Az összes integrál és néhány differenciálelv alapjául szolgáló gondolat az az álláspont, hogy egy mechanikai rendszer valós mozgása extremitást kölcsönöz valamilyen fizikai mennyiségnek. Ennek a tételnek a matematikai megfogalmazásához, mint korábban, a valós mozgás mellett figyelembe kell venni az elképzelhető mozgások összességét, egészen határozott követelményeknek támasztva azokat.

Az integrál elvek megfogalmazása a konfigurációs térben történik. Emlékezzünk vissza, hogy egy szabadságfokkal rendelkező rendszer esetében az általánosított koordináták
, amelyek meghatározzák a rendszer pillanatnyi konfigurációját , derékszögű koordinátákként kezelik a megfelelő -dimenziós tér, ami a konfigurációs tér. Idővel a mechanikai rendszer állapota változik, és a rendszert ábrázoló pont egy bizonyos görbét ír le. Célszerű a rendszer mozgását a reprezentatív pont e görbe mentén történő mozgásának tekinteni. Idő ebben a megfontolásban egy paraméter szerepel, és a pálya minden pontja egy vagy több értéknek fog megfelelni .

Ha arra vagyunk kíváncsiak, hogy a rendszer minden pillanatban hol helyezkedik el a konfigurációs pályán , akkor hozzá kell adni egy másik tengelyt
. Ekkor kapunk egy "többdimenziós gráfot" a vizsgált rendszer mozgásáról. Tanulmányozhatjuk például egy többváltozós gráf bizonyos síkra vonatkozó vetületeit is (2.7. ábra). A képen A, B a reprezentatív pont vetületei a pillanatokban és ennek megfelelően a folytonos vonal a valódi, szaggatott vonalat ábrázolja – az egyik elképzelhető mozgást.

Az integrál elv egy kijelentés arra vonatkozóan, hogy a rendszer valós mozgása hogyan történik egy véges (nem végtelenül kicsi!) időintervallumon keresztül.
. Mi volt a rendszerrel az idő pillanata előtt , minket nem érdekel. De mivel az idő kezdeti és végső pillanatai rögzítettek, úgy gondolják, hogy a mechanikus rendszer minden elképzelhető mozgáshoz az idő pillanatában ponton halad át A, ebben a pillanatban - V; ezek a pontok megfelelnek a rendszer kezdeti és végső helyzetének a tényleges mozgásában.

A mechanikai rendszerek mozgásával kapcsolatos álláspont legáltalánosabb megfogalmazását az úgynevezett legkisebb cselekvés elve tartalmazza (ezt Hamilton-Osztrogradszkij elvnek is nevezik):

A mechanikai rendszer valós mozgása a től számított időintervallumbanelőttolyan, hogy az integrál, az úgynevezett cselekvési függvény és egyenlő

, (60.7)

ahol
-- Az adott mechanikai rendszer Lagrange-ja, van egy szélsőértéke (minimum). Változó nem változik.

Más szóval, a valós mozgás során a cselekvés változásának nullával kell egyenlőnek lennie

(61.7)

feltéve, hogy az összes konfigurációs pálya az idő pillanatában és átmennek a valódi mozgás kezdő- és végpontjain, azaz.

Ez az elv, ellentétben a d'Alembert-féle differenciálelvvel, abban az értelemben szerves, hogy tartalmaz egy állítást a rendszer egészének mozgásáról egy véges időn keresztül.
. Valójában a Lagrange-egyenletek következnek belőle, így a legkisebb cselekvés elve alapján egy mechanikai rendszer teljes dinamikáját kapjuk.

Hagyjuk a függvényeket
, írja le az igazi mozgást, i.e.
azokat a funkciókat, amelyekhez minimuma van. Tekintsük a függvénykészletet
ahol
- funkcióváltozatok
, amelyekről feltételezzük, hogy kicsik ahhoz képest
tól a teljes időtartam alatt előtt . Ezen kívül minden
kapcsolatokat kielégíteni (62,7). Kiszámoljuk az úgynevezett első variációt , szem előtt tartva, hogy a Lagrange függvény függhet az általánosított koordinátáktól , általánosított sebességek
, és az idő :

Amennyiben
, a második kifejezés in
alkatrészekkel integrálható

.

Feltételek miatt (62,7) az összeg

eltűnik, és a maradék integrál tetszőleges értékek esetén nulla lesz
csak akkor, ha az integrandus összegének minden tagja eltűnik. Így megkapjuk a 2. típusú Lagrange-egyenleteket

. (63.7)

Hasznos megjegyezni, hogy a függvény szélsőértékére vonatkozó feladat megoldásából véges egyenletrendszert kapunk, amelyből megkeressük azt a pontot, ahol a függvény szélsőértéket ér el. Ebben az esetben egy funkcionálissal, egy szélsőséges feladat megoldásával van dolgunk, amelyet egy 2. rendű differenciálegyenlet-rendszer ad meg. Ezekből az egyenletekből egy vonal található a konfigurációs térben, amelyet a függvények adnak meg
ahol a funkcionális eléri a minimumát. Ezt a vonalat szélsőségesnek nevezik.

Mivel egyik vagy másik mechanikai modell megalkotásának feladata a mozgásegyenletek összeállítása, látjuk, hogy valójában a rendszer dinamikáját egy függvény - a Lagrange-függvény - határozza meg, mivel ez a függvény oldja meg a problémát. A rendszer Lagrange-ja tehát egy érdekes fizikai objektum, melynek vizsgálata a dinamika problémái kapcsán szükséges. Különösen a legkisebb cselekvés elvéből látható, hogy a függvény csak addig van definiálva, amíg hozzá nem adjuk a koordináták és az idő tetszőleges függvényének teljes deriváltját. Ezt úgy kell érteni, hogy a mozgásegyenletei által meghatározott rendszer egynél több Lagrange-függvénynek felel meg . Valóban, legyen
társult, összekapcsolt, társított valamivel hányados

(64.7)

,

.

De azóta
,

és ebből következően a függvények segítségével kapott Lagrange-egyenletek és
, azonos. A (64.7) forma Lagrange-függvényének definíciójának kétértelműsége nem befolyásolja a mozgásegyenleteket, és mindegyik
a (64.7) osztályból megoldja a rendszer dinamikájának egyedi felépítésének problémáját.

A Lagrange-egyenletrendszer egyik fontos tulajdonsága a kovariancia. Ez azt jelenti, hogy a Lagrange-egyenletek megtartják formájukat az általánosított koordináták 4 ponttranszformációja során

azaz általánosított koordináták használatakor A Lagrange-egyenletek alakja megegyezik:

,

mint az általánosított koordináták használatakor :

.

Igazoljuk közvetlenül, hogy a Lagrange-egyenletek kovariánsak a (65.7) transzformáció tekintetében. Építsünk
:

és származékai

,

1. Anyagi pont kinematikája. Anyagi ponton olyan fizikai objektumot értünk, amely geometriailag egyenértékű egy matematikai ponttal, de tömeggel rendelkezik. A kinematika a fizika egyik ága, amely a testek mozgástípusait vizsgálja anélkül, hogy figyelembe venné a mozgás okait. Egy pont helyzetét a térben egy sugárvektor jellemzi. Egy pont sugárvektora olyan vektor, amelynek eleje egybeesik a koordinátarendszer origójával, vége pedig a vizsgált ponttal. r = én x + j y + k z. A sebesség az a távolság, amelyet egy test időegység alatt megtesz. v(t) = d r/dt. v(t) = én dx/dt + j dy/dt + k dz/dt. A gyorsulás a sebesség változásának mértéke. a=d v/dt = d2 r/dt2= én d2x/dt2 + j d 2 év/dt 2 + k d 2 z/dt 2 . a = a τ + a n= τ dv/dt + n v2/R.

d r = v dt; d v = a dt tehát v = v 0 + a t; r = r 2 – r 1 = v 0 t + a t2/2.

2. Anyagi pont dinamikája. Newton törvényei. A dinamika alapfogalmai a tömeg és az erő fogalma. Az erő a mozgás oka, i.e. a test erejének hatására gyorsul fel. Az erő egy vektormennyiség. A tömeg a test tehetetlenségének mértéke. A tömeg és a sebesség szorzatát impulzusnak nevezzük. p= m v. Egy anyagi pont szögimpulzusa a vektor L = r * p. Az anyagi pontra ható erőnyomatékot vektornak nevezzük M = r * F. Ha megkülönböztetjük a szögimpulzus kifejezését, a következőt kapjuk: d L/dt=d r/dt* p + r*d p/dt. Tekintettel arra, hogy d r/dt= vés v párhuzamos p, kapunk d L/dt= M.Newton törvényei. Newton első törvénye kimondja, hogy egy test megtartja a nyugalmi állapotot vagy az egyenletes egyenes vonalú mozgást, ha más erők nem hatnak rá, vagy hatásukat kiegyenlítik. Newton második törvénye kimondja, hogy az impulzus időbeli változása állandó érték, és egyenlő a d ható erővel. p/ dt = d / dt (m v) = md v/dt= F.Ez Newton második, differenciális formában írt törvénye. Newton harmadik törvénye szerint két test kölcsönhatásában mindegyik azonos értékű, de ellentétes irányú erővel hat a másikra. F 1 = - F 2 .

3. Az anyagi pontrendszer dinamikája. Természetvédelmi törvények. Az anyagi pontok rendszere véges számuk összessége. A rendszer minden pontjára belső (más pontokból származó) és külső erők hatnak. Legyen m a tömeg, r i a sugárvektor. x i , y i , z i - zsinór. i-edik pont. Egy anyagi pontrendszer impulzusa a rendszert alkotó anyagi pontok impulzusainak összege: p= Σ (i=1,n) p i = [ p 1 + p 2 +…+ p n]. Egy anyagi pontrendszer szögimpulzusa az anyagi pontrendszert alkotó impulzusnyomatékok összege: L = Σ [ L i ] = Σ [ rén * pén ]. Az anyagi pontrendszerre ható erő a rendszer pontjaira ható összes erő összege, beleértve a rendszer pontjai közötti kölcsönhatási erőket is: F = Σ [ F i ], hol F i = F i' + Σ(j ≠ i) F ji a rendszer anyagi pontjára ható erő, amelyet i indexszel jelölünk. Külső erőből áll F i ’ és belső erő Σ(i ≠ j) [ F ji ], amely a rendszer más pontjaival való interakció eredményeként hat a pontra. Ekkor: F = Σ (i=1,n) [ F i ’] + Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [ F ji]. Newton harmadik törvénye szerint Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [ F ji ] = 0, tehát F = Σ [ Fén']. Az anyagi pontrendszerre ható erőnyomaték a rendszer pontjaira ható erők nyomatékainak összege M= Σ (i) [ M i ] = Σ (i) [ rén * F i ] = Σ (i) [ rén * Fén']. Anyagi pontrendszer esetén a mozgásegyenlet alakja d p/ dt = Σ = Σ [ Fén ].

Anyagi pontrendszer tömegközéppontja egy képzeletbeli pont, amelynek sugara vektor R= 1/mΣ. Mozgása sebessége V=d R/dt. Ekkor a mozgásegyenlet m d V/dt= F. Az anyagi pontrendszer nyomatékegyenlete d L/dt= M. Természetvédelmi törvények. Izolált rendszer az, amelyre nem hatnak külső erők. Benne F= 0, tehát d p/dt = 0. Akkor p= konst. Izolált rendszerben a külső erők pillanata M= 0. Ezért d L/dt = 0, ami azt jelenti L= konst. Egy anyagi pont mozgási energiájának változása, amikor két pozíció között mozog, megegyezik az erő által végzett munkával. m 0 v 2 2 /2 – m 0 v 1 2 /2 = ∫(1,2) F d l vagy m 0 v 2 /2 + E p \u003d konst.

4. Mozgás központilag szimmetrikus mezőben. Kepler törvényei. A mezőt központinak nevezzük, ha a benne lévő test potenciális energiája csak egy bizonyos fix pont r távolságától függ. Erő F= - ∂U(r)/ ∂ r= - dU/dr r A részecskére ható /r abszolút értékben szintén csak r-től függ, és a sugárvektor minden pontjára irányul. A központi mezőben való mozgáskor a rendszernek a mező középpontjához viszonyított nyomatéka megmarad. Egy részecske pillanatra M = [r*R]. Mivel az M és az r vektorok egymásra merőlegesek, M állandósága azt jelenti, hogy amikor a részecske mozog, sugárvektora mindig ugyanabban a síkban marad - az M-re merőleges síkban. Így a részecske pályája a központi mezőben teljes egészében egy síkban. Bevezetve benne az r, φ poláris koordinátákat, a Lagrange-függvényt L = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) - U(r) alakban írjuk fel. Ez a függvény nem tartalmazza kifejezetten a φ koordinátát. Egy ilyen koordinátánál a neki megfelelő p i általánosított impulzus a mozgás integrálja. Ebben az esetben a p φ = mr 2 φ(∙) általánosított impulzus egybeesik az M z = M nyomatékkal, így M = mr 2 φ(∙) (1). Megjegyezzük, hogy egy részecske síkbeli mozgására egy központi mezőben ez a törvény egyszerű geometriai értelmezést tesz lehetővé. Az 1/2 r r d φ kifejezés annak a szektornak a területe, amelyet két végtelenül közeli sugárvektor és a pálya egy íveleme alkot. Df-ként jelölve a részecske lendületét M = 2mf alakban írjuk fel, ahol az f deriváltot szektorsebességnek nevezzük. Ezért az impulzusmegmaradás a szektorális sebesség állandóságát jelenti - egyenlő időtartamokra egy mozgó pont sugárvektora egyenlő területeket ír le ( Kepler második törvénye). Kifejezve φ(∙)-t M-ig (1)-ből és behelyettesítve az energia kifejezésbe, a következőt kapjuk: E = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) + U(r) = mr 2 (∙ )/2 + M 2 /2mr 2 + U(r). Ezért r(∙) = √(2/m (E – U(r)) - M 2 /m 2 r 2) vagy a változókat elválasztva és integrálva: t = ∫dr/√(2/m (E – U( r)) - M 2 /m 2 r 2) + konst. Továbbá az (1)-et dφ = M 2 /mr 2 dt formában írva, ide dt behelyettesítve és integrálva, a következőket kapjuk: φ = ∫dr (M/r 2)/√(2/m (E – U(r)) ) - M 2 /r 2) + konst. Kepler első törvénye. Minden bolygó ellipszisben kering, egyik fókuszában a Nap található. Kepler harmadik törvénye. A bolygók sziderális periódusainak négyzetei a pályájuk fél-nagytengelyeinek kockáiként vannak viszonyítva T 1 2 /T 2 2 = a 1 3 /a 2 3 .

5. A Lagrange-függvény és az anyagi pontrendszer Lagrange-egyenletei. A mozgás integráljai. Tekintsük az anyagi pontok zárt rendszerét. A rá vonatkozó Lagrange-függvény L = Σ(a) – U(r 1 , r 2 , …) alakú, ahol T = Σ (a) a részecskekölcsönhatás kinetikus energiája, U pedig a részecskekölcsönhatás potenciális energiája. Ekkor a d/dt (∂L/∂v a) = ∂L/∂r a mozgásegyenletek m a dv a /dt = - ∂U/∂r a alakúak. Ezeket a mozgásegyenleteket Newton-egyenleteknek nevezzük. Vektor F a = - ∂U/∂r a-t erőnek nevezzük. Ha nem a pontok derékszögű koordinátáit használjuk a mozgás leírására, hanem tetszőleges általánosított qi koordinátákat, akkor a Lagrange-függvény megszerzéséhez a megfelelő transzformációt kell végrehajtani: xa = f(q 1 , q 2 , .., qs) , xa (∙) = Σ(k ) [∂fa /∂qk (∙)] stb. Ezeket a kifejezéseket behelyettesítve az L= 1 / 2 Σ(a) – U függvénybe, megkapjuk a kívánt alakú Lagrange-függvényt L = 1/2 Σ(i,k) – U(q). A mozgás integráljai. Az általánosított koordinátáknak vannak olyan funkciói, amelyek állandó értékeket tartanak meg mozgás közben, csak a kezdeti feltételektől függően. Ezeket mozgásintegráloknak nevezzük. Az idő homogenitása miatt dL/dt = Σ(i) [∂L/∂q i q i (∙)] + Σ(i) [∂L/∂q i (∙) q i (∙∙)]. A Lagrange-egyenletek szerinti ∂L/∂qi-t d/dt-vel (∂L/∂qi (∙)) helyettesítve dL/dt = Σ(i) vagy d/dt (Σ(i) - L) = 0 Ez azt mutatja, hogy az energiának nevezett E = Σ(i) – L mennyiség nem változik, azaz. mozgási integrál. A végtelenül kis ε transzferrel rendelkező tér homogenitása miatt, amikor a rendszer minden pontját ε = δr eltolja, a Lagrange-függvény változása, egyenlő δL = ε Σ(a) [∂L/∂ra ], egyenlőnek kell lennie nullával, azaz Σ(a) [∂L/∂r a ] = 0. A Lagrange-egyenletek felhasználásával Σ(a) = d/dt (Σ(a)[ ∂L/∂v a ]) = 0. Ekkor a mennyiség R= Σ(a)[ ∂L/∂v a ], impulzusnak nevezzük, változatlan marad, azaz. mozgási integrál. A δφ szögben végtelenül kicsi elforgatásnál a tér izotrópiája miatt a Lagrange-függvény változása egyenlő δL = Σ(a) [∂L/∂r a δ r a + ∂L/∂v a δ v a] nullának kell lennie. A változtatás végrehajtása ∂L/∂ v a = p a és ∂L/∂ r a = p a (∙) δφ önkényességét tekintve d/dt Σ(a) [ r a p a ] = 0. Az М = Σ(a) [ r a p a ], amelyet szögimpulzusnak nevezünk, állandó marad, azaz. mozgási integrál.

6. Egy abszolút merev test dinamikája. Tehetetlenségi tenzor. Euler-egyenletek. A merev test anyagi pontok rendszere, amelyek közötti távolság állandó marad. Egy merev test mozgásának teljes leírásához az egyik pontjának mozgásán túlmenően ismerni kell a test mozgását e pont közelében, mint rögzítési pontban. Legyen a test az O pontban rögzítve. Jelöljük az m i pont sugárvektorát O-hoz képest rén, w a test pillanatnyi szögsebessége, majd a szögimpulzus L= Σ [ rén*vagyok v i ] = Σ = wΣ - Σ . Ez a vektoregyenlőség három vetületként írható fel az L x = w x Σ - Σ koordinátatengelyekre; L y = w y Σ - Σ ; L z = w z Σ - Σ . Tekintettel arra, hogy ( w r i) = x i w x + y i w y + z i w z kapjuk L x = J xx w x + J xy w y + J xz w z ; L y = J yx w x + J yy w y + J yz w z ; L x = J zx w x + J zy w y + J zz w z, ahol J xx = Σ, J xy = Σ, a többi hasonló. A J xx, J yy, J zz értékeket axiális tehetetlenségi nyomatékoknak, a J xy = J yx, J xz = J zx, J yz = J zy értékeket pedig centrifugális tehetetlenségi nyomatékoknak nevezzük. A J ij értékkészletet tehetetlenségi tenzornak nevezzük. J ii elemeit diagonálisnak nevezzük. Ha minden átlón kívüli elem egyenlő nullával, akkor azt mondják, hogy a testnek a koordinátatengelyekkel egybeeső tengelyei a fő tehetetlenségi tengelyek, a J ii mennyiségeket pedig fő tehetetlenségi nyomatékoknak nevezik. Az ilyen tenzor átlós alakra redukálódik.

Euler-egyenletek. A test tömegközéppontjának mozgásegyenlete m d alakú v 0 /dt = md/dt ( w * r 0) = F, ahol r 0 a test tömegközéppontjának sugárvektora, a csatlakozási pontból húzva. Kényelmes a testhez tartozó koordinátarendszer tengelyeit a fő tehetetlenségi tengelyek mentén irányítani. Ebben az esetben a szögimpulzus egyszerű alakot kap: L 1 = J 1 w 1, L 2 = J 2 w 2, L 3 = J 3 w 3, wi pedig a szögsebesség vetületei az együtt mozgó koordináta tengelyekre. a testtel. Az általános képlet d A/dt = ∂ A/∂t + w* A, a pillanatok egyenletét a következőképpen ábrázolhatjuk: ∂ L/∂t + w * L = M. Figyelembe véve, hogy L x = J xwx , L y = J ywy , L z = J zwz , ezt az egyenletet a mozgó koordinátarendszer tengelyeire vetítésekben írjuk át: J x dw x /dt + (J z - J y )wywz = M x , J y dw y /dt + (J x – J z)wzwx = M y , J z dw z /dt + (J y – J x)wxwy = M z . Ezeket az egyenleteket Euler-egyenleteknek nevezzük.

7. Mozgás a nem inerciális vonatkoztatási rendszerekhez képest. A NISO egy olyan rendszer, amelyben a test a nyugalomhoz képest gyorsulással mozog. koordinátarendszerek. Itt a tér és idő homogenitásának és izotrópiájának fogalma nem teljesül, mert időtartama és hossza a NISO-ban változó. Emellett a 3. Newton-törvény és a természetvédelmi törvények tartalma is elveszett. Mindennek az oka a csak a koordinátarendszerhez, a katához kapcsolódó tehetetlenségi erők. befolyásolják a test mozgását. AZUTÁN. a gyorsulás külső erővel vagy tehetetlenséggel változtatható. F=∑Fi=ma (ISO), F=F(ext.)+Fi=ma′(NISO), ahol Fi a tehetetlenségi erő, a a gyorsulás. testek IFR-ben, a′-gyorsítás. ugyanaz a test a NISO-ban. A NISO-ban az 1. Newton törvény nem teljesül! Fi=-m(a′-a), azaz. a tehetetlenségi erők nem engedelmeskednek Newton 3. z-kútjának, mert rövid életűek. Az ISO-ról NISO-ra való átmenet során a tehetetlenségi erők eltűnnek. Tehetetlenség az erők mindig a szemhéjak ellen irányulnak. külső erők. A tehetetlenségi erők vektoriálisan összeadhatók. ISO-ban: v=const, v<

dx/dt=Ux=dx′/dt+dv(t)/dt′=U′x+v(t) dUx/dt=d/dt′(U′x+v(t))=dU′x/ dt′+dv(t)/dt′=ax ' + a 0 = ax . Az abszolút, relatív és transzlációs sebesség fogalmát a NISO vezeti be: u 0 - abszolút sebesség, a 0 - relatív gyorsulás. alvó koordinátarendszerek.

u x 0 \u003d v + u x 0 ’; a x 0 \u003d a ' + a x; u x ’ a x - relatív sebesség és gyorsulás. mozgalom koordinátarendszerek. (relatív) ; v, a′-sebesség. és felgyorsult. k′ utal. k, azaz hordozható sebesség és gyorsulás

8. Hamilton variációs elve. (a legkisebb cselekvés elve).

Van egy -függvénye az általánosított koordinátának, sebességnek, időnek. Tekintsünk egy 2S dimenziós teret, akkor az S = ∫(t 1 , t 2) L(g, g( ), t)dt, L rendszer helyzete a Lagrange-függvény; S-akció. A művelet függvényét itnegralnak nevezzük S=∫ Ldt=0, a kat. a valódi mozgási pálya mentén véve a rendszernek lesz egy minimális értéke, pl. S=Smin, δS=0. Azok. az 1-től 2-ig terjedő rendszer olyan pályán mozog, hogy a hatása minimális – Hamilton legkisebb cselekvés elve. L = T – U a rendszer kinetikai és potenciális energiái közötti különbség. Hamilton szerint a valódi pálya megfelel a minimális akciónak. Keressünk egy pályát. A tényleges pálya a minimális pálya. S-funkciós. Keressük meg a min. δS = 0 első variáció. δS = ∫(t1,t2)(Σ[∂L/∂g i δg i ] + Σ[∂L/∂g i ( ) δg i ( )])dt; ∫(t 1 , t 2) ∂L/∂gi ( ) δg i ( ) dt = ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂gi ( ) dδg i = ∂L/∂gi ( )δg i (t 1 ,t 2) - ∫(t 1 ,t 2) δg id/dt (∂L/∂gi ( )) dt;

;

δg i nem függenek egymástól
=0
a tényleges pályán a következő egyenletnek kell teljesülnie:
- Lagrange-egyenlet (bármely i= 1,…S esetén).

9. Egy és több szabadságfokú rendszerek oszcillációi. Szabad és kényszer rezgések . A legegyszerűbb eset az, amikor a rendszernek egy szabadságfoka van. A stabil egyensúly megfelel a rendszer ilyen helyzetének, a macskában. a lehetőségeit. hu. U(q)-nak van egy minimuma. Az ettől a pozíciótól való eltérés egy dU/dq erő kialakulásához vezet, amely a rendszert visszahozza. q 0 - általánosított koordináta. Kibővítjük az U(q) - U(q0) hatványokat, és megkapjuk, hogy U(q) - U(q0) ≈ k / 2 (q - q 0) 2 ahol k \u003d U '' (q 0) pozitív együttható . U(q 0) \u003d 0, jelöljük x \u003d q - q 0 - a koordináta eltérését az egyensúlyi értéktől, akkor U (x) \u003d kx 2 / 2 a potenciális energia. 1/2a(q) q' 2 =1/2a(q)x' 2 -kinetikus energia q = q0 és a(q0) = m esetén kapjuk a Lagrange-függvényt egydimenziós rezgéseket végző rendszerre: L = mx 2 (∙) /2 – kx 2 /2. A függvénynek megfelelő mozgásegyenlet a következő lesz: mx(∙∙) + kx = 0 vagy x(∙∙) + w 2 x = 0, ahol w = √(k/m) a ciklikus rezgési frekvencia. Ezen ur-th megoldása x \u003d a cos (wt + α), ahol a az oszcillációk amplitúdója, wt + α a rezgések fázisa. azután. az oszcilláló rendszer energiája E = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2 lesz. Kényszer rezgések. Ebben az esetben a rendszernek saját ½ kx 2 potenciális energiájával együtt van egy U e (x, m) potenciális energiája is, amely egy külső tér hatásához kapcsolódik. Ennek megfelelően egy ilyen rendszer Lagrange-függvénye a következő lesz: L = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2 + x F(t), ahol F(t) egy külső erő.

A megfelelő mozgásegyenlet a következő lesz: mx(∙∙) + kx = F(t), vagy x(∙∙) + w 2 x = F(t)/m. Ha F(t) az idő egyszerű periodikus függvénye valamilyen γ frekvenciával: F(t) = f cos(γt + β), akkor a mozgásegyenletek megoldása a következő lesz: X = a cos(wt + α) + f cos(γt + β)/(m(w 2 – γ 2)) a és α a kezdeti feltételekből határozható meg. Hogy. hajtóerő hatására a rendszer két rezgés kombinációját reprezentáló mozgást végez - a rendszer w sajátfrekvenciájával és a hajtóerő frekvenciájával - γ. Sok szabadságfokú rendszerek oszcillációi . Edény. hu. az U(q i) rendszer minimuma q i =q i 0 helyen. Kis x i = q i - q i 0 elmozdulásokat bevezetve és bennük U-t 2. rendű tagpontossággal kiterjesztve megkapjuk a potenciált. energia: U = 1/2 Σ(i,k) , k ik =k ki . Kinet. hu. egy ilyen rendszerre 1/2 Σ(i,k) lesz, ahol m ik =m ki . A Lagrange-egyenlet egy ilyen rendszerre a következő lenne: L = 1/2 Σ(i,k) . Ekkor dL = Σ(i,k) . Az x k-t (t) x k\u003d A k exp (-iwt) formában keressük, A k konstans. Ezt a Lagrange-egyenletbe behelyettesítve lineáris homogén egyenletrendszert kapunk. Σ(k) [(-w 2 m ik +k ik)A k ] = 0 - karakterisztikus egyenlet, s különböző gyöke van w 2 α (α=1,2,….,s) w α - sajátfrekvenciái a rendszert. A rendszer egy adott megoldásának alakja: x k = ∆ kα C α exp(-iw α t). Az általános megoldás az összes konkrét megoldás összege: x k = Σ(α) [∆ kα Q α ], ahol Q = Re (C α exp(-iw α t)).

10. Hamilton kanonikus egyenlete. A mechanika kérdéseinek vizsgálatában számos előnyt jelent az általánosított koordináták és momentumok segítségével történő leírás, a független változók egyik halmazából a másikba való átmenet Legendre transzformációval valósítható meg. Ebben az esetben a következőkből következik. A Lagrange-függvények teljes differenciája a koordináták és sebességek függvényében: dL = Σ(i) [∂L/∂q i ] + Σ(i) [[∂L/∂q i (∙)]. Ez a kifejezés a következőképpen írható fel: dL = Σ(i) + Σ(i) . Írjuk át a következő alakba: d(Σ(i) – L) = - Σ(i) + Σ(i) . A differenciáljel alatti érték a rendszer koordinátákkal és momentumokkal kifejezett energiája, és ezt Hamilton-függvénynek nevezzük: H (p, q, t) = Σ (i) - L. A dif. A dH = - Σ(i) + Σ(i) egyenletek a következő egyenleteket követik: q i (∙) = ∂H/∂p i , p i (∙) = - ∂H/∂q i a Hamilton-egyenletek. Egyszerűségükre és szimmetriájukra tekintettel ún. kánoni. Poisson zárójelek. Az általánosított koordináták, momentum és idő bármely F függvényének időderiváltája dF/dt = ∂F/∂t + Σ(i) [∂F/∂qi dq i /dt] + Σ(i) [∂F/∂ pi dpi /dt]. A Hamilton-egyenletek segítségével átírhatjuk ezt az egyenletet a következő formában: dF/dt = ∂F/∂t +, ahol = Σ(i) [∂F/∂qi ∂H/∂pi - ∂H/∂qi ∂F /∂ pi] - hívják. a Poisson zárójel. Nyilvánvalóan a Hamilton-egyenlet felírható Poisson zárójelekkel.

11. Hamilton–Jacobi egyenlet . A legkisebb cselekvés elve alapján S = ∫(t 1 ,t 2)Ldt. Tekintsük a cselekvést (S) olyan mennyiségnek, amely a valódi pályák mentén történő mozgást jellemzi. A Lagrange-egyenlet alapján a cselekvés megváltoztatására, amikor az egyik pályáról egy másik, ahhoz közeli pályára haladunk (egy szabadságfokkal) a következőt kapjuk: δS = pδq vagy tetszőleges számú szabadsági fokra: δS = Σ(i) . Ebből következik, hogy a cselekvés koordinátákhoz viszonyított parciális deriváltjai egyenlők a megfelelő momentumokkal: ∂S/∂q i = p i (1). Definíció szerint dS/dt = L, másrészt, ha S-t a koordináták és az idő függvényének tekintjük, és az (1) képletet használva a következőt kapjuk: dS/dt = ∂S/∂t + Σ(i) [∂S/ ∂qiqi (∙)] = ∂S/∂t + Σ(i) . Mindkét kifejezést összehasonlítva azt kapjuk, hogy ∂S/∂t = L - Σ(i) vagy ∂S/∂t = - H(p,q,t) (2). Az (1), (2) képletek összeírhatók a következőképpen: dS = Σ(i) – Hdt. És maga a cselekvés (S) lesz S = ∫ (Σ(i) – Hdt). t-től független H esetén S(q,t)=S 0 (q) - Et, ahol S 0 (q) = Σ(i) [∫pi dq i ] egy rövidített művelet, és Еt helyére H(p) ,q) . Az S(q,t) függvény kielégít egy bizonyos különbséget. egyenlet, amelyet úgy kapunk, hogy a (2) összefüggésben szereplő Р impulzusokat a ∂S/∂q deriváltokra cseréljük: ∂S/∂t + H(∂S/∂q 1 ,…, ∂S/∂qs ;q 1 ,… A ,qs ,t) = 0 egyenlet elsőrendű parciális deriváltjaiban. Hamilton-Jacobi egyenlet. Tehát egy U(x,y,z,t) külső mezőben lévő részecske alakja: ∂S/∂t + 1/(2m)((∂S/∂x) 2 + (∂S/∂) y) 2 + (∂S/∂z) 2) + U(x,y,z,t) = 0.

12. Alakváltozások és feszültségek szilárd anyagokban. Young-modulus, nyírás. Poisson-arány . A deformáció a test alakjának és térfogatának megváltozása külső erők hatására. Külső erő hatására a test alakja megváltozik. A természetben előforduló összes deformáció 3-ra csökkenthető m fő alakváltozások: 1) feszítés, összenyomás; 2) nyírás; 3) csavarás. Homogén és inhomogén alakváltozások megkülönböztetése. Ha minden alkatrész ugyanúgy deformálódik, akkor ez egyenletesen deformálódott. Ha a test minden része eltérően deformálódik, akkor ez inhomogén módon deformálódott. A Hooke-törvény csak a rugalmas alakváltozás tartományában teljesül.  = E’. F/S = E ∆l/l 0 ; F szabályozás = ES∆l/l 0 = kx; k = ES/l 0; F vezérlés = ESx / l 0. A Hooke-törvény meghatározza a  és  közötti kapcsolatot. k a rugalmassági együttható, függ a geometriai méretektől, az anyagtól, amelyből a test készült. E a Young-modulus. Young modulusa egyenlő azzal az erővel, amelyet egy egységnyi keresztmetszetű testre kell kifejteni, hogy a teste kétszeresére növekedjen. Az alakváltozás másik fajtája a nyírási deformáció, amely a felület érintőleges felhordásakor figyelhető meg; párhuzamos a nyírási deformációs felülettel, tangenciális erők hatására figyelhető meg, azaz az erők érintőlegesen fejtik ki hatásukat. Ψ~F t /S (eltolódási szög). Ψ = nFt/S; n az eltolási tényező. F t = nS. (E> É, E~ 4N).

Az E és N közötti mennyiségi összefüggést a Poisson-hányados adja meg. N = E/(2(1+μ)), ahol  a Poisson-hányados. μ = |∆d/d 0 |/|∆l/l 0 |. A Poisson-arány határozza meg a keresztirányú méretek változását feszítés vagy összenyomás során.  0,5.

13. Folyadékok és gázok mechanikája. Minden folyadék és gáz esetében az egyesítő paraméter: sűrűség ρ, nyomás P=F n /S. Folyadékokban és gázokban a Young-modulus megtörténik, de a nyírási modulus |σ|=|P|, σ - feszültség nem lép fel. Ha a folyadék (gáz) mozdulatlan, akkor hidrosztatikával (aerosztatikával) van dolgunk. Jellemző törvények: Pascal-törvény: a gázokban és folyadékokban keletkező túlnyomás minden irányban egyformán továbbítódik. A Zn Archimedes folyadékokra és gázokra egyaránt érvényes. Az Archimedes-erő mindig a gravitációs erővel szemben hat. Az Arkhimédész-erő kialakulásának oka egy V térfogatú test jelenléte. Zn Arkhimédész: Egy folyadékban vagy gázban lévő testre mindig olyan erő hat, amely megegyezik a bemerült része által kiszorított folyadék vagy gáz tömegével. a testre, és függőlegesen felfelé irányítva. Ha F A >F HEAVY, akkor a test lebeg, ha fordítva, akkor elsüllyed. Ha folyadék (gáz) áramlik, akkor ezekhez az egyenletekhez hozzáadódik a sugárfolytonossági egyenlet. A részecske folyadékban való mozgásának pályáját ún. aktuális vonal. Az áramvonal által határolt térrészt ún. áramcső. Az áramláscsőben lévő folyadék áramolhat álló vagy nem álló helyzetben. Az áramot ún állomás ha egységenként az áramcső adott szakaszán keresztül. az idő ugyanannyi folyadék (gáz) halad át, ellenkező esetben nem statikus áramlás. Legyen a következő alakú áramcsöve: Ha a folyadék áramlása statikus. Ekkor m 1 =m 2 =…=m n egységnyi idő alatt, ha a folyadék összenyomhatatlan, akkor ρ 1 V 1 =ρ 2 V 2 =…; =ρ n V n, ρ 1 Δx 1 = ρ 2 Δx 2 =…; \u003d ρ n Δx n, ρ 1 υ 1 ΔtS 1 \u003d ρ 2 υ 2 ΔtS 2 =…= ρ n υ n ΔtS n, mivel a folyadék összenyomhatatlan, S = υ υ ρ = 21 υ állandó = υ n S n, υS = állandó; υ=const/S a sugárfolytonossági egyenlet. p d v/dt = ρ g– grad P – ekv. Euler - 2. rend. Newton folyadékokhoz és gázokhoz. A törvény megmarad. Energia folyadékokban és gázokban. Lv. Bernoulli. Id. Naz. Összenyomhatatlan folyadék, amelyben a viszkózus súrlódási erők figyelmen kívül hagyhatók. A mozgási energiát nem a súrlódási erők elleni munkára fordítják. Ρυ 2 /2+ρgh + P = állandó – ekv. Bernoulli, ρυ 2 /2 – dinamikus nyomás, ρgh – hidrosztát. Nyomás, P - molekulanyomás. Mυ 2 /2 \u003d E K; mυ 2 /2V= E K /V= ρυ 2 /2. Viszkózus súrlódási erő F A = ​​​​- ηΔυΔS/ΔZ  6 π r η υ – Stokes erő. Η - együttható. viszkozitás, Δυ/ΔZ – grad υ, r – testméretek. Ez Newton képlete a viszkózus súrlódási erőkre. Ha a folyadékban súrlódási erők vannak, akkor id. A folyadék viszkózus lesz. ρ v 1 2 / 2 + ρgh 1 + P 1 = ρ v 2 2 / 2 + ρgh 2 + P 2 ; (P 1 - P 2) \u003d ρ (υ 2 2 - υ 1 2) / 2. Ha ΔP = 0, akkor υ 2 2 - υ 1 2 = 0, és nem lesz folyadékáramlás. Ahol P nagyobb, ott gyors. Kevésbé aktuális. Ha az S keresztmetszet nő, akkor P nő, υ pedig csökken. Ha az áramcső nem fekszik vízszintesen, akkor υ 2 2 -υ 1 2 \u003d 2g (h 1 -h 2); υ \u003d sqrt (2g (h 1 -h 2)) - Torricelli képlete.

A d'Alembert-elv alkalmazása lehetővé teszi a kötések reakcióerejének figyelmen kívül hagyását, és lehetővé teszi tetszőleges általánosított koordináták alkalmazását. Az általánosított koordinátákban az egyenletek megszerzése azonban nehéz lehet, mivel a d'Alembert-elvben skalárszorzatok jelennek meg (2.13). Koordinátatranszformációk segítségével a (2.13) egyenletek olyan formává alakíthatók, amely csak általánosított koordináták skaláris függvényeit tartalmazza. Egy másik utat fogunk jelezni, amikor először a d'Alembert-elvről az integrál variációs elvre térünk át. A mechanika egyenleteinek a variációs elvből való levezetése sok fontos eredmény elérését tette lehetővé. A jövőben a variációs elveket az elméleti fizika más területein is alkalmazni kezdték.

Tekintsük azt az esetet, amikor az erőknek van potenciálja. Ezután az erők virtuális munkája az űrlapba lesz írva (2.14)

Általában a potenciális energia függhet az időtől. Mivel a szórást fix értékre számítjuk, ez semmilyen módon nem befolyásolja a következtetéseket. Általánosított koordináták használatakor a potenciális energia végső soron az általánosított koordináták függvénye. Ekkor a potenciális energia változásának formája lesz

(2.15)

Az (1.12) kifejezésekkel analóg módon a potenciális energia általánosított koordinátákhoz viszonyított parciális deriváltjait nevezzük. Általános erők:

Ahhoz, hogy a gyorsulásokkal rendelkező kifejezéseket skalárfüggvény variációjává alakítsuk, először integráljuk az egyenletet (2.9) időben: . (2.17)

(2.18)

Feltételezzük, hogy adott az anyagi pontrendszer kezdeti időpontja ÉS az időpillanatbeli végső helyzete. Ezért ezekre az időpillanatokra egyenlő nullával, és a (2.18) első tagja eltűnik. Mivel a koordináta-változatokat fix időkre veszik figyelembe, az idő derivált és a variáció felcserélhető. A (2.18) második tagját formává alakítjuk

(2.19)

Ugyanaz a transzformáció elvégezhető minden anyagi pont összes koordinátájára. A virtuális munka (2.14) kifejezését is figyelembe vesszük a potenciálfüggvény szempontjából. Ennek eredményeként a (2.17) integrálra megkapjuk

. (2.20) A (2.20) képlet utolsó integráljában szereplő kinetikus és potenciális energiák különbségét ún. Lagrange funkcióés betűvel van jelölve . A Lagrange függvény az anyagi pontok koordinátáitól és sebességétől függ. Az általánosított koordinátákra való átlépéskor általánosított koordinátákkal és általánosított sebességekkel fejezzük ki:

Előfordulhat, hogy a Lagrange funkció nem tartalmazza az időt. A (2.20)-ból származó integrált betűvel jelöljük és hívjuk akció; (2.22)

Ezen jelölések bevezetése után a (2.20) feltétel a következőt veszi fel. (2,23)

A művelet variációja nulla. Ez azt jelenti, hogy a cselekvésnek szélsősége van, akkor veszi fel a legnagyobb vagy legkisebb értéket, ha a mechanikai rendszer mozgását leíró függvényeket függőségként behelyettesítjük a (2.22) integrálba. Ezért a cselekvési szélsőség feltétele felhasználható egy anyagi pontrendszer mozgástörvényének megkeresésére.

Most már megfogalmazhatjuk integrál elv, hívott Hamilton-elv: Egy mechanikai rendszer mozgása egy véges időtartamon keresztül Előtt Ez úgy történik, hogy a cselekvésnek van szélsősége.

A konzervatív rendszerek esetében a Hamilton-elv egyenértékű a Newton-törvényekkel. Ezért tekinthető a mechanika alapelvének, amelyből a mechanika összes egyenlete levezethető Ez egy variációs elv, mivel az általánosított koordináták időbeli függését a cselekvési integrál minimumának feltételéből találjuk meg. A Hamilton-elv alkalmazásának egyik előnye, hogy csak olyan skaláris függvényeket tartalmaz, amelyek tetszőleges általánosított koordinátákra újraszámíthatók. Ezért a variációs elvből következő egyenletek azonnal általánosított koordinátákba íródnak. A mechanika egyenleteinek a variációs elvből való kinyerése a klasszikus mechanika számos alapvető kérdésének megoldását is lehetővé tette.

Amikor először megismertem ezt az elvet, valamiféle miszticizmus érzése támadt. Úgy tűnik, hogy a természet titokzatosan végigválogatja a rendszer minden lehetséges mozgási módját, és kiválasztja közülük a legjobbat.

Ma szeretnék beszélni egy kicsit az egyik legfigyelemreméltóbb fizikai elvről - a legkevesebb cselekvés elvéről.

háttér

Galilei kora óta ismert, hogy a testek, amelyekre semmilyen erő nem hatnak, egyenes vonalban, vagyis a legrövidebb úton mozognak. A fénysugarak is egyenes vonalban haladnak.

Visszaverve a fény is úgy mozog, hogy a legrövidebb úton jut el egyik pontból a másikba. A képen a legrövidebb út a zöld lesz, amelynél a beesési szög megegyezik a visszaverődés szögével. Minden más út, például a piros, hosszabb lesz.

Ezt könnyű bizonyítani, ha egyszerűen visszaverjük a sugarak útját a tükör ellenkező oldalára. A képen szaggatott vonallal jelennek meg.

Látható, hogy az ACB zöld út ACB' egyenessé válik. És a piros út ADB ' szaggatott vonallá változik, ami természetesen hosszabb, mint a zöld.

1662-ben Pierre Fermat azt javasolta, hogy egy sűrű anyagban, például az üvegben a fény sebessége kisebb, mint a levegőben. Ezt megelőzően az általánosan elfogadott változat Descartes volt, amely szerint a fénysebességnek nagyobbnak kell lennie az anyagban, mint a levegőben, hogy megkapjuk a helyes töréstörvényt. Fermat számára természetellenesnek tűnt az a feltételezés, hogy a fény gyorsabban mozoghat sűrűbb közegben, mint egy ritka közegben. Ezért azt feltételezte, hogy minden pontosan az ellenkezője, és csodálatos dolognak bizonyult - e feltételezés alapján a fény megtörik, hogy a lehető legrövidebb időn belül elérje célját.

Az ábrán ismét a zöld szín mutatja azt az utat, amelyet a fénysugár ténylegesen bejár. A pirossal jelölt út a legrövidebb, de nem a leggyorsabb, mert a fénynek hosszabb útja van az üvegben, és abban kisebb a sebessége. A leggyorsabb a fénysugár tényleges útja.

Mindezek a tények azt sugallták, hogy a természet valamilyen racionális módon cselekszik, a fény és a testek a legoptimálisabb módon mozognak, a lehető legkevesebb erőfeszítéssel. De mik voltak ezek az erőfeszítések, és hogyan kell kiszámítani őket, rejtély maradt.

1744-ben Maupertuis bevezette a "cselekvés" fogalmát, és megfogalmazta azt az elvet, amely szerint egy részecske valódi pályája abban különbözik a többitől, hogy a rá irányuló cselekvés minimális. Maga Maupertuis azonban nem tudott világosan meghatározni, hogy ez a cselekvés mivel egyenlő. A legkisebb cselekvés elvének szigorú matematikai megfogalmazását más matematikusok – Euler, Lagrange – dolgozták ki, és végül William Hamilton adta meg:

A matematikai nyelvben a legkisebb cselekvés elve meglehetősen röviden megfogalmazódik, de nem minden olvasó érti a használt jelölés jelentését. Ezt az elvet szeretném világosabban és egyszerűbben elmagyarázni.

laza test

Tehát képzelje el, hogy egy adott ponton autóban ül, és egy adott időpontban egy egyszerű feladatot kap: az adott időpontban egy autót kell vezetnie.

Az autó üzemanyaga drága, és természetesen a lehető legkevesebbet szeretné költeni. Autója a legújabb szupertechnológiák felhasználásával készült, és olyan gyorsan tud felgyorsulni vagy lassulni, ahogy csak akarja. Azonban úgy van megtervezve, hogy minél gyorsabban halad, annál több üzemanyagot fogyaszt. Ráadásul az üzemanyag-fogyasztás arányos a sebesség négyzetével. Ha kétszer gyorsabban halad, akkor 4-szer több üzemanyagot fogyaszt ugyanannyi idő alatt. Az üzemanyag-fogyasztást a sebesség mellett természetesen az autó tömege is befolyásolja. Minél nehezebb az autónk, annál több üzemanyagot fogyaszt. Autónk üzemanyag-fogyasztása minden pillanatban , azaz. pontosan megegyezik az autó mozgási energiájával.

Hogyan kell tehát vezetni, hogy időben eljuss a célpontra, és a lehető legkevesebb üzemanyagot használd fel? Egyértelmű, hogy egyenes vonalban kell haladnia. A megtett távolság növekedésével az üzemanyagot pontosan nem fogyasztják el. És akkor választhat különböző taktikákat. Például gyorsan előre megérkezhet a pontra, és csak ül, vár, hogy eljön az idő. A menetsebesség, és ezáltal az üzemanyag-fogyasztás minden pillanatban magas lesz, de a menetidő is csökken. Talán az általános üzemanyag-fogyasztás ebben az esetben nem lesz olyan nagy. Vagy mehet egyenletesen, azonos sebességgel úgy, hogy sietség nélkül pontosan megérkezzen az adott pillanatban. Vagy az út egy részét gyorsan kell haladni, részben pedig lassabban. Mi a legjobb út?

Kiderült, hogy a legoptimálisabb, leggazdaságosabb vezetési mód az, ha állandó sebességgel haladunk, például pontosan a megbeszélt időben a ponton lenni. Minden más lehetőség több üzemanyagot fogyaszt. Néhány példával ellenőrizheti. Ennek az az oka, hogy az üzemanyag-fogyasztás a sebesség négyzetével nő. Ezért a sebesség növekedésével az üzemanyag-fogyasztás gyorsabban nő, mint a vezetési idő csökkenése, és az általános üzemanyag-fogyasztás is nő.

Megállapítottuk tehát, hogy ha egy autó a mozgási energiájával arányosan fogyaszt egy adott időpontban üzemanyagot, akkor a leggazdaságosabb módja annak, hogy pontról pontra pontosan a megadott időpontban juthasson el, ha egyenletesen és egyenesen halad, mint pl. egy test a rá ható erők hiányában mozog.erők. Minden más vezetési mód magasabb üzemanyag-fogyasztást eredményez.

A gravitáció terén

Most javítsunk egy kicsit az autónkon. Rögzítsünk rá sugárhajtóműveket, hogy bármilyen irányba szabadon repülhessen. Általában a kialakítás ugyanaz maradt, így az üzemanyag-fogyasztás ismét szigorúan arányos maradt az autó mozgási energiájával. Ha most azt a feladatot kapjuk, hogy egy pontból induljunk el, és t időpontban érkezzünk meg, akkor a leggazdaságosabb módja, mint korábban, természetesen egyenletesen és egyenes vonalban repül, hogy pontosan a kijelölt idő t. Ez ismét megfelel a test szabad mozgásának a háromdimenziós térben.

Az autó legújabb modelljébe azonban egy szokatlan eszközt szereltek be. Ez az egység szó szerint a semmiből képes üzemanyagot előállítani. De a kialakítás olyan, hogy minél magasabb az autó, annál több üzemanyagot termel a készülék adott időpontban. Az üzemanyag-kibocsátás egyenesen arányos azzal a magassággal, amelyen a jármű pillanatnyilag áll. Ezenkívül minél nehezebb az autó, annál erősebb az eszköz, és annál több üzemanyagot termel, és a teljesítmény egyenesen arányos az autó tömegével. A berendezés olyannak bizonyult, hogy az üzemanyag-kibocsátás pontosan egyenlő (hol a szabadesési gyorsulás), azaz. az autó potenciális energiája.

Az üzemanyag-fogyasztás minden pillanatban egyenlő a mozgási energiával mínusz az autó potenciális energiája (mínusz a potenciális energia, mert a beszerelt jármű üzemanyagot termel, és nem költ). Most a mi feladatunk az autó leggazdaságosabb mozgása a pontok között, és ez egyre nehezebbé válik. Az egyenes vonalú egyenletes mozgás ebben az esetben nem a leghatékonyabb. Kiderül, hogy optimálisabb egy kicsit mászni, ott elidőzni egy kicsit, miután több üzemanyagot fejlesztettek, majd leereszkedni a lényegre. A helyes repülési útvonal mellett az emelkedésből adódó teljes üzemanyag-fogyasztás fedezi az útvonal hosszának és a sebesség növelésének többletköltségeit. Gondosan kiszámolva az autó számára az lenne a leggazdaságosabb, ha egy parabolában repülne, pontosan ugyanazon a pályán és pontosan ugyanolyan sebességgel, mint ahogy egy kő repülne a Föld gravitációs terében.

Itt érdemes magyarázatot adni. Természetesen sokféleképpen el lehet dobni egy követ egy pontról úgy, hogy eltalálja a pontot. De úgy kell dobni, hogy amikor egy pontból kirepült, akkor pontosan az időpontban érjen el egy pontot. Ez a mozgás lesz a leggazdaságosabb az autónk számára.

A Lagrange-függvény és a legkisebb cselekvés elve

Most ezt a hasonlatot átvihetjük valódi fizikai testekre. A karosszériák üzemanyag-fogyasztásának intenzitásának analógját Lagrange-függvénynek vagy Lagrange-függvénynek nevezik (Lagrange tiszteletére), és a betűvel jelölik. A Lagrange megmutatja, hogy egy adott időpontban mennyi "üzemanyagot" fogyaszt a szervezet. Egy potenciálmezőben mozgó test esetében a Lagrange egyenlő a kinetikus energiájával, mínusz a potenciális energiájával.

A teljes mozgási idő alatt elfogyasztott üzemanyag teljes mennyiségének analógja, pl. a Lagrange-nak a mozgás teljes ideje alatt felhalmozott értékét "akciónak" nevezzük.

A legkisebb cselekvés elve az, hogy a test úgy mozog, hogy a cselekvés (ami a mozgás pályájától függ) minimális legyen. Ebben az esetben nem szabad elfelejteni, hogy a kezdeti és a végső feltételek adottak, pl. hol van a test időben és időben .

Ebben az esetben a testnek nem kell egyenletes gravitációs térben mozognia, amit az autónknál figyelembe vettünk. Teljesen más helyzeteket is mérlegelhetsz. Egy test oszcillálhat egy gumiszalagon, lendülhet az ingán vagy repülhet a Nap körül, mindezen esetekben úgy mozog, hogy minimálisra csökkentse a "teljes üzemanyag-fogyasztást", pl. akció.

Ha a rendszer több testből áll, akkor egy ilyen rendszer Lagrange-ja egyenlő lesz az összes test teljes kinetikus energiájával, mínusz az összes test teljes potenciális energiájával. És ismét, minden test összehangoltan fog mozogni, így az egész rendszer hatása a mozgás során minimális.

Nem olyan egyszerű

Valójában egy kicsit csaltam, amikor azt mondtam, hogy a testek mindig úgy mozognak, hogy minimálisra csökkentsék a cselekvést. Bár ez nagyon sok esetben igaz, elképzelhető olyan helyzet, amelyben a cselekvés nyilvánvalóan nem minimális.

Például vegyünk egy labdát, és helyezzük egy üres helyre. Tőle bizonyos távolságra rugalmas falat helyezünk. Tegyük fel, hogy azt szeretnénk, hogy a labda egy idő után ugyanoda kerüljön. Ilyen körülmények között a labda kétféleképpen mozoghat. Először is, a helyén maradhat. Másodszor, a fal felé tolhatja. A labda eléri a falat, lepattan róla és visszajön. Egyértelmű, hogy olyan sebességgel tudod tolni, hogy pontosan a megfelelő időben térjen vissza.

A labda mozgásának mindkét változata lehetséges, de a második esetben az akció nagyobb lesz, mivel a labda mindvégig nem nulla kinetikus energiával fog mozogni.

Hogyan menthető meg a legkisebb cselekvés elve, hogy az ilyen helyzetekben is érvényes legyen? Ebben fogunk beszélni erről.

A mechanikai rendszerek mozgását kibővített konfigurációban és fázisterekben leíró pályák figyelemre méltó tulajdonsággal rendelkeznek - valamilyen variációs probléma szélső pontjai, stacionárius értékeket adnak az akciófunkcionálisnak.

Tekintsük a variációs probléma megfogalmazását a kiterjesztett konfigurációs térben R"*", melynek pontjai a halmazok (q, (). Legyen a görbe yn = ((q, t): q e R t e, 5q(/0)=8q(/,)=0). A 8q(/) variáció egy tetszőleges függvény a C 1 osztályból, amely eltűnik a szegmens = 0 végén.

A A funkcionális első változata Sy at y = y 0 a definíció szerint egyenlő

részenkénti integráció után pedig felveszi a formát

A nem integrál tag a (2.3) kifejezésben eltűnik,

mivel bq k (t 0) = bq k (t y) = 0, Nak nek - 1 ..... l, és a kifejezés négyzetben

Az integráljel alatti zárójelben a nullával egyenlő, mivel y 0 egy valós pálya, amely kielégíti a (2.1) Lagrange-egyenleteket. Ezért az 55(y 0) variáció = 0. ?

A fordított állítás is igaz: ha a 65(y*) = 0 variáció, ahol y* a körforgalmi pályák osztályába tartozik, akkor y* = y 0 valós pálya. Ennek az állításnak az érvényessége az első variáció (2.3) kifejezéséből és a variációszámítás fő lemmájából következik. Ebben az esetben az első variáció egyenlőségétől nulláig

valamint a 6k - 1, ... variációk függetlensége, a második típusú Lagrange-egyenletek érvényessége

l, ebből következik

mikor q k = q k *(t), k= 1......l. Ez azt jelenti, hogy y* a mechanikai rendszer tényleges pályája.

3.1. Nem konzervatív rendszer esetén nem lehet olyan funkcionálist megjelölni, amelynek stacionárius értékét valós pályán érte el. Ebben az esetben azonban a következő állítások egyenértékűek:

ahol q(/) a valós pálya. A fenti állítások közül az első a Hamilton-Ostrogradsky-féle variációs elv nem konzervatív rendszerekre vonatkozó tartalma.

3.2. Megmutatható, hogy az akciófunkcionális stacionárius értéke minimális, ha a - / 0 különbség elég kicsi. Ez a körülmény összefügg a tárgyalt elv egy másik nevével - Hamilton-Ostrogradkogo legkisebb cselekvésének elvével.

A fent tárgyalt variációs probléma a kiterjesztett fázistérben fogalmazható meg, ami fontosnak bizonyul a Hamilton-féle kanonikus egyenletek integrálhatóságának kérdésében. Jelölje Г = ((р + 6р. q + 8q, én): p, q, 6p. 6q e R", te[r 0, /,]. 5q(/ 0)= 8q(/|) = 0) görbe a kiterjesztett fázistérben, és legyen 8p = 8q = 0 esetén a Г 0 görbe a Hamilton-féle kanonikus egyenletrendszer megoldása.

Minden időfüggvény a C 1 osztályba tartozik. Így a körforgalmi pályák (Г) családját határozzuk meg, amelyhez a valós Г 0 pálya tartozik (46. ábra). Az akciófunkcionális, figyelembe véve a Lagrange és Hamilton függvények kapcsolatát, formát ölt

Itt a p, q betűket használjuk a rövidség kedvéért a p + 8p, q + 8q betűk helyett. Az 5[Γ] függvény valós pályán való változását kiszámítva megkapjuk

Részenként integrálva, a peremfeltételeket figyelembe véve találjuk

Ebből az következik, hogy a 85|Γ 0 1 = 0 variáció, ha p(/), q(f) kielégíti a (2.4) kanonikus Hamilton-egyenleteket, u. ellenkezőleg, a variációk függetlenségének feltételéből 8p(r), 6q(/) (2.4) egyenletek következnek a variációszámítás fő lemmája szerint.

Így a rendszer fázisterében bebizonyosodott a legkisebb hatás elvének érvényessége: a körpályák terén definiált 5[Г] akciófunkcionális (Г|. a valós pályán stacionárius értéket vesz fel, azaz 85 [Г 0 1 = 0.

Rizs. 46

• 3.3. A (2.5) funkcionális megalkotásánál a Lagrange és Hamilton függvények és a p *= V^? Legendre transzformáció közötti kapcsolatot használtuk. Ezt követően a p és q változókat függetlennek tekintettük, és az akciófunkcionális stacionaritásából az inverz Legendre transzformációt kaptuk. q = V p Hés a p = -y dinamikus egyenlet Én vagyok N.
• 3.4. A körforgalmi pályák osztálya leszűkíthető a br(/ 0) = br(Γ|) = 0 feltételek bevezetésével. Ebben az esetben a körforgalmi pályák családját jelöljük (Γ*), Γ* = ((p + 8p, q + 6q, t): p, q, Sp, 6q e R n , 5q(/,) = 6p(/,) = 0, /" = 0, 1). Könnyen ellenőrizhető, hogy az 5[Γ*| akciófunkcionális stacionárius értéke ezen a rögzített végű körforgalmi pályák téren a mechanikai rendszer tényleges mozgásán is elért Ez az állítás alkotja a legkisebb cselekvés Poincaré-elvét.