sloupce Y, tj. X \u003d CY, kde С je nedegenerovaná matice řádu n. Pak kvadratická forma f (X) \u003d XT AX \u003d (CY) TA (CY) \u003d (YTCT) A (CY) \u003d YT (CT AC) Y.

Takže s nedegenerovanou lineární transformací C má matice kvadratické formy tvar: A * \u003d C T AC.

Například najdeme kvadratickou formu f (y 1, y 2) získanou z kvadratické formy f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 2 + 4 x 1 x 2 - 3x 2 2 lineární transformací.

Kvadratická forma se nazývá kanonický(Má to kanonický pohled) pokud všechny jeho koeficienty a ij \u003d 0 pro i ≠ j, tj. f (x 1, x 2, ..., x n) \u003d a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn xn 2 \u003d.

Jeho matice je diagonální.

Teorém(zde není uveden žádný důkaz). Jakákoli kvadratická forma může být redukována na kanonickou formu pomocí nedegenerované lineární transformace.

Například pojďme do kanonického tvaru kvadratický tvar f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Nejprve vyberte kompletní čtverec s proměnnou x 1:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2 x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3 x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5x2 2 - x 2 x 3.

Nyní vybereme úplný čtverec s proměnnou x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) - (5/100) x 3 \u003d \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Pak nedegenerovaná lineární transformace y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 a y 3 \u003d x 3 redukuje tuto kvadratickou formu na kanonickou formu f (y 1, y 2, y 3) \u003d 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20) y 3 2.

Všimněte si, že kanonická forma kvadratické formy je stanovena dvojznačně (jedna a tatáž kvadratická forma může být redukována na kanonickou formu různými způsoby 1). Kanonické formy získané různými způsoby však mají řadu společných vlastností. Zejména počet termínů s kladnými (zápornými) koeficienty kvadratické formy nezávisí na způsobu redukování formy na tuto formu (například v uvažovaném příkladu budou vždy dva záporné a jeden kladný koeficient). Tato vlastnost se nazývá zákon setrvačnosti kvadratických forem.

Ověřme to snížením stejné kvadratické formy na kanonickou formu jiným způsobem. Začněme transformací s proměnnou x 2: f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3 x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d -3 (x 2 2 - - 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \u003d \u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \u003d f (y 1, y 2, y 3) \u003d -3y 1 2 - -3y 2 2 + 2y3 2, kde y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6) x 3 a y 3 \u003d x 1. Zde je kladný koeficient 2 pro y 3 a dva záporné koeficienty (-3) pro y 1 a y 2 (a při použití jiné metody jsme dostali kladný koeficient 2 pro y 1 a dva záporné - (-5) pro y 2 a (-1/20) pro y 3 ).

Je třeba také poznamenat, že se nazývá hodnost matice kvadratické formy hodnost kvadratické formy, se rovná počtu nenulových koeficientů kanonického tvaru a nemění se při lineárních transformacích.

Kvadratická forma f (X) se nazývá pozitivně(záporně)určitýpokud pro všechny hodnoty proměnných, které nejsou současně nulové, je to pozitivní, tj. f (X)\u003e 0 (záporné, tj. f (X)< 0).

Například kvadratická forma f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 je pozitivní, protože je součet čtverců a kvadratická forma f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 je záporná, protože představuje, že může být reprezentována ve formě f2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

Ve většině praktických situací je poněkud obtížnější stanovit definitivnost kvadratické formy, proto se k tomu používá jedna z následujících vět (budeme je formulovat bez důkazů).

Teorém... Kvadratická forma je pozitivní (negativní) definitivní, a to pouze tehdy, jsou-li všechny vlastní hodnoty její matice pozitivní (negativní).

Věta (Sylvesterovo kritérium)... Kvadratická forma je kladná, pokud a pouze pokud jsou všichni hlavní nezletilí matice této formy pozitivní.

Major (rohový) menšík-tý řád matice A-tý řád se nazývá determinant matice složené z prvních k řádků a sloupců matice А ().

Všimněte si, že u negativních jednoznačných kvadratických forem se musí střídat znaky hlavních nezletilých a nezletilých 1. řádu.

Například prozkoumejme kvadratický tvar f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 z hlediska definitivity znaku.

\u003d (2 - 3) * * (3 - 3) - 4 \u003d (6 - 2 3 - 3 + 2 + 2) - 4 \u003d 2 - 5 + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17; ... Kvadratická forma je proto pozitivní definitivní.

Metoda 2. Hlavní minorita prvního řádu matice A  1 \u003d a 11 \u003d 2\u003e 0. Hlavní minorita druhého řádu 2 \u003d \u003d 6 - 4 \u003d 2\u003e 0. Kvantitativní forma je tedy podle Sylvesterova kritéria kladná.

Podívejme se na další kvadratickou podobu, pokud jde o jednoznačnost znaků, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Vytvořme matici kvadratické formy A \u003d. Charakteristická rovnice bude mít tvar \u003d (-2-) * * (- 3-) - 4 \u003d (6 + 2 + 3 +  2) - 4 \u003d  2 + 5 + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17 ; ... Kvadratická forma je proto negativní definitivní.

Metoda 2. Hlavní menší z prvního řádu matice A  1 \u003d a 11 \u003d \u003d -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Podle Sylvesterova kritéria je tedy kvadratická forma záporná určitá (znaky hlavních nezletilých se střídají, počínaje mínusem).

A jako jeden další příklad, prozkoumejme kvadratickou formu f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 z hlediska definitivity znaku.

Metoda 1. Vytvořme matici kvadratické formy A \u003d. Charakteristická rovnice bude mít tvar \u003d (2-) * * (- 3-) - 4 \u003d (-6 - 2 + 3 +  2) - 4 \u003d  2 + - 10 \u003d 0; D \u003d 1 + 40 \u003d 41; ... Jedno z těchto čísel je záporné a druhé kladné. Známky vlastních čísel jsou odlišné. Kvadratická forma tedy nemůže být ani negativní ani pozitivní definitivní, tj. tato kvadratická forma není definitivní (může nabývat hodnot jakéhokoli znaku).

Metoda 2. Hlavní menší z prvního řádu matice A  1 \u003d a 11 \u003d 2\u003e 0. Hlavní menší z druhého řádu 2 \u003d \u003d -6 - 4 \u003d -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Považovaná metoda redukce kvadratické formy na kanonickou formu je vhodná, když se setkáte s nenulovými koeficienty pro čtverce proměnných. Pokud tam nejsou, je stále možné provést transformaci, ale musíte použít jiné techniky. Například nechť f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 x 2 \u003d x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 \u003d

\u003d (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2; 4x 1 x 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - (x 1 - x 2) 2; f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 x 2 \u003d (1/2) * * (x 1 + x 2) ) 2 - (1/2) * (x 1 - x 2) 2 \u003d f (y 1, y 2) \u003d (1/2) y 1 2 - (1/2) y2 2, kde y 1 \u003d x 1 + x 2, ay 2 \u003d x 1 - x 2.

Kvadratické formy.
Definice tvaru formulářů. Sylvesterovo kritérium

Přídavné jméno „kvadratický“ okamžitě naznačuje, že něco zde souvisí s čtvercem (druhý stupeň), a velmi brzy se to „něco“ naučíme a jaká je forma. Ukázalo se to přímo :)

Vítejte v mé nové lekci a jako okamžité rozcvičení se podíváme na pruhovanou uniformu lineární. Lineární tvar proměnné volal homogenní polynom 1. stupně:

- některá konkrétní čísla * (předpokládáme, že alespoň jeden z nich je nenulový), a - proměnné, které mohou nabývat libovolných hodnot.

* V rámci tohoto tématu budeme uvažovat pouze reálná čísla .

Už v lekci jsme se setkali s termínem „homogenní“ homogenní systémy lineárních rovnica v tomto případě to znamená, že polynom nemá přidanou konstantu.

Například: - lineární forma dvou proměnných

Teď je forma kvadratická. Kvadratická forma proměnné volal homogenní polynom 2. stupně, každý z nich obsahuje čtverec proměnné nebo pár součin proměnných. Například kvadratická forma dvou proměnných je následující:

Pozornost! Toto je standardní položka a nemusíte v něm nic měnit! Navzdory „děsivému“ vzhledu je zde vše jednoduché - dvojité předplatné konstant signalizuje, které proměnné jsou obsaženy v tomto nebo tomhle termínu:
- tento výraz obsahuje produkt a (čtverec);
- tady je práce;
- a tady je práce.

- Ihned očekávám hrubou chybu, když ztratí „mínus“ koeficientu a neuvědomím si, že patří k tomuto výrazu:

Někdy je v duchu „školní“ design, ale jen občas. Mimochodem, všimněte si, že zde uvedené konstanty nám vůbec nic neříkají, a proto je obtížnější zapamatovat si „snadný záznam“. Obzvláště když existuje více proměnných.

A kvadratická forma tří proměnných již obsahuje šest výrazů:

... proč jsou „dva“ faktory uvedeny ve „smíšených“ termínech? To je výhodné a brzy bude jasné proč.

Zapíšeme však obecný vzorec, je vhodné jej uspořádat pomocí „listu“:

- pečlivě studujeme každý řádek - s tím není nic špatného!

Kvadratická forma obsahuje termíny se čtverci proměnných a termíny s jejich spárovanými produkty (cm. kombinatorický kombinovaný vzorec) ... Nic jiného - žádná "osamělá x" a žádná přidaná konstanta (pak nedostanete kvadratickou podobu, ale nehomogenní polynom stupně 2).

Maticový zápis kvadratické formy

V závislosti na hodnotách může uvažovaná forma nabývat kladných i záporných hodnot a totéž platí pro jakýkoli lineární tvar - pokud alespoň jeden z jeho koeficientů je nenulový, pak může být kladný i záporný (v závislosti na hodnoty).

Tato forma se nazývá střídavě... A pokud je s lineárním tvarem vše transparentní, pak je situace s kvadratickým tvarem mnohem zajímavější:

Je zcela jasné, že tato forma může nabývat významu jakéhokoli znaku, kvadratická forma se také může střídat.

Nemusí to být:

- vždy, pokud se současně nerovná nule.

- pro každého vektor kromě nuly.

A obecně řečeno,pokud vůbec nenulový vektor, pak se nazývá kvadratická forma pozitivně definitivní; pokud - pak negativně definované.

A všechno by bylo v pořádku, ale jistota kvadratické formy je viditelná pouze na jednoduchých příkladech a tato viditelnost je již ztracena s nepatrnou komplikací:
– ?

Lze předpokládat, že forma je definována pozitivně, ale je to opravdu tak? Co když existují hodnoty, při kterých je menší než nula?

Na tomto účtu teorém: Pokud všichni vlastní hodnoty matice kvadratické formy jsou pozitivní * , pak je definována pozitivně. Pokud jsou všechny negativní, pak negativní.

* Teoreticky je prokázáno, že všechny vlastní hodnoty skutečné symetrické matice platný

Napíšme matici výše uvedeného tvaru:
az rovnice Najdi ji vlastní hodnoty:

Řešíme staré dobré kvadratická rovnice:

takže forma je definována pozitivně, tj. pro nenulové hodnoty je větší než nula.

Zdá se, že uvažovaná metoda funguje, ale existuje jeden velký VUT v Brně. Hledání vlastních čísel pro matici tři po třech je dlouhý a nepříjemný úkol; s velkou pravděpodobností získáte polynom 3. stupně s iracionálními kořeny.

Jak být? Existuje snadnější způsob!

Sylvesterovo kritérium

Ne, ne Sylvester Stallone :) Nejprve mi dovolte, abych vám připomněl co rohové nezletilé matice. to determinanty které „vyrůstají“ z levého horního rohu:

a poslední se přesně rovná determinantu matice.

Nyní, ve skutečnosti, kritérium:

1) Je definována kvadratická forma pozitivně pokud a pouze v případě, že VŠECHNY jeho nezletilé osoby jsou větší než nula :.

2) Je definována kvadratická forma záporně pokud a pouze pokud se jeho nezletilí rohu střídají se znaménky, zatímco 1. nezletilý je menší než nula: ,, jestliže - sudý nebo, pokud - lichý.

Pokud má alespoň jedna úhlová menší osoba opačné znaménko, pak forma střídavě... Pokud úhlové nezletilé "to" znamení, ale mezi nimi je nula, pak je to zvláštní případ, který budu analyzovat o něco později, poté, co klikneme na častější příklady.

Pojďme analyzovat rohové nezletilé matice :

A to nám okamžitě říká, že forma není negativně definována.

Výstup: všechny rohové nezletilé osoby jsou větší než nula, takže tvar je definována pozitivně.

Existuje rozdíl s metodou vlastních čísel? ;)

Napíšme tvarovou matici z Příklad 1:

jeho první roh menší a druhý , z čehož vyplývá, že se forma střídá, tj. v závislosti na hodnotách může mít kladné i záporné hodnoty. To je však zřejmé.

Vezměte formu a její matici Příklad 2:

tady to nemůžete přijít bez nějakého nahlédnutí. Ale nezajímá nás Sylvesterovo kritérium:
forma tedy rozhodně není negativní.

, a rozhodně ne pozitivní (protože všichni rohoví nezletilí musí být pozitivní).

Výstup: formulář se střídá.

Příklady zahřívání pro samo řešení:

Příklad 4

Prověřte kvadratické formy pro jednoznačnost

a)

V těchto příkladech je vše hladké (viz konec lekce), ale ve skutečnosti je takový úkol dokončen sylvesterovo kritérium nemusí stačit.

Jde o to, že existují „okrajové“ případy, konkrétně: pokud existují nenulový vektor, pak je definován tvar nezápornýpokud - pak není pozitivní... Tyto formy mají nenulový vektory, pro které.

Zde můžete citovat takový „akordeon tlačítka“:

Zvýraznění plný čtverec, okamžitě to vidíme nezápornost forma :, navíc se rovná nule a pro každý vektor se stejnými souřadnicemi, například: .

Zrcadlový příklad není pozitivní určitá forma:

a ještě triviální příklad:
- zde se tvar rovná nule pro každý vektor, kde je libovolné číslo.

Jak identifikovat nezáporné nebo nepozitivní formy?

K tomu potřebujeme koncept hlavní nezletilí matice. Major menší je menší složený z prvků, které jsou v průsečíku řádků a sloupců se stejným počtem. Matice má tedy dva hlavní nezletilé 1. řádu:
(prvek je na průsečíku 1. řádku a 1. sloupce);
(prvek je na průniku 2. řádku a 2. sloupce),

a jedna hlavní menší z 2. řádu:
- skládá se z prvků 1., 2. řádku a 1., 2. sloupce.

Matice "tři po tři" existuje sedm hlavních nezletilých, a tady musíte mávat bicepsy:
- tři drobné klíče 1. řádu,
tři drobné klíče 2. řádu:
- skládá se z prvků 1., 2. řádku a 1., 2. sloupce;
- skládá se z prvků 1., 3. řádku a 1., 3. sloupce;
- skládá se z prvků 2., 3. řádku a 2., 3. sloupce,
a jedna menší z 3. řádu:
- skládá se z prvků 1., 2., 3. řádku a 1., 2. a 3. sloupce.
Úkol porozumění: zapište všechny hlavní nezletilé matice .
Zkontrolujeme na konci hodiny a pokračujeme.

Schwarzeneggerovo kritérium:

1) Je definována nenulová * kvadratická forma nezáporný a jen tehdy, pokud VŠECHNY jeho hlavní nezletilí nezáporný (větší nebo rovno nule).

* Nulová (degenerovaná) kvadratická forma má všechny koeficienty rovné nule.

2) Je definována nenulová kvadratická forma s maticí není pozitivnípokud a pouze pokud:
- hlavní nezletilí 1. řádu non-positive (menší nebo rovno nule);
- hlavní nezletilí 2. řádu nezáporný;
- hlavní nezletilí 3. řádu non-positive (střídání šlo);
…
- hlavní menší řád není pozitivnípokud - liché nebo nezápornýpokud - sudý.

Pokud alespoň jeden nezletilý má opačné znaménko, pak se forma střídá.

Podívejme se, jak funguje kritérium ve výše uvedených příkladech:

Vytvořme tvarovou matici a za prvé pojďme vypočítat úhlové nezletilé - co když je to definováno pozitivně nebo negativně?

Získané hodnoty nesplňují Sylvesterovo kritérium, ale druhou menší není negativní, a proto je nutné zkontrolovat druhé kritérium (v případě druhého kritéria nebude automaticky splněno, tj. okamžitě dojde k závěru o změně formuláře).

Hlavní nezletilí 1. řádu:
- pozitivní,
Major 2. řádu menší
- není negativní.

Tudíž VŠECHNY hlavní nezletilé osoby nejsou negativní, tedy forma nezáporný.

Napíšme matici formuláře , pro které evidentně není splněno Sylvesterovo kritérium. Ale také jsme neobdrželi opačné znaménka (protože oba rohoví nezletilí se rovnají nule). Kontrolujeme proto splnění nezáporného / nezáporného kritéria. Hlavní nezletilí 1. řádu:
- není pozitivní,
Major 2. řádu menší
- není negativní.

Podle Schwarzeneggerova kritéria (bod 2) tedy není forma definována pozitivně.

Nyní, plně vyzbrojený, pojďme analyzovat zábavnější problém:

Příklad 5

Prověřte kvadratickou podobu pro jednoznačnost

Tato forma je zdobena řádem "alfa", který se může rovnat libovolnému reálnému číslu. Ale to bude jen větší zábava, rozhodujeme se.

Nejprve si zapíšeme matici formy, mnoho z nich si už zvyklo na to ústně: on hlavní úhlopříčka klademe koeficienty na čtverce a na symetrická místa - na poloviční koeficienty odpovídajících „smíšených“ prací:

Vypočtěte úhlové nezletilé:

Rozbalím třetí determinant podél 3. řádku:

Koncept kvadratické formy. Kvadratická matice. Kánonická forma kvadratické formy. Lagrangeova metoda. Normální pohled na kvadratickou formu. Pořadí, index a podpis kvadratické formy. Pozitivní definitivní kvadratická forma. Kvadriky.

Koncept kvadratické formy: funkce ve vektorovém prostoru, daná homogenním polynomem druhého stupně v souřadnicích vektoru.

Kvadratický od nneznámý nazývá součet, z nichž každý je buď čtvercem jedné z těchto neznámých, nebo součinem dvou různých neznámých.

Kvadratická matice:Matice se v dané bázi nazývá maticí kvadratické formy. Pokud není charakteristika pole rovna 2, můžeme předpokládat, že matice kvadratického tvaru je symetrická, to znamená.

Napište matici kvadratického tvaru:

Proto,

Ve formě vektor-matice je kvadratická forma:

A, kde

Kánonická forma kvadratické formy: Kvadratická forma se nazývá kanonická, pokud vše tj.

Jakákoli kvadratická forma může být redukována na kanonickou formu pomocí lineárních transformací. V praxi se obvykle používají následující metody.

Lagrangeova metoda : sekvenční výběr úplných čtverců. Například, pokud

Poté se provede podobný postup s kvadratickou formou Pokud jsou v kvadratické podobě všechno kromě poté se po předběžné transformaci případ omezí na uvažovaný postup. Pokud tedy například uvedeme

Normální pohled na kvadratickou podobu: Normální kvadratická forma je kanonická kvadratická forma, ve které jsou všechny koeficienty +1 nebo -1.

Pořadí, index a podpis kvadratické formy:Podle hodnosti kvadratické formy A nazval hodnost matice A... Pozice kvadratické formy se nemodifikuje při nedegenerovaných transformacích neznámých.

Počet záporných koeficientů se nazývá index negativního tvaru.

Počet kladných termínů v kanonické podobě se nazývá pozitivní index setrvačnosti kvadratické formy, počet záporných členů se nazývá záporný index. Rozdíl mezi kladnými a zápornými indexy se nazývá kvadratický podpis

Pozitivní definitivní kvadratická forma: Skutečná kvadratická forma se nazývá kladné (záporné), pokud pro nějaké skutečné hodnoty proměnných, které nejsou současně rovny nule

. (36)

V tomto případě se matice také nazývá kladná (záporná).

Třída pozitivních definitivních (negativních definitivních) forem je součástí třídy nezáporných (respektive nez pozitivních) forem.

Kvadriky:Kvadric - n-rozměrný hypersurface in n+ 1-rozměrný prostor, definovaný jako množina nul polynomu druhého stupně. Pokud zadáte souřadnice ( x 1 , x 2 , x n +1) (v euklidovském nebo afinním prostoru) má obecná rovnice kvadrika tvar

Tato rovnice může být přepsána kompaktněji v maticovém zápisu:

kde x \u003d ( x 1 , x 2 , x n +1) je řádkový vektor, x T je transponovaný vektor, Q - matice velikosti ( n+1) × ( n+1) (předpokládá se, že alespoň jeden z jeho prvků je nenulový), P Je vektor řady a R Je konstanta. Nejčastěji jsou kvadriky považovány za reálná nebo komplexní čísla. Definici lze rozšířit na kvadriky v projektivním prostoru, viz níže.

Obecněji řečeno, množina nul systému polynomiálních rovnic je známa jako algebraická rozmanitost. Quadric je tedy (afinní nebo projektivní) algebraická varieta druhého stupně a kodimenze 1.

Rovinné a prostorové transformace.

Definujte transformaci roviny. Detekce pohybu. vlastnosti pohybu. Dva typy pohybů: pohyb prvního druhu a pohyb druhého druhu. Příklady pohybů. Analytické vyjádření pohybu. Klasifikace pohybů letadel (v závislosti na přítomnosti pevných bodů a invariantních čar). Skupina pohybů letadel.

Definice transformace roviny: Definice.Vyvolá se rovinná transformace, která zachovává vzdálenost mezi body hnutí (nebo pohybem) letadlo. Volá se transformace roviny afinníjestliže mapuje jakékoli tři body ležící na jedné přímce na tři body také ležící na jedné přímce a současně zachovává jednoduchý poměr tří bodů.

Detekce pohybu: jedná se o transformace tvarů, ve kterých se ukládají vzdálenosti mezi body. Jsou-li dvě postavy přesně vyrovnány navzájem pomocí pohybu, pak jsou tyto obrázky stejné a stejné.

Vlastnosti pohybu:jakýkoli pohyb roviny zachovávající orientaci je buď paralelní posun nebo rotace; jakýkoli pohyb roviny obrácený orientací je buď axiální symetrie nebo posuvná symetrie. Body ležící na přímce přecházejí během pohybu na body ležící na přímce a je zachováno pořadí jejich relativní polohy. Při pohybu se zachovají úhly mezi polořádky.

Dva typy pohybů: pohyb 1. druhu a pohyb 2. druhu: Pohyby prvního druhu jsou pohyby, které zachovávají orientaci základen určité postavy. Mohou být realizovány nepřetržitými pohyby.

Pohyby druhého druhu jsou pohyby, které mění orientaci základen opačně. Nelze je realizovat nepřetržitými pohyby.

Příklady pohybů prvního druhu jsou posun a rotace kolem přímky a pohyby druhého druhu jsou středová a zrcadlová symetrie.

Složení libovolného počtu pohybů prvního druhu je pohybem prvního druhu.

Složení sudého počtu pohybů druhého druhu je pohybem prvního druhu a složení lichého počtu pohybů druhého druhu je pohybem druhého druhu.

Příklady pohybů:Paralelní přenos. Nechť je daný vektor. Paralelní přenos do vektoru a se nazývá mapování roviny na sebe, ve kterém je každý bod M mapován do bodu Mi, že vektor MM1 je roven vektoru a.

Paralelní překlad je pohyb, protože je to mapování letadla na sebe, které zachovává vzdálenosti. Tento pohyb lze vizualizovat jako posun celé roviny ve směru daného vektoru a jeho délkou.

Otáčet se. Označme bod O ( střed otáčení) a nastavte úhel α ( úhel natočení) Rotace roviny kolem bodu O o úhel a se nazývá mapování roviny na sebe, ve kterém je každý bod M mapován do bodu Mi, kde OM \u003d OM1 a úhel MOM 1 je a. V tomto případě zůstává bod O na svém místě, to znamená, že je mapován do sebe, a všechny ostatní body se otáčejí kolem bodu O ve stejném směru - ve směru nebo proti směru hodinových ručiček (obrázek ukazuje otáčení proti směru hodinových ručiček).

Rotace je pohyb, protože je to mapování roviny k sobě, které zachovává vzdálenosti.

Analytické vyjádření pohybu: analytické spojení mezi souřadnicemi preimage a obrazem bodu má tvar (1).

Klasifikace pohybů letadel (v závislosti na přítomnosti pevných bodů a invariantních čar): Definice:

Bod roviny je invariantní (pevný), pokud se transformuje do sebe pod danou transformací.

Příklad: Při centrální symetrii je střed symetrie neměnný. Při otáčení je střed otočení neměnný. Při axiální symetrii je linie invariantní - osa symetrie je linie invariantních bodů.

Věta: Pokud pohyb nemá invariantní bod, pak má alespoň jeden invariantní směr.

Příklad: Paralelní přenos. Přímky rovnoběžné s tímto směrem jsou ve skutečnosti invariantní jako postava jako celek, ačkoli se netvoří invariantních bodů.

Věta: Pokud se paprsek pohybuje, paprsek se promítá do sebe, pak je tento pohyb buď identickou transformací nebo symetrií vzhledem k přímce obsahující tento paprsek.

Z tohoto důvodu je možné klasifikovat pohyby podle přítomnosti invariantních bodů nebo čísel.

Název hnutí	Invariantní body	Invariant linky
Pohyb prvního druhu.
1. - otočit	(uprostřed) - 0	ne
2. Transformace identity	všechny body letadla	vše rovně
3. Centrální symetrie	bod 0 - střed	všechny čáry procházející bodem 0
4. Paralelní přenos	ne	vše rovně
Pohyb II. Druhu.
5. Axiální symetrie.	soubor bodů	osa symetrie (přímka) všechny přímky

Skupina pohybů letadla: Důležitou roli v geometrii hrají skupiny samovyrovnávání postav. Pokud - nějaká postava v rovině (nebo ve vesmíru), pak můžeme uvažovat o souboru všech těch pohybů v rovině (nebo prostoru), ve kterých figura jde do sebe.

Tento zástup je skupina. Například pro rovnostranný trojúhelník skupina rovinných pohybů, které transformují trojúhelník na sebe, sestává z 6 prvků: rotace o úhly kolem bodu a symetrie kolem tří přímek.

Jsou znázorněny na obr. 1 s červenými čarami. Prvky skupiny zarovnání pravidelného trojúhelníku lze určit jiným způsobem. Abychom to objasnili, pojmenujme vrcholy pravidelného trojúhelníku čísly 1, 2, 3. Jakékoli samoosazení trojúhelníku převede body 1, 2, 3 do stejných bodů, ale vezme se v jiném pořadí, tj. lze běžně psát ve formě jedné z těchto závorek:

atd.

kde čísla 1, 2, 3 označují čísla těch vrcholů, do kterých vrcholy 1, 2, 3 procházejí v důsledku uvažovaného pohybu.

Projektivní prostory a jejich modely.

Koncept projektivního prostoru a modely projektivního prostoru. Základní fakta projektivní geometrie. Banda čar vystředěných v bodě O je modelem projekční roviny. Projektivní body. Prodloužená rovina je model projekční roviny. Model trojrozměrného afinního nebo euklidovského prostoru je modelem projektivního prostoru. Obrazy rovinných a prostorových útvarů v paralelním provedení.

Koncept projektivního prostoru a modely projektivního prostoru:

Projektivní prostor nad polem je prostor sestávající z přímek (jednorozměrných podprostorů) nějakého lineárního prostoru nad daným polem. Rovné prostory se nazývají tečky projektivní prostor. Tato definice se hodí k zobecnění libovolnému orgánu

Pokud má dimenzi, pak dimenze projektivního prostoru je číslo a projektivní prostor samotný je označen a vyvolán přidružením (pro indikaci je přijata notace).

Nazývá se přechod z vektorového prostoru dimenze do odpovídajícího projektivního prostoru projektivizace prostor.

Body lze popsat pomocí homogenních souřadnic.

Hlavní fakta projektivní geometrie:Projektivní geometrie je větev geometrie, která studuje projektivní roviny a prostory. Hlavním rysem projektivní geometrie je princip duality, který přidává elegantní symetrii mnoha návrhům. Projektivní geometrii lze studovat jak z čistě geometrického hlediska, tak z analytického (pomocí homogenních souřadnic) i salgebraického, přičemž projektivní rovina je považována za strukturu nad polem. Na skutečnou projektivní rovinu se často pohlíží jako na euklidovskou rovinu s přidáním „přímky v nekonečnu“.

Vzhledem k tomu, že vlastnosti čísel, se kterými se euklidovská geometrie zabývá, jsou metrický (specifické hodnoty úhlů, segmentů, ploch) a rovnocennost čísel odpovídá jejich shoda (tj. když mohou být obrázky převedeny do sebe pomocí pohybu se zachováním metrických vlastností), existuje více „hlubokých“ vlastností geometrických útvarů, které jsou zachovány při transformacích obecnějšího typu než pohyb. Projektivní geometrie studuje vlastnosti čísel, které jsou ve třídě invariantní projektivní transformacestejně jako samotné tyto transformace.

Projektivní geometrie doplňuje Euclidean poskytováním krásných a jednoduchých řešení mnoha problémů komplikovaných přítomností rovnoběžek. Projektivní teorie kónických řezů je obzvláště jednoduchá a elegantní.

K projektivní geometrii existují tři hlavní přístupy: nezávislá axiomatizace, doplněk k euklidovské geometrii a struktura nad polem.

Axiomatizace

Projektivní prostor lze definovat pomocí jiné sady axiomů.

Coxeter poskytuje následující:

1. Existuje čára a bod na ní není.

2. Každá řádka má alespoň tři body.

3. Přes dva body lze nakreslit přesně jednu přímku.

4. Pokud A, B, C, a D - různé body a AB a CD protínat se AC a BD protínat se.

5. Pokud ABC - rovina, pak není v rovině alespoň jeden bod ABC.

6. Dvě různé roviny protínají alespoň dva body.

7. Tři diagonální body úplného čtyřúhelníku nejsou kolineární.

8. Pokud jsou tři body na přímce X X

Projektivní rovina (bez třetího rozměru) je určena mírně odlišnými axiomy:

1. Přes dvě body lze nakreslit přesně jednu přímku.

2. Jakékoli dvě řádky se protínají.

3. Existují čtyři body, z nichž nejsou tři kolineární.

4. Tři diagonální body úplných čtyřúhelníků nejsou kolineární.

5. Pokud jsou tři body na přímce X jsou invariantní s ohledem na projektivitu φ, pak všechny body dále X jsou invariantní vůči φ.

6. Desargovy věta: Jsou-li dva trojúhelníky perspektivní skrz bod, pak jsou perspektivní skrz čáru.

V přítomnosti třetí dimenze lze Desarguesovu teorém prokázat bez zavedení ideálních bodů a linií.

Rozšířená rovina - model projekční roviny: v afinním prostoru A3 bereme svazek čar S (O) vystředěných na O a letadlo Π neprocházející středem svazku: O 6∈ Π. Banda linií v afinním prostoru je modelem projekční roviny. Přiřaďme mapování ze sady bodů roviny Π k souboru linií spojovacího S (Do prdele, modlete se, pokud máte tuto otázku, omlouvám se)

Rozšířený trojrozměrný afinní nebo euklidovský prostor - model projektivního prostoru:

Aby se mapování stalo přídavným, opakujeme proces formálního rozšíření afinní roviny Π na projekční rovinu Π, doplnění roviny Π sadou nevhodných bodů (M∞) tak, že: ((M∞)) \u003d P0 (O). Protože při mapování je preimage každé roviny svazku rovin S (O) přímka v rovině d, je zřejmé, že množina všech nevhodných bodů rozšířené roviny: Π \u003d Π ∩ (M∞), (M∞), je nesprávná přímka d∞ prodloužené rovina, která je inverzním obrazem singulární roviny Π0: (d∞) \u003d P0 (O) (\u003d Π0). (I.23) Souhlasíme, že poslední rovnost P0 (O) \u003d Π0 zde a v tom, co následuje, bude chápána ve smyslu rovnosti množin bodů, ale vybavených různými strukturami. Doplněním afinní roviny nesprávnou přímkou \u200b\u200bjsme zajistili, že mapování (I.21) se stane bijektivním na množině všech bodů rozšířené roviny:

Obrázky rovinných a prostorových útvarů v paralelním provedení:

Ve stereometrii jsou prostudovány prostorové postavy, ale ve výkresu jsou znázorněny jako ploché postavy. Jak by měla být vyobrazena prostorová postava v rovině? Geometrie k tomu obvykle používá paralelní návrh. Nechť p je nějaké letadlo, l - přímka procházející (obr. 1). Prostřednictvím libovolného bodu Anepatří do řádku l, nakreslete přímku rovnoběžnou s přímkou l... Průsečík této přímky s rovinou p se nazývá rovnoběžná projekce bodu A na rovině p ve směru přímky l... Nech ji APokud bod A patří k přímému lpak rovnoběžná projekce Ana rovině p je průsečík přímky l s rovinou p.

Tedy každý bod A prostor je mapován na jeho projekci A"na rovině p. Tato korespondence se nazývá rovnoběžná projekce na rovinu p ve směru přímky l.

Skupina projektivních transformací. Aplikace pro řešení problémů.

Koncept projektivní transformace letadla. Příklady projektivních transformací roviny. Vlastnosti projektivních transformací. Homologie, vlastnosti homologie. Skupina projektivních transformací.

Koncept projektivní transformace letadla: Koncept projektivní transformace zobecňuje koncept centrální projekce. Provádíme-li centrální projekci roviny a na nějakou rovinu α 1, pak promítání α 1 na α 2, α 2 na α 3, ... a konečně nějakou rovinu α n opět na a 1, pak složení všech těchto projekcí je projektivní transformace roviny a; do takového řetězce mohou být zahrnuty rovnoběžné řetězové výstupky.

Příklady projektivních transformací roviny: Projekční transformace dokončené roviny je její individuální mapování na sebe, které zachovává kolinearitu bodů, nebo jinými slovy, obraz jakékoli linie je přímka. Jakákoli projektivní transformace je složením řetězce centrálních a paralelních projekcí. Afinní transformace je zvláštní případ projektivní transformace, ve které nekonečně vzdálená linie přechází do sebe.

Vlastnosti projektivních transformací:

Při projektivní transformaci přecházejí tři body, které neleží na čáře, na tři body, které neleží na lince.

S projektivní transformací je rámec transformován do rámce.

Při projektivní transformaci se rovná čára změní na přímou, tužka se změní na tužku.

Homologie, vlastnosti homologie:

Projekční transformace roviny, která má přímku invariantních bodů, a tedy tužku invariantních přímek, se nazývá homologie.

1. Přímka procházející neshodnými odpovídajícími body homologie je neměnná přímka;

2. Čáry procházející odpovídajícími neshodujícími se body homologie patří jednomu svazku, jehož střed je neměnný bod.

3. Bod, jeho obraz a centrum homologie jsou kolineární.

Skupina projektivních transformací:zvažte projektivní mapování projekční roviny P2 na sebe, tj. projektivní transformaci této roviny (P 2 '\u003d P 2).

Stejně jako dříve je složení f projektivních transformací f 1 a f 2 projekční roviny P2 výsledkem postupného provádění transformací f 1 a f 2: f \u003d f 2 ° f 1.

Věta 1: množina H všech projektivních transformací projektivní roviny P 2 je skupina s ohledem na složení projektivních transformací.

Homogenní polynom 2. stupně v několika proměnných se nazývá kvadratická forma.

Kvadratická forma v proměnných se skládá ze dvou typů termínů: čtverců proměnných a jejich párových produktů s některými koeficienty. Je obvyklé psát kvadratickou formu ve tvaru následujícího čtvercového schématu:

Dvojice podobných výrazů jsou psány se stejnými koeficienty, takže každý z nich je polovičním koeficientem pro odpovídající součin proměnných. Každá kvadratická forma je tedy přirozeně spojena s maticí koeficientu, která je symetrická.

Je vhodné reprezentovat kvadratickou formu v následujícím maticovém zápisu. Nechť X označuje sloupec proměnných X - řádek, tj. Matici transponovanou X. Potom

Kvadratické formy se nacházejí v mnoha oborech matematiky a jejích aplikací.

V teorii čísel a krystalografii jsou kvadratické formy uvažovány za předpokladu, že proměnné mají pouze celočíselné hodnoty. V analytické geometrii je kvadratická forma součástí rovnice křivky (nebo plochy) řádu. V mechanice a fyzice se zdá, že kvadratická forma vyjadřuje kinetickou energii systému z hlediska složek zobecněných rychlostí atd. Kromě toho je však studium kvadratických forem nutné také při analýze funkcí při studiu mnoha proměnných, v otázkách, jejichž řešení je důležité zjistit, jak je důležité daná funkce v blízkosti tohoto bodu se odchyluje od lineární funkce, která ji aproximuje. Příkladem problému tohoto typu je studium funkce pro maximum a minimum.

Zvažte například problém studia maxima a minima pro funkci dvou proměnných se spojitými částečnými deriváty až do pořádku. Nezbytnou podmínkou pro poskytnutí maxima nebo minima funkce je rovnost nule dílčích derivátů řádu v bodě. Předpokládejme, že tato podmínka je splněna. Dejme proměnným xay malé přírůstky ak a uvažujme odpovídající přírůstek funkce. Podle Taylorovy rovnice se tento přírůstek až po malé vyšší řády rovná kvadratické formě, kde jsou hodnoty druhých derivátů vypočteny v bodě. pak funkce má v bodě minimum, pokud je záporná, pak má maximum. A konečně, pokud má tvar kladné i záporné hodnoty, nebude existovat ani maximum, ani minimum. Funkce velkého počtu proměnných jsou zkoumány podobným způsobem.

Studium kvadratických forem spočívá především ve studiu problému ekvivalence forem s ohledem na jednu nebo druhou sadu lineárních transformací proměnných. Dvě kvadratické formy se nazývají ekvivalentní, pokud jedna z nich může být převedena do druhé pomocí jedné z transformací dané množiny. Problém redukce formy úzce souvisí s problémem ekvivalence, tj. transformovat je na některé z nejjednodušších možných forem.

V různých otázkách týkajících se kvadratických forem se zvažuje také řada přípustných transformací proměnných.

Jakékoli neobvyklé proměnné transformace jsou použity v analytických otázkách; pro analytickou geometrii jsou nejzajímavější ortogonální transformace, tj. ty, které odpovídají přechodu z jednoho systému proměnných kartézských souřadnic na druhý. Nakonec se v teorii čísel a krystalografii uvažují lineární transformace s celočíselnými koeficienty as determinantem rovným jedné.

Budeme se zabývat dvěma z těchto problémů: otázkou redukce kvadratické formy na její nejjednodušší formu pomocí jakýchkoli ne singulárních transformací a stejnou otázkou pro ortogonální transformace. Nejprve zjistíme, jak se matice kvadratické formy transformuje pod lineární transformací proměnných.

Nechť, kde A je symetrická matice tvarových koeficientů, X je sloupec proměnných.

Udělejme lineární transformaci proměnných a zapíšeme ji ve zkrácené podobě. Zde C označuje matici koeficientů této transformace, X je sloupec nových proměnných. Pak a tedy tak, že matice transformované kvadratické formy je

Matice je automaticky symetrická, což se snadno kontroluje. Problém redukce kvadratické formy na její nejjednodušší formu je tedy ekvivalentem problému redukce symetrické matice na nejjednodušší formu jejím vynásobením zleva a zprava navzájem transponovanými maticemi.