Hogyan lehet megtalálni az integrált felhasználás felületét. A forgási felület felülete paramétrikusan megadott vonallal kiszámítja a vonal forgása által kialakított felületet

Kertészkedés

5. A forgó testek felületének megtalálása

Legyen az AV görbe az y \u003d f (x) ≥ 0 funkció grafikonja, ahol x [a; b] és az y \u003d f (x) és annak származéka "\u003d f" (x) funkciója folyamatos ezen a szegmensen.

Megtaláljuk az AV-görbe forgásával kialakított felület felületét az OH tengely körül (8. ábra).

Alkalmazza a II. RENDSZER (differenciálási módszer).

X tetszőleges ponton keresztül [a; B] A tengelyre merőleges PL síkot végezzük. A P sík az Y-F (x) sugarával keresztezi a forgás felületét. A rotációs alak felületének értéke a sík bal oldalán fekvő fekvésű X, azaz azaz S \u003d s (x) (s (a) \u003d 0 és s (b) \u003d s).

Adjuk az argumentum x növekményt Δх \u003d DX. Az X + DX ponton keresztül [a; b] a tengelyre merőleges síkot is elvégezünk. Az S \u003d S (X) függvény megkapja az ábrán látható Δs növekményét az "öv" formájában.

Megtaláljuk a DS differenciálterületét, a keresztmetszetek között kialakított csonkított kúp helyettesítve, melyek a formálok megegyeznek a DL-vel, és az alap sugara egyenlő Y és Y + D. Az oldalsó felületének területe: \u003d 2ydl + Dydl.

A DU D1 terméket végtelenül alacsony sorrendben, a DS-nél, a DS \u003d 2udl, vagy mivel D1 \u003d DX.

Az x \u003d a-x \u003d b tartományban kapott egyenlőség integrálása, kapunk

Ha az AB görbét x \u003d x (t), y \u003d y (t), t≤ t ≤ t parametrikus egyenletek állítják be, akkor a forgási felület területének képlete

S \u003d 2. dT.

Példa: Keresse meg az R sugara felületének felületét.

S \u003d 2. =

6. A változó erő megkeresése

Változó erő

Hagyja, hogy az Anyagpont m mozogjon a tengely mentén, az f \u003d f (x) változó erő hatására, amely párhuzamosan irányul a tengelyhez. Az erőlmény által végzett munka, amikor az M pontot az X \u003d A pozíciótól az X \u003d B pozícióig (és

Milyen munkát kell fordítani a rugó 0,05 m-re, ha a 100 órás teljesítmény 0,01 m-rel húzódik a tavasszal?

A torok törvénye szerint a rugót nyújtó rugalmas erő arányos ezzel a stretching x, azaz F \u003d k, ahol k az arányossági együttható. A probléma feltétele szerint az F \u003d 100 h erő a rugót x \u003d 0,01 m-re húzza; Ezért 100 \u003d K 0,01, ahol k \u003d 10 000; Ezért f \u003d 10000x.

A kívánt munka a képlet alapján

A \u003d.

Keressen olyan munkát, amelynek költségesnek kell lennie ahhoz, hogy folyadékot szivattyúzzon az N M függőleges hengeres tartályból és az R m sugarának (13. ábra).

Az a munka, amelyet a test tömegére emelésére fordított munka a H magasságig egyenlő jelentése R N., de a tartályban lévő különböző rétegek különböző mélységben vannak, és a különböző rétegek emelése (a tartály széléhez) magassága van nem ugyanaz.

A feladat megoldásához alkalmazzuk a II. RENDSZER (differenciálási módszer). Bemutatjuk a koordináta-rendszert.

1) Az x (0 ≤ x ≤ h) folyadékrétegének tartályából kifolyólagos szivattyúzással töltött munka X, I.E. A \u003d A (x), ahol (0 ≤ x ≤ h) (A (0) \u003d 0, A (H) \u003d A 0).

2) Megtaláljuk a növekmény ΔA fő részét X változással Δх \u003d DX, azaz Megtaláljuk a Differenciál DA funkciót (x).

A DX kicsisége miatt úgy véljük, hogy a folyadék "elemi" rétege X mélységben van (a tartály szélétől). Ezután DA \u003d DRH, ahol dr a réteg súlya; A G AV-vel egyenlő, ahol a g a szabad esés gyorsulása, a folyadék sűrűsége a folyadék "elemi" rétegének térfogata (az ábrán látható), azaz. DR \u003d G. A megadott folyadékréteg térfogata nyilvánvalóan megegyezik azzal, hogy a DX a henger (réteg) magassága - az alapterülete, azaz DV \u003d.

Így Dr \u003d. és

3) az x \u003d 0-tól x \u003d n tartományban kapott egyenlőség integrálása, megtaláljuk

8. Az integrálok kiszámítása a MathCAD csomaggal

Néhány alkalmazás megoldásakor a szimbolikus integrációs műveletet kell használnia. Ugyanakkor a MathCad program hasznos lehet a kezdeti szakaszban (jó tudni, hogy a választ előre, vagy tudja, hogy létezik) és a végső szakaszban (jó az eredmény megvizsgálása egy másik forrásból válaszolva vagy egy másik személy megoldása).

Nagyszámú feladat megoldásakor a MathCAD program használatával megjelenítheti a feladatok megoldásának néhány funkcióját. Megpróbálunk több példával megérteni, mivel ez a program működik, elemezze a segítségből nyert megoldásokat, és hasonlítsa össze ezeket a megoldásokat más módszerekkel kapott megoldásokkal.

A MathCAD program használatakor a fő problémák a következők:

a) A program nem ismeri az ismerős elemi funkciók formájában, hanem különleges funkciók formájában, amelyek nem mindenki számára ismertek;

b) Bizonyos esetekben "megtagadja" a választ, bár a feladat elérhető;

c) Néha lehetetlen kihasználni az eredményt nehézkesnek köszönhetően;

d) Nem teljes mértékben megoldja a feladatot, és nem teszi meg a döntés elemzését.

A problémák megoldása érdekében a program erősségeit és gyengeségeit kell használni.

Ezzel egyszerű és könnyű kiszámítani az integrálokat a frakcionális racionális funkciókból. Ezért ajánlott használni a változó cseréjének módját, azaz Készítsen be szerves oldatot. E célból a helyettesítéseket szétszerelték fel lehet használni. Emlékeztetni kell arra is, hogy a kapott eredményeket meg kell vizsgálni annak érdekében, hogy egybeessék az eredeti funkció meghatározásának területeit és a kapott eredményt. Ezenkívül egyes megoldások további kutatást igényelnek.

A MathCad program felszabadítja a gyakornokot vagy a kutatót a rutinszerű munkából, de a probléma beállításakor és az eredmények beérkezésekor nem szabad további elemzésből.

Ebben a tanulmányban figyelembe vették a matematika bizonyos integrált alkalmazásainak tanulmányozásával kapcsolatos fő rendelkezéseket.

- az integrálok megoldásának elméleti alapjának elemzését végeztük;

- Az anyagot rendszereztük és általánosítottuk.

A kurzus során a fizika, a geometria, a mechanika gyakorlati problémáinak példái voltak.

Következtetés

A fentiekben tárgyalt gyakorlati feladatok példái világos bemutatót adnak nekünk egy bizonyos integrált a megoldhatóság szempontjából.

Nehéz megnevezni a tudományos területet, amelyben az integrált számítás módszereit általában nem alkalmazzák, és különösen egy specifikus integrált tulajdonságait. Tehát a kurzus során a fizika, a geometria, a mechanika, a biológia és a közgazdaságtan gyakorlati problémáinak példáit vizsgáltuk. Természetesen ez még mindig messze van a tudományok kimerítő listájából, amelyek integrált módszert alkalmaznak a konkrét feladat megoldásával létrehozott érték megtalálására, valamint az elméleti tények létrehozására.

Emellett egy specifikus integrált felhasználásra kerül a legtöbb matematika feltárására. Például a differenciálegyenletek megoldásakor, ami viszont elengedhetetlen mértékben hozzájárul a gyakorlati tartalom feladatainak megoldásához. Meg lehet mondani, hogy egy bizonyos integrált a matematika tanulási alapja. Ezért a megoldás módszereinek ismereteinek fontossága.

A fentiek közül világos, hogy a specifikus integrált ismerőse egy középiskola részeként történik, ahol a diákok nemcsak az integrált és tulajdonságainak fogalmát tanulmányozzák, hanem néhány alkalmazását is.

Irodalom

1. Volkov e.a. Numerikus módszerek. M., Science, 1988.

2. Piskunov N.S. Különböző és integrált kalkulus. M., Integral Press, 2004. T. 1.

3. Schipachev V.S. Magasabb matematika. M., magasabb iskola, 1990.

Mielőtt a forgási felület felületének formuláira költözött, a forgatás felületének rövid formáját adjuk meg. A forgásfelület, vagy ugyanez - a forgó test felülete a szegmens forgása által kialakított térbeli alak Abszolút görbe a tengely körül ÖKÖR. (Az alábbi ábra).

Képzeljünk el egy görbületi trapéziumot, a görbe szegmensét fent említettük. A test, amelyet a trapezium ugyanabban a tengely körül forgattak ÖKÖR., És van egy forgási test. És a forgásterület forgásának vagy felületének felületének felülete külső héja van, és nem számolja a közvetlen forgásirányban kialakított köröket a közvetlen tengelye körül x. = a. és x. = b. .

Ne feledje, hogy a forgás teste, és ennek megfelelően annak felszíne is kialakítható a tengely körüli figurálásával ÖKÖR.és a tengely körül Oy..

A téglalap alakú koordinátákban meghatározott forgási terület kiszámítása

Legyen a téglalap alakú koordináták a síkon az egyenlet y. = f.(x.) A görbét úgy adjuk meg, hogy a forgó test a koordináta tengely körül van kialakítva.

A forgási felület területének kiszámításának képlete a következő:

(1).

1. példa.Keresse meg a tengely körül forgalombolt paraboloid felületét ÖKÖR. A változásnak megfelelő ív parabolas x. tól től x. \u003d 0 legyen x. = a. .

Döntés. Expressz egy világos funkciót, amely egy parabola ívet kér:

Keresse meg a funkció származékát:

Mielőtt kihasználná a forgásfelület területének felépítésének képletét, írja be az integrált kifejezés részét, amely a gyökér és a helyettesítő ott találta a talált származékot:

Válasz: A görbe ív hossza egyenlő

2. példa.Keresse meg a tengely körül forgatva lévő felületet ÖKÖR. Astroides.

Döntés. Elég kiszámítani az első negyedévben található egy ág forgatásából nyert felületi területet, és szorozzuk meg az Asztroid-egyenlettől 2-et, egyértelműen kifejezjük, hogy helyettesítsük a FELHASZNÁLÁSRA A forgatás ellenőrzése:

0-tól integrálunk a.:

A forgási felület területének kiszámítása A megadott parametrikus

Fontolja meg az esetet, amikor a forgásfelületét képező görbe paraméteres egyenletekkel állítjuk be

Ezután a forgási felület területét a képlet kiszámítja

(2).

3. példa.Keresse meg a tengely körül forgó forgási felület területét Oy. Számok, korlátozott cikloid és közvetlen y. = a. . A cikloid parametrikus egyenletekkel van beállítva

Döntés. Keresse meg a cikloidok metszéspontjait és közvetlen. A cikloida egyenlet egyenlítése és az egyenlet közvetlen y. = a. , Megtalálja

Ebből következik, hogy az integráció határai megfelelnek

Most alkalmazhatjuk a (2) képletet. Keressen származékokat:

Írjuk be az etetési kifejezést a képletben, a talált származékokat helyettesítve:

Keresse meg a kifejezés gyökerét:

A (2) képletben található helyettesítő:

Helyettesítése:

És végül megtaláljuk

A kifejezések átalakításában a trigonometrikus képleteket használtuk

Válasz: A forgatás felülete megegyezik.

A poláris koordinátákban megadott forgás felületének területének kiszámítása

Legyen a görbe, amelynek forgása a felület kialakul, a poláris koordinátákban van beállítva.

Tegyük fel, hogy a test beállítása van. Hagyja, hogy a síkok keresztmetszete, a pontokon áthaladó tengelyre merőleges
Rajta. A szakaszban generált szám területe a ponttól függ h.A szakaszok síkjának meghatározása. Hagyja, hogy ez a függőség ismert legyen, és határozott funkció. Ezután a testrész térfogata a repülőgépek között x \u003d A. és x \u003d B. A képlet alapján számítva

Példa. Keresse meg a korlátozott test hangerejét a sugárhenger felülete között:, vízszintes sík a ferde planz \u003d 2y és a fenti vízszintes sík között.

Nyilvánvaló, hogy a vizsgált testet a tengelyszegmensre tervezték
és ATX
a test keresztmetszete egy téglalap alakú háromszög, a Catethey és a Z \u003d 2y, ahol Y expresszálható x a hengeregyenletből:

Ezért az S (X) keresztmetszet a következő:

A képlet alkalmazása, megtaláljuk a test térfogatát:

A forgási testek kiszámítása

Hagyja a szegmenst [ a., b.] Folyamatos jelbiztos funkció y.= f.(x.). A tengely körül forogva forgó forgásmennyiség Oh (Vagy tengely Ou) Curvilinear trapezium korlátozott görbe y.= f.(x.) (f.(x.)0) és egyenesen y \u003d 0, x \u003d a, x \u003db., a képletek szerint számítják ki:

, (19)

(20)

Ha a test a tengely körül forgatva van Ou Curvilinear trapéz korlátozott görbe
És egyenes x.=0, y.= c., y.= d., akkor a forgás testének mennyisége egyenlő

. (21)

Példa. Számítsuk ki a tengely körüli vonalra korlátozva, Oh.

(19) képlet szerint a kívánt térfogat

Példa. Tegyük fel, hogy az xoy síkban figyelembe vesszük az y \u003d cosx vonalat a szegmensen .

E. ez a vonal a tengely körüli térben forog, és a kapott forgási felület határozza meg a rotációs testet (lásd az ábrát). Keresse meg a forgási test hangerejét.

A képlet szerint:

Forgatás felülete

,
a tengely körül forog, akkor a forgatás felületét a képlet kiszámítja
hol a. és b. - Az ív kezdetének és végének hiánya.

Ha az ív a nem negatív funkció által megadott görbe
,
a tengely körül forog, akkor a forgatás felületét a képlet kiszámítja

ahol c és d az ív kezdete és vége.

Ha a görbe ív van beállítva paraméteres egyenletek
,
és
T.

Ha az ív be van állítva poláris koordináták
T.

Példa. Kiszámítjuk a rotációval kialakított felületi területet a vonal vonalának tengelye körüli térben \u003d A vágás felett található.

Mint
Ezután a képlet integrálja

Mi lesz az utolsó integrált csere t \u003d x + (1/2), és kapunk:

A jobb rész integrálja első részében a Z \u003d T 2 -:

A jobb oldalon szereplő integrálok második kiszámításához azt jelöljük, és integráljuk az alkatrészekbe az egyenlet befogadásával:

A bal oldali és osztva 2, kapunk

hol végül

A mechanika és a fizika bizonyos problémáinak megoldásához specifikus integrált alkalmazások

Munka változó erő. Tekintsük az anyagpont mozgását a tengely mentén ÖKÖR.a változó erő hatására f.függő X. A tengelyen, azaz Funkció x.. Ezután dolgozzon A.szükséges az anyagpont helyzetének mozgatásához x. = a. Elhelyezni x. = b. A képlet alapján számítva:

Számításra nyomástartó folyadék A Pascal törvény használata szerint, amely szerint a platformon lévő folyadéknyomás megegyezik a területével S.Szorzó a merülés mélységéhez h.sűrűség ρ és a gravitáció gyorsulása g..

1. A lapos görbék tömegének pillanatai és központjai. Ha a görbe ívét az y \u003d f (x), a≤x≤b egyenlet adja meg, és sűrűsége van
T. statikus pillanatok Ez az ív m x és m y az ökör és az oy koordináta tengelyeihez képest egyenlő

;

pillanatok tehetetlenségi I x és i ugyanazon a tengelyekben Oh és ou-t a képletek kiszámítása

de a tömegközéppont koordinátái. és - formulákkal

ahol l az ív tömege, azaz azaz

1. példa.. Keresse meg a tehetetlenségi statikus pillanatokat és pillanatokat a tengelyek tekintetében OH és ou ív a lánc vonal y \u003d chx 0≤x≤1.

Ha a sűrűség nincs megadva, feltételezzük, hogy a görbe homogén és
. Van: ezért,

2. példa. Keresse meg az X \u003d ACOST, Y \u003d ASINT tömegének középpontjának koordinátáit, az első negyedévben. Nekünk van:

Innen kapunk:

Az alkalmazások gyakran kiderülnek, hogy a következők Temető Holland forint. A felület által alkotott forgása az ív a lapos görbe a tengely körül fekvő az ív síkjában, és nem kereszt is, egyenlő a termék az ív hossza a kerülete hossza által leírt a tömegközéppontja.

3. példa. Keresse meg a Mass Seds központjának koordinátáit

A szimmetria miatt
. Ha a félkör a tengely körül forog, akkor a gömböt kapjuk, amelynek felülete egyenlő, és a félkör hossza egyenlő PA-val. A Gulden Theoremen 4 van

Innen
. A tömeg C központ koordinátái c
.

2. Fizikai feladatok. Néhány specifikus integrált alkalmazás, amikor a fizikai problémák megoldása során az alábbi példákban látható.

4. példa. A test egyenes mozgásának sebességét az (m / s) képlet jellemzi. Keresse meg a test által elfogadott utat 5 másodperccel a mozgás kezdetétől.

Mint testtel telt el A v (t) sebességgel az integrált által kifejezett időtartamra

nekünk van:

P
riemer. Keresse meg a korlátozott terület területét, amely a vonal tengelye között fekszik \u003d x 3 -x. Amennyiben

a vonal három pontban átlépi a tengelyt: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 1.

A vonal és az Axis közötti korlátozott terület egy szegmensre tervezték
,És a vágáson
,line \u003d x 3 -x megy a tengely felett (azaz vonalak \u003d 0, és on - Lent. Ezért a régió területe kiszámítható:

P
riemer. Keresse meg az Archimedes spiráljának első és második csavarja között megkötött terület területét \u003d a (A\u003e 0) és a vízszintes tengely szegmense
.

A spirál első tekercsje megfelel a 0-tól a tartományban lévő szög változásának, a második pedig észleli. A változás az érvelésben egy intervallumra írja be a második tekercs spirál egyenletét az űrlapon
,

. Ezután a terület megtalálható a képlet, üzembe helyezés
és
: