Szabályos piramisképlet alapjának kerülete. Piramis
háromszög alakú piramis A poliédert olyan poliédernek nevezzük, amelynek alapja szabályos háromszög.
Egy ilyen piramisban az alaplapok és az oldalak élei egyenlőek egymással. Ennek megfelelően az oldallapok területe három azonos háromszög területének összegéből adódik. Egy szabályos piramis oldalfelületét a képlet segítségével találhatja meg. És a számítást többször is gyorsabbá teheti. Ehhez alkalmazza a képletet a háromszög alakú piramis oldalfelületének területén:
ahol p az alap kerülete, amelynek minden oldala egyenlő b-vel, a a felülről erre az alapra süllyesztett apotéma. Vegyünk egy példát a háromszög alakú piramis területének kiszámítására.
Feladat: Adjuk meg a helyes piramist. A háromszög alapjában fekvő oldala b = 4 cm. A gúla apotémája a = 7 cm. Határozza meg a gúla oldalfelületének területét!
Mivel a feladat körülményei szerint minden hosszát ismerjük szükséges elemeket, keresse meg a kerületet. Ne feledje, hogy egy szabályos háromszögben minden oldal egyenlő, ezért a kerületet a következő képlettel számítják ki:
Helyettesítse be az adatokat és keresse meg az értéket:
Most a kerület ismeretében kiszámíthatjuk az oldalfelületet: 
A háromszög alakú piramis terület képletének alkalmazása a kiszámításhoz teljes értékű, meg kell találnia a poliéder alapterületét. Ehhez a következő képletet használják: 
A háromszög alakú piramis alapterületének képlete eltérő lehet. Egy adott ábra paramétereinek bármilyen számítása megengedett, de leggyakrabban erre nincs szükség. Vegyünk egy példát a háromszög alakú piramis alapterületének kiszámítására.
Feladat: Egy szabályos gúlában a háromszög alapjában fekvő oldala a = 6 cm. Számítsa ki az alap területét!
A kiszámításhoz csak egy szabályos háromszög oldalának hosszára van szükségünk, amely a piramis alján található. Helyettesítse be az adatokat a képletben: 
Elég gyakran meg kell találni egy poliéder teljes területét. Ehhez hozzá kell adni az oldalfelület és az alap területét. 
Vegyünk egy példát a háromszög alakú piramis területének kiszámítására.
Feladat: Legyen adott egy szabályos háromszög alakú piramis. Az alap oldala b = 4 cm, az apotém a = 6 cm. Határozza meg a piramis teljes területét!
Először is keressük meg az oldalsó felületet jól ismert képlet. Számítsa ki a kerületet:
Az adatokat a képletben helyettesítjük: 
Most keresse meg az alap területét: 
Ismerve az alap és az oldalfelület területét, megkapjuk a piramis teljes területét: 
A szabályos piramis területének kiszámításakor nem szabad elfelejteni, hogy az alap szabályos háromszög, és ennek a poliédernek sok eleme egyenlő egymással.
A matematika vizsgára való felkészülés során a tanulóknak rendszerezniük kell algebrai és geometriai ismereteiket. Szeretnék az összes ismert információt egyesíteni, például a piramis területének kiszámításáról. Sőt, az alap- és oldalfelülettől kezdve a teljes felületig. Ha az oldallapokkal egyértelmű a helyzet, mivel ezek háromszögek, akkor az alap mindig más.
Mi a teendő, ha megtalálja a piramis alapterületét?
Teljesen bármilyen alak lehet: tetszőleges háromszögtől n-szögűig. Ez az alap pedig a szögek számának különbségén kívül lehet szabályos vagy hibás ábra. Az iskolások érdeklődésére számot tartó USE feladatokban csak a megfelelő számjegyekkel ellátott feladatok vannak az alapon. Ezért csak róluk fogunk beszélni.
derékszögű háromszög
Ez egyenlő oldalú. Olyan, amelyben minden oldal egyenlő, és "a" betűvel jelöljük. Ebben az esetben a piramis alapterületét a következő képlettel számítjuk ki:
S = (a 2 * √3) / 4.
Négyzet
A terület kiszámításának képlete a legegyszerűbb, itt az "a" ismét az oldal:
Önkényes szabályos n-gon
A sokszög oldalának ugyanaz a jelölése. A sarkok számánál a latin n betűt használjuk.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Hogyan kell eljárni az oldalsó és a teljes felület kiszámításakor?
Mivel az alap egy szabályos alak, a piramis minden lapja egyenlő. Ráadásul mindegyik egyenlő szárú háromszög, mivel az oldalélek egyenlőek. Ezután a piramis oldalsó területének kiszámításához szükség van egy képletre, amely azonos monomok összegéből áll. A tagok számát az alap oldalainak száma határozza meg.
Az egyenlő szárú háromszög területét az a képlet számítja ki, amelyben az alap szorzatának felét megszorozzuk a magassággal. Ezt a magasságot a piramisban apotémnek nevezik. Megjelölése "A". Az oldalsó felület általános képlete a következő:
S \u003d ½ P * A, ahol P a piramis alapjának kerülete.
Vannak olyan helyzetek, amikor az alap oldalai nem ismertek, de az oldalélek (c) és a csúcsánál lévő lapos szög (α) adottak. Ezután egy ilyen képletet kell használni a piramis oldalsó területének kiszámításához:
S = n/2 * 2 sin α-ban .
1. feladat
Feltétel. Határozza meg a piramis teljes területét, ha az alapja 4 cm-es oldallal esik, és az apotém értéke √3 cm.
Megoldás. Az alap kerületének kiszámításával kell kezdenie. Mivel ez egy szabályos háromszög, akkor P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm. Mivel az apotém ismert, azonnal kiszámolhatja a teljes oldalfelület területét: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm2.
Az alapnál lévő háromszög esetében a következő területértéket kapjuk: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.
A teljes terület meghatározásához össze kell adnia a kapott két értéket: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Válasz. 10√3 cm2.
2. feladat
Feltétel. Van egy szabályos négyszög alakú piramis. Az alap oldalának hossza 7 mm, oldaléle 16 mm. Ismernie kell a felületét.
Megoldás. Mivel a poliéder négyszög alakú és szabályos, így alapja négyzet. Miután megtanulta az alap- és oldalfelületek területét, kiszámítható a piramis területe. A négyzet képlete fent található. Az oldallapoknál pedig a háromszög minden oldala ismert. Ezért használhatja Heron képletét a területük kiszámításához.
Az első számítások egyszerűek, és ehhez a számhoz vezetnek: 49 mm 2. A második értékhez ki kell számítania a fél kerületet: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Most kiszámolhatja egy egyenlő szárú háromszög területét: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Csak négy ilyen háromszög van, ezért a végső szám kiszámításakor meg kell szoroznia 4-gyel.
Kiderült: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.
Válasz. A kívánt érték 267,576 mm2.
3. feladat
Feltétel. A helyes négyszög alakú piramis ki kell számolni a területet. Ebben a négyzet oldala 6 cm, magassága 4 cm.
Megoldás. A legegyszerűbb a képletet a kerület és az apotém szorzatával használni. Az első értéket könnyű megtalálni. A második egy kicsit nehezebb.
Emlékeznünk kell a Pitagorasz-tételre, és figyelembe kell vennünk, hogy azt a piramis magassága és az apotém, azaz a hipotenusz alkotja. A második láb egyenlő a négyzet oldalának felével, mivel a poliéder magassága a közepébe esik.
A kívánt apotém (egy derékszögű háromszög befogója) √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Most már kiszámíthatja a kívánt értéket: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 = 96 (cm 2).
Válasz. 96 cm2.
4. feladat
Feltétel. Dana jobb oldal alapjai 22 mm, oldalsó bordái - 61 mm. Mekkora ennek a poliédernek az oldalfelülete?
Megoldás. A benne lévő indoklás megegyezik a 2. számú feladatnál leírtakkal. Csak ott kapott egy piramist, amelynek alapja négyzet, és most egy hatszög.
Először is, az alap területét a fenti képlettel számítjuk ki: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm 2.
Most meg kell találnia egy egyenlő szárú háromszög fél kerületét, amely egy oldallap. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. A Heron képlet segítségével ki kell számítani egy ilyen háromszög területét, majd megszorozni hattal, és hozzá kell adni ahhoz, amelyik kiderült bázis.
Számítások a Heron képlet segítségével: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Az oldalfelületet megadó számítások: 660 * 6 = 3960 cm 2. A teljes felület kiderítéséhez össze kell adni őket: 5217,47≈5217 cm 2.
Válasz. Alap - 726√3 cm 2, oldalfelület - 3960 cm 2, teljes terület - 5217 cm 2.
Olyan piramist nevezünk, amelynek alapja szabályos hatszög, oldalait pedig szabályos háromszögek alkotják hatszögletű.
Ennek a poliédernek számos tulajdonsága van:
- Az alap minden oldala és szöge egyenlő egymással;
- Minden él és kétszög alakú szénpiramis is egyenlő egymással;
- Az oldalakat alkotó háromszögek azonosak, azonos a területük, az oldaluk és a magasságuk.
A szabályos hatszögletű gúla területének kiszámításához a hatszögletű gúla oldalfelületének szabványos képletét használjuk:
ahol P az alap kerülete, a a piramis apotémjének hossza. A legtöbb esetben ezzel a képlettel kiszámíthatja az oldalsó területet, de néha más módszert is használhat. Mivel a piramis oldallapjai kialakulnak egyenlő háromszögek, megkeresheti egy háromszög területét, majd megszorozhatja az oldalak számával. Hatszögletű piramisban 6 van belőlük. De ez a módszer is használható a számításban. Nézzünk egy példát egy hatszögletű gúla oldalfelületének kiszámítására.
Adjunk meg egy szabályos hatszögletű gúlát, amelyben az apotém a = 7 cm, az alap oldala b = 3 cm. Számítsa ki a poliéder oldalfelületének területét!
Először keresse meg az alap kerületét. Mivel a piramis szabályos, az alapjában szabályos hatszög található. Tehát minden oldala egyenlő, és a kerületet a következő képlettel számítják ki:
Az adatokat a képletben helyettesítjük:
Most könnyen megtalálhatjuk az oldalfelületet, ha a talált értéket behelyettesítjük a fő képletbe: 
Szintén fontos pont a bázis területének keresése. A hatszögletű piramis alapterületének képlete a szabályos hatszög tulajdonságaiból származik: 
Tekintsünk egy példát egy hatszögletű gúla alapterületének kiszámítására, az előző példa feltételeit vesszük alapul. Ezekből tudjuk, hogy az alap oldala b = 3 cm. Helyettesítsük be az adatokat a képlet: 
A hatszögletű piramis területének képlete az alap és az oldalsó letapogatás területének összege: 
Vegyünk egy példát a hatszögletű piramis területének kiszámítására.
Legyen adott egy gúla, melynek alapjában egy b = 4 cm oldalú szabályos hatszög fekszik, egy adott poliéder apotémje a = 6 cm. Határozza meg a teljes területét!
Tudjuk, hogy a teljes terület az alap és az oldalsöprés területeiből áll. Tehát először keressük meg őket. Számítsa ki a kerületet:
Most keresse meg az oldalsó felületet: 
Ezután kiszámítjuk annak az alapnak a területét, amelyben a szabályos hatszög található: 
Most összeadhatjuk az eredményeket:
Meghatározás. Oldal arc- ez egy háromszög, amelyben az egyik szög a piramis tetején fekszik, és ennek ellenkező oldala egybeesik az alap (sokszög) oldalával.
Meghatározás. Oldalsó bordák az oldallapok közös oldalai. A piramisnak annyi éle van, ahány sarka van egy sokszögben.
Meghatározás. piramis magassága a piramis tetejéről az aljára ejtett merőleges.
Meghatározás. Apothem- ez a piramis oldallapjának merőlegese, a gúla tetejétől az alap oldaláig leengedve.
Meghatározás. Átlós szakasz- ez a piramisnak a gúla tetején és az alap átlóján átmenő sík által metszett szakasza.
Meghatározás. Helyes piramis- Ez egy piramis, amelyben az alap egy szabályos sokszög, és a magassága az alap közepéig csökken.
A piramis térfogata és felülete
Képlet. piramis térfogata alapterületen és magasságon keresztül:
piramis tulajdonságai
Ha minden oldalél egyenlő, akkor a piramis alapja köré kör írható, és az alap középpontja egybeesik a kör középpontjával. Ezenkívül a felülről leejtett merőleges áthalad az alap (kör) közepén.
Ha minden oldalborda egyenlő, akkor ugyanolyan szögben dőlnek az alapsíkhoz.
Az oldalsó bordák akkor egyenlőek, ha egyenlő szöget zárnak be az alapsíkkal, vagy ha kör írható le a piramis alapja körül.
Ha az oldallapok egy szögben dőlnek az alap síkjához, akkor a gúla alapjába kör írható, és a gúla teteje a középpontjába vetül.
Ha az oldallapok egy szögben dőlnek az alapsíkhoz, akkor az oldallapok apotémája egyenlő.
Szabályos piramis tulajdonságai
1. A piramis teteje egyenlő távolságra van az alap minden sarkától.
2. Minden oldalél egyenlő.
3. Minden oldalborda ugyanolyan szögben dől el az alaphoz képest.
4. Minden oldallap apotémje egyenlő.
5. Az összes oldalfelület területe egyenlő.
6. Minden lapnak azonos a kétszögű (lapos) szöge.
7. A piramis körül egy gömb írható le. A leírt gömb középpontja az élek közepén átmenő merőlegesek metszéspontja lesz.
8. Gúlába beleírható egy gömb. A beírt gömb középpontja az él és az alap közötti szögből kiinduló felezők metszéspontja lesz.
9. Ha a beírt gömb középpontja egybeesik a körülírt gömb középpontjával, akkor a csúcson lévő lapos szögek összege egyenlő π-vel vagy fordítva, egy szög egyenlő π / n-nel, ahol n a szám szögek a piramis alján.
A piramis kapcsolata a gömbbel
A piramis körül egy gömb írható le, ha a piramis alján egy poliéder fekszik, amely körül kör írható le (szükséges és elégséges feltétel). A gömb középpontja a gúla oldaléleinek felezőpontjain át merőlegesen átmenő síkok metszéspontja lesz.
Egy gömb mindig leírható bármely háromszög vagy szabályos piramis körül.
Gúlába akkor írhatunk be gömböt, ha a gúla belső kétszögeinek felezősíkjai egy pontban metszik egymást (szükséges és elégséges feltétel). Ez a pont lesz a gömb középpontja.
A piramis és a kúp kapcsolata
A kúpot beírtnak nevezzük a gúlába, ha a csúcsuk egybeesik, és a kúp alapja a gúla alapjába van írva.
Kúp írható a piramisba, ha a piramis apotémjei egyenlőek.
A kúpról azt mondjuk, hogy körül van írva egy gúla, ha csúcsai egybeesnek, és a kúp alapja a gúla alapja körül van körülírva.
A gúla körül kúp írható le, ha a gúla minden oldaléle egyenlő egymással.
Piramis kapcsolata hengerrel
Egy piramisról azt mondjuk, hogy bele van írva egy hengerbe, ha a piramis teteje a henger egyik alján, a piramis alapja pedig a henger másik alján található.
Egy henger körülírható egy piramis körül, ha kör írható a gúla alapja köré.
A tetraédernek négy lapja és négy csúcsa és hat éle van, ahol bármelyik két élnek nincs közös csúcsa, de nem érintkeznek.
Minden csúcs három lapból és élből áll háromszögű.
A tetraéder csúcsát a szemközti lap középpontjával összekötő szakaszt ún a tetraéder mediánja(GM).
Bimedian Az egymással nem érintkező élek felezőpontjait összekötő szakasznak nevezzük (KL).
A tetraéder összes bimediánja és mediánja egy pontban (S) metszi egymást. Ebben az esetben a bimediánokat felezzük, a mediánokat pedig felülről indulva 3:1 arányban.
Meghatározás. Élesszögű piramis olyan piramis, amelyben az apotém az alap oldalhosszának több mint fele.
Meghatározás. tompa piramis olyan piramis, amelyben az apotém kisebb, mint az alap oldalhosszának fele.
Meghatározás. szabályos tetraéder Tetraéder, amelynek négy lapja egyenlő oldalú háromszög. Ez az öt szabályos sokszög egyike. Egy szabályos tetraéderben minden diéderszög (a lapok között) és háromszögszög (egy csúcsban) egyenlő.
Meghatározás. Téglalap alakú tetraéder tetraédernek nevezzük, amelynek a csúcsánál három él között derékszög van (az élek merőlegesek). Három arc alakul ki téglalap háromszögűés a szélei vannak derékszögű háromszögek, és az alap egy tetszőleges háromszög. Bármely arc apotémája megegyezik az alap oldalának felével, amelyre az apotém esik.
Meghatározás. Izoéderes tetraéder Tetraédernek nevezzük, amelyben az oldallapok egyenlőek egymással, és az alapja egy szabályos háromszög. Az ilyen tetraéder lapjai egyenlő szárú háromszögek.
Meghatározás. Ortocentrikus tetraéder tetraédernek nevezzük, amelyben a felülről a szemközti lapra süllyesztett összes magasság (merőleges) egy pontban metszi egymást.
Meghatározás. csillag piramis Az a poliéder, amelynek alapja csillag.
