Egy háromszög szögeinek összege. Teljes leckék – Tudáshipermarket

Bizonyíték:

• Adott ABC háromszög.
• Húzza a DK egyenest a B csúcson keresztül párhuzamosan az AC alapjával.
• \ CBK szög = \ C szög belső keresztmetszetként a párhuzamos DK és AC pontban, és BC szekáns.
• \ szög DBA = \ szög Egy belső keresztmetszet DK \ párhuzamos AC és AB szekáns pontban. A DBK szög kibontva egyenlő
• \ szög DBK = \ szög DBA + \ szög B + \ szög CBK
• Mivel a kihajtott szög 180 ^ \ kör, és \ szög CBK = \ szög C és \ szög DBA = \ szög A, kapjuk 180 ^ \ circ = \ szög A + \ szög B + \ szög C.

A tétel bizonyított

A háromszög szögeinek összegére vonatkozó tétel következményei:

1. Az éles sarkok összege derékszögű háromszög egyenlő 90 °.
2. Egy egyenlő szárú derékszögű háromszögben minden hegyesszög az 45 °.
3. Egy egyenlő oldalú háromszögben minden szög az 60 °.
4. Bármely háromszögben vagy az összes sarok hegyes, vagy két sarok hegyes, a harmadik pedig tompa vagy egyenes.
5. A háromszög külső sarka egyenlő két olyan belső szög összegével, amelyek nem szomszédosak vele.

Külső szög tétel háromszögre

A háromszög külső szöge egyenlő a háromszög két fennmaradó szögének összegével, amelyek nem szomszédosak ezzel a külső szöggel

Bizonyíték:

• Adott egy ABC háromszög, ahol BCD - külső sarok.
• \ szög BAC + \ szög ABC + \ szög BCA = 180 ^ 0
• Az egyenlőségekből a szög \ szög BCD + \ szög BCA = 180 ^ 0
• Kapunk \ szög BCD = \ szög BAC + \ szög ABC.

Szakaszok: Matematika

Bemutatás . (1. dia)

Az óra típusa: lecke az új anyagok elsajátításában.

Az óra céljai:

• Nevelési:
  • vegye figyelembe a háromszög szögeinek összegére vonatkozó tételt,
  • mutasd be a tétel alkalmazását a feladatok megoldásában.
• Nevelési:
  • a tanulók tudáshoz való pozitív hozzáállásának elősegítése,
  • tanórai önbizalmat kelteni a tanulókban.
• Fejlesztés:
  • az analitikus gondolkodás fejlesztése,
  • „tanulási készségek” fejlesztése: a tudás, készségek és képességek felhasználása az oktatási folyamatban,
  • fejlődés logikus gondolkodás, gondolataik világos megfogalmazásának képessége.

Felszerelés: interaktív tábla, bemutató, kártyák.

AZ ÓRÁK ALATT

ÉN. Idő szervezése

- Ma a leckében felidézzük a téglalap, egyenlő szárú, egyenlő oldalú háromszög definícióit. Ismételjük meg a háromszögek szögeinek tulajdonságait. A belső egyoldali és belső metszőszögek tulajdonságait alkalmazva bebizonyítjuk a háromszög szögeinek összegére vonatkozó tételt, és megtanuljuk alkalmazni a feladatok megoldására.

II. Orálisan(2. dia)

1) Keressen téglalap, egyenlő szárú, egyenlő oldalú háromszögeket az ábrákon!
2) Határozza meg ezeket a háromszögeket!
3) Fogalmazza meg az egyenlő és egyenlő szárú háromszög szögeinek tulajdonságait!

4) Az ábrán KE II NH. (3. dia)

- Adja meg a szekánsokat ezekhez a vonalakhoz
- Keresse meg a belső egyoldalú sarkokat, a belső keresztező sarkokat, nevezze meg tulajdonságaikat

III. Az új anyag magyarázata

Tétel. A háromszög szögeinek összege 180°

A tétel megfogalmazása szerint a srácok rajzot készítenek, leírják a feltételt, következtetést. Kérdésekre válaszolva önállóan bizonyítják a tételt.

Adott: Bizonyít:

Bizonyíték:

1. Húzzuk át a BD II AC egyenest a háromszög B csúcsán.
2. Adja meg a párhuzamos vonalak metszését.
3. Mi a helyzet a CBD és ACB szögekkel? (rekordot készíteni)
4. Mit tudunk a CAB és ABD szögekről? (rekordot készíteni)
5. Cserélje ki a CBD-szöget az ACB-szöggel
6. Vond le a következtetést.

IV. Egészítsd ki a mondatot.(4. dia)

1. Egy háromszög szögeinek összege ...
2. Egy háromszögben az egyik szög egyenlő, a másik, a háromszög harmadik szöge egyenlő ...
3. Egy derékszögű háromszög hegyesszögeinek összege ...
4. Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög szögei ...
5. Egy egyenlő oldalú háromszög szögei ...
6. Ha egy egyenlő szárú háromszög oldalsó oldalai közötti szög 1000, akkor az alapnál lévő szögek ...

V. Egy kis történelem.(5-7. Dia)

Tétel. Egy háromszög belső szögeinek összege két derékszöggel egyenlő.

Vegyünk egy ABC háromszöget (208. ábra). Jelöljük belső szögeit 1, 2 és 3 számokkal. Ezt bizonyítsuk be

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180 °.

Rajzoljunk a háromszög valamelyik csúcsán, például B-n keresztül egy МN egyenest, amely párhuzamos АС-vel.

A B csúcsban három szöget kaptunk: ∠4, ∠2 és ∠5. Összegük a kihajtott szög, ezért 180 ° -kal egyenlő:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180 °.

De a ∠4 = ∠1 belső keresztirányú szögek a МN és АС párhuzamos egyeneseknél és az AB szekánsnál.

∠5 = ∠3 a belső keresztirányú szögek МN és АС párhuzamos egyeneseknél és ВС szekánsnál.

Ezért ∠4 és 5 helyettesíthető az egyenlő ∠1 és ∠3 értékekkel.

Ezért ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180 °. A tétel bizonyítva van.

2. Háromszög külső sarkának tulajdonsága.

Valójában az ABC háromszögben (209. ábra) ∠1 + ∠2 = 180 ° - ∠3, de ∠BCD is ennek a háromszögnek a külső szöge, amely nem szomszédos ∠1 és ∠2, szintén 180 ° - ∠3 ...

És így:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180 ° - ∠3.

Ezért ∠1 + ∠2 = ∠BCD.

A háromszög külső szögének származtatott tulajdonsága tisztázza a háromszög külső szögére vonatkozó előzőleg bebizonyított tétel tartalmát, amelyben csak az szerepelt, hogy a háromszög külső szöge nagyobb, mint egy háromszög minden belső szöge nem szomszédos vele; most megállapítottuk, hogy a külső szög egyenlő mindkét olyan belső szög összegével, amelyek nem szomszédosak vele.

3. 30 ° -os szögű derékszögű háromszög tulajdonsága.

Legyen a B szög egy ACB derékszögű háromszögben 30° (210. ábra). Ekkor a másik hegyesszöge 60 ° lesz.

Bizonyítsuk be, hogy az AC láb egyenlő az AB hipotenusz felével. Nyújtsuk ki az AC lábát a tetején túlra derékszög C és tegyük félre az AC szegmenssel egyenlő CM szegmenst. Összekötjük az M pontot a B ponttal. A kapott BCM háromszög egyenlő az ACB háromszöggel. Látjuk, hogy az ABM háromszög minden szöge 60 °, ezért ez a háromszög egyenlő oldalú.

Az AC láb egyenlő az AM felével, és mivel az AM egyenlő AB -vel, az AC láb az AB hipotenusz felével lesz egyenlő.

Egy háromszög szögeinek összege- fontos, de meglehetősen egyszerű téma, amelyet a 7. osztályban tanítanak geometriából. A téma egy tételből, egy rövid bizonyításból és több logikai következtetésből áll. A témakör ismerete segít a geometriai problémák megoldásában a tárgy későbbi tanulmányozása során.

Tétel - mekkora egy tetszőleges háromszög hozzáadott szögei?

A tétel azt mondja: ha bármilyen háromszöget veszünk, függetlenül a típusától, az összes szög összege mindig 180 fok lesz. Ezt a következőképpen bizonyítjuk:

• például vegyünk egy ABC háromszöget, húzzunk egy egyenest a csúcson lévő B ponton keresztül, és jelöljük „a”-nak, míg az „a” egyenes szigorúan párhuzamos az AC oldalával;
• az "a" egyenes és az AB és BC oldalak között jelölje a szögeket, 1 és 2 számmal jelölve;
• az 1-es szög egyenlő az A szöggel, és a 2-es szög egyenlő a C szöggel, mivel ezeket a szögeket keresztirányúnak tekintjük;
• így az 1., 2. és 3. szögek összegét (amely a B szög helyén jelöljük) egyenlőnek ismerjük el a B csúcsgal bezárt szöggel, és 180 fok.

Ha a számokkal jelzett szögek összege 180 fok, akkor az A, B és C szögek összege 180 fok. Ez a szabály minden háromszögre igaz.

Ami a geometriai tételből következik

A fenti tétel több következményét szokás kiemelni.

• Ha a feladatban egy derékszögű háromszöget veszünk figyelembe, akkor egyik szöge alapértelmezés szerint 90 fok lesz, és az éles szögek összege is 90 fok.
• Ha derékszögű egyenlő szárú háromszögről beszélünk, akkor hegyesszögei, összesen 90 fok, külön-külön 45 fokosak.
• Egy egyenlő oldalú háromszög három egyenlő szögből áll, mindegyik 60 fokos, és összesen 180 fokos lesz.
• Bármely háromszög külső szöge megegyezik a kettő közötti összeggel belső sarkok nem szomszédos vele.

Visszavonhatja következő szabály- bármelyik háromszögnek van legalább két éles sarka. Egyes esetekben egy háromszög három hegyesszögből áll, és ha csak kettő van belőlük, akkor a harmadik szög tompa vagy derékszögű.

Bizonyíték

Legyen ABC" - tetszőleges háromszög. Vigyük végig a csúcson B egyenessel párhuzamos egyenes AC (az ilyen vonalat euklideszi vonalnak nevezik). Jelöljünk rá egy pontot D hogy a pontok A és D egy egyenes vonal ellentétes oldalain feküdjön időszámításunk előtt.Szögek DBCés ACB egyenlő a szekáns által alkotott belső keresztmetszéssel időszámításunk előtt párhuzamos egyenesekkel ACés BD... Ezért a háromszög szögeinek összege a csúcsokban Bés VAL VEL egyenlő a szöggel ABD A háromszög mindhárom szögének összege egyenlő a szögek összegével ABDés BAC... Mivel ezek a sarkok belső egyoldalúak a párhuzamosság érdekében ACés BD a szekantnál AB, akkor ezek összege 180 °. A tétel bizonyítva van.

Következmények

A tétel azt jelenti, hogy bármely háromszögnek két hegyesszöge van. Valójában, ha a bizonyítást ellentmondással alkalmazzuk, tegyük fel, hogy egy háromszögnek csak egy hegyesszöge van, vagy egyáltalán nincs hegyesszöge. Ekkor ennek a háromszögnek legalább két szöge van, amelyek mindegyike legalább 90 °. E szögek összege legalább 180°. És ez lehetetlen, mivel a háromszög összes szögének összege 180 °. Q.E.D.

Általánosítás szimplex elméletre

Hol van a szimplex i és j lapjai közötti szög.

Jegyzetek (szerkesztés)

• Egy gömbön a háromszög szögeinek összege mindig meghaladja a 180 °-ot, a különbséget gömbtöbbletnek nevezik, és arányos a háromszög területével.
• A Lobachevsky síkban egy háromszög szögeinek összege mindig kisebb, mint 180 °. A különbség a háromszög területével is arányos.

Lásd még

Wikimédia Alapítvány. 2010.

Nézze meg, mi a "Tétel a háromszög szögeinek összegéről" más szótárakban:

A sokszögek tulajdonságai az euklideszi geometriában: Egy szög n szögeinek összege 180° (n 2). Tartalom 1 Bizonyítás 2 Megjegyzés ... Wikipédia

A Pitagorasz-tétel az euklideszi geometria egyik alapvető tétele, amely egy derékszögű háromszög oldalai közötti kapcsolatot állapítja meg. Tartalom 1 ... Wikipédia

A Pitagorasz-tétel az euklideszi geometria egyik alapvető tétele, amely egy derékszögű háromszög oldalai közötti kapcsolatot állapítja meg. Tartalom 1 Állítás 2 Bizonyíték ... Wikipédia

A koszinusztétel a Pitagorasz-tétel általánosítása. A háromszög oldalának négyzete egyenlő a másik két oldala négyzetösszegével, anélkül, hogy ezen oldalak kétszerese a közöttük lévő szög koszinuszának szorzata lenne. Lapos háromszög esetén oldalak a, b, cés α szög ... ... Wikipédia

Ennek a kifejezésnek más jelentése is van, lásd: Háromszög (jelentések). A háromszög (euklideszi térben) egy geometriai alakzat, amelyet három egyenes szegmens alkot, amelyek három pontot kötnek össze, amelyek nem egy egyenesen helyezkednek el. Három pont, ... ... Wikipédia

Szabványos jelölés A háromszög a legegyszerűbb sokszög, amelynek 3 csúcsa (sarok) és 3 oldala van; a sík három olyan pontja által határolt része, amelyek nem egy egyenesen helyezkednek el, és három szakasz, amely ezeket a pontokat páronként összeköti. A háromszög csúcsai ... Wikipédia

Ókori görög matematikus. A 3. században Alexandriában dolgozott. időszámításunk előtt NS. A fő mű"Kezdetek" (15 könyv), amely az elemi geometria, a számelmélet, az általános összefüggéselmélet és a terület- és térfogatmeghatározási módszert tartalmazza az ókori matematika alapjait, ... ... enciklopédikus szótár

- (Kr. e. 275 és 270 között halt meg) ókori görög matematikus. Születésének idejére és helyére vonatkozó információk nem jutottak el hozzánk, de ismert, hogy Eukleidész Alexandriában élt, és tevékenységének virágkora I. Ptolemaiosz egyiptomi uralkodásának idejére esik ... ... Nagy enciklopédikus szótár

A geometria az euklideszi geometriához hasonló abban, hogy meghatározza az alakzatok mozgását, de abban különbözik az euklideszi geometriától, hogy öt posztulátuma közül egyet (második vagy ötödik) a tagadása helyettesít. Az egyik euklideszi posztulátum tagadása ...... Collier enciklopédiája