Innen az eredeti képhez az eredeti

Ez az eredmény egybeesik (23).

3. Keresse meg a differenciálegyenlet megoldását
A kezdeti feltételek kielégítése (0) \u003d y "(0) \u003d 0.

A feladat megoldásához használjuk a Duhamel integrálját. Találja meg a döntés elején
differenciálegyenlet
. A megfelelő kezelőegyenlet a képhez
megjelenése

vagy
. Innen meg fogjuk találni

. Képzelje el a kapott frakciót a legegyszerűbb frakciók összegének formájában
. Keresse meg az együtthatókat
. Ehhez adjuk a frakciókat a jobb oldalon a tábornoknak, és megkapjuk a számok egyenlőségét

Az együtthatók megtalálásához először a magánértékek módját fogjuk használni. Tedd
. Aztán kapunk
. Tedd
. Aztán kapunk
. Az érték meghatározása egyenlővé tegye az együtthatók fokozatot balra és jobbra (24):
. Ennélfogva,
. Következésképpen a kép nézete van
. Az asztalon megtaláljuk a megfelelő eredetit
.. Innen

. (25)

A (13) képlet szerint a kezdeti differenciálegyenlet megoldása
integrál

, (26)

- (27)

a forrásegyenlet jobb része. Ne feledje, hogy (26) a két funkció konvolúciójának szimmetriájának jellegét használta.

Helyettesítő (25) és (27) (26), kapunk

Ennélfogva,

. (28)

Adjuk meg ezt a feladatot a MathCad segítségével

Jelöli
keresztül
(Emlékezzünk arra, hogy az MMATHCAD komplex változóban jelöli )

Megtaláljuk az eredetit
, akkor tedd
és találjon egy származékot a funkciótól

Kiszámítja
hol
- Az eredeti egyenlet jobb része.

A jobb rész egyszerűsíthető

Ez az eredmény egybeesik a korábban kapott kifejezéssel (28).

Figyelembe véve, hogy a két funkció konvolúciója nem függ a következő sorrendtől, akkor is kiszámítható
a (26) képlet szerint

Ennek eredményeképpen meglehetősen terjedelmes kifejezés volt. Adunk ilyen tagokat ebben a kifejezésben, és egyszerűsítjük az eredményt

Ezt az eredményt az űrlap (28) is adják

4. A Cauchy feladat megoldására szolgáló operációs módszer:

(29)

(30)

Döntés. Tekintve, hogy ,,

,

a kezelőegyenletet az űrlapon kapjuk

Innen kép

(31)

Polinom
gyökerei vannak
,
ezért a kifejezést
az első és az utolsó frakciók összegének egyszerűsítése után

(32)

Annak érdekében, hogy az eredeti
kép
A (32) tartalmazó frakciókra van szükséged, a legegyszerűbb. Ezt a bomlást megtaláljuk a helpcaddal

A differenciálási egyenlet megoldása
az operatív számítás módja?

Ebben a leckében az átfogó elemzés tipikus és széles körű feladatát részletesen lebontják - a 2. megrendelés sajátos megoldása állandó együtthatókkal működési számítással. Ismét újra és újra elítéljük, hogy az anyag elképzelhetetlen összetett és hozzáférhetetlen. Vicces, de a példák kidolgozásához, hogy egyáltalán nem differenciálódhat, integrálja és nem is tudja komplex számok . Alkalmazás létrehozása szükséges a bizonytalan együtthatók módszereamelyet részletesen szétszereltek a cikkben A frakcionált racionális funkciók integrálása . Tény, hogy a feladat sarokköve hagyományos algebrai akciók, és biztos vagyok benne, hogy az anyag is elérhető az iskoláslány számára.

Először is, tömörítették a matematikai analízis figyelembe vett szakaszáról szóló elméleti információkat. Alapvető lényeg működési számítás A következők: Funkció Érvényes változó az úgynevezett laplas transzformációk Megjelenik b funkció Átfogó változó :

Terminológia és jelölés:
A funkciót hívják eredeti;
A funkciót hívják kép;
A nagybetű jelzi laplas transzformáció.

Egyszerű nyelven az egyes szabályok tényleges funkcióját (eredeti) átfogó funkcióvá kell fordítani (kép). Arrogo azt jelzi, hogy az átalakulás. És "bizonyos szabályok" maguk és laplas transzformációamit csak hivatalosan fogunk megfontolni, ami elegendő lesz a problémák megoldásához.

Feed és fordított Laplace transzformáció Ha a kép az eredeti:

Miért kell mindezre? A feladatok száma a magasabb matematika, nagyon jövedelmező mozogni eredetit képeket, mivel ebben az esetben a megoldást a feladat nagymértékben leegyszerűsödik (vicc). És csak az egyik ilyen feladat, amit megnézünk. Ha túlélte a működési számításokat, a megfogalmazásnak jól meg kell ismernie:

Keressen egy privát megoldást az inhomogén másodrendű egyenlet állandó koefficiensekkel meghatározott kezdeti körülmények között.

Jegyzet: Néha a differenciálegyenlet homogén lehet: Számára a fenti készítményben az operatív számítás módja is érvényes. A gyakorlati példákban azonban homogén du 2. sorrend Rendkívül ritka, és akkor az inhomogén egyenletekről lesz.

És most a harmadik út megszakad - az AU döntése az operatív kalkulus segítségével. Ismét hangsúlyozzák azt a tényt, hogy a privát megoldás megtalálásáról beszélünk., Sőt, a kezdeti feltételek szigorúan vannak ("Xers" egyenlő a nullákkal).

Az útközben, az "Iksakh" -ról. Az egyenlet a következőképpen írható át:
Ha az "x" független változó, és az "igrek" egy függvény. Nem véletlenül beszélek erről, mert más betűket leginkább a vizsgált probléma során használják:

Azaz, a szerepe a független változó játszik változó a „TE” (ahelyett, hogy „IKSA”), és a szerepe a funkció által játszott „Iks” változó (ahelyett, hogy „Játék”)

Természetesen megértem, kellemetlen, de jobb, ha a feladatok és módszerek többségében megtalálható megnevezések.

Tehát más betűkkel rendelkező feladatunk a következőképpen íródott:

Keressen egy inhomogén másodrendű egyenlet privát megoldását, állandó koefficiensekkel meghatározott kezdeti körülmények között .

A feladat jelentése egyáltalán nem változott, csak a betűk megváltoztak.

Hogyan oldja meg ezt a problémát a kalkulus üzemeltetésével?

Először is szükséged lesz ideneti táblázat és képek . Ez egy kulcsos megoldás eszköz, anélkül, hogy nem tud. Ezért, ha lehetséges, próbálja meg kinyomtatni a megadott referenciaanyagot. Azonnal megmagyarázom, hogy a "PE" betűt jelenti: komplex változó (a szokásos "zet" helyett). Bár ez a tény nem számít megoldani a feladatokat, a "PE" a "PE".

Az eredeti asztal használatával, és néhány képre kell fordulnia. A következők számos tipikus cselekvés, és a Laplas inverz transzformációját használják (a táblázatban is). Így a mesterséges különleges döntés megtalálható.

A szép összes feladatot meglehetősen kemény algoritmussal oldják meg.

1. példa.

, ,

Döntés: Az első lépésben az eredetikről a megfelelő képekre fordulunk. Használja a bal oldalt.

Először az eredeti egyenlet bal oldalával jelöljük. Laplace A tisztességes átalakításhoz vonalas szabályokTehát minden konstans figyelmen kívül hagyja és egyénileg dolgozik a funkcióval és származékaival.

Az 1. számú táblázatos képletben bekapcsoljuk a funkciót:

A 2. képlet szerint. , Tekintettel a kezdeti állapotra, fordítsa el a származékot:

A 3. számú képlet szerint figyelembe véve a kezdeti feltételeket, a második származékot fordítjuk:

Ne keverje össze a jeleket!

Bevallom, hogy helyesebb beszélni, hogy ne "képletet", hanem "átalakulás", de az egyszerűség időről időre az asztal kitöltése a formulákkal.

Most megértjük a jobb részét, amelyben a polinom található. Ugyanez miatt vonalas szabályok Laplas transzformációk, külön dolgoznak minden egyes kifejezéssel.

Megnézzük az első kifejezést: - Ez egy független változó "te", szorozva állandó. Az állandó figyelmen kívül hagyja, és a 4. táblázat használatával elvégzi az átalakítást:

Megnézzük a második kifejezést: -5. Ha egy konstans egy-egy, akkor lehetetlen kihagyni. Egyetlen állandóval így jött: Az egyértelműség érdekében darabként ábrázolható:, és egy egységre az átalakítás alkalmazásához:

Így a differenciálegyenlet minden eleméhez (eredetik) az asztal használatával a megfelelő képeket találták:

Helyezze vissza a talált képeket az eredeti egyenletre:

További feladat az, hogy kifejezze kezelői döntés Minden másnál, nevezetesen - egy frakció után. Ugyanakkor célszerű betartani a következő eljárást:

Kezdeni, feltárja a bal oldali zárójeleket:

Hasonló komponenseket mutatunk be a bal oldalon (ha van ilyen). Ebben az esetben hozzáadunk számokat -2 és -3. A teáskannák erősen javasolják, hogy ne hagyja ki ezt a színpadot:

A bal oldalon elhagyjuk a komponenseket, amelyekben az összetevők többi része jobbra kerül a jel változásával:

A bal oldalon a kezelői megoldást a zárójelben, a jobb oldalon, a denominátornak kifejezést adunk:

A bal oldali polinomot a multiplikátorok (ha lehetséges) kell bomlani. Megoldjuk a négyzetes egyenletet:

Ily módon:

Csepp a megfelelő rész nevezőjébe:

A cél elérése - az üzemeltető döntése egy töredékben fejeződik ki.

Második cselekvés. Használ a bizonytalan együtthatók módszere Az egyenlet kezelőoldatának meg kell bontani az elemi frakciók mennyiségét:

Az együtthatókat a megfelelő fokozatokban és a rendszer megoldásában:

Ha vannak nehézségek merülnek fel Kérjük, vegye figyelembe a cikkekben A frakcionált racionális funkció integrálása és Hogyan oldja meg az egyenletek rendszerét? Ez nagyon fontos, mert a fraraty bomlása lényegében a feladat legfontosabb része.

Tehát az együtthatók találhatók: és az üzemeltetői döntés szétszerelt formában jelenik meg:

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a konstansokat nem rögzítik a frakciókban. Ez a felvételi forma jövedelmezőbb, mint a . És nyereségesebb, mert a végső cselekvés zavartság és hibák nélkül fog járni:

A feladat végső szakaszában a Laplace Fordított átalakításáról a képekről a megfelelő eredetikre történő átalakításáról mozoghat. A jobb oldali oszlopot használjuk az eredeti dokumentumok és képek .

Talán nem mindenki megérteni az átalakítást. Itt a táblázat 5. pontjának képletét használják :. Ha tovább többet: . Valójában hasonló esetekben a képlet módosítható :. És az 5. cikk összes táblázatos képlete nagyon könnyű újraírni ugyanúgy.

A fordított átmenet után a DU kívánt magán oldatát csendes kék meghajtással kapjuk meg:

Ez volt:

Lett belőle:

Válasz: Privát megoldás:

Ha van ideje, mindig ajánlatos ellenőrizni. Az ellenőrzést a szabványos séma szerint végzik, amelyet már a leckében már figyelembe vettek. A 2. sorrend inhomogén differenciálegyenletei . Ismétlés:

Ellenőrizze a kezdeti állapot végrehajtását:
- Kész.

Keresse meg az első származtatást:

Ellenőrizzük a második kezdeti állapot teljesítését:
- Kész.

Keresse meg a második származékot:

Helyettes , és az eredeti egyenlet bal oldalára:

A forrásegyenlet jobb oldalát kapjuk.

Következtetés: A feladat helyesen történik.

Egy kis példa az önmegoldásokra:

2. példa.

Az operatív számítás segítségével keresse meg a differenciálegyenlet különleges megoldását a megadott kezdeti körülmények között.

A feladat meghatározásának példamutató mintája a lecke végén.

A legkülönlegesebb vendég a differenciálegyenletekben, amennyire sokan régóta észrevették, kiállítók, ezért vegye figyelembe néhány példát velük, rokonok:

3. példa.

, ,

Döntés: A Laplace transzformációs tábla (a táblázat bal oldala) használatával az eredetikről a megfelelő képekre haladunk.

Először vegye figyelembe az egyenlet bal oldalát. Nincs első származék. Tehát mi van? Kiváló. A munka kisebb. Tekintettel a kezdeti feltételekről, az 1. táblázatban lévő táblázatokra.

Most megnézzük a jobb oldalt: - két funkció terméke. Annak érdekében, hogy kihasználhassuk a linearitás tulajdonságai Laplace transzformációk, meg kell tárni a zárójeleket :. Mivel a konstansok munkákban vannak, rájuk pontszámok, és egy asztali képletek csoportjával találjuk meg a képeket:

Helyezze vissza a talált képeket az eredeti egyenletre:

Emlékeztetem arra, hogy a további feladat az, hogy az operátor megoldását az egyetlen frakción keresztül fejezze ki.

A bal oldalon a jelen lévő alkatrészeket hagyjuk, az összetevők többi részét a jobb oldalon továbbítjuk. Ugyanakkor, a jobb oldalon, elkezdjük lassan hozni a frakciót egy közös nevezőre:

A bal oldalon levágjuk a zárójeleket, a jogot, hogy a kifejezést a tábornoknak adják:

A bal oldalon egy indokelhető polinomot kapunk. Ha a polinomot nem állapítják meg a szorzókból, akkor egy szegény fickó, azonnal el kell veszítenie a jobb rész alját, meghatározza a lábak lábát. És a számlálón felfedjük a zárójeleket, és hasonló feltételeket adunk:

A leginkább fájdalmas szakasz: a bizonytalan együtthatók módszere Az egyenlet kezelőoldatának elterjedése az elemi frakciók mennyiségében:


Ily módon:

Figyeljen arra, hogy a frakció hogyan történik: , Megmagyarázom, miért.

Befejezés: Menjünk a képekről a megfelelő eredetikre, a táblázat megfelelő oszlopát használjuk:

A két alacsonyabb transzformációban a 6.7. No.7 táblázatokat alkalmaztuk, és a frakciót korábban az asztal konverziója alatt csak "illeszkedésre" kellett kialakítani.

Ennek eredményeként egy privát megoldás:

Válasz: Második privát megoldás:

Hasonló példa az önmegoldáshoz:

4. példa.

Keressen egy privát megoldást egy differenciálegyenletet a kalkulus üzemeltetésével.

Rövid megoldás és válasz a lecke végén.

A 4. példában a kezdeti feltételek egyike nulla. Ez határozottan leegyszerűsíti a megoldást, és a leginkább ideális megoldás, ha mind a kezdeti feltételek nulla: . Ebben az esetben a származékokat farok nélküli képekké alakítják át:

Amint azt már említettük, a feladat legösszetettebb technikai pontja a frakció bomlása a bizonytalan együtthatók módszere És az ártalmatlanításomban elegendő időigényes példa van. Azonban a szörnyek nem fognak megfélemlíteni senkit, fontolják meg néhány tipikus fajtát az egyenlet:

5. példa.

Az operatív számítás módja, hogy megtalálja a megadott kezdeti feltételeknek megfelelő differenciálegyenletet.
, ,

Döntés: A Laplace transzformációs táblázat használatával az eredetikről a megfelelő képekre lépünk. A kezdeti feltételek miatt :

A jobb oldalon is nincs probléma:

(Emlékeztetem arra, hogy a konstans hibákat figyelmen kívül hagyják)

A kapott képeket az eredeti egyenletbe helyettesítjük, és elvégezzük a szabványos műveleteket, amelyek remélem, hogy már jól működött:

A nevezőben állandóan elviseljük a Fraci-t, ami a legfontosabb, hogy ne felejtsük el:

Azt gondoltam, hogy továbbá a számlálóból is elindultak, azonban elindulnak, arra a következtetésre jutott, hogy ez a lépés gyakorlatilag nem egyszerűsítené a további megoldást.

A feladat egyik jellemzője a kapott frakció. Úgy tűnik, hogy a bomlása hosszú és nehéz lesz, de a benyomás megtévesztő. Természetesen nehéz dolgokat, de minden esetben - félelem nélkül, kétség nélkül:

Az a tény, hogy egyes együtthatók a frakcionáltnak nem szabad összetéveszteni, az ilyen helyzet nem ritka. Ha csak a számítások technikája nem sikerült. Ezenkívül mindig van a válasz ellenőrzése.

Ennek eredményeként a kezelői megoldás:

Forduljunk a képeket a vonatkozó eredeti dokumentumokhoz:

Így egy privát megoldás: