Álljon meg! Próbáljuk meg megérteni ezt a nehézkes képletet.

Mindenekelőtt a fokszám első változójának kell lennie valamilyen együtthatóval. A mi esetünkben ez

A mi esetünkben az. Mint megtudtuk, ez azt jelenti, hogy itt az első változó fokszáma konvergál. És a második változó az első fokon a helyén van. Együttható.

Nekünk megvan.

Az első változó exponenciális, a második pedig négyzetes, együtthatóval. Ez az egyenlet utolsó tagja.

Amint látja, egyenletünk képlet formájában illeszkedik a definícióhoz.

Nézzük a definíció második (verbális) részét.

Van két ismeretlenünk és. Itt összefolyik.

Tekintsünk minden kifejezést. Ezekben az ismeretlenek fokszámainak összegének azonosnak kell lennie.

A hatványok összege egyenlő.

A hatványok összege egyenlő (at és at).

A hatványok összege egyenlő.

Mint látható, minden passzol!

Most gyakoroljuk a homogén egyenletek meghatározását.

Határozza meg, hogy az egyenletek közül melyik homogének:

Homogén egyenletek - egyenletek számokkal:

Nézzük külön az egyenletet.

Ha minden tagot felosztunk az egyes tagok kiterjesztésével, akkor azt kapjuk

És ez az egyenlet teljesen a homogén egyenletek definíciója alá esik.

Hogyan lehet homogén egyenleteket megoldani?

2. példa

Osszuk el az egyenletet.

Feltételünk szerint y nem lehet egyenlő. Ezért nyugodtan oszthatjuk vele

Behelyettesítéssel egy egyszerű másodfokú egyenletet kapunk:

Mivel ez egy redukált másodfokú egyenlet, a Vieta-tételt használjuk:

A fordított helyettesítést végrehajtva megkapjuk a választ

Válasz:

3. példa

Ossza el az egyenletet (feltétel szerint).

Válasz:

4. példa

Keresse meg, ha.

Itt nem osztani kell, hanem szorozni. Szorozzuk meg a teljes egyenletet a következővel:

Cseréljük le és oldjuk meg a másodfokú egyenletet:

A fordított helyettesítést végrehajtva a választ kapjuk:

Válasz:

Homogén trigonometrikus egyenletek megoldása.

A homogén trigonometrikus egyenletek megoldása nem különbözik a fent leírt megoldási módszerektől. Csak itt többek között egy kis trigonometriát kell ismerni. És tudjon trigonometrikus egyenleteket megoldani (erre olvashatja a részt).

Tekintsük az ilyen egyenleteket példákon.

5. példa

Oldja meg az egyenletet.

Tipikus homogén egyenletet látunk: és ismeretlenek, és az egyes tagokban lévő hatványaik összege egyenlő.

Hasonló homogén egyenleteket nem nehéz megoldani, de mielőtt felosztanánk az egyenleteket, vegyük figyelembe azt az esetet, amikor

Ebben az esetben az egyenlet a következőképpen alakul: De a szinusz és a koszinusz nem lehet egyszerre egyenlő, mert az alapvető trigonometrikus azonosság szerint. Ezért nyugodtan feloszthatjuk:

Mivel az egyenlet redukált, akkor a Vieta-tétel szerint:

Válasz:

6. példa

Oldja meg az egyenletet.

Mint a példában, el kell osztania az egyenletet. Tekintsük azt az esetet, amikor:

De a szinusz és a koszinusz nem lehet egyszerre egyenlő, mert az alapvető trigonometrikus azonosság szerint. Ezért.

Végezzünk behelyettesítést és oldjuk meg a másodfokú egyenletet:

Végezzük el a fordított helyettesítést, és keressük meg:

Válasz:

Homogén exponenciális egyenletek megoldása.

A homogén egyenleteket a fent leírtakhoz hasonlóan oldjuk meg. Ha elfelejtette, hogyan kell megoldani az exponenciális egyenleteket - nézze meg a megfelelő részt ()!

Nézzünk néhány példát.

7. példa

Oldja meg az egyenletet

Képzeld el, hogyan:

Tipikus homogén egyenletet látunk, két változóval és egy hatványösszeggel. Osszuk fel az egyenletet:

Mint látható, a csere elvégzése után a megadott másodfokú egyenletet kapjuk (ebben az esetben nem kell tartani a nullával való osztástól - az mindig szigorúan nagyobb nullánál):

Vieta tétele szerint:

Válasz: .

8. példa

Oldja meg az egyenletet

Képzeld el, hogyan:

Osszuk fel az egyenletet:

Cseréljük le és oldjuk meg a másodfokú egyenletet:

A gyökér nem felel meg a feltételnek. Elvégezzük a fordított helyettesítést, és megtaláljuk:

Válasz:

HOMOGÉN EGYENLETEK. ÁTLAGOS SZINT

Először is, egy probléma példájával hadd emlékeztesselek mik a homogén egyenletek és mi a homogén egyenletek megoldása.

Megoldani a problémát:

Keresse meg, ha.

Itt észrevehet egy érdekességet: ha minden tagot elosztunk a következővel, akkor a következőt kapjuk:

Vagyis most nincs külön és, - most a kívánt érték a változó az egyenletben. Ez pedig egy közönséges másodfokú egyenlet, amit könnyű megoldani Vieta tételével: a gyökök szorzata egyenlő, összege pedig a számok és.

Válasz:

Az alak egyenletei

homogénnek nevezzük. Vagyis ez egy egyenlet két ismeretlennel, amelyek mindegyik tagjában ezen ismeretlenek hatványainak összege van. Például a fenti példában ez az összeg egyenlő. A homogén egyenletek megoldását úgy hajtjuk végre, hogy elosztjuk az egyik ilyen fokozatú ismeretlennel:

És a változók későbbi változása: . Így kapunk egy fokozati egyenletet egy ismeretlennel:

Leggyakrabban másodfokú (vagyis másodfokú) egyenletekkel találkozunk, és ezeket meg is tudjuk oldani:

Figyeljük meg, hogy a teljes egyenletet egy változóval osztani (és szorozni) csak akkor lehetséges, ha meg vagyunk győződve arról, hogy ez a változó nem lehet egyenlő nullával! Például, ha megkérnek minket, hogy találjunk, azonnal megértjük, hiszen nem lehet osztani. Azokban az esetekben, amikor ez nem annyira nyilvánvaló, külön ellenőrizni kell azt az esetet, amikor ez a változó nulla. Például:

Oldja meg az egyenletet.

Megoldás:

Itt egy tipikus homogén egyenletet látunk: és ismeretlenek, és az egyes tagokban lévő hatványaik összege egyenlő.

Mielőtt azonban elosztanánk vele és megkapnánk a másodfokú egyenletet, figyelembe kell vennünk azt az esetet, amikor. Ebben az esetben az egyenlet a következő formában lesz: , tehát . De a szinusz és a koszinusz nem lehet egyszerre egyenlő nullával, mert az alapvető trigonometrikus azonosság szerint:. Ezért nyugodtan feloszthatjuk:

Remélem ez a megoldás teljesen egyértelmű? Ha nem, olvassa el a részt. Ha nem világos, honnan származik, akkor még korábban kell visszatérnie - a szakaszhoz.

Döntsd el magad:

1. Keresse meg, ha.
2. Keresse meg, ha.
3. Oldja meg az egyenletet.

Itt röviden leírom közvetlenül a homogén egyenletek megoldását:

Megoldások:

Válasz: .

És itt nem osztani, hanem szorozni kell:

Válasz:

Ha még nem ment keresztül ezen, akkor ezt a példát kihagyhatja.

Mivel itt osztanunk kell vele, először győződjön meg arról, hogy száz nem egyenlő nullával:

Ez pedig lehetetlen.

Válasz: .

HOMOGÉN EGYENLETEK. RÖVIDEN A FŐRŐL

Az összes homogén egyenlet megoldása a változók fokában és további változásában az egyik ismeretlennel való osztásra redukálódik.

Algoritmus:

Nos, a téma véget ért. Ha ezeket a sorokat olvasod, akkor nagyon menő vagy.

Mert csak az emberek 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvastad, akkor az 5%-ban vagy!

Most a legfontosabb.

Kitaláltad az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Miért?

A sikeres vizsga letételéért, az intézetbe való költségvetési felvételért és ami a LEGFONTOSABB életre szóló.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Azok, akik jó oktatásban részesültek, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kaptak. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? Nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások a vizsgán, és végül… boldogabb legyen?

TÖLTSE MEG A KEZÉT, MEGOLDÁSA EBBEN A TÉMÁBAN.

A vizsgán nem kérdeznek elméletet.

Szükséged lesz időben megoldja a problémákat.

És ha nem oldotta meg őket (SOK!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem fog időben elkövetni.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keressen gyűjteményt bárhol, ahol csak akar szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzésselés dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat használhatja (nem szükséges), és mindenképpen ajánljuk.

Ahhoz, hogy segítséget kaphasson feladataink segítségével, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

1. A cikkben található összes rejtett feladathoz való hozzáférés feloldása -
2. Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz az oktatóanyag mind a 99 cikkében - Tankönyv vásárlása - 899 rubel

Igen, 99 ilyen cikkünk van a tankönyvben, és azonnal megnyitható az összes feladat és minden rejtett szöveg.

Az összes rejtett feladathoz hozzáférés biztosított a webhely teljes élettartama alatt.

Összefoglalva...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne hagyd abba az elméletet.

Az „értettem” és a „tudom, hogyan kell megoldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg!

Például a függvény
az első dimenzió homogén függvénye, hiszen

a harmadik dimenzió homogén függvénye, hiszen

a nulla dimenzió homogén függvénye, hiszen

, azaz
.

2. definíció. Elsőrendű differenciálegyenlet y" = f(x, y) homogénnek nevezzük, ha a függvény f(x, y) egy homogén nulla dimenziós függvény x És y vagy ahogy mondják, f(x, y) a nulla fok homogén függvénye.

Úgy ábrázolható

amely lehetővé teszi, hogy egy homogén egyenletet differenciálegyenletként definiáljunk, amely a (3.3) alakra transzformálható.

Csere
egy homogén egyenletet elválasztható változókkal rendelkező egyenletté redukál. Valóban, csere után y=xz kapunk
,
A változókat szétválasztva és integrálva a következőket kapjuk:

,

Példa 1. Oldja meg az egyenletet!

Δ Feltételezzük y=zx,
Ezeket a kifejezéseket helyettesítjük y És dy ebbe az egyenletbe:
vagy
Változók elválasztása:
és integrálja:
,

Csere z a , kapunk
.

2. példa Keresse meg az egyenlet általános megoldását!

Δ Ebben az egyenletben P (x,y) =x 2 -2y 2 ,K(x,y) =2xy a második dimenzió homogén függvényei, ezért ez az egyenlet homogén. Úgy ábrázolható
és a fentiek szerint oldja meg. De mi más jelölést használunk. Tegyük fel y = zx, ahol dy = zdx + xdz. Ha ezeket a kifejezéseket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, akkor megkapjuk

dx+2 zxdz = 0 .

A változókat szétválasztjuk, számolunk

.

Ezt az egyenletet tagonként integráljuk

, ahol

azaz
. Visszatérve a régi funkcióhoz
általános megoldást találni


3. példa . Keress általános megoldást az egyenletre!
.

Δ Átalakítási lánc: ,y = zx,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

8. előadás

4. Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek Az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet alakja

Itt van a szabad kifejezés, amelyet az egyenlet jobb oldalának is neveznek. Ebben a formában a következőkben a lineáris egyenletet fogjuk figyelembe venni.

Ha
0, akkor a (4.1a) egyenletet lineáris inhomogénnek nevezzük. Ha
0, akkor az egyenlet alakot ölt

és lineáris homogénnek nevezzük.

A (4.1a) egyenlet neve azzal magyarázható, hogy az ismeretlen függvény y és származéka add meg lineárisan, azaz. első fokon.

Egy lineáris homogén egyenletben a változókat szétválasztjuk. Újraírása az űrlapon
ahol
és integrálva a következőket kapjuk:
,azok.

Ha osztva elveszítjük a döntést
. A talált megoldáscsaládba (4.3) azonban bekerülhet, ha azt feltételezzük TÓL TŐL felveheti a 0 értéket is.

Számos módszer létezik a (4.1a) egyenlet megoldására. Alapján Bernoulli módszer, a megoldást két függvény szorzataként keresik x:

Ezen funkciók egyike tetszőlegesen választható, mivel csak a termék UV ki kell elégítenie az eredeti egyenletet, a másikat a (4.1a) egyenlet alapján határozzuk meg.

Az egyenlőség mindkét oldalát (4.4) megkülönböztetve azt találjuk
.

Az eredményül kapott derivált kifejezés behelyettesítése , valamint az érték nál nél a (4.1a) egyenletbe, megkapjuk
, vagy

azok. függvényként v vegyük a (4.6) homogén lineáris egyenlet megoldását:

(Itt C kötelező írni, különben nem általános, hanem konkrét megoldást kapsz).

Így azt látjuk, hogy az alkalmazott (4.4) behelyettesítés eredményeként a (4.1a) egyenlet két elválasztható változójú (4.6) és (4.7) egyenletre redukálódik.

Helyettesítés
És v(x) a (4.4) képletbe, végül megkapjuk

,

.

1. példa Keress általános megoldást az egyenletre!

 Feltesszük
, azután
. Kifejezések helyettesítése És az eredeti egyenletbe, megkapjuk
vagy
(*)

Az együtthatót nullával egyenlővé tesszük :

Az eredményül kapott egyenletben a változókat elválasztva megkaptuk


(tetszőleges állandó C ne írj), ezért v= x. Talált érték v behelyettesítjük a (*) egyenletbe:

,
,
.

Következésképpen,
az eredeti egyenlet általános megoldása.

Vegye figyelembe, hogy a (*) egyenlet egyenértékű formában is felírható:

.

Véletlenszerű függvény kiválasztása u, de nem v, feltételezhetnénk
. Ez a megoldási mód csak cserével tér el a figyelembe vetttől v a u(és ezért u a v), így a végső érték nál nél kiderül, hogy ugyanaz.

A fentiek alapján egy elsőrendű lineáris differenciálegyenlet megoldására szolgáló algoritmust kapunk.

Vegye figyelembe továbbá, hogy néha egy elsőrendű egyenlet lineárissá válik, ha nál nél független változónak kell tekinteni, és x- függő, azaz. szerepcsere x És y. Ezt meg lehet tenni, feltéve, hogy xÉs dxírja be az egyenletet lineárisan.

2. példa . oldja meg az egyenletet
.

Látszólag ez az egyenlet nem lineáris a függvényhez képest nál nél.

Ha azonban figyelembe vesszük x függvényében nál nél, akkor, tekintettel arra
, formába hozható

(4.1 b)

Csere a , kapunk
vagy
. Az utolsó egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a szorzattal ydy, hozza a formába

, vagy
. (**)

Itt P(y)=,
. Ez egy lineáris egyenlet ehhez képest x. Hisszük
,
. Ha ezeket a kifejezéseket (**) behelyettesítjük, azt kapjuk

vagy
.

v választjuk úgy, hogy
,
, ahol
;
. Akkor van
,
,
.

Mivel
, akkor a formában jutunk el ennek az egyenletnek az általános megoldásához

.

Vegye figyelembe, hogy a (4.1a) egyenletben P(x) És K (x) nem csak a függvényeiként fordulhat elő x, hanem állandók is: P= a,K= b. Lineáris egyenlet

az y= behelyettesítéssel is megoldható UV és a változók szétválasztása:

;
.

Innen
;
;
; ahol
. A logaritmustól megszabadulva megkapjuk az egyenlet általános megoldását

(itt
).

Nál nél b= 0 az egyenlet megoldásához jutunk

(lásd a (2.4) exponenciális növekedési egyenletet
).

Először integráljuk a megfelelő (4.2) homogén egyenletet. Amint fentebb jeleztük, megoldásának alakja (4.3). Figyelembe vesszük a tényezőt TÓL TŐL(4.3) függvényében x, azaz lényegében a változó megváltoztatása

ahonnan integrálva találjuk

Vegye figyelembe, hogy a (4.14) szerint (lásd még (4.9)) az inhomogén lineáris egyenlet általános megoldása egyenlő a megfelelő (4.3) homogén egyenlet általános megoldásának és az inhomogén egyenlet meghatározott egyedi megoldásának összegével. a második taggal a (4.14)-ben (és a (4.9)-ben).

Konkrét egyenletek megoldásánál meg kell ismételni a fenti számításokat, és nem szabad a nehézkes (4.14) képletet használni.

A Lagrange-módszert alkalmazzuk a vizsgált egyenletre példa 1 :

.

Integráljuk a megfelelő homogén egyenletet
.

A változókat szétválasztva azt kapjuk
és tovább
. Kifejezés megoldása képlettel y = Cx. Az eredeti egyenlet megoldását a formában keressük y = C(x)x. Ha ezt a kifejezést behelyettesítjük az adott egyenletbe, azt kapjuk
;
;
,
. Az eredeti egyenlet általános megoldásának van alakja

.

Végezetül megjegyezzük, hogy a Bernoulli-egyenlet lineáris egyenletté redukálódik

, ( )

ami úgy írható

.

csere
lineáris egyenletté redukálódik:

,
,
.

A Bernoulli-egyenleteket is a fent leírt módszerekkel oldjuk meg.

3. példa . Keress általános megoldást az egyenletre!
.

 Átalakulási lánc:
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,


Ebben a cikkben megvizsgáljuk a homogén trigonometrikus egyenletek megoldásának módszerét.

A homogén trigonometrikus egyenletek szerkezete ugyanaz, mint a bármely más típusú homogén egyenlet. Hadd emlékeztesselek, hogyan kell megoldani a másodfokú homogén egyenleteket:

Tekintsük az alak homogén egyenleteit

A homogén egyenletek megkülönböztető jellemzői:

a) minden monom azonos fokozatú,

b) a szabad tag nulla,

c) az egyenlet két különböző alapú hatványt tartalmaz.

A homogén egyenleteket hasonló algoritmussal oldjuk meg.

Az ilyen típusú egyenlet megoldásához ossza el az egyenlet mindkét oldalát (osztható -val vagy -vel)

Figyelem! Ha az egyenlet jobb és bal oldalát elosztjuk egy ismeretlent tartalmazó kifejezéssel, elveszíthetjük a gyököket. Ezért ellenőrizni kell, hogy annak a kifejezésnek a gyökerei, amellyel az egyenlet mindkét részét elosztjuk, az eredeti egyenlet gyökerei-e.

Ha igen, akkor kiírjuk ezt a gyökeret, hogy később ne felejtsük el, majd osztunk ezzel a kifejezéssel.

Általánosságban elmondható, hogy minden olyan egyenlet megoldásánál, amelynek jobb oldala nulla, az első dolog, hogy megpróbáljuk az egyenlet bal oldalát faktorokká alakítani. hozzáférhető módon. Ezután állítson minden tényezőt nullára. Ebben az esetben biztosan nem veszítjük el a gyökereket.

Tehát óvatosan osszuk fel az egyenlet bal oldalát egy kifejezésre tagonként. Kapunk:

Csökkentse a második és harmadik tört számlálóját és nevezőjét:

Mutassunk be egy cserét:

Másodfokú egyenletet kapunk:

Megoldjuk a másodfokú egyenletet, megkeressük az értékeket, majd visszatérünk az eredeti ismeretlenhez.

A homogén trigonometrikus egyenletek megoldása során néhány fontos dolgot emlékezni kell:

1. A szabad tag a szinusz és koszinusz négyzetévé alakítható az alapvető trigonometrikus azonosság segítségével:

2. A dupla argumentum szinusza és koszinusza másodfokú monom - a dupla argumentum szinusza könnyen átalakítható szinusz és koszinusz szorzatává, a dupla argumentum koszinusza pedig szinusz vagy koszinusz négyzetévé :

Vegyünk néhány példát homogén trigonometrikus egyenletek megoldására.

egy . Oldjuk meg az egyenletet:

Ez egy klasszikus példa egy elsőfokú homogén trigonometrikus egyenletre: minden monom foka egyenlő eggyel, a szabad tag nulla.

Mielőtt az egyenlet mindkét oldalát elosztaná -vel, ellenőrizni kell, hogy az egyenlet gyökei nem az eredeti egyenlet gyökerei. Ellenőrizze: if , then title="(!LANG:sin(x)0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Az egyenlet mindkét oldalát osszuk el -vel.

Kapunk:

, ahol

, ahol

Válasz: , ahol

2. Oldjuk meg az egyenletet:

Ez egy példa egy másodfokú homogén trigonometrikus egyenletre. Emlékezzünk arra, hogy ha az egyenlet bal oldalát faktorizálni tudjuk, akkor ez kívánatos. Ebben az egyenletben kivehetjük a zárójeleket. Csináljuk:

Az első egyenlet megoldása: , ahol

A második egyenlet egy elsőfokú homogén trigonometrikus egyenlet. A megoldáshoz az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk -vel. Kapunk:

Válasz: hol

3. Oldjuk meg az egyenletet:

Ahhoz, hogy ez az egyenlet homogénné váljon, szorzattá alakítjuk, és a 3-as számot a szinusz és a koszinusz négyzeteinek összegeként ábrázoljuk:

Az összes kifejezést balra mozgatjuk, kinyitjuk a zárójeleket, és megadjuk a hasonló kifejezéseket. Kapunk:

Tényezőzzük a bal oldalt, és minden tényezőt egyenlősítsünk nullával:

Válasz: hol

4. Oldjuk meg az egyenletet:

Meglátjuk, mit tehetünk zárójelbe. Csináljuk:

Állítson minden tényezőt nullára:

Az első egyenlet megoldása:

A második halmaz egyenlet egy másodfokú klasszikus homogén egyenlet. Az egyenlet gyökei nem az eredeti egyenlet gyökerei, ezért az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk:

Az első egyenlet megoldása:

A második egyenlet megoldása.

Jelenleg a matematika tanulmányi alapszintje szerint a középiskolai matematika tanulására mindössze 4 óra van biztosítva (2 óra algebra, 2 óra geometria). A vidéki kisiskolákban az iskolai komponens terhére igyekeznek növelni az óraszámot. De ha az osztály humanitárius, akkor az iskolai komponens hozzáadódik a humanitárius tárgyak tanulmányozásához. Egy kis faluban sokszor az iskolásnak nem kell választania, abban az osztályban tanul; ami az iskolában elérhető. Nem jogász, történész vagy újságíró lesz belőle (vannak ilyen esetek), hanem mérnök vagy közgazdász szeretne lenni, ezért a matematika vizsgán magas pontszámot kell elérni. Ilyen körülmények között a matematikatanárnak magának kell megtalálnia a kiutat ebből a helyzetből, ráadásul Kolmogorov tankönyve szerint a „homogén egyenletek” témakör tanulmányozása nem biztosított. Az elmúlt években ennek a témának a megismertetéséhez és megerősítéséhez két dupla leckére volt szükségem. Sajnos iskolánkban a tanfelügyeleti ellenőrzés megtiltotta a dupla tanórákat, így a gyakorlatok számát 45 percre kellett csökkenteni, ennek megfelelően a gyakorlatok nehézségi fokát közepesre csökkentették. Egy vidéki kisiskola 10. osztályos matematika alapfokú óravázlatát ajánlom figyelmükbe ebben a témában.

Az óra típusa: hagyományos.

Cél: megtanulni tipikus homogén egyenleteket megoldani.

Feladatok:

kognitív:

Nevelési:

Nevelési:

• Szorgalomra nevelés türelmes feladatellátással, bajtársiasságra nevelés páros és csoportos munkával.

Az órák alatt

ÉN. Szervezeti színpad(3 perc)

II. Az új anyag elsajátításához szükséges ismeretek ellenőrzése (10 perc)

Az elvégzett feladatok további elemzésével azonosítsa a fő nehézségeket. A gyerekek 3 lehetőség közül választhatnak. A gyerekek bonyolultsági foka és felkészültségi szintje szerint differenciált feladatok, majd magyarázat a táblánál.

1 szint. Oldja meg az egyenleteket:

1. 3(x+4)=12,
2. 2(x-15)=2x-30
3. 5(2-x)=-3x-2(x+5)
4. x 2 -10x+21=0 Válaszok: 7;3

2 szint. Oldja meg a legegyszerűbb trigonometrikus egyenleteket és a kétnegyedes egyenletet:

válaszok:

b) x 4 -13x 3 +36=0 Válaszok: -2; 2; -3; 3

3. szint. Egyenletek megoldása változóváltásos módszerrel:

b) x 6 -9x 3 +8=0 Válaszok:

III.Üzenettéma, célok és célkitűzések meghatározása.

Téma: Homogén egyenletek

Cél: megtanulni tipikus homogén egyenleteket megoldani

Feladatok:

kognitív:

• ismerkedjen meg a homogén egyenletekkel, tanulja meg az ilyen egyenletek leggyakoribb típusainak megoldását.

Nevelési:

• Az elemző gondolkodás fejlesztése.
• Matematikai készségek fejlesztése: tanulja meg kiemelni azokat a főbb jellemzőket, amelyekkel a homogén egyenletek eltérnek a többi egyenlettől, tudja megállapítani a homogén egyenletek hasonlóságát különböző megjelenési formáiban.

IV. Új ismeretek asszimilációja (15 perc)

1. Előadási pillanat.

1. definíció(Írja füzetbe). A P(x;y)=0 alakú egyenletet homogénnek nevezzük, ha P(x;y) homogén polinom.

A két x és y változós polinomot homogénnek nevezzük, ha mindegyik tagjának fokszáma azonos k számmal.

2. definíció(Csak bevezetőnek). Az alak egyenletei

n fokú homogén egyenletnek nevezzük u(x) és v(x) vonatkozásában. Ha az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk (v(x))n-nel, akkor a helyettesítés segítségével megkaphatjuk az egyenletet

Ez leegyszerűsíti az eredeti egyenletet. A v(x)=0 esetet külön kell figyelembe venni, mivel nem lehet 0-val osztani.

2. Példák homogén egyenletekre:

Magyarázza meg, miért homogének, és mondjon saját példákat ilyen egyenletekre!

3. Feladat homogén egyenletek meghatározására:

Között adott egyenletek definiáljon homogén egyenleteket, és magyarázza meg választását:

Miután az egyik példán elmagyarázta a választását, mutasson meg egy homogén egyenlet megoldásának módját:

4. Döntse el egyedül:

Válasz:

b) 2sin x - 3 cos x \u003d 0

Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk cos x-szel, így 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +

5. Mutasson brosúra példamegoldást„P.V. Chulkov. Egyenletek és egyenlőtlenségek a matematika iskolai tantárgyában. Moszkvai Pedagógiai Egyetem "Szeptember elseje" 2006 22.o. A lehetségesek egyikeként HASZNÁLJON példákat C szint.

V. Oldja meg a konszolidációt Basmakov tankönyve szerint

183. o. 59. (1.5) vagy a Kolmogorov által szerkesztett tankönyv szerint: 81. o. 169. (a, c)

válaszok:

VI. Ellenőrzés, önálló munkavégzés (7 perc)

1 lehetőség	2. lehetőség
Egyenletek megoldása:
a) sin 2 x-5sinxcosx + 6cos 2 x \u003d 0	a) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0
b) cos 2 -3sin 2 \u003d 0	b)

Válaszok a feladatokra:

1. lehetőség a) Válasz: arctg2+πn,n € Z; b) Válasz: ±π/2+ 3πn,n € Z; ban ben)

2. lehetőség a) Válasz: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; b) Válasz: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; c) (-5; -2); (5;2)

VII. Házi feladat

Kolmogorov szerint 169., Basmakov szerint 59. sz.

Ezenkívül oldja meg az egyenletrendszert:

Válasz: arctg(-1±√3) +πn ,

Referenciák:

1. P.V. Chulkov. Egyenletek és egyenlőtlenségek a matematika iskolai tantárgyában. - M .: Pedagógiai Egyetem "Szeptember elseje", 2006. 22. o.
2. A. Merzlyak, V. Polonsky, E. Rabinovich, M. Yakir. Trigonometria. - M .: "AST-PRESS", 1998, 389. o
3. Algebra 8. osztályhoz, szerkesztette: N.Ya. Vilenkin. - M .: "Felvilágosodás", 1997.
4. Algebra 9. osztályhoz, szerkesztette: N.Ya. Vilenkin. Moszkva „Felvilágosodás”, 2001.
5. M.I. Basmakov. Az algebra és az elemzés kezdetei. 10-11 évfolyamnak - M .: "Felvilágosodás" 1993
6. Kolmogorov, Abramov, Dudnicin. Az algebra és az elemzés kezdetei. 10-11 évfolyamnak. - M .: "Felvilágosodás", 1990.
7. A.G. Mordkovich. Az algebra és az elemzés kezdetei. 1. rész Tankönyv 10-11 évfolyam. - M .: "Mnemosyne", 2004.

Egy I. rendű homogén differenciálegyenlet megoldásához az u=y/x behelyettesítést használjuk, azaz u egy új ismeretlen függvény, amely x-től függ. Ezért y=ux. Az y’ származékot a szorzatdifferenciálási szabály segítségével találjuk meg: y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (mivel x’=1). Egy másik írásmódhoz: dy=udx+xdu Behelyettesítés után leegyszerűsítjük az egyenletet, és elválasztható változókkal rendelkező egyenlethez jutunk.

Példák I. rendű homogén differenciálegyenletek megoldására.

1) Oldja meg az egyenletet!

Ellenőrizzük, hogy ez az egyenlet homogén-e (lásd: Homogén egyenlet meghatározása). Ügyelve arra, hogy az u=y/x cserét elvégezzük, ahonnan y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Helyettesítő: u'x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Mivel egy szorzat logaritmusa egyenlő a logaritmusok összegével, ln(ux)=lnu+lnx. Innen

u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). Hasonló kifejezések behozatala után: u'x+u=u(1+lnu). Most bontsa ki a zárójeleket

u'x+u=u+u lnu. Mindkét rész u-t tartalmaz, ezért u'x=u·lnu. Mivel u x függvénye, u’=du/dx. Helyettes

Kaptunk egy elválasztható változókat tartalmazó egyenletet. Elválasztjuk a változókat, amelyeknél mindkét részt megszorozzuk dx-el és elosztjuk x u lnu-val, feltéve, hogy a szorzat x u lnu≠0

Integráljuk:

A bal oldalon egy táblázatos integrál található. A jobb oldalon a t=lnu cserét tesszük, ahonnan dt=(lnu)’du=du/u

ln│t│=ln│x│+C. De már megbeszéltük, hogy az ilyen egyenletekben kényelmesebb ln│C│-t venni С helyett. Azután

ln│t│=ln│x│+ln│C│. A logaritmusok tulajdonsága szerint: ln│t│=ln│Сx│. Ezért t=Cx. (feltétel szerint, x>0). Ideje megtenni a fordított helyettesítést: lnu=Cx. És egy másik fordított helyettesítés:

A logaritmus tulajdonságai szerint:

Ez az egyenlet általános integrálja.

Idézzük fel az x·u·lnu≠0 feltétel szorzatát (ami azt jelenti, hogy x≠0,u≠0, lnu≠0, innen u≠1). De a feltételből x≠0 marad u≠1, tehát x≠y. Nyilvánvaló, hogy az y=x (x>0) szerepel az általános megoldásban.

2) Határozzuk meg az y’=x/y+y/x egyenletnek az y(1)=2 kezdeti feltételeket kielégítő parciális integrálját!

Először is ellenőrizzük, hogy ez az egyenlet homogén-e (bár az y/x és x/y kifejezések jelenléte már közvetve ezt jelzi). Ezután megtesszük az u=y/x cserét, ahonnan y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. A kapott kifejezéseket behelyettesítjük az egyenletbe:

u'x+u=1/u+u. Egyszerűsítés:

u'x=1/u. Mivel u x függvénye, u’=du/dx:

Kaptunk egy elválasztható változókat tartalmazó egyenletet. A változók szétválasztásához mindkét részt megszorozzuk dx-szel és u-val, és elosztjuk x-szel (x≠0 feltétellel, tehát u≠0 is, ami azt jelenti, hogy nincs döntésveszteség).

Integráljuk:

és mivel mindkét részben vannak táblázatos integrálok, azonnal megkapjuk

Fordított helyettesítés végrehajtása:

Ez az egyenlet általános integrálja. Az y(1)=2 kezdeti feltételt használjuk, azaz behelyettesítjük y=2, x=1 értékkel a kapott megoldásba:

3) Határozza meg a homogén egyenlet általános integrálját:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

Változás u=y/x, innen y=ux, dy=xdu+udx. Cseréljük:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Kivesszük x²-et a zárójelekből, és elosztjuk vele mindkét részt (feltételezve, hogy x≠0):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Bontsa ki a zárójeleket és egyszerűsítse:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Kifejezések csoportosítása du és dx segítségével:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. A gyakori tényezőket zárójelből kivesszük:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Változók elválasztása:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Ehhez az egyenlet mindkét részét elosztjuk xu(u²+1)≠0-val (ennek megfelelően összeadjuk az x≠0 (már megjegyeztük), u≠0 követelményeket):

Integráljuk:

Az egyenlet jobb oldalán egy táblázatos integrál található, a bal oldalon lévő racionális törtet egyszerű tényezőkre bontjuk:

(illetve a második integrálban a differenciál jele alá történő összegzés helyett a t=1+u², dt=2udu cserét is meg lehetett tenni - ahogy tetszik a legjobban). Kapunk:

A logaritmus tulajdonságai szerint:

Fordított csere

Emlékezzünk vissza az u≠0 feltételre. Ezért y≠0. Ha C=0 y=0, akkor nincs megoldásveszteség, és y=0 benne van az általános integrálban.

Megjegyzés

A megoldást más formában is megkaphatja, ha a kifejezést x-szel hagyja a bal oldalon:

Az integrálgörbe geometriai jelentése ebben az esetben az Oy tengelyen középpontos és az origón átmenő körök családja.

Önellenőrzési feladatok:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) Ellenőrizzük, hogy az egyenlet homogén-e, majd elvégezzük az u=y/x cserét, ahonnan y=ux, dy=xdu+udx. Csere a következő feltételben: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Ha az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk x²≠0-val, a következőt kapjuk: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Ezért dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Leegyszerűsítve a következőt kapjuk: dx-xudu=0. Ezért xudu=dx, udu=dx/x. Integráljuk mindkét részt: