Szorzás

Mátrixszorzás (mátrixszorzat):

Két mátrix szorzásának művelete csak abban az esetben kerül megadásra, ha az első oszlopok száma mátrixok megegyezik a második sorainak számával mátrixok .

Ez a feltétel nem teljesül, az AB termék nem létezik.

A mátrix és az A vektor szorzata b :

vektorok pontszorzata ( b ,tól től):

Keresse meg az A mátrix determinánsát:

Különösen a mátrix determináns kiszámításának képlete

ez:

= a 11 a 22 a 33 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31

2*(-4)*5 – 2*4*2 – (-2)*5*5 + (-2)*4*(-1) +(-1)*5*2 – (-1)*(-4)*(-1) = -40 – 16 +50 + 8 – 10 + 4 = -4

Keresse meg az A -1 inverz mátrixot:

Megoldás .

A megadott mátrix determinánsa egyenlő:

A determináns tehát nem egyenlő nullával inverz mátrix létezik.

Az identitásmátrixot hozzáadjuk a jobb oldali eredeti mátrixhoz.

Kezdjük el redukálni a bal oldali négyzetmátrixot az azonosságformára. Segítségével elemi átalakulások távolítson el minden együtthatót a főátló alatt.

A főátló feletti összes együtthatót hozzuk 0-ra elemi transzformációkkal.

Válasz .

Ahogy korábban említettük, elemi transzformációk segítségével az identitásmátrixot jobbról balra mozgattuk, miközben a mátrixszal való munka egyetlen szabályát sem szegtük meg.

A jobb oldalon látható négyzetes mátrix a beírt mátrix inverze. .

Az Ax= egyenletrendszer megoldása b :

Feltétel

Keressük meg a főmátrix determinánsát, amely az X 1 - n együtthatókból áll:

Az egyenletrendszer főmátrixának determinánsa nem egyenlő nullával, ezért ennek az egyenletrendszernek egyedi megoldása van. Keressük meg őt. Szerezzük meg az egyenletrendszer fő meghatározóját egy másik oszloppal, amelybe az egyenlőségjel mögé szúrjuk be az értékeket.

Most egymás után, vele elemi átalakulások a mátrix bal oldalát (3 × 3) háromszög alakúra alakítjuk (minden olyan együtthatót visszaállítunk, amely nincs a főátlón, és a főátlón lévő együtthatókat egységekre konvertáljuk).

Vonja ki az 1. sort az alatta lévő összes sorból. Ez a művelet nem mond ellent az elemi mátrix transzformációknak.

Vonja ki a 2. sort az alatta lévő összes sorból. Ez a művelet nem mond ellent az elemi mátrix transzformációknak.

Vonja ki a 3. sort a felette lévő összes sorból. Ez a művelet nem mond ellent az elemi mátrix transzformációknak.

Vonja ki a 2. sort a felette lévő összes sorból. Ez a művelet nem mond ellent az elemi mátrix transzformációknak.

A mátrix főátlóján lévő összes együtthatót hozzuk 1-re. A mátrix minden sorát osszuk el a főátlón található sor együtthatójával, ha az nem egyenlő 1-gyel.

Válasz .

Az identitásmátrixtól jobbra kapott számok jelentik az egyenletrendszered megoldását.

Elemi mátrix transzformációk

Elemi átalakulások mátrixok a következő transzformációkat nevezzük: 1) mátrix sorszorzás nullától eltérő számra; 2) egy sor kiegészítése mátrixok másik sor; 3) vonalak permutációja; 4) az azonos sorok (oszlopok) egyikének törlése (törlése); öt) mátrix transzpozíció ;

Ugyanazok a műveletek az oszlopoknál mátrixok, elemi transzformációknak is nevezik. Elemi transzformációk segítségével tetszőleges sorra vagy oszlopra lehetséges mátrixok add hozzá a fennmaradó sorok (oszlopok) lineáris kombinációját.

Éppen egy ilyen egyenletrendszert kezdünk el megoldani a Gauss-módszerrel

A főmátrix meghatározója az -4

Azt akarjuk, hogy az elem egyenlő legyen 1-gyel. Elosztottuk az egészet 1. sor elemenként =2.

Készült 1 sor elem 1 single.

Nulla ki 1 oszlop: From 2 sor levonva 1 sor, szorozva az =5 elemmel.

Tól től 3 sor levonva 1 sor, megszorozva a =-1 elemmel.

Tehát az előző leckében elemeztük a mátrixok összeadásának és kivonásának szabályait. Ezek olyan egyszerű műveletek, hogy a legtöbb diák szó szerint azonnal megérti őket.

Ön azonban korán örül. Az ingyenességnek vége – térjünk át a szorzásra. Azonnal figyelmeztetlek: két mátrix szorzása egyáltalán nem jelenti az azonos koordinátájú cellákban lévő számok szorzását, mint gondolnád. Itt minden sokkal szórakoztatóbb. És az előzetes definíciókkal kell kezdenie.

Konzisztens mátrixok

Az egyik a legfontosabb jellemzőket mátrix a mérete. Erről már százszor beszéltünk: $A=\left[ m\times n \right]$ azt jelenti, hogy a mátrixnak pontosan $m$ sora és $n$ oszlopa van. Már megbeszéltük, hogyan ne keverjük össze a sorokat az oszlopokkal. Most valami más fontos.

Meghatározás. $A=\left[ m\times n \right]$ és $B=\left[ n\times k \right]$ alakú mátrixok, amelyekben az első mátrix oszlopainak száma megegyezik a második sorok számát konzisztensnek nevezzük.

Még egyszer: az első mátrix oszlopainak száma megegyezik a második sorainak számával! Ebből egyszerre két következtetést vonunk le:

1. Nekünk fontos a mátrixok sorrendje. Például a $A=\left[ 3\x 2 \right]$ és a $B=\left[ 2\times 5 \right]$ mátrixok konzisztensek (2 oszlop az első mátrixban és 2 sor a másodikban) , de fordítva – a $B=\left[ 2\x 5 \right]$ és a $A=\left[ 3\x 2 \right]$ mátrixok már nem konzisztensek (az első mátrix 5 oszlopa, mint pl. volt, nem 3 sor a másodikban).
2. A következetesség könnyen ellenőrizhető, ha egymás után kiírja az összes méretet. Az előző bekezdés példájával: "3 2 2 5" - ugyanazok a számok vannak középen, így a mátrixok konzisztensek. De a „2 5 3 2” nem ért egyet, mert különböző számok vannak a közepén.

Ezenkívül a kapitány utalni látszik arra, hogy az azonos méretű $\left[ n\times n \right]$ négyzetmátrixok mindig konzisztensek.

A matematikában, amikor fontos az objektumok felsorolásának sorrendje (például a fentebb tárgyalt definícióban a mátrixok sorrendje fontos), gyakran beszélünk rendezett párokról. Az iskolában találkoztunk velük: szerintem nem okos, hogy a $\left(1;0 \right)$ és a $\left(0;1 \right)$ koordináták különböző pontokat határoznak meg a síkon.

Tehát: a koordináták is rendezett párok, amelyek számokból állnak. De semmi sem akadályozza meg abban, hogy ilyen mátrixpárt készítsen. Ekkor elmondható: "A $\left(A;B \right)$ mátrixok rendezett párja konzisztens, ha az első mátrixban lévő oszlopok száma megegyezik a második sorainak számával. "

Nos, és mi van?

A szorzás definíciója

Tekintsünk két konzisztens mátrixot: $A=\left[ m\times n \right]$ és $B=\left[ n\times k \right]$. És definiáljuk számukra a szorzás műveletét.

Meghatározás. Két konzisztens mátrix $A=\left[ m\times n \right]$ és $B=\left[ n\times k \right]$ szorzata az új $C=\left[ m\times k \ mátrix jobbra] $, melynek elemeit a következő képlet szerint számítjuk ki:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\lpontok +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

Az ilyen terméket a szokásos módon jelöljük: $C=A\cdot B$.

Azok számára, akik először látják ezt a meghatározást, azonnal két kérdés merül fel:

1. Miféle vad ez?
2. Miért olyan nehéz?

Nos, először a dolgok. Kezdjük az első kérdéssel. Mit jelentenek ezek az indexek? És hogyan ne kövessünk el hibákat, amikor valódi mátrixokkal dolgozunk?

Először is megjegyezzük, hogy a hosszú sor a $((c)_(i;j))$ kiszámításához (speciálisan tegyen pontosvesszőt az indexek közé, hogy ne keveredjen össze, de nem kell beírni őket általános - magam is belefáradtam abba, hogy a képletet beírjam a definícióba) valójában egy egyszerű szabályban áll:

1. Vegyük az első mátrix $i$-edik sorát;
2. Vegyük a második mátrix $j$-edik oszlopát;
3. Két számsorozatot kapunk. Ezeknek a sorozatoknak az elemeit megszorozzuk azonos számokkal, majd összeadjuk a kapott szorzatokat.

Ez a folyamat könnyen érthető a képről:

Két mátrix szorzásának sémája

Még egyszer: az első mátrixban rögzítjük a $i$ sort, a második mátrixban a $j$ oszlopot, megszorozzuk az elemeket azonos számokkal, majd összeadjuk a kapott szorzatokat - kapjuk a $((c)_(ij ))$. És így minden $1\le i\le m$ és $1\le j\le k$ esetében. Azok. összesen $m\szer k$ lesz ilyen "perverzió".

Valójában az iskolai tantervben már találkoztunk mátrixszorzással, csak erősen csonka formában. Adott vektorok legyenek:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \jobbra); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \jobb). \\ \end(igazítás)\]

Ekkor a skalárszorzatuk pontosan a páros szorzatok összege lesz:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y) )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

Valójában azokban a távoli években, amikor a fák zöldebbek voltak és az ég fényesebb volt, egyszerűen megszoroztuk a $\overrightarrow(a)$ sorvektort a $\overrightarrow(b)$ oszlopvektorral.

Ma semmi sem változott. Csak most már több ilyen sor- és oszlopvektor van.

De elég az elmélet! Nézzük valós példák. És kezdjük a legegyszerűbb esettel - négyzetmátrixokkal.

Négyzetmátrixok szorzása

1. feladat Hajtsa végre a szorzást:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\]

Megoldás. Tehát két mátrixunk van: $A=\left[ 2\x 2 \right]$ és $B=\left[ 2\x 2 \right]$. Nyilvánvaló, hogy konzisztensek (az azonos méretű négyzetmátrixok mindig konzisztensek). Tehát elvégezzük a szorzást:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \ kezdő(tömb)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(tömb)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ end(tömb)\jobbra]. \end(igazítás)\]

Ez minden!

Válasz: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]$.

2. feladat Hajtsa végre a szorzást:

\[\left[ \begin(mátrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(mátrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(array) \right]\]

Megoldás. Ismét konzisztens mátrixok, ezért a következő műveleteket hajtjuk végre:\[\]

\[\begin(align) & \left[ \begin(mátrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(mátrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)( r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(tömb) \jobbra]=\left[ \begin(tömb)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ bal (-3 \jobb) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6\ cdot \left(-2 \right) \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(mátrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(mátrix) \right] . \end(igazítás)\]

Amint látja, az eredmény egy nullákkal töltött mátrix

Válasz: $\left[ \begin(mátrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(mátrix) \right]$.

A fenti példákból nyilvánvaló, hogy a mátrixszorzás nem olyan bonyolult művelet. Legalább 2 x 2 négyzetes mátrixokhoz.

A számítások során összeállítottunk egy köztes mátrixot, ahol közvetlenül lefestettük, hogy egy adott cellában milyen számok szerepelnek. Pontosan ezt kell tenni a valódi problémák megoldása során.

A mátrixszorzat alapvető tulajdonságai

Dióhéjban. Mátrix szorzás:

1. Nem kommutatív: $A\cdot B\ne B\cdot A$ általában. Természetesen vannak speciális mátrixok, amelyeknél a $A\cdot B=B\cdot A$ egyenlőség (például ha $B=E$ az azonosságmátrix), de az esetek túlnyomó többségében ez nem működik ;
2. Asszociatív: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. Itt nincs lehetőség: a szomszédos mátrixokat meg lehet szorozni anélkül, hogy foglalkoznánk azzal, hogy mi van ettől a két mátrixtól balra és jobbra.
3. Elosztóan: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ és $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $

És most - mindegy, de részletesebben.

A mátrixszorzás nagyon hasonlít a klasszikus számszorzáshoz. De vannak különbségek, amelyek közül a legfontosabb az A mátrixszorzás általában véve nem kommutatív.

Tekintsük újra az 1. feladat mátrixait. Már ismerjük a közvetlen szorzatukat:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(tömb) \jobbra]\]

De ha felcseréljük a mátrixokat, teljesen más eredményt kapunk:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(mátrix) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end(mátrix )\jobb]\]

Kiderült, hogy $A\cdot B\ne B\cdot A$. Ezenkívül a szorzási művelet csak a $A=\left[ m\times n \right]$ és $B=\left[ n\times k \right]$ konzisztens mátrixokra van definiálva, de senki nem garantálta, hogy megmaradnak következetesek, ha felcserélik őket. Például a $\left[ 2\x 3 \right]$ és a $\left[ 3\x 5 \right]$ mátrixok meglehetősen konzisztensek ebben a sorrendben, de ugyanazok a mátrixok $\left[ 3\x 5 \ jobb] $ és $\left[ 2\x 3 \right]$ fordított sorrendben írva már nem egyezik. Szomorúság :(

Adott $n$ méretű négyzetmátrixok között mindig vannak olyanok, amelyek adnak ugyanaz az eredmény előre és hátra szorzáshoz egyaránt. Az, hogy hogyan írjunk le minden ilyen mátrixot (és általában hányat) az egy külön leckének a témája. Ma nem beszélünk róla. :)

A mátrixszorzás azonban asszociatív:

\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

Ezért, ha egyszerre több mátrixot kell szoroznia egymás után, egyáltalán nem szükséges ezt előre megtenni: nagyon valószínű, hogy néhány szomszédos mátrix szorozva érdekes eredményt ad. Például egy nulla mátrix, mint a fent tárgyalt 2. feladatban.

Valós feladatokban leggyakrabban $\left[ n\x n \right]$ méretű négyzetmátrixokat kell szorozni. Az összes ilyen mátrix halmazát $((M)^(n))$ jelöli (azaz a $A=\left[ n\times n \right]$ és \ bejegyzések ugyanazt jelentik), és határozottan tartalmazzák a $E$ mátrixot, amelyet identitásmátrixnak nevezünk.

Meghatározás. A $n$ méretű identitásmátrix egy $E$ mátrix úgy, hogy bármely $A=\left[ n\times n \right]$ négyzetmátrixra érvényes az egyenlőség:

Egy ilyen mátrix mindig ugyanúgy néz ki: a főátlóján egységek vannak, az összes többi cellában pedig nullák.

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]

Más szóval, ha egy mátrixot meg kell szoroznia két másik összegével, akkor megszorozhatja a „másik kettő” mindegyikével, majd összeadhatja az eredményeket. A gyakorlatban általában az inverz műveletet kell végrehajtani: észrevesszük ugyanazt a mátrixot, kivesszük a zárójelből, összeadást végzünk, és ezzel leegyszerűsítjük az életünket. :)

Vegyük észre, hogy az eloszlás leírásához két képletet kellett felírnunk: ahol az összeg a második tényezőben van, és ahol az összeg az elsőben. Ez pontosan annak köszönhető, hogy a mátrixszorzás nem kommutatív (és általában a nem kommutatív algebrában sok mindenféle vicc van, ami közönséges számokkal dolgozva eszünkbe sem jut). És ha például le kell írni ezt a tulajdonságot a vizsga során, akkor mindenképpen írd le mindkét képletet, különben a tanár kicsit mérges lehet.

Oké, ezek mind a négyzetmátrixokról szóló mesék voltak. Mi a helyzet a téglalapokkal?

A téglalap alakú mátrixok esete

De semmi - minden ugyanaz, mint a négyzeteseknél.

3. feladat Hajtsa végre a szorzást:

\[\left[ \begin(mátrix) \begin(mátrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(mátrix) & \begin(mátrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(mátrix) \ \\end(mátrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]\]

Megoldás. Két mátrixunk van: $A=\left[ 3\x 2 \right]$ és $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Írjuk sorba a méreteket jelző számokat:

Mint látható, a középső két szám megegyezik. Ez azt jelenti, hogy a mátrixok konzisztensek, és szorozhatók. És a kimeneten a $C=\left[ 3\x 2 \right]$ mátrixot kapjuk:

\[\begin(align) & \left[ \begin(mátrix) \begin(mátrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(mátrix) & \begin(mátrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(mátrix) \\\end(mátrix) \jobbra]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(tömb) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\end(tömb)\jobbra]. \end(igazítás)\]

Minden világos: a végső mátrixnak 3 sora és 2 oszlopa van. Elég $=\left[ 3\x 2 \right]$.

Válasz: $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) \begin(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(array) & \begin(mátrix) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(mátrix) \\\end(array) \right]$.

Most fontolja meg az egyik legjobb képzési feladatot azok számára, akik most kezdik el a mátrixokkal való munkát. Ebben nem csak két táblát kell szorozni, hanem először meg kell határozni: megengedett-e egy ilyen szorzás?

4. feladat Keresse meg a mátrixok összes lehetséges páros szorzatát:

\\]; $B=\left[ \begin(mátrix) \begin(mátrix) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(mátrix) & \begin(mátrix) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(mátrix) \\\end(mátrix) \right]$; $C=\left[ \begin(mátrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(mátrix) \jobbra]$.

Megoldás. Először is írjuk fel a mátrixok méreteit:

\;\ B=\bal[ 4\x 2 \right];\ C=\left[ 2\x 2 \right]\]

Azt kapjuk, hogy az $A$ mátrix csak a $B$ mátrixszal párosítható, mivel a $A$ oszlopok száma 4, és csak a $B$-ban van ennyi sor. Ezért a terméket megtalálhatjuk:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(array) \right]=\ left[ \begin(array)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]\]

Javaslom, hogy az olvasó a közbenső lépéseket önállóan végezze el. Csak azt jegyzem meg, hogy jobb előre meghatározni a kapott mátrix méretét, még minden számítás előtt:

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

Más szóval, egyszerűen eltávolítjuk az „átmeneti” együtthatókat, amelyek biztosították a mátrixok konzisztenciáját.

Milyen egyéb lehetőségek lehetségesek? Biztosan meg lehet találni $B\cdot A$, mivel $B=\left[ 4\x 2 \right]$, $A=\left[ 2\x 4 \right]$, tehát a rendezett pár $\ left(B ;A \right)$ konzisztens, és a termék mérete a következő lesz:

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

Röviden, a kimenet egy $\left[ 4\x 4 \right]$ mátrix lesz, amelynek együtthatói könnyen kiszámíthatók:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(array) \right]=\ left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 és -8 \\\end(array) \right]\]

Nyilvánvalóan a $C\cdot A$ és a $B\cdot C$ is párosítható, és ennyi. Ezért egyszerűen írjuk a kapott termékeket:

Könnyű volt.:)

Válasz: $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(array) \right]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(array) \right]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(array) \right]$.

Általában azt javaslom, hogy ezt a feladatot saját maga végezze el. És egy másik hasonló feladat, ami benne van házi feladat. Ezek a látszólag egyszerű gondolatok segítenek a mátrixszorzás összes kulcsfontosságú lépésének kidolgozásában.

De a történet ezzel nem ér véget. Térjünk át a szorzás speciális eseteire. :)

Sorvektorok és oszlopvektorok

Az egyik leggyakoribb mátrixművelet a szorzás egy sorból vagy egy oszlopból álló mátrixszal.

Meghatározás. Az oszlopvektor egy $\left[ m\times 1 \right]$ mátrix, azaz. több sorból és csak egy oszlopból áll.

A sorvektor egy $\left[ 1\times n \right]$ méretű mátrix, azaz. egy sorból és több oszlopból áll.

Valójában ezekkel a tárgyakkal már találkoztunk. Például egy közönséges háromdimenziós vektor a $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ sztereometriából nem más, mint egy sorvektor. Elméleti szempontból szinte nincs különbség sorok és oszlopok között. Csak a környező szorzómátrixokkal való koordinációnál kell óvatosnak lennie.

5. feladat. Szorzás:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]\]

Megoldás. Van egy konzisztens mátrixok szorzata: $\left[ 3\x 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Keresse meg ezt a darabot:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35) )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\end(tömb) \jobbra]\]

Válasz: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]$.

6. feladat Hajtsa végre a szorzást:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]\]

Megoldás. Ismét minden következetes: $\left[ 1\x 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. A munkát figyelembe vesszük:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)( r))5 & -19 & 5 \\\end(array) \right]\]

Válasz: $\left[ \begin(mátrix) 5 & -19 & 5 \\\end(mátrix) \right]$.

Amint látható, ha egy sorvektort és egy oszlopvektort négyzetmátrixszal szorozunk, a kimenet mindig egy azonos méretű sor vagy oszlop lesz. Ennek a ténynek számos alkalmazása van - a lineáris egyenletek megoldásától a mindenféle koordináta-transzformációig (amelyek végül szintén egyenletrendszerekké redukálódnak, de szomorú dolgokról ne is beszéljünk).

Szerintem itt minden nyilvánvaló volt. Térjünk át a mai lecke utolsó részére.

Mátrix hatványozás

A szorzási műveletek közül külön figyelmet érdemel a hatványozás - ilyenkor ugyanazt az objektumot többször megszorozzuk önmagával. Ez alól a mátrixok sem kivételek, ezek is különböző mértékben emelhetők.

Az ilyen munkákat mindig összehangolják:

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

És ugyanúgy jelölik őket, mint a közönséges fokozatokat:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \end(igazítás)\]

Első pillantásra minden egyszerű. Lássuk, hogyan néz ki a gyakorlatban:

7. feladat Emelje fel a mátrixot a megadott hatványra:

$((\left[ \begin(mátrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(mátrix) \jobbra])^(3))$

Megoldás. Rendben, építkezzünk. Először négyzetesítsük:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(mátrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(mátrix) \right])^(2))=\left[ \begin(mátrix ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(mátrix) \right]\cdot \left[ \begin(mátrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(mátrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(tömb)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(tömb) \jobbra] \end(igazítás)\]

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(mátrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(mátrix) \jobbra])^(3))=((\left[ \begin (mátrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(mátrix) \jobbra])^(3))\cdot \left[ \begin(mátrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end( mátrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(mátrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(mátrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 és 1 \\\end(tömb) \jobbra] \end(igazítás)\]

Ez minden.:)

Válasz: $\left[ \begin(mátrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(mátrix) \right]$.

8. feladat Emelje fel a mátrixot a megadott hatványra:

\[((\left[ \begin(mátrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(mátrix) \jobbra])^(10))\]

Megoldás. Csak most ne sírj azon, hogy „túl magas a diploma”, „nem igazságos a világ” és „a tanárok teljesen elvesztették a bankjukat”. Valójában minden egyszerű:

\[\begin(igazítás) & ((\left[ \begin(mátrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(mátrix) \jobbra])^(10))=((\left[ \begin (mátrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(mátrix) \jobbra])^(3))\cdot ((\left[ \begin(mátrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ vége(mátrix) \jobbra])^(3))\cdot ((\left[ \begin(mátrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(mátrix) \jobbra])^(3))\ cdot \left[ \begin(mátrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(mátrix) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(mátrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(mátrix) \jobbra]\cdot \left[ \begin(mátrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(mátrix) \jobbra] \jobbra)\cdot \left(\left[ \begin(mátrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(mátrix) \jobbra]\cdot \left[ \begin(mátrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(mátrix) \jobbra ] \right)= \\ & =\left[ \begin(mátrix) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(mátrix) \right]\cdot \left[ \begin(mátrix) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end(mátrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(mátrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(mátrix) \right] \end(align)\ ]

Vegye figyelembe, hogy a második sorban szorzási asszociativitást használtunk. Tulajdonképpen az előző feladatban használtuk, de ott implicit volt.

Válasz: $\left[ \begin(mátrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(mátrix) \right]$.

Amint látja, nincs semmi bonyolult egy mátrix hatványra emelésében. Az utolsó példa összefoglalható:

\[((\left[ \begin(mátrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(mátrix) \right])^(n))=\left[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Ez a tény matematikai indukcióval vagy közvetlen szorzással könnyen bebizonyítható. Hatalomra emeléskor azonban közel sem mindig lehet ilyen mintákat elkapni. Ezért legyen óvatos: sokszor könnyebb és gyorsabb több mátrixot "üresen" megszorozni, mint ott keresni néhány mintát.

Általában ne keress magasabb értelmet ott, ahol nincs. Végül fontolja meg egy nagyobb mátrix hatványra emelését, akkora, mint $\left[ 3\x 3 \right]$.

9. feladat Emelje fel a mátrixot a megadott hatványra:

\[((\left[ \begin(mátrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(mátrix) \right])^(3))\]

Megoldás. Ne keressük a mintákat. Dolgozunk "végig":

\[((\left[ \begin(mátrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(mátrix) \right])^(3))=(( \left[ \begin(mátrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(mátrix) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (mátrix)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(mátrix) \right]\]

Kezdjük a mátrix négyzetre emelésével:

\[\begin(igazítás) & ((\left[ \begin(mátrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(mátrix) \jobbra])^( 2))=\left[ \begin(mátrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(mátrix) \right]\cdot \left[ \begin(mátrix ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(mátrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(tömb)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \end(igazítás)\]

Most kockázzuk fel:

\[\begin(igazítás) & ((\left[ \begin(mátrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(mátrix) \jobbra])^( 3))=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(mátrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(mátrix) \right]= \\ & =\left[ \begin( tömb)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

Ez minden. Probléma megoldódott.

Válasz: $\left[ \begin(mátrix) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(mátrix) \right]$.

Mint látható, a számítások mennyisége megnőtt, de a jelentése mit sem változott. :)

Ez a lecke véget érhet. Legközelebb megfontoljuk az inverz műveletet: az eredeti szorzókat keressük a meglévő szorzat felhasználásával.

Ahogy valószínűleg már sejtette, beszélni fogunk az inverz mátrixról és annak megtalálásának módszereiről.

A MÁTRIX MEGHATÁROZÁSA. A MÁTRIX TÍPUSAI

Mátrix mérete m× n teljességnek nevezzük m n számok téglalap alakú táblázatba rendezve m vonalak és n oszlopok. Ez a táblázat általában zárójelben van. Például a mátrix így nézhet ki:

A rövidség kedvéért a mátrixot egyetlen nagybetűvel is jelölhetjük, pl. DE vagy BAN BEN.

BAN BEN Általános nézet mátrix mérete m× nírj így

.

A mátrixot alkotó számokat nevezzük mátrix elemek. A mátrixelemeket célszerű két indexszel ellátni aij: Az első a sorszámot, a második az oszlop számát jelöli. Például, a 23– az elem a 2. sorban, a 3. oszlopban van.

Ha egy mátrixban a sorok száma megegyezik az oszlopok számával, akkor a mátrixot ún. négyzet, és sorainak vagy oszlopainak számát hívjuk meg sorrendben mátrixok. A fenti példákban a második mátrix négyzet alakú - sorrendje 3, a negyedik mátrix - sorrendje 1.

Olyan mátrixot hívunk meg, amelyben a sorok száma nem egyenlő az oszlopok számával négyszögletes. A példákban ez az első és a harmadik mátrix.

Vannak olyan mátrixok is, amelyeknek csak egy sora vagy egy oszlopa van.

A csak egysoros mátrixot hívjuk mátrix - sor(vagy karakterlánc), és egy mátrix, amelynek csak egy oszlopa van, mátrix - oszlop.

Olyan mátrixot nevezünk, amelyben minden elem egyenlő nullával nullaés jelölése (0), vagy egyszerűen 0. Például,

.

főátló A négyzetes mátrix a bal felsőtől a jobb alsó sarokig tartó átló.

Olyan négyzetmátrixot hívunk, amelyben a főátló alatti összes elem nullával egyenlő háromszög alakú mátrix.

.

Egy négyzetmátrixot, amelyben minden elem, kivéve talán a főátlón lévőket, egyenlő nullával, az ún. átlós mátrix. Például, vagy.

Olyan átlós mátrixot hívunk meg, amelyben minden átlós bejegyzés egyenlő eggyel egyetlen mátrixot és E betűvel jelöljük. Például a 3. rendű azonosságmátrix alakja .

CSELEKVÉSEK A MÁTRIXOKRA

Mátrix egyenlőség. Két mátrix AÉs B egyenlőnek mondjuk, ha azonos számú soruk és oszlopuk van, és a megfelelő elemeik egyenlőek aij = b ij. Tehát, ha És , azután A=B, ha a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21És a 22 = b 22.

átültetése. Tekintsünk egy tetszőleges mátrixot A tól től m vonalak és n oszlopok. A következő mátrixhoz társítható B tól től n vonalak és m oszlopok, ahol minden sor a mátrix egy oszlopa A ugyanazzal a számmal (tehát minden oszlop a mátrix egy sora A ugyanazzal a számmal). Tehát, ha , azután .

Ez a mátrix B hívott átültetve mátrix A, és az átmenet a A nak nek B átültetés.

Így az átültetés egy mátrix sorai és oszlopai szerepének felcserélése. Mátrix transzponált mátrixba A, általában jelölve NÁL NÉL.

Kommunikáció a mátrix között A transzponáltja pedig így írható fel.

Például. Keresse meg az adott mátrixot transzponálva!

Mátrix összeadás. Legyen mátrixok AÉs B ugyanannyi sorból és ugyanannyi oszlopból állnak, azaz. van azonos méretek. Majd a mátrixok összeadásához AÉs B elemeket kell mátrixolni A mátrixelemek hozzáadása B ugyanazokon a helyeken állva. Így két mátrix összege AÉs B mátrixnak nevezzük C, amelyet a szabály határoz meg, pl.

Példák. Keresse meg a mátrixok összegét:

Könnyen ellenőrizhető, hogy a mátrixösszeadás megfelel-e a következő törvényeknek: kommutatív A+B=B+Aés asszociatív ( A+B)+C=A+(B+C).

Egy mátrix szorzása egy számmal. Egy mátrix szorzásához A számonként k szükség van a mátrix minden elemére A szorozzuk meg ezzel a számmal. Tehát a mátrixszorzat A számonként k van egy új mátrix, amelyet a szabály határoz meg vagy .

Bármilyen számhoz aÉs bés mátrixok AÉs B az egyenlőségek teljesülnek:

Példák.

Mátrixszorzás. Ezt a műveletet egy sajátos törvény szerint hajtják végre. Először is megjegyezzük, hogy a mátrixtényezők méretének konzisztensnek kell lennie. Csak azokat a mátrixokat szorozhatja meg, amelyekben az első mátrix oszlopainak száma megegyezik a második mátrix sorainak számával (azaz az első sor hossza megegyezik a második oszlop magasságával). munka mátrixok A nem mátrix Búj mátrixnak nevezik C=AB, amelynek elemei a következők szerint épülnek fel:

Így például ahhoz, hogy megkapjuk a terméket (azaz a mátrixban C) az 1. sorban és a 3. oszlopban lévő elemet 13-tól, akkor az 1. mátrixban az 1. sort, a 2. oszlopban a 3. oszlopot kell venni, majd a sor elemeit meg kell szorozni az oszlop megfelelő elemeivel, és össze kell adni a kapott szorzatokat. A szorzatmátrix többi elemét pedig az első mátrix sorainak a második mátrix oszlopaival való hasonló szorzatával kapjuk meg.

Általában, ha a mátrixot megszorozzuk A = (aij) méret m× n mátrixhoz B = (bij) méret n× p, akkor megkapjuk a mátrixot C méret m× p, melynek elemeit a következőképpen számítjuk ki: elem c ij elemek szorzata eredményeként kapjuk meg én mátrix sora A a vonatkozó elemeken j-a mátrix oszlopa Bés ezek összegzése.

Ebből a szabályból az következik, hogy két azonos sorrendű négyzetmátrixot mindig meg lehet szorozni, ennek eredményeként egy azonos sorrendű négyzetmátrixot kapunk. Különösen egy négyzetes mátrix mindig szorozható önmagával, azaz. szögletesre levág.

Egy másik fontos eset egy mátrixsor szorzása egy mátrixoszloppal, és az első szélességének meg kell egyeznie a második magasságával, ennek eredményeként egy elsőrendű mátrixot (azaz egy elemet) kapunk. Igazán,

.

Példák.

Így ezek egyszerű példák mutatják meg, hogy a mátrixok általánosságban véve nem ingáznak egymással, pl. A∙B ≠ B∙A . Ezért a mátrixok szorzásakor gondosan figyelni kell a tényezők sorrendjét.

Igazolható, hogy a mátrixszorzás megfelel az asszociatív és disztributív törvényeknek, azaz. (AB)C=A(BC)És (A+B)C=AC+BC.

Ez egy négyzetmátrix szorzásakor is könnyen ellenőrizhető A az identitásmátrixhoz E ugyanabban a sorrendben ismét megkapjuk a mátrixot A, ráadásul AE=EA=A.

A következő érdekes tényt lehet megjegyezni. Mint ismeretes, 2 nem nulla szám szorzata nem egyenlő 0-val. Mátrixoknál ez nem biztos, hogy így van, pl. 2 nem nulla mátrix szorzata egyenlő lehet a nulla mátrixszal.

Például, ha , azután

.

A MEGHATÁROZÓK FOGALMA

Legyen adott egy másodrendű mátrix - egy négyzetes mátrix, amely két sorból és két oszlopból áll .

Másodrendű determináns ennek a mátrixnak megfelelő a következőképpen kapott szám: 11-22-12-21 között.

A determinánst a szimbólum jelöli .

Tehát a másodrendű determináns megtalálásához ki kell vonni a második átló mentén lévő elemek szorzatát a főátló elemeinek szorzatából.

Példák. Számítsa ki a másodrendű determinánsokat!

Hasonlóképpen tekinthetünk egy harmadik rendű mátrixot és a megfelelő determinánst.

Harmadik rendű determináns, amely egy adott harmadrendű négyzetmátrixnak felel meg, egy szám, amelyet a következőképpen jelölünk és kapunk:

.

Így ez a képlet megadja a harmadrendű determináns kiterjesztését az első sor elemeire nézve a 11, a 12, a 13és a harmadrendű determináns számítását a másodrendű determinánsok kiszámítására redukálja.

Példák. Számítsa ki a harmadrendű determinánst!

Hasonlóképpen bevezethetjük a determinánsok fogalmát a negyedik, ötödik stb. sorrendben, az 1. sor elemei feletti bővítéssel csökkentve sorrendjüket, míg a kifejezéseknél a „+” és „-” jelek váltakoznak.

Tehát a mátrixszal ellentétben, amely egy számtáblázat, a determináns egy olyan szám, amely bizonyos módon hozzá van rendelve a mátrixhoz.

1. lecke. Mátrixok. Műveletek mátrixokon.

1. Mit nevezünk mátrixnak.

2. Milyen két mátrixot nevezünk egyenlőnek.

3. Milyen mátrixot nevezünk négyzetnek, átlónak, azonosságnak.

4. A mátrixösszeadás és mátrixszorzás műveletek végrehajtása.

5. Mely mátrixokhoz vezetjük be a szorzási műveletet és a végrehajtási szabályt.

6. Mely mátrixok feletti transzformációk elemiek.

7. Milyen mátrixot nevezünk kanonikusnak.

Tipikus példák Műveletek mátrixokon

1. számú feladat. Mátrix adatok

Keresse meg a D= mátrixot
(1)

Megoldás. A mátrix és egy szám szorzatának definíciójával a következőket kapjuk:

D=

2. feladat. Keresse meg két négyzetmátrix AB szorzatát:

Megoldás. Mindkét mátrix másodrendű négyzetmátrix. Az ilyen mátrixok a képlet segítségével szorozhatók

A (2) képlet jelentése a következő: megkapni a metszéspontban álló C = AB mátrixelemet vonalak és oszlopban kell venni az elemek szorzatainak összegét Az A mátrix sorát a megfelelő elemekbe a B mátrix oszlopa.

A (2) képletnek megfelelően a következőket kapjuk:

Ezért a C \u003d AB termék így fog kinézni:

3. számú feladat. Keresse meg az AB és BA mátrixok szorzatát:

Megoldás. A (2) képlet szerint az AB és BA mátrixok elemei így néznek ki:

Kimenet: Az AB és BA mátrixok összehasonlításával és a mátrixegyenlőség definíciójával arra a következtetésre jutunk, hogy az ABBA, azaz a mátrixszorzás nem engedelmeskedik a kommutatív törvénynek.

4. feladat(orálisan). Mátrix adatok
Vannak-e munkák (a helyes válaszok zárójelben vannak): AB (igen), BA (nem), AC (igen), CA (nem), ABC (nem), DIA (igen), CBA (nem).

5. számú feladat. Határozzuk meg az AB és BA szorzatát két mátrix alakjában:

Megoldás. Az űrlap kicsinyített mátrixai
ezért ezeknek a mátrixoknak vannak AB és BA szorzatai, amelyek a következő formában lesznek:

6. számú feladat. Keresse meg az AB mátrixok szorzatát:

Válasz:

Feladatok az önálló megoldáshoz:

Mátrix adatok

Keresse meg a D=2A-4B+3C mátrixot.

2. Keresse meg az AB és BA négyzetmátrixok szorzatait:

Keresse meg a mátrixok szorzatát:

Keresse meg a mátrixok szorzatát:

7. Keresse meg a mátrixok szorzatát:

8. Keresse meg a mátrixot: B=6A 2 +8A ha
.

9. Adott egy mátrix
Keresse meg az összes B mátrixot, amely az A mátrixszal ingázik.

10. Bizonyítsuk be, hogy ha A egy átlós mátrix és a főátlójának minden eleme különbözik egymástól, akkor minden A-val kommutáló mátrix is ​​átlós.

2. lecke. Négyzetmátrixok meghatározói és számításuk. Inverz mátrix.

A gyakorlati anyag elsajátításához meg kell válaszolnia a következő elméleti kérdéseket:

Mi az n-edrendű determináns? Számítási szabályok n=1,2,3 esetén.

A determinánsok tulajdonságai.

Melyik mátrixot nevezzük nem degeneráltnak?

Mi az identitásmátrix?

Melyik mátrixot nevezzük az adott inverzének?

Mi szükséges és elégséges feltétele az inverz mátrix létezésének?

Fogalmazzon meg egy szabályt az inverz mátrix megtalálásához!

Mátrix rang. Szabályok megtalálása.

Tipikus példák Determinánsok számítása

1. számú feladat. Számítsd ki a determinánst
:

a) a háromszögszabály szerint;

b) dekompozíció segítségével az első sorban;

c) transzformáció a determinánsok tulajdonságainak felhasználásával.

ban ben)

2. feladat. Keresse meg egy elem a 23 determináns minor és algebrai komplementerét
és számítsa ki a sor vagy oszlop elemeire való kiterjesztéssel.

Megoldás.

M 23
; A 23

3. számú feladat. Számítsa ki a determinánst kétsoros bővítéssel:

Válasz:

4. számú feladat. oldja meg az egyenletet

5. számú feladat. Számítsa ki a 4. rendű determinánst egy sor vagy oszlop elemeire való kiterjesztéssel:

Adott Eszközkészlet segít megtanulni, hogyan kell mátrixműveletek: mátrixok összeadása (kivonása), mátrix transzponálása, mátrixok szorzása, mátrix inverzének megtalálása. Az összes anyagot egyszerű és hozzáférhető formában mutatjuk be, releváns példákat adunk, így még egy felkészületlen ember is megtanulhatja, hogyan hajtson végre műveleteket mátrixokkal. Önkontrollhoz és önteszthez ingyenesen letölthet egy mátrixkalkulátort >>>.

Igyekszem minimalizálni az elméleti számításokat, helyenként lehetséges az „ujjakon” való magyarázat, tudománytalan kifejezések használata. A szilárd elmélet szerelmesei kérem, ne kritizáljanak, a mi feladatunk megtanulják, hogyan kell dolgozni mátrixokkal.

SZUPERGYORS felkészüléshez a témában (ki "ég") van egy intenzív pdf-tanfolyam Mátrix, determináns és offset!

A mátrix néhány téglalap alakú táblázat elemeket. Mint elemeket számokat, azaz numerikus mátrixokat fogunk figyelembe venni. ELEM egy kifejezés. Érdemes megjegyezni a kifejezést, gyakran előfordul, nem véletlenül használtam vastag betűt a kiemeléshez.

Kijelölés: a mátrixokat általában nagy latin betűkkel jelölik

Példa: Tekintsünk egy két-három mátrixot:

Ez a mátrix hatból áll elemeket:

A mátrixon belül minden szám (elem) önmagában létezik, vagyis szó sincs kivonásról:

Ez csak egy számtáblázat (halmaz)!

mi is egyetértünk ne rendezd át szám, hacsak a magyarázatban másként nem szerepel. Minden számnak megvan a maga helye, és nem keverheti össze őket!

A kérdéses mátrixnak két sora van:

és három oszlop:

ALAPÉRTELMEZETT: ha a mátrix méreteiről beszélünk, akkor először adja meg a sorok számát, és csak ezután - az oszlopok számát. Most bontottuk fel a két-három mátrixot.

Ha egy mátrix sorainak és oszlopainak száma megegyezik, akkor a mátrixot hívják négyzet, például: egy háromszor három mátrix.

Ha a mátrixnak egy oszlopa vagy egy sora van, akkor az ilyen mátrixokat is hívják vektorok.

Valójában az iskolától kezdve ismerjük a mátrix fogalmát, vegyünk például egy „x” és „y” koordinátájú pontot: . Lényegében egy pont koordinátáit egyenkénti mátrixba írjuk. Egyébként itt van egy példa, hogy miért számít a számok sorrendje: és a sík két teljesen különböző pontja.

Most pedig térjünk át a tanulmányozásra. mátrixműveletek:

1) Első akció. Mínusz eltávolítása a mátrixból (Mínusz beillesztése a mátrixba).

Vissza a mátrixunkhoz . Amint valószínűleg észrevette, túl sok negatív szám van ebben a mátrixban. Ez nagyon kényelmetlen a mátrixszal való különféle műveletek végrehajtása szempontjából, kényelmetlen ennyi mínuszt írni, és egyszerűen csúnyán néz ki a tervezésben.

Vigyük a mínuszt a mátrixon kívülre a mátrix MINDEN elemének előjelének megváltoztatásával:

A nullánál, amint érti, a jel nem változik, nulla - Afrikában is nulla.

Fordított példa: . csúnyán néz ki.

A mátrix MINDEN elemének előjelének megváltoztatásával mínuszt viszünk be a mátrixba:

Hát, sokkal szebb. És ami a legfontosabb, KÖNNYEBB lesz bármilyen műveletet végrehajtani a mátrixszal. Mert létezik ilyen matematikai népi ómen: minél több mínusz - annál több zavar és hiba.

2) Második akció. Mátrix szorzása számmal.

Példa:

Ez egyszerű, ahhoz, hogy egy mátrixot megszorozzon egy számmal, szüksége van minden szorozzuk meg a mátrixelemet a megadott számmal. BAN BEN ez az eset- háromra.

Még egy hasznos példa:

– mátrix szorzása törttel

Először nézzük meg, mit tegyünk NINCS SZÜKSÉG:

NEM SZÜKSÉGES törtet bevinni a mátrixba, egyrészt ez csak megnehezíti a további műveleteket a mátrixszal, másrészt megnehezíti a tanár számára a megoldás ellenőrzését (főleg, ha - a feladat végső válasza).

És főleg, NINCS SZÜKSÉG osszuk el a mátrix minden elemét mínusz héttel:

A cikkből Matematika a bábokhoz, vagy hol kezdjem, emlékszünk arra, hogy a vesszővel ellátott tizedes törteket a magasabb matematikában minden lehetséges módon megpróbálják elkerülni.

Az egyetlen dolog kívánatos ebben a példában egy mínusz beillesztése a mátrixba:

De ha MINDEN A mátrixelemeket elosztottuk 7-tel nyom nélkül, akkor lehetne (és szükséges is!) osztani.

Példa:

Ebben az esetben megteheti SZÜKSÉGES szorozzuk meg a mátrix összes elemét -vel, mivel a mátrixban lévő összes szám osztható 2-vel nyom nélkül.

Megjegyzés: a felsőbb matematika elméletében nincs iskolai „osztás” fogalma. Az „ez osztva ezzel” kifejezés helyett mindig azt mondhatja, hogy „ez szorozva törttel”. Vagyis az osztás a szorzás speciális esete.

3) Harmadik akció. Mátrix transzpozíció.

Egy mátrix transzponálásához be kell írnia a sorait a transzponált mátrix oszlopaiba.

Példa:

Transzponálja a mátrixot

Itt csak egy sor van, és a szabály szerint egy oszlopba kell írni:

a transzponált mátrix.

A transzponált mátrixot általában felső index vagy körvonal jelöli a jobb felső sarokban.

Példa lépésről lépésre:

Transzponálja a mátrixot

Először átírjuk az első sort az első oszlopba:

Ezután átírjuk a második sort a második oszlopba:

És végül átírjuk a harmadik sort a harmadik oszlopba:

Kész. Nagyjából a transzponálás azt jelenti, hogy a mátrixot az oldalára fordítjuk.

4) Negyedik akció. Mátrixok összege (különbsége)..

A mátrixok összege egy egyszerű művelet.
NEM MINDEN MÁTRIX HAJTHATÓ BE. A mátrixok összeadása (kivonása) végrehajtásához az szükséges, hogy azonos MÉRETEK legyenek.

Például, ha adunk egy két-kettős mátrixot, akkor azt csak egy kettős mátrixhoz lehet hozzáadni, máshoz nem!

Példa:

Adjunk hozzá mátrixokat És

Mátrixok hozzáadásához hozzá kell adni a hozzájuk tartozó elemeket:

A mátrixok különbségére a szabály hasonló, meg kell találni a megfelelő elemek különbségét.

Példa:

Keresse meg a mátrixok különbségét ,

És hogyan lehet ezt a példát könnyebben megoldani, hogy ne keveredjen össze? Célszerű megszabadulni a felesleges mínuszoktól, ehhez mínuszt adunk a mátrixhoz:

Megjegyzés: a felsőbb matematika elméletében nincs iskolai „kivonás” fogalma. Az „ezt vonjuk ki ebből” kifejezés helyett mindig azt mondhatjuk, hogy „adjunk ehhez negatív számot”. Vagyis a kivonás az összeadás speciális esete.

5) Ötödik akció. Mátrixszorzás.

Milyen mátrixokat lehet szorozni?

Ha egy mátrixot meg kell szorozni egy mátrixszal, úgy, hogy a mátrix oszlopainak száma egyenlő legyen a mátrix sorainak számával.

Példa:
Meg lehet-e szorozni egy mátrixot egy mátrixszal?

Tehát meg lehet szorozni a mátrix adatait.

De ha a mátrixokat átrendezzük, akkor ebben az esetben a szorzás már nem lehetséges!

Ezért a szorzás lehetetlen:

Nem ritka a trükkös feladatok, amikor a tanulót olyan mátrixok szorzására kérik, amelyek szorzása nyilvánvalóan lehetetlen.

Meg kell jegyezni, hogy bizonyos esetekben mindkét módon lehetséges a mátrixok szorzása.
Például mátrixok esetén a szorzás és a szorzás egyaránt lehetséges