0\nу >0\n\nAz y=f(x) függvényről azt mondjuk, hogy növekszik egy\nintervallumban, ha az argumentum növekedésével\n a függvény értéke nő\n\nAz y=f(x) függvény ) növekszik, ha az argumentum nagyobb\nértéke nagyobb értéknek felel meg \nfüggvényérték\ny=f(x)\nу >0\n\nTétel: Ha az intervallum deriváltja\n pozitív, akkor az y= függvény f(x) ezen a\nintervallumon növekszik..jpg","smallImageUrl":" http:\/\/pedsovet.su\/\/_load-files\/load\/38\/56\/9\/f \/3-page-2_300.jpg"),("szám":3, "szöveg":"2. Csökkenő függvény\n\nAz y=f(x) függvényt csökkenőnek nevezzük egy\nintervallumban, ha a az argumentum nő,\na függvény értéke csökken.\n\nA függvény csökken, ha az argumentum nagyobb értéke\negy kisebb értéknek felel meg\n függvény nagyon egyszerű..jpg","smallImageUrl":"http:\/\ /pedsovet.su\/\/_load-files\/load\/38\/56\/9\/f\/3-page-4_300 .jpg"),("szám":5"szöveg":" 4. Minimális pontok\n\nAz x = a pontot az y=f(x) függvény minimumpontjának\n nevezzük, ha a derivált ebben a pontban\n 0, és ezen a ponton balról\njobbra haladva, a derivált előjele (-)-ről (+)-ra változik\n\nf(x\n)\n\nу >0\nу >0\n\nу 0\n\n –\n\ nmi\nn\n\n+\n\nx\n\nx0\n\nNagyon könnyű felismerni a minimumpontot egy függvény grafikonjából\n.\nA függvény grafikonja\na\nminimum pont közelében úgy néz ki\n, mint egy sima „üreg”\n n\nA minimális és maximális pontot\nextremum pontoknak nevezzük..jpg","smallImageUrl":"http:\/\/pedsovet.su\/\/_load-files\/load \/38\/56\/9\ /f\/3-page-5_300.jpg"),("szám":6"szöveg":"Az y=f(x) függvényt konvexnek nevezzük\ nintervallum, ha a függvény grafikonjának minden pontja\na az érintő alatt található.\n n\n5..jpg","smallImageUrl":"http:\/\/pedsovet.su\/\/_load-files\/ load\/38\/56\/9\/f\/3-page- 6_300.jpg"),("szám":7,"szöveg":"6. Egy függvény konkávsága\n\nAz y=f(x) függvényt konkávnak mondjuk egy\nintervallumon, ha a függvény grafikonjának minden pontja\n az érintő felett helyezkedik el.\n\nу”>0\n\ nу”>0\n\nя\nнннт \n\nа\nн\nл\nе\nаt\n\nа\nkas\n\nс\nка\n\ny=f(x)\n\nу”>0 \nkasa\ntel\n\naya\n \nTÉTEL: Az y=f(x) függvény homorú\nintervallumon, ha ezen\nintervallum második deriváltja pozitív..jpg","smallImageUrl":"http:\ /\/pedsovet.su\/\/_load-files \/load\/38\/56\/9\/f\/3-page-7_300.jpg"),("szám":8"szöveg" :"A P pontot az y=f( x) függvény inflexiós pontjának nevezzük, ha ezen a ponton balról jobbra haladva megváltozik a második derivált előjele.\n\n7. Inflexiós pontok\n\n \n\nP1\nP2\nу”0\nP1\n\ny=f(x) \n\nу”0\n\nNagyon könnyű felismerni az inflexiós pontot a függvény grafikonjáról\n. \nEgy függvény grafikonja\naz inflexiós pont közelében\nmegnézi\n"domb" és "völgy" közötti határt\n\nР\n\n","imageUrl":"http:\/\/ pedsovet.su\/\/ _load-files\/load\/38\/56\/9\/f\/3-page-8..jpg"),("szám":9,"szöveg":" 8. Függvény nullák\n\ nAzokat a pontokat, ahol a függvény grafikonja metszi\naz OX tengelyt, a függvény nulláinak nevezzük.\nEzek a pontok ordinátái 0..jpg","smallImageUrl":"http: \/\/pedsovet.su\/\/_load-files\/load\ /38\/56\/9\/f\/3-page-9_300.jpg"),("szám":10"szöveg ":"Lista\nIrodalom:\nTankönyv:\nTankönyv: Bogomolov, \nBogomolov, N.\nN.V.\nV. gyakorlati\nGyakorlati órák\nmatematika:\nmatematika:\ntankönyv\ntankönyv \nhallgatóknak\nközépiskolásoknak.\nközépiskolai\nszakmai tanulmányok\ntankönyv .intézmények\nintézmények\n\nPrezentáció\nAz előadás\nfelhasználható\nmatematika\nórákon\nmatematika órákon\ninformációként\n Képes\nmegfogalmazni\nfüggvények,\nfüggvények grafikonjainak tulajdonságait\napplikáció\n\nszármazékkal\ntémára\n a "Származék.\n" Származékpontok\nExtrémum pontok \nextrémum\nés inflexió.\ninflexió.Növelés\nFüggvény konvexitása és konvexitása."\nfunctions"..jpg","smallImageUrl":"http:\/\/pedsovet.su\ /\/_load-files. \/load\/38\/56\/9\/f\/3-page-10_300.jpg")]">

Magyarázó megjegyzés

Előadás a matematikáról a következő témában: “Származék. Extrémum és inflexiós pontok. A függvény növelése és konvexitása» a középfokú szakképzési intézmények 1. évfolyamos tanulóinak vagy a középiskolák 10-11 évfolyamos tanulóinak szól.

A prezentációk oktatási folyamatban való felhasználásának célja:

Az előadás vizuális bemutatása az órán, tanári magyarázatokkal

Önálló anyagtanulmányozás a témában (az anyag esetleges jegyzetelése mellett)

Több lehetőség prezentációk felhasználására távoktatás során

Az oktatás során az anyag megerősítése, a függvénygráf tulajdonságainak önálló megfogalmazásával.

A prezentáció felhasználható tanórán szemléltető segédeszközként, egy téma önálló tanulmányozására, vagy a tanulók hiányzó órák miatti tudáshiányainak pótlására.

Az előadás felhasználóbarát felülettel rendelkezik, könnyen használható, vizuális és informatív, hiperhivatkozásokat és triggereket használ.

2013.10.04

Matematika tanár T.B

Képernyőképek az előadásról:

1. dia

GBOU SPO PETROZAVODSK ERDÉSZETI TECHNIKA „Származék. Extrémum és inflexiós pontok. Függvény növelése és konvexitása" Munkaalgoritmus: 1. A prezentációval való munka lehetővé teszi a témában alapvető fogalmak kialakítását, a függvény tulajdonságainak megismerését a derivált szemszögéből. 2. Az előadás definíciókat, grafikonokat, tulajdonságokat és tételeket tartalmaz, amelyeket szükség esetén a pause megnyomásával megjegyezhetünk. 3. A tartalomra lépéshez - , a prezentáció kezeléséhez - az egér kattintásával Prezentációs verseny "Interaktív mozaik" a weboldalon Az interaktív kézikönyvet a Petrozsényi Erdészeti Műszaki Főiskola matematika tanára készítette FALINA TATYANA BORISOVNA Petrozavodsk 2013

2. dia

3. dia

1. Növekvő függvény y >0 y >0 Egy y=f(x) függvényt növekvőnek mondjuk egy intervallumon, ha az argumentum növekedésével a függvény értéke nő Az y=f(x) függvény. növekszik, ha az argumentum nagyobb értéke az y =f(x) у >0 függvény nagyobb értékének felel meg Tétel: Ha az intervallum deriváltja pozitív, akkor ezen az intervallumon az y=f(x) függvény. növeli.

2. Csökkenő függvény Az y=f(x) függvényt csökkenőnek nevezzük egy intervallumon, ha az argumentum növekedésével a függvény értéke csökken. Egy függvény csökken, ha az argumentum nagyobb értéke az y függvény kisebb értékének felel meg< 0 у < 0 y=f(x) Теорема: Если производная на промежутке отрицательная, то функция y=f(x) на данном промежутке убывает.

5. dia

3. Maximális pontok Az x = a pontot az y=f(x) függvény maximális pontjának nevezzük, ha a derivált ebben a pontban egyenlő 0-val, és ezen a ponton balról jobbra haladva a derivált előjele. változik (+)-ról (-) max f(x ) у >0 у >0 + – x x у< 0 y=f(x) у < 0 у >0 0 Egy függvény grafikonjáról nagyon könnyű felismerni a maximum pontot. A függvény grafikonja a maximum pont környezetében úgy néz ki, mint egy sima „domb” x xma

6. dia

4. Minimális pontok Az x = a pontot az y=f(x) függvény minimumpontjának nevezzük, ha a derivált ebben a pontban egyenlő 0-val, és ezen a ponton balról jobbra haladva a derivált előjele. (-)-ről (+)-ra változik f(x) у >0 у >0 у< 0 y=f(x) у < 0 у >0 – min + x x0 Egy függvény grafikonjából a minimumpont felismerése nagyon egyszerű. A minimális pont közelében lévő függvény grafikonja sima „völgynek” tűnik. A minimum és maximum pontokat szélsőpontoknak nevezzük. xxmin

Az x1 pontot minimumpontnak nevezzük
funkciókat
f(x),
Ha
V
néhány
x1 pont szomszédsága teljesül
egyenlőtlenség
f (x) f (x1)
Funkcióértékek az x0 és x1 pontokban
ennek megfelelően hívják
a funkció maximuma és minimuma.
Egy függvény maximumát és minimumát hívjuk meg
a függvény szélső értéke.

y
yf(x)
x 1 x 2
x3
x

Egy intervallumon egy függvény rendelkezhet
több szélsőség, és lehet, hogy az
a minimum egy ponton nagyobb, mint a maximum
másik.
Egy függvény maximuma vagy minimuma
intervallumban nem általános esetben
a függvény legnagyobb és legkisebb értéke.
Ha egy ponton x0 differenciálható
az f(x) függvénynek van szélső értéke, akkor néhány
ennek a pontnak a közelében érvényesül a tétel
A függvény rácsa és deriváltja ezen a ponton
egyenlő nullával:
f (x0) 0

Egy függvénynek azonban lehet szélsősége egy ponton
amelyben nem differenciálható.
Például a függvény
y x
minimuma van a ponton
x 0
de ezen a ponton nem differenciálható.

Ahhoz, hogy az y=f(x) függvény rendelkezzen
extrémum az x0 pontban, szükséges, hogy
származéka ezen a ponton egyenlő volt
nulla vagy nem létezett.

Pontok, ahol a szükséges teljesül
szélsőséges állapotot nevezzük
kritikus vagy álló helyzetben.
Így, ha bármely ponton van szélsőség,
akkor ez a pont kritikus.
De a kritikus pont nem feltétlenül
szélsőséges pont.

Keresse meg a kritikus pontokat és a szélsőségeket
funkciók:
1
y x
2

y(x)2x
y 2 x 0 x 0-nál
2
x 0
y 0
- kritikus pont

y
x 0
y x
2
x

2
y x 1
3

Alkalmazzuk a szükséges szélsőséges feltételt:
y(x 1) 3x
2
y 3x0 x 0-nál
3
x 0
y 1
2
- kritikus pont

y
y x
2
y 1
x

Ha az x0 ponton való áthaladáskor a derivált
y=f(x) differenciálható függvény megváltozik
jelet pluszból mínuszba, akkor x0 egy pont
maximum, és ha mínuszról pluszra, akkor x0
van egy minimum pont.

Változtassa a derivált jelét pluszról mínuszra,
azok. bizonyos időközönként
a; x
0
f(x)0
és bizonyos időközönként
x ; b
0
f(x)0
Ekkor az y=f(x) függvény eggyel nő
a; x
0

és csökkenni fog
x ; b
0
Növekvő függvény definíciója szerint
f (x0) f (x) mindenre
xa; x0
Csökkenő funkcióhoz
f (x0) f (x) mindenre
x0
x x0 ; b
- maximum pont.
A bizonyítás a minimumra is hasonló.

1
Keresse meg egy függvény deriváltját
yf(x)
2
Keresse meg a függvény kritikus pontjait, at
amelynek deriváltja egyenlő nullával vagy
nem létezik.

3
Vizsgáljuk meg a származék előjelét a bal oldalon és
minden kritikustól jobbra
pontokat.
4
Keresse meg a függvény szélsőértékét.

Vizsgálja meg az extrémum függvényét:
y x(x 1)
3

Alkalmazzuk a sémát
szélsőség:
1
kutatás
funkciókat
-on
A függvény deriváltjának megkeresése:
y (x (x 1)) (x 1) 3x (x 1)
3
3
2
(x 1) (x 1 3x) (x 1) (4 x 1)
2
2

2
Kritikus pontok keresése:
(x 1) (4 x 1) 0
2
x1 1
1
x2
4

3
Megvizsgáljuk a származék előjelét a bal oldalon és
minden kritikustól jobbra
pontok:
y
y
1
4
1
Az x=1 pontban nincs szélsőérték.
x

4
A függvény extrémumának megkeresése:
27
1
f min
256
4

Ha az első derivált differenciálható
az y=f(x) függvény az x0 pontban egyenlő nullával, és
második derivált ezen a ponton
pozitív, akkor x0 egy pont
minimum, és ha a második derivált
negatív, akkor x0 a maximális pont.

Hadd
f (x0) 0
f (x0) 0
ezért
f (x) f (x) 0
és az x0 pont valamelyik szomszédságában, azaz.

funkció
f(x)
-vel fog növekedni
a; b
x0 pontot tartalmazó.
De
f (x0) 0
az intervallumon
a; x
f(x)0
és az intervallumon
x ; b
f(x)0
0
0

Tehát a funkció
f(x)
az x0 ponton való áthaladáskor előjelet vált -val
mínuszból pluszba, innen ez a pont
a minimum pont.
Hasonlóképpen
bizonyított
maximális funkció.
esemény
Mert

Egy extrémum függvény tanulmányozási sémája
Ez az eset hasonló az előzőhöz, de
a harmadik bekezdés helyébe a következő szöveg lép:
3
Keresse meg a második derivált és
mindegyikben határozza meg a jelét
kritikus pont.

A második elégséges feltételből az következik
ha a kritikus ponton a második derivált
függvény nem egyenlő nullával, akkor ez a pont az
szélsőséges pont.
A fordított állítás nem igaz: ha in
kritikus pont második deriváltja
függvény egyenlő nullával, akkor ez a pont is az
szélsőséges pont lehet.
IN
ebben az esetben a függvény tanulmányozására
szükséges az első elégséges használata
extrém állapot.

Az óra céljai: Oktatási: - az ismeretek rendszerezése és az ismeretek és készségek elsajátításának ellenőrzésének (önkontroll, kölcsönös kontroll) többszintű feltételeinek megteremtése Fejlesztő: - elősegíti a megszerzett ismeretek új helyzetben történő alkalmazására való képesség kialakulását, fejlesztését. matematikai gondolkodás, beszéd Oktatási: - a matematika iránti érdeklődés, aktivitás, mobilitás, kommunikációs készségek elősegítése

Feljegyzés. Intervallum módszer. Alapvető rendelkezések: 1. A szorzat előjelét (hányadosát) a tényezők (osztalék és osztó) előjelei egyértelműen meghatározzák. 2. A szorzat előjele nem változik (az ellenkezőjére változik), ha páros (páratlan) számú tényező előjelét módosítja. 3. A nem nulla meredekségű lineáris függvény előjele és a legnagyobb (vagy egyes) gyöktől jobbra lévő másodfokú függvény előjele egybeesik a vezető együttható előjelével. 4. Ha egy szigorúan növekvő (csökkenő) függvénynek van gyöke, akkor a gyökértől jobbra pozitív (negatív) és előjelet vált, amikor áthalad a gyökön. Megjegyzések: 1. Gyökök hiányában a másodfokú függvény előjele egybeesik annak vezető együtthatójának előjelével a függvény teljes definíciós tartományában. 2. A 3. állítás és az 1. megjegyzés tetszőleges fokozatú polinomra érvényes.

Munka ütemterv szerint. Munka ütemterv szerint. Nézzünk egy képet, amely az y=x³-3x² függvény grafikonját mutatja. Tekintsük az x=0 pont szomszédságát, vagyis egy ezt a pontot tartalmazó intervallumot. Az ábrán jól látható, hogy létezik ilyen szomszédság, és a függvény a legnagyobb értékét az x=0 pontban veszi fel. Ezt a pontot maximum pontnak nevezzük. Hasonlóképpen az x=2 pontot minimumpontnak nevezzük, mivel a függvény ennél a pontnál kisebb értéket vesz fel, mint az x=2 környezetében lévő bármely pontnál. Nézzünk egy képet, amely az y=x³-3x² függvény grafikonját mutatja. Tekintsük az x=0 pont szomszédságát, vagyis egy ezt a pontot tartalmazó intervallumot. Az ábrán jól látható, hogy létezik ilyen szomszédság, és a függvény a legnagyobb értékét az x=0 pontban veszi fel. Ezt a pontot maximum pontnak nevezzük. Hasonlóképpen az x=2 pontot minimumpontnak nevezzük, mivel a függvény ennél a pontnál kisebb értéket vesz fel, mint az x=2 környezetében lévő bármely pontnál.

Emlékeztetni kell: Az x 0 pontot az f(x) függvény maximális pontjának nevezzük, ha az x 0 pontnak olyan környéke van, hogy az ettől a szomszédságtól eltérő x 0-tól az egyenlőtlenség teljesül Az x 0 pontot az f(x) függvény maximális pontjának nevezzük, ha az x 0 pontnak van olyan környéke, hogy az ettől a szomszédságtól eltérő x 0-tól minden x-re teljesül az f(x)f(x 0) egyenlőtlenség. (2. ábra) A maximum és minimum pontokat szélsőséges pontoknak nevezzük. A maximum és minimum pontokat szélsőséges pontoknak nevezzük.

Egy kicsit a matematika történetéből: Pierre Fermat. (1601 – 1665) A toulouse-i városi parlament tanácsosának munkája nem akadályozta meg Fermat abban, hogy matematikát tanuljon. Fokozatosan az első matematikusok egyikeként szerzett hírnevet Franciaországban. R. Descartes francia tudóssal versenyzett az analitikus geometria megalkotásában, a maximális és minimális problémák megoldásának általános módszereiben. A görbék érintőinek megalkotására, a görbe alakzatok területeinek kiszámítására és a görbe alakzatok hosszának kiszámítására szolgáló technikái megnyitották az utat a differenciál- és integrálszámítások létrehozásához. Fermat munkája egy új matematikai tudományt – a számelméletet – indított el.

Fermat tétele. Ha x 0 az f(x) differenciálható függvény szélsőpontja, akkor f (x)=0. Ha x 0 az f(x) differenciálható függvény szélsőpontja, akkor f (x)=0. Fermat tételének egyértelmű geometriai jelentése van: az y =f(x) függvény gráfjának érintője az (x 0 ; f(x 0)) pontban, ahol x 0 az y =f( függvény szélsőpontja x), párhuzamos az abszcissza tengellyel, ezért f(x) meredeksége nulla. Fermat tételének egyértelmű geometriai jelentése van: az y =f(x) függvény gráfjának érintője az (x 0 ; f(x 0)) pontban, ahol x 0 az y =f( függvény szélsőpontja x), párhuzamos az abszcissza tengellyel, ezért f(x) meredeksége nulla.

Stacionárius és kritikus pontok Azokat a pontokat, ahol egy függvény deriváltja nullával egyenlő, stacionáriusnak nevezzük, azaz. ha f (x) = 0, akkor ez nem elég ahhoz, hogy kijelentsük, hogy x szélsőpont. Azokat a pontokat, ahol egy függvény deriváltja nullával egyenlő, vagy nem differenciálható, a függvény kritikus pontjainak nevezzük. Tekintsük az f(x)=x³ függvényt. A deriváltja f (x) = 3x², f (x) = 0. Az x=0 azonban nem szélsőpont, mivel a függvény a teljes numerikus tengely mentén növekszik (1. ábra). Fogalmazzon meg egy elégséges feltételt, hogy az állópont szélsőpont legyen!

0 az x 0 és f (x) ponttól balra " title="Tétel: Legyen az f (x) függvény differenciálható az (a; b), x 0 є (a; b) intervallumon , és f (x) = 0. Ekkor: 1) ha az f(x) függvény stacionárius x 0 pontján áthaladva a deriváltja „plusz”-ról „mínuszra” változtatja az előjelet, azaz. f (x)>0 az x 0 és f (x) ponttól balra" class="link_thumb"> 10 !} Tétel: Legyen az f(x) függvény differenciálható az (a; b), x 0 є (a; b) és f (x)=0 intervallumon. Ekkor: 1) ha az f(x) függvény stacionárius x 0 pontján áthaladva a deriváltja „plusz”-ról „mínuszra” változtatja az előjelet, azaz. f (x)>0 az x 0 ponttól balra és f (x) 0 az x 0 és f (x) ponttól balra 0 az x 0 ponttól balra és f (x) "> 0 az x 0 ponttól balra és f (x) 0 az x 0 ponttól balra és f (x) "> 0 az x ponttól balra 0 és f (x) " title ="Tétel: Legyen az f(x) függvény differenciálható az (a; b), x 0 є (a; b) és f (x) = 0 intervallumon Ekkor: 1) ha az f(x) függvény stacionárius x 0 pontján áthaladva a deriváltja „plusz”-ról „mínuszra” változik, azaz. f (x)>0 az x 0 és f (x) ponttól balra"> title="Tétel: Legyen az f(x) függvény differenciálható az (a; b), x 0 є (a; b) és f (x)=0 intervallumon. Ekkor: 1) ha az f(x) függvény stacionárius x 0 pontján áthaladva a deriváltja „plusz”-ról „mínuszra” változtatja az előjelet, azaz. f (x)>0 az x 0 és f (x) ponttól balra"> !}

Tervezze meg egy függvény szélsőértékét. 1. Keresse meg a függvény deriváltját! 2. Keresse meg a függvény stacionárius pontjait, pl. a derivált egyenlő nullával. 3. Intervallum módszerrel derítse ki, hogyan változnak a derivált előjelei! 4. A függvény átmeneti jelei segítségével határozza meg a minimum vagy maximum pontokat!

Tekintsük az 1. feladatot: Keressük meg az f(x)=9x-3 függvény szélsőpontjait! Megoldás: 1) Keresse meg a függvény deriváltját: f ´ (x)=9 2) Álló pontok keresése: Nincs stacionárius pont. 3) Ez a függvény lineáris és a teljes numerikus tengely mentén növekszik, így a függvénynek nincsenek szélsőpontjai. Válasz: az f(x)=9x-3 függvénynek nincs szélsőpontja.

Tekintsük a 2. feladatot: Keressük meg az f(x)=x ² -2x függvény szélsőpontjait! Megoldás: 1) Keresse meg a függvény deriváltját: f ´ (x)=2x-2 2) Keresse meg a stacionárius pontokat: 2x-2=0X=1. 3) Az intervallumok módszerével megtudjuk, hogyan változik a derivált előjele (lásd az ábrát): 4) Az x=1 ponton áthaladva a derivált előjele „-” előjelről „+”-ra változik. ”, ezért x=1 a minimumpont. Válasz: x=1 pont az f(x)= x² -2x függvény minimális pontja.

Tekintsük a 3. feladatot: Keressük meg az f(x)=x -4x³ függvény szélsőpontjait! Megoldás: 1) Keresse meg a függvény deriváltját: f ´ (x)=4x³-12x² 2) Keressen stacionárius pontokat: 4x³-12x²=0 X1=0, x2=3. 3) Az intervallum módszerrel megtudjuk, hogyan változik a derivált előjele (lásd ábra): 4) Az x = 0 ponton áthaladva a derivált előjele nem változik, akkor ez a pont nem szélsőpont, és az x 1 = 3 ponton való áthaladáskor a derivált „-”-ról „+”-ra változtatja az előjelet, így x 2 = 3 a minimumpont. Válasz: x=3 pont az f(x)= x -4x³ függvény minimális pontja.

Végezze el önállóan a következő feladatokat: 1) Az ábra segítségével határozza meg az y=f(x) függvény maximum és minimum pontját! 2) Keresse meg az állópontokat: a) y=e ² -2e; b) y=2x3-15x² +36x; c) y=sinx-cosx; d) y=(2+x²)/x. 3) Határozzuk meg a függvény szélsőértékét: a) f(x)=x³-x; b) f(x)=x-8x²+3; c) f(x)=x+sinx; d) f(x)=x-cos2x.

Testnevelés perc. A tanulókat arra ösztönzik, hogy végezzenek több fizikai gyakorlatot, hogy enyhítsék a hosszú ideig tartó számítógépen végzett munka okozta fáradtságot és stresszt. 1. Széken ülve: - kezek a fejed mögött; - könyökét tárja szélesebbre, fejét döntse hátra; - könyök előre, fej előre; - a karok leengedve; - ismételje meg a gyakorlatot 4-5 alkalommal. 2. Széken ülve: - óvatosan mozdítsa hátra a fejét; - simán döntse előre a fejét; - ismételje meg a gyakorlatot 4-5 alkalommal. 3. Szemtorna: - gyorsan pislog; - csukja be a szemét és üljön nyugodtan; - lassan számolj ötig; - ismételje meg a gyakorlatot 4-5 alkalommal. 4. Szemtorna: - szorosan csukja be a szemét; - lassan számolj ötig; - nyisd ki a szemed és nézz a távolba; - ismételje meg a gyakorlatot 4-5 alkalommal. 5. Szemgyakorlat: - nézd a kinyújtott kéz mutatóujját; - nézzen a távolba; - ismételje meg a gyakorlatot 4-5 alkalommal.

Tesztelés: A teszt végrehajtásához meg kell nyitnia a C meghajtó „Function Extrema” mappájában található fájlt: „Test 1”. A munka elvégzése eredményeként a tudásodért osztályzatot kapsz. Ismereteinek rendszerezése érdekében a következő teszteket is elvégezheti a korábban tanult anyagok megismétléséhez („2. teszt”, „3. teszt”, „4. teszt”, „5. teszt”). A teszt végrehajtásához meg kell nyitnia a C meghajtó „Function Extrema” mappájában található fájlt: „Test 1”. A munka elvégzése eredményeként a tudásodért osztályzatot kapsz. Ismereteinek rendszerezése érdekében a következő teszteket is elvégezheti a korábban tanult anyagok megismétléséhez („2. teszt”, „3. teszt”, „4. teszt”, „5. teszt”).

A prezentáció előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot, és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diafeliratok:

A FUNKCIÓ EXTRÉMÁJA

A függvény definíciós tartományának azon pontjait, amelyeknél: f′ (x) =0 vagy nem létezik, a függvény kritikus pontjainak nevezzük. Csak ezek lehetnek a függvény szélsőpontjai. (1. és 2. ábra). f′ (x 1) =0 f′ (x 2) =0

A függvény definíciós tartományának azon pontjai, amelyeknél: f′ (x) =0 Extrema nem szélsőségek

Legyen x o egy pont az f(x) és f ′ (x o) = 0 függvény definíciós tartományából, ha a függvény deriváltja az előjelét „+”-ról „-”-ra változtatja az x o pontban vagy fordítva. , akkor ez a pont egy Extrémum. X 1 X 2 X 1 max X 2 perc

Az X 0 függvény extrémája a függvény maximális pontja (max), ha van az x 0 pontnak olyan környéke, hogy ebből a szomszédságból minden x ≠ x 0 esetén az f(x) ˂ f(x 0) egyenlőtlenség elégedett. X 0 egy függvény minimumpontja (min), ha van az x 0 pontnak olyan környéke, hogy ebből a szomszédságból minden x ≠ x 0 esetén teljesül az f(x) ˃ f(x 0) egyenlőtlenség.

1. ábra 2. ábra Az y =f(x) függvények megadott grafikonjai alapján jelölje meg: - kritikus pontokat; -stacionárius pontok; - a funkció szélsősége.

Egy függvény szélsőpontjainak keresésének algoritmusa: 1. Keresse meg a függvény deriváltját; 2. Egyenlítse a derivált nullával - stacionárius pontok keresése; 3. Vizsgálja meg a származékot „jellel” – vonjon le következtetést.

Végezze el az 1. feladatot. Keresse meg a függvény maximális pontját 2. Keresse meg a függvény minimális pontját a (0;) pontban (0;)!

B 8 2 9 Az ábra egy intervallumon definiált függvény grafikonját mutatja. Határozzuk meg a függvény szélsőpontjainak összegét! 3. -2 1 4 5 8 10 -2+1+3+4+5+8+10=…

Az ábra a (-9;8) intervallumon definiált f(x) függvény deriváltjának grafikonját mutatja. Keresse meg a függvény szélsőpontját a (-3;3) intervallumon -3 3 B8 - 2 + -

A témában: módszertani fejlesztések, előadások és jegyzetek

Előadás a 11. évfolyam algebra óráihoz "Függvények növelése és csökkentése. Függvény szélsőségei" témakörökben.

Az előadás három leckéből áll. Az anyagok egy részét más tanárok előadásaiból vettem, amit nagyon köszönök. Kényelmes, ha a már elkészített anyagot saját belátása szerint rendezheti egy adott órára...

Óra és előadás a "Függvény szélsősége" témában. 11. évfolyam. Alimov tankönyve.

A dokumentum tartalmának megtekintése
"Egy függvény 8.12 szélsője."

Téma: „Egy funkció szélsősége”

Mondd el és elfelejtem.
Mutasd meg és emlékezni fogok.
Vegyél részt, és tanulni fogok.
Kínai bölcsesség.

Az óra céljai:

Nevelési:

A tanulók függvény deriváltjának ismerete alapján segítsen megfogalmazni és megérteni a kritikus, stacionárius pontok és szélsőpontok fogalmának meghatározását; hipotézishez vezet: szükséges és elégséges feltétele egy függvény szélsőértéke létezésének.

Hozzon létre olyan feltételt, hogy a tanulók kezdetben megszilárdítsák képességüket a kritikus, stacionárius és szélsőséges pontok jelenlétének analitikus és grafikus meghatározására egy függvényben.

A tanulók felkészítése az egységes államvizsga letételére.

Nevelési:

Elősegíti az oktatási és kognitív tevékenység, a logikus gondolkodás fejlesztését.

Nevelési:

Fejleszti a megfigyelési, a minták észrevételének, az általánosításnak és a hasonlatos érvelésnek a képességét.

Fejleszti a tanuló gondolkodását, figyelmét és beszédét.

Az általános munkavégzési készségek fejlesztése a legnagyobb felelősség mellett és korlátozott ideig.

Fejlessze azt a képességet, hogy meghallgatja más véleményét és megvédje álláspontját.

Az óra típusa: lecke az új anyagok bevezetéséről.

Az óra előrehaladása:

én . Szervezési pillanat(Információs-jelentési módszer)

Az ismeretek frissítése. "Elmezavar"

1. Számítsa ki a függvény deriváltját: (a feladat önállóan, további önellenőrzéssel történik; a helyes feladatok száma az önellenőrző lapon fel van tüntetve)

	f(x) = 3x2 – 4x+5
	f(x) = sin x – cos x
	f(x) = e x + log x
	f(x) = e 2x - 6e x + 7
	f(x) = - x 3 + 3x 2 + 9 x - 29

2. Oldja meg az egyenlőtlenséget: (a táblánál)

3. Határozza meg a függvény monotonitási intervallumait: (két diák van a táblánál)

A) f (x) = 3x – 9 (1 pont)

B) f (x) = x 2 + 6x – 9 (2 pont)

II . Kutatómunka.(milliméter papíron)

Válaszolj a kérdésekre:

IV . Hipotézis felvetése(Részleges keresés (heurisztikus módszer))

(a tanulók hipotézist állítottak fel)

Ha a derivált „-”-ról „+”-ra változtatja az előjelet, és maga a pont egyenlő 0-val, akkor ez a pont lesz a függvény minimumpontja. (hipotézis felállításáért – 4 pont)

Válaszolj a kérdésekre:

Nevezze meg a kapott grafikon növekedési és csökkenési intervallumait!

Hogyan viselkedik a derivált e pont közelében, amikor áthalad ezen a ponton? És éppen ezen a ponton?

Munka a tankönyvvel.

oldal 265 – 266. Keresse meg a szövegben az Ön által megfogalmazott hipotézist!

Olvasd el.

A minimum és maximum pontokat szélsőséges pontoknak nevezzük.

Mit fogunk csinálni a mai órán?

(tanuld meg megtalálni a függvény szélsőpontjait)

Mi az óránk témája?

Egy függvény extrémje. Felírtuk az óra témáját.

A diák üzenete(az iskolások oktatási tevékenységének ösztönzésének módszere)

Az Ön által felállított hipotézist Pierre Fermat francia matematikus igazolta 4 évszázaddal ezelőtt.

(történelmi információ)

Pierre Fermat(1601-1665) - francia matematikus, az analitikus geometria és a számelmélet (Fermat-tétel) egyik megalkotója. Valószínűségszámítással, infinitezimális számítással és optikával foglalkozik (Fermat-elv).

(a tanulók elolvassák a tétel megfogalmazását )

Munka a könyvvel 267. oldal

Keresse meg, mely pontokat nevezzük állónak, kritikusnak.

(Azokat a pontokat, ahol egy függvény deriváltja egyenlő nullával, nevezzük állandó

Azokat a pontokat, ahol egy függvény nulla deriváltja vagy nem differenciálható, hívjuk ennek a funkciónak a kritikus pontjait )

Munka jelzőkártyákkal.

Ha az állítás igaz - "igen", ha nem - "nem" (játék "IGEN, NEM"

1 pont a helyes válaszért

oldal 268 tétel . (a tanulók elolvassák, és magyarázatot adnak, hogyan értik)

Az extrémum elégséges jele.

A táblánál: a helyes végrehajtásért – 5 pont.

Hozzon létre egy algoritmust egy függvény szélsőpontjainak megtalálására.

1. Keresse meg a függvény definíciós tartományát.

2. Keresse meg f"( x).

x) = 0 vagy f"( x) nem létezik.
(A derivált 0 a számláló nulláinál, a derivált nem létezik a nevező nulláinál)

4. Keresse meg a definíciós területet és ezeket a pontokat a koordinátaegyenesen.

5. Határozza meg az egyes intervallumokon a derivált előjeleit!

6. Alkalmazzon jeleket.

7. Írd le a választ.

(Gyakorlati módszer)

Egységes államvizsga anyagokkal való munka

Az y = f (x) függvény a (-4; 5) intervallumon van definiálva. Az ábra deriváltjának grafikonját mutatja. Keresse meg az y = f (x) függvény minimális pontját

Az y = f (x) függvény a (- 6; 6) intervallumon van definiálva. Az ábra deriváltjának grafikonját mutatja. Keresse meg azokat a pontokat, ahol a függvény deriváltja nulla (Válasz : x = -4; x = -2; x = 1; x = 5).

Óra összefoglalója: osztályozás (önellenőrző lapok alapján)

diák reflexió

Bárcsak jobban tanulhatnék...

szeretem…

nem szeretem…

Az óra alatt úgy éreztem...

A házi feladattal...

A prezentáció tartalmának megtekintése
"8.12-es függvény szélsőértéke"

Mondd el és elfelejtem. Mutasd meg és emlékezni fogok. Vegyél részt, és tanulni fogok.

Kínai bölcsesség.

f(x) = 3x2 – 4x+5

f(x) = sin x – cos x

f(x) = e x + log x

f(x) = e 2x - 6e x + 7

f(x) = - x 3 + 3x 2 + 9 x - 29

cos x + sin x

2e 2x – 6 e x

-3x 2 + 6 x + 9

Ábrázolja a függvényt: y = x 2 –6x + 8;

Válaszolj a kérdésekre:

• Nevezze meg a kapott grafikon növekedési és csökkenési intervallumait!
• Nevezze meg a függvény minimális pontját!

• Válaszolj a kérdésekre:
• Nevezze meg a kapott grafikon növekedési és csökkenési intervallumait!
• Nevezze meg a függvény maximális pontját!
• Hogyan viselkedik a derivált e pont közelében, amikor áthalad ezen a ponton? És éppen ezen a ponton?

Válaszolj a kérdésekre:

• Nevezze meg a kapott grafikon növekedési és csökkenési intervallumait!
• Nevezze meg a függvény maximális pontját!
• Hogyan viselkedik a derivált e pont közelében, amikor áthalad ezen a ponton? És éppen ezen a ponton?

Pierre Fermat (1601-1665) - francia matematikus, az analitikus geometria és a számelmélet (Fermat-tétel) egyik megalkotója. Valószínűségszámítással, infinitezimális számítással és optikával foglalkozik (Fermat-elv).

Pierre Fermat módszereket fedezett fel a szélsőségek és az érintők megtalálására, amelyek modern szemmel nézve a derivált megtalálásában rejlenek.

Az extrémum szükséges jele .

Algoritmus egy függvény szélsőpontjainak megtalálására

1. Keresse meg a függvény definíciós tartományát.

2. Keresse meg f"( x ).

3. Keresse meg a kritikus pontokat, pl. pont ahol f"( x ) = 0 vagy f"( x ) nem létezik. (A derivált 0 a számláló nulláinál, a derivált nem létezik a nevező nulláinál)

4. Keresse meg a definíciós területet és ezeket a pontokat a koordinátaegyenesen.

5. Határozza meg az egyes intervallumokon a derivált előjeleit!

6. Alkalmazzon jeleket.

7. Írd le a választ.

d/z: 50. pont, 912. sz. (2.4),

913(2,4), 914(2,4)

• tudok...
• tudom…
• Bárcsak jobban tanulhatnék...
• szeretem…
• nem szeretem…
• Az óra alatt úgy éreztem...
• A házi feladattal...

A nagy filozófus, Konfuciusz egyszer ezt mondta:„Három út vezet a tudáshoz: a reflexió útja a legnemesebb út, az utánzás útja a legkönnyebb út, és a tapasztalat útja a legkeserűbb út.” A házi feladat elvégzésével mindegyikőtök saját útját járja majd a tudás felé.

• Konfuciusz, Kong Tzu (született körülbelül 551-ben halt meg i.e. 479-ben), ősi kínai gondolkodó, a konfucianizmus megalapítója.