A geometriában gyakran vannak problémák a háromszögek oldalaival kapcsolatban. Például gyakran meg kell találni egy háromszög oldalát, ha a másik kettő ismert.

A háromszögek egyenlő szárúak, egyenlő oldalú és egyenlő oldalúak. Az összes változat közül az első példában egy téglalap alakút választunk (egy ilyen háromszögben az egyik szög 90 °, a vele szomszédos oldalakat lábaknak, a harmadikat pedig a hipotenusznak nevezzük).

Gyors cikk navigáció

Egy derékszögű háromszög oldalainak hossza

A probléma megoldása a nagy matematikus, Pythagoras tételéből következik. Azt mondja, hogy a lábak négyzeteinek összege derékszögű háromszög egyenlő a befogójának négyzetével: a²+b²=c²

• Határozzuk meg az a lábhossz négyzetét;
• Keresse meg a b láb négyzetét;
• Összeraktuk őket;
• A kapott eredményből kivonjuk a másodfokú gyökeret.

Példa: a=4, b=3, c=?

• a²=4²=16;
• b²=3²=9;
• 16+9=25;
• √25=5. Vagyis ennek a háromszögnek a befogójának hossza 5.

Ha a háromszögben nincs derékszög, akkor a két oldal hossza nem elegendő. Ehhez szükség van egy harmadik paraméterre: lehet szög, magasság, háromszög területe, beleírt kör sugara stb.

Ha ismert a kerülete

Ebben az esetben a feladat még könnyebb. A kerület (P) a háromszög összes oldalának összege: P=a+b+c. Így egy egyszerű matematikai egyenlet megoldásával megkapjuk az eredményt.

Példa: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy az összes ismert paramétert átvisszük az egyenlőségjel egyik oldalára:

2) Helyettesítsd be az értékeket, és számítsd ki a harmadik oldalt:

c=18-7-6=5, összesen: a háromszög harmadik oldala 5.

Ha ismert a szög

A háromszög harmadik oldalának a szög és a másik két oldalának kiszámításához a megoldást a trigonometrikus egyenlet kiszámítására redukáljuk. A háromszög oldalai és a szög szinusza kapcsolatának ismeretében könnyen kiszámítható a harmadik oldal. Ehhez mindkét oldalt négyzetre kell vágnia, és össze kell adnia az eredményeket. Ezután vonjuk le az oldalak kapott szorzatából, megszorozva a szög koszinuszával: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Ha ismert a terület

Ebben az esetben egy képlet nem elég.

1) Először is kiszámítjuk a sin γ-t úgy, hogy kifejezzük a háromszög területére vonatkozó képletből:

sin γ= 2S/(a*b)

2) A következő képlet segítségével kiszámítjuk az azonos szög koszinuszát:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 – sin² α)=√(1– (2S/(a*b))²)

3) És ismét a szinusztételt használjuk:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Ha a változók értékeit behelyettesítjük ebbe az egyenletbe, megkapjuk a választ a problémára.

Adja meg az ismert háromszögadatokat

oldal a

b oldal

oldal c

A szög fokban

B szög fokban

C szög fokban

Oldalankénti medián a

oldalankénti medián b

oldalankénti medián c

Oldalankénti magasság a

Oldalankénti magasság b

Magasság c oldalanként

Az A csúcs koordinátái

x Y

B csúcs koordinátái

x Y

C csúcspont koordinátái

x Y

Az S háromszög területe

A háromszög oldalainak fél kerülete p

Bemutatunk egy számológépet, amely lehetővé teszi az összes lehetséges kiszámítását.

Szeretném felhívni a figyelmet arra a tényre ez egy általános bot. Kiszámítja egy tetszőleges háromszög összes paraméterét, tetszőlegesen megadott paraméterekkel. Ilyen botot nem találsz sehol.

Ismered az oldalt és a két magasságot? Vagy két oldal és egy medián? Vagy a felező két szög és egy háromszög alapja?

Bármilyen kérésre megkapjuk a háromszög paramétereinek helyes kiszámítását.

Nem kell képleteket keresnie, és magának kell elvégeznie a számítást. Már mindent megtettek érted.

Hozzon létre egy kérést, és kapjon pontos választ.

Egy tetszőleges háromszög látható. Azonnal lefoglaljuk, hogyan és mit jeleznek, hogy a jövőben ne legyen zavar és hiba a számításokban.

A tetszőleges szöggel ellentétes oldalakat is csak kis betűnek nevezik. Vagyis az A szöggel szemben az a háromszög oldala fekszik, a c oldal a C szöggel szemben van.

ma az a oldalra eső medina, illetve a megfelelő oldalakra esik mb és mc medián is.

lb a b oldalra eső felező, illetve a megfelelő oldalakra esik la és lc felező.

hb a b oldalra eső magasság, illetve a megfelelő oldalakra esik ha és hc magasság is.

Másodszor, ne feledje, hogy a háromszög olyan alak, amelyben van alapvető szabály:

Bármely (!) két oldal összegének nagyobbnak kell lennie, mintharmadik.

Tehát ne lepődjön meg, ha hibát kap P Ilyen megadott adatok esetén a háromszög nem létezik. amikor egy 3-as, 3-as és 7-es oldalú háromszög paramétereit próbáljuk kiszámítani.

Szintaxis

Az XMPP kliens engedélyezőinél a kérés olyan, mint ez a treug<список параметров>

A webhely felhasználói számára minden ezen az oldalon történik.

Paraméterek listája – ismert paraméterek, pontosvesszővel elválasztva

a paramétert így írjuk paraméter=érték

Például, ha az a oldalt 10-es értékkel ismerjük, akkor a = 10-et írunk

Sőt, az értékek nem csak valós számok formájában lehetnek, hanem például valamilyen kifejezés eredményeként is

És itt van a paraméterek listája, amelyek megjelenhetnek a számításokban.

oldal a

b oldal

oldal c

Félperiméter p

A szög

B szög

C szög

Az S háromszög területe

Ha magasság oldalanként a

Hb magasság oldalanként b

Hc magasság oldalanként c

Medián ma oldalanként a

Medián mb oldalanként b

Medián mc oldalanként c

Csúcskoordináták (xa,ya) (xb,yb) (xc,yc)

Példák

ír treug a=8;C=70;ha=2

Háromszög paraméterek megadott paraméterekkel

a oldal = 8

b oldal = 2,1283555449519

c oldal = 7,5420719851515

Félperiméter p = 8,8352137650517

A szög = 2,1882518638666 fokban 125,37759631119

B szög = 2,873202966917 fokban 164,62240368881

C szög = 1,221730476396 70 fokban

A háromszög területe S = 8

Ha magasság oldalanként a = 2

Hb magasság oldalanként b = 7,5175409662872

Hc magasság oldalanként c = 2,1214329472723

Medián ma oldalanként a = 3,8348889915443

Medián mb oldalanként b = 7,7012304590352

Medián mc oldalanként c = 4,4770789813853

Ez minden, a háromszög összes paramétere.

A kérdés az, hogy miért neveztük el a pártot de, de nem ban ben vagy tól től? Ez nem befolyásolja a döntést. A fő dolog az, hogy kibírja azt az állapotot, amelyről már mondtam " A tetszőleges sarokkal ellentétes oldalakat azonosnak nevezzük, csak kis betűvel." Majd rajzolj egy háromszöget az elmédben, és alkalmazd a feltett kérdésre.

helyette lehetne venni de ban ben, de akkor a benne foglalt szög nem lesz TÓL TŐL de DE hát a magasság az lesz hb. Ha ellenőrzi, az eredmény ugyanaz lesz.

Például így (xa,ya) =3,4 (xb,yb) =-6,14 (xc,yc)=-6,-3

kérés írása treug xa=3;ya=4;xb=-6;yb=14;xc=-6;yc=-3

és megkapjuk

Háromszög paraméterek megadott paraméterekkel

A oldal = 17

b oldal = 11,401754250991

c oldal = 13,453624047073

Félperiméter p = 20,927689149032

A szög = 1,4990243938603 fokban 85,887771155351

B szög = 0,73281510178655 fokban 41,987212495819

C szög = 0,90975315794426 fokban 52,125016348905

A háromszög területe S = 76,5

Ha magasság oldalanként a = 9

Hb magasság oldalanként b = 13,418987695398

Hc magasság oldalanként c = 11,372400437582

Medián ma oldalanként a = 9,1241437954466

Medián mb oldalanként b = 14,230249470757

Medián mc oldalanként c = 12,816005617976

Sok sikert a számításokhoz!

Online számológép.
Háromszögek megoldása.

A háromszög megoldása az, hogy megtaláljuk mind a hat elemét (azaz három oldalát és három szögét) bármely három adott háromszöget meghatározó elem segítségével.

Ez a matematikai program megkeresi a \(c \) oldalt, a \(\alpha \) és \(\beta \) szögeket a felhasználó által megadott \(a, b \) oldalakon, valamint a köztük lévő szöget \(\gamma \)

A program nem csak a problémára ad választ, hanem megjeleníti a megoldás keresésének folyamatát is.

Ez az online számológép hasznos lehet középiskolásoknak a vizsgákra, vizsgákra való felkészülésben, az egységes államvizsga előtti tudásfelméréshez, a szülőknek pedig számos matematikai és algebrai feladat megoldásának kézben tartásához. Vagy talán túl drága önnek oktatót felvenni vagy új tankönyveket vásárolni? Vagy csak szeretnéd minél előbb elkészülni? házi feladat matematika vagy algebra? Ebben az esetben részletes megoldással is használhatja programjainkat.

Ezáltal saját és/vagy öccsei képzését tudja lebonyolítani, miközben a megoldandó feladatok területén az oktatás színvonala emelkedik.

Ha nem ismeri a számok bevitelére vonatkozó szabályokat, javasoljuk, hogy ismerkedjen meg velük.

A számok bevitelének szabályai

A számok nem csak egészben, hanem töredékben is beállíthatók.
Egész és törtrész tizedes törtben ponttal vagy vesszővel is elválasztható.
Például megadhat tizedesjegyeket, például 2,5-öt vagy 2,5-öt

Adja meg az oldalakat \(a, b \) és a köztük lévő szöget \(\gamma \) Oldja meg a háromszöget

Azt találtuk, hogy egyes, a feladat megoldásához szükséges szkriptek nem töltődnek be, és előfordulhat, hogy a program nem működik.
Lehetséges, hogy az AdBlock engedélyezve van.
Ebben az esetben kapcsolja ki, és frissítse az oldalt.

A JavaScript le van tiltva a böngészőjében.
A megoldás megjelenítéséhez engedélyezni kell a JavaScriptet.
Íme a JavaScript engedélyezése a böngészőben.

Mivel Sokan vannak, akik szeretnék megoldani a problémát, kérése sorban áll.
Néhány másodperc múlva az alábbiakban megjelenik a megoldás.
Kérlek várj mp...

Ha te hibát észlelt a megoldásban, akkor a Visszajelzési űrlapon írhatsz róla.
Ne felejtsd el jelezze, melyik feladatot te döntöd el, mit írja be a mezőkbe.

Játékaink, rejtvényeink, emulátoraink:

Egy kis elmélet.

Szinusztétel

Tétel

A háromszög oldalai arányosak a szemközti szögek szinuszaival:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Koszinusz tétel

Tétel
Legyen az ABC háromszögben AB = c, BC = a, CA = b. Azután
A háromszög egyik oldalának négyzete egyenlő a másik két oldal négyzeteinek összegével, mínusz ezen oldalak szorzatának kétszerese és a köztük lévő szög koszinusza.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Háromszögek megoldása

A háromszög megoldása az, hogy megtaláljuk mind a hat elemét (azaz három oldalát és három szögét) bármely három adott háromszöget meghatározó elem segítségével.

Tekintsünk három feladatot egy háromszög megoldására. Ebben az esetben az ABC háromszög oldalaira a következő jelölést fogjuk használni: AB = c, BC = a, CA = b.

Egy háromszög két oldala és a köztük lévő szög megoldása

Adott: \(a, b, \angle C \). \(c, \angle A, \angle B \) keresése

Megoldás
1. A koszinusz törvénye szerint \(c\):

$$ c = \sqrt( a^2+b^2-2ab \cos C ) $$ 2. A koszinusz tételt használva a következőt kapjuk:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

3. \(\angle B = 180^\circ -\angle A -\angle C \)

Adott oldal és szomszédos szögek háromszögének megoldása

Adott: \(a, \angle B, \angle C \). \(\szög A, b, c \)

Megoldás
1. \(\angle A = 180^\circ -\angle B -\angle C \)

2. A szinusztétel segítségével kiszámítjuk b-t és c-t:
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Három oldalú háromszög megoldása

Adott: \(a, b, c\). Keresse meg \(\angle A, \angle B, \angle C \)

Megoldás
1. A koszinusztétel szerint a következőt kapjuk:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

A \(\cos A \) segítségével megtaláljuk a \(\angle A \)-t mikroszámológép segítségével vagy táblázatból.

2. Hasonlóképpen megtaláljuk a B szöget.
3. \(\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)

Egy háromszög megoldása adott két oldallal és egy ismert oldallal ellentétes szöggel

Adott: \(a, b, \szög A \). Keresse meg \(c, \angle B, \angle C \)

Megoldás
1. A szinusztétellel azt kapjuk, hogy \(\sin B \) a következőt kapjuk:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Vezessük be a jelölést: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). A D számtól függően a következő esetek lehetségesek:
Ha D > 1, akkor ilyen háromszög nem létezik, mert \(\sin B \) nem lehet nagyobb 1-nél
Ha D = 1, akkor van egy egyedi \(\angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \)
Ha D Ha D 2. \(\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)

3. A szinusztétel segítségével kiszámítjuk a c oldalt:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Könyvek (tankönyvek) Egységes államvizsga és OGE tesztek absztraktjai online Játékok, rejtvények Funkciók grafikonjai Az orosz nyelv helyesírási szótára Ifjúsági szleng szótára Orosz iskolák katalógusa Oroszországi középiskolák katalógusa Orosz egyetemek katalógusa Feladatok listája

A háromszög egy geometriai szám, amely három olyan szakaszból áll, amelyek három pontot kötnek össze, amelyek nem esnek ugyanazon az egyenesen. A háromszöget alkotó pontokat pontjainak nevezzük, a szakaszok pedig egymás mellett vannak.

A háromszög típusától függően (téglalap alakú, monokróm stb.) a bemeneti adatoktól és a probléma körülményeitől függően különböző módon számíthatja ki a háromszög oldalát.

Gyors navigáció egy cikkhez

A derékszögű háromszög oldalainak kiszámításához a Pitagorasz-tételt használjuk, amely szerint a hipotenusz négyzete egyenlő a láb négyzeteinek összegével.

Ha a lábakat "a" és "b"-vel, a hipotenuzust pedig "c"-vel jelöljük, akkor a következő képletekkel találhatunk oldalakat:

Ha ismertek egy derékszögű háromszög hegyesszögei (a és b), akkor oldalai a következő képletekkel kereshetők:

kivágott háromszög

Egy háromszöget egyenlő oldalú háromszögnek nevezünk, amelynek mindkét oldala azonos.

Hogyan találjuk meg a hipotenuszt két lábon

Ha az "a" betű megegyezik az oldallal, a "b" az alap, a "b" az alappal szemközti sarok, az "a" a szomszédos sarok, a következő képletek használhatók az oldalak kiszámításához:

Két sarok és oldal

Ha bármely háromszögnek egy lapja (c) és két szöge (a és b) ismert, akkor a fennmaradó oldalak kiszámításához a szinuszképletet kell használni:

Meg kell találnia a harmadik értéket y = 180 - (a + b), mert

a háromszög összes szögének összege 180°;

Két oldal és egy szög

Ha egy háromszög két oldala (a és b) és a közöttük lévő szög (y) ismert, akkor a koszinusztétel felhasználható a harmadik oldal kiszámításához.

Hogyan határozzuk meg a derékszögű háromszög kerületét

A háromszög alakú háromszög olyan háromszög, amelyből az egyik 90 fokos, a másik kettő hegyesszögű. fizetés kerülete ilyen háromszög a róla ismert információ mennyiségétől függően.

Szükséged lesz rá

• Alkalomtól függően a háromszög három oldalának 2. képessége, valamint az egyik éles sarka.

utasítás

első Módszer 1. Ha mindhárom oldal ismert háromszög Ezután, akár merőleges, akár nem háromszög, a kerületet a következőképpen számítjuk ki: P = A + B + C, ahol lehetséges, c a befogó; a és b lábak.

második 2. módszer.

Ha egy téglalapnak csak két oldala van, akkor a Pitagorasz-tételt használva, háromszög képlet segítségével számítható ki: P = v (a2 + b2) + a + b vagy P = v (c2 - b2) + b + c.

a harmadik 3. módszer. Legyen a hipotenusz c és hegyesszög? Adott egy derékszögű háromszög, a kerületet így lehet megtalálni: P = (1 + sin?

negyedik 4. módszer. Azt mondják, hogy a derékszögű háromszögben az egyik láb hossza egyenlő a-val, és éppen ellenkezőleg, hegyesszöge van. Akkor számolj kerülete ez háromszög a következő képlet szerint hajtjuk végre: P = a * (1 / tg?

1 / fiam? + 1)

ötödik 5. módszer.

Háromszög online számítás

Hagyja, hogy a lábunk vezessen és legyen benne, akkor a tartomány a következőképpen lesz kiszámítva: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Hasonló videók

A Pitagorasz-tétel minden matematika alapja. Meghatározza a valódi háromszög oldalai közötti kapcsolatot. Ennek a tételnek most 367 bizonyítása van.

utasítás

első A Pitagorasz-tétel klasszikus iskolai megfogalmazása így hangzik: a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével.

Ahhoz, hogy két katétből álló derékszögű háromszögben meg lehessen találni a hipotenuszt, négyzetre kell fordítanod a lábak hosszát, össze kell szerelned őket, és meg kell venni az összeg négyzetgyökét. Állításának eredeti megfogalmazásában a piac a hipotenúzuson alapul, amely egyenlő a Catete által előállított 2 négyzet négyzeteinek összegével. A modern algebrai megfogalmazás azonban nem igényli a tartományreprezentáció bevezetését.

második Például egy derékszögű háromszög, amelynek lábai 7 cm és 8 cm.

Ekkor a Pitagorasz-tétel szerint a négyzetfogó R + S = 49 + 64 = 113 cm. A befogó 113 négyzetgyökével egyenlő.

Derékszögű háromszög szögei

Az eredmény ésszerűtlen szám lett.

a harmadik Ha a háromszögek 3-as és 4-es szárak, akkor a hipotenusz = 25 = 5. Ha a négyzetgyököt veszed, természetes számot kapsz. A 3, 4, 5 számok Pygagore-hármast alkotnak, mivel kielégítik az x? +Y? = Z, ami természetes.

További példák a Pitagorasz-hármasra: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

negyedik Ebben az esetben, ha a lábak azonosak egymással, a Pitagorasz-tétel primitívebb egyenletté változik. Például legyen egy ilyen kéz egyenlő az A számmal, és legyen definiálva a hipotenúza C-re, majd c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. Ebben az esetben nem kell A.

ötödik A Pitagorasz-tétel egy speciális eset, amely nagyobb, mint az általános koszinusztétel, amely kapcsolatot létesít a háromszög három oldala között, ha bármelyik szöget bezárják.

2. tipp: Hogyan határozzuk meg a lábak és a szögek hipotenuszát

A hipotenusznak a derékszögű háromszög oldalát nevezzük, amely a 90 fokos szöggel szemben van.

utasítás

első Jól ismert katéterek, valamint egy derékszögű háromszög hegyesszöge esetén a hipotenusz mérete megegyezik a láb és ennek a szögnek a koszinuszának / szinuszának arányával, ha a szög ellentétes volt / e a következők: H = C1 (vagy C2) / sin, H = C1 (vagy С2 ?) / cos ?. Példa: Adjunk ABC-t egy szabálytalan háromszögnek AB hipotenusszal és C derékszöggel.

Legyen B 60 fok és A 30 fok. A BC szár hossza 8 cm Meg kell keresni az AB hipotenusz hosszát. Ehhez használhatja a fenti módszerek egyikét: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

A hipotenusz a téglalap leghosszabb oldala háromszög. Derékszögben helyezkedik el. Téglalap befogópontjának megtalálásának módszere háromszög a forrásadatoktól függően.

utasítás

első Ha a lábai merőlegesek háromszög, akkor a téglalap befogójának hossza háromszög Megtalálható a Pitagorasz analógjával - a befogó hosszának négyzete egyenlő a lábak hosszának négyzeteinek összegével: c2 = a2 + b2, ahol a és b a jobb oldali szárainak hossza háromszög .

második Ha ismert, és az egyik láb hegyesszögben van, a hipotenúza megtalálásának képlete attól függ, hogy az ismert lábhoz képest bizonyos szögben van-e vagy nincs - szomszédos (a láb közelében van), vagy satu. fordítva (az ellenkező eset a nego.V a megadott szögben egyenlő a láb hipotenuszának töredékével koszinuszszögben: a = a / cos; E viszont a hipotenúza megegyezik a szinuszos szögek arányával: da = a / sin.

Hasonló videók

Hasznos tippeket
Egy szögletes háromszög, amelynek oldalai 3:4:5 arányban kapcsolódnak egymáshoz, amelyet egyiptomi deltának neveznek, mivel ezeket a figurákat széles körben használták az ókori Egyiptom építészei.

Ez a Jeron-háromszögek legegyszerűbb példája is, ahol az oldalak és a terület egész számokként vannak ábrázolva.

A háromszöget téglalapnak nevezzük, amelynek szöge 90°. A jobb sarokkal szemközti oldalt hipotenusznak, a másik oldalt lábaknak nevezzük.

Ha meg akarod találni, hogyan jön létre a derékszögű háromszög a szabályos háromszögek bizonyos tulajdonságaiból, nevezetesen abból a tényből, hogy a hegyesszögek összege 90°, amit használunk, és azt, hogy a szemközti láb hossza fele a befogónak. 30°.

Gyors navigáció egy cikkhez

kivágott háromszög

Az egyenlő háromszög egyik tulajdonsága, hogy két szöge azonos.

Egy derékszögű egyenlő oldalú háromszög szögének kiszámításához tudnia kell, hogy:

• Nem rosszabb, mint 90°.
• A hegyesszögek értékeit a következő képlet határozza meg: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, azaz.

  Az α és β szögek 45°.

Ha az egyik hegyesszög ismert értéke ismert, a másik a következő képlettel kereshető: β = 180º-90º-α vagy α = 180º-90º-β.

Ezt az arányt leggyakrabban akkor használják, ha az egyik szög 60° vagy 30°.

Kulcsfogalmak

Összeg belső sarkok a háromszög 180°.

Mert ez egy szint, kettő marad éles.

Számítsa ki a háromszöget online

Ha meg akarod találni őket, tudnod kell, hogy:

egyéb módszerek

A derékszögű háromszög hegyesszögértékei az átlagból számíthatók ki - a háromszög ellentétes oldalán lévő pontból induló egyenessel és a magassággal - az egyenes egy merőleges, amelyet a hipotenuzusból merőlegesen húznak le derékszögben.

Legyen a medián a jobb saroktól a hypotenus közepéig terjed, és h legyen a magasság. Ebben az esetben kiderül, hogy:

• sinα = b/(2*s); sin β = a / (2 * s).
• cosα = a/(2*s); cos β = b / (2 * s).
• sinα = h/b; sin β = h / a.

Két oldal

Ha a befogó és az egyik láb hossza derékszögű háromszögben vagy két oldalról ismert, akkor a hegyesszögek értékének meghatározásához trigonometrikus azonosságokat használnak:

• α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
• α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
• α = arctán (a / b), β = arctán (b / a).

Derékszögű háromszög hossza

Egy háromszög területe és területe

kerülete

Bármely háromszög kerülete egyenlő a három oldal hosszának összegével. A háromszög alakú háromszög megtalálásának általános képlete:

ahol P a háromszög kerülete, a, b és c az oldalai.

Egyenlő háromszög kerületeúgy találhatjuk meg, hogy az oldalak hosszát egymás után kombináljuk, vagy az oldalhosszt megszorozzuk 2-vel és hozzáadjuk az alap hosszát a termékhez.

Az egyensúlyi háromszög megtalálásának általános képlete a következőképpen néz ki:

ahol P egy egyenlő háromszög kerülete, de vagy b, b az alap.

Egyenlő oldalú háromszög kerülete megkereshető az oldalak hosszának egymás utáni kombinálásával, vagy bármely oldal hosszának 3-mal való szorzásával.

Az egyenlő oldalú háromszögek peremének megtalálásának általános képlete a következőképpen néz ki:

ahol P egy egyenlő oldalú háromszög kerülete, a az egyik oldala.

vidék

Ha meg akarja mérni egy háromszög területét, összehasonlíthatja egy paralelogrammával. Tekintsük az ABC háromszöget:

Ha ugyanazt a háromszöget vesszük, és úgy rögzítjük, hogy paralelogrammát kapjunk, akkor egy olyan paralelogrammát kapunk, amelynek magassága és alapja megegyezik ezzel a háromszöggel:

Ebben az esetben a háromszögek közös oldalát az öntött paralelogramma átlója mentén hajtjuk össze.

A paralelogramma tulajdonságaiból. Tudjuk, hogy a paralelogramma átlói mindig oszthatók kettővel. egyenlő háromszög, akkor minden háromszög felülete egyenlő a paralelogramma tartományának felével.

Mivel a paralelogramma területe az alapmagasság szorzata, a háromszög területe ennek a szorzatnak a fele lesz. Tehát ΔABC esetében a terület ugyanaz lesz

Most nézzünk meg egy derékszögű háromszöget:

Két egyforma derékszögű háromszög hajlítható téglalappá, ha az hozzájuk dől, ami minden második befogó.

Mivel a téglalap felülete egybeesik a szomszédos oldalak felületével, ennek a háromszögnek a területe megegyezik:

Ebből arra következtethetünk, hogy bármely derékszögű háromszög felülete egyenlő a lábak 2-vel osztva szorzatával.

Ezekből a példákból arra a következtetésre juthatunk, hogy minden háromszög felülete megegyezik a hosszúság szorzatával, és a magasságot csökkentjük az alap 2-vel osztva.

A háromszög területének meghatározásának általános képlete a következőképpen néz ki:

ahol S a háromszög területe, de az alapja, de a magassága lefelé esik a.

Az elsők a derékszöggel szomszédos szegmensek, a hipotenusz pedig az ábra leghosszabb része, és a 90 fokos szöggel szemben van. Pitagorasz-háromszög az, amelynek oldalai egyenlőek a természetes számokkal; hosszukat ebben az esetben "pytagorasz-hármasnak" nevezik.

egyiptomi háromszög

Annak érdekében, hogy a jelenlegi generáció abban a formában tanulja meg a geometriát, ahogy azt most az iskolában tanítják, évszázadok óta fejlesztették. Az alappont a Pitagorasz-tétel. A téglalap oldalait az egész világ ismeri) 3, 4, 5.

Kevesen ismerik a "Pitagorasz nadrág minden irányban egyenlő" kifejezést. Valójában azonban a tétel így hangzik: c 2 (a hipotenusz négyzete) \u003d a 2 + b 2 (a lábak négyzeteinek összege).

A matematikusok körében a 3, 4, 5 (cm, m stb.) oldalú háromszöget "egyiptominak" nevezik. Érdekes, hogy ami az ábrán szerepel, az egyenlő eggyel. A név a Kr.e. V. század környékén keletkezett, amikor a görög filozófusok Egyiptomba utaztak.

A piramisok építésekor az építészek és a földmérők a 3:4:5 arányt alkalmazták. Az ilyen szerkezetek arányosnak, látványosnak és tágasnak bizonyultak, és ritkán omlottak össze.

A derékszög kialakításához az építők egy kötelet használtak, amelyre 12 csomót kötöttek. Ebben az esetben a derékszögű háromszög megalkotásának valószínűsége 95%-ra nőtt.

Az alakok egyenlőségének jelei

• A derékszögű háromszög hegyesszöge és egy nagy oldal, amelyek megegyeznek a második háromszög azonos elemeivel, az ábrák egyenlőségének vitathatatlan jele. A szögek összegét figyelembe véve könnyen bebizonyítható, hogy a második hegyesszögek is egyenlőek. Így a háromszögek a második kritériumban azonosak.
• Ha két figurát egymásra helyezünk, úgy elforgatjuk őket, hogy egyesítve egy egyenlő szárú háromszög legyen. Tulajdonsága szerint az oldalak, vagy inkább a hipotenusok egyenlőek, valamint az alapnál lévő szögek, ami azt jelenti, hogy ezek az ábrák azonosak.

Az első előjellel nagyon könnyű bebizonyítani, hogy a háromszögek valóban egyenlőek, a lényeg, hogy a két kisebb oldal (azaz a lábak) egyenlő legyen egymással.

A háromszögek a II jel szerint azonosak lesznek, aminek a lényege a láb és a hegyesszög egyenlősége.

Derékszögű háromszög tulajdonságai

A derékszögből leengedett magasság két egyenlő részre osztja az ábrát.

A derékszögű háromszög oldalai és mediánja könnyen felismerhető a szabály alapján: a középső, amelyet a hipotenuzusra süllyesztünk, annak a fele. megtalálható mind Heron képletével, mind azzal az állítással, hogy egyenlő a lábak szorzatának felével.

Derékszögű háromszögben a 30 o, 45 o és 60 o szögek tulajdonságai érvényesek.

• 30 ° -os szögben emlékezni kell arra, hogy az ellenkező láb a legnagyobb oldal 1/2-ével egyenlő.
• Ha a szög 45o, akkor a második hegyesszög is 45o. Ez arra utal, hogy a háromszög egyenlő szárú, és a lábai azonosak.
• A 60 fokos szög tulajdonsága, hogy a harmadik szög mértéke 30 fok.

A terület könnyen megtalálható a három képlet egyikével:

1. a magasságon és azon az oldalon keresztül, amelyen leereszkedik;
2. a Heron-képlet szerint;
3. az oldalak mentén és a köztük lévő szögben.

Egy derékszögű háromszög oldalai, vagy inkább lábai két magassággal összefolynak. A harmadik megtalálásához figyelembe kell venni a kapott háromszöget, majd a Pitagorasz-tétel segítségével kiszámítani a szükséges hosszúságot. Ezen a képleten kívül ott van még a terület kétszeresének és a hypotenus hosszának aránya. A diákok körében a leggyakoribb kifejezés az első, mivel kevesebb számítást igényel.

Derékszögű háromszögre vonatkozó tételek

A derékszögű háromszög geometriája magában foglalja az alábbi tételek használatát: