HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER

A homogén lineáris egyenletrendszer egy alakrendszer

Egyértelmű, hogy ebben az esetben mivel ezekben a minősítőkben az egyik oszlop minden eleme nullával egyenlő.

Mivel az ismeretleneket a képletek találják meg , akkor abban az esetben, ha Δ ≠ 0, a rendszernek egyedi nulla megoldása van x = y = z= 0. Sok feladatban azonban érdekes az a kérdés, hogy egy homogén rendszernek van-e nullától eltérő megoldása.

Tétel. Annak érdekében, hogy a rendszer lineáris homogén egyenletek nullától eltérő megoldása van, szükséges és elegendő, hogy Δ ≠ 0.

Tehát, ha a determináns Δ ≠ 0, akkor a rendszernek egyedi megoldása van. Ha Δ ≠ 0, akkor a lineáris homogén egyenletrendszernek végtelen megoldáskészlete van.

Példák.

A mátrix sajátvektorai és sajátértékei

Legyen adott egy négyzetmátrix , x- valamilyen mátrixoszlop, amelynek magassága egybeesik a mátrix sorrendjével A. .

Sok problémában figyelembe kell venni az egyenletet x

ahol λ valamilyen szám. Nyilvánvaló, hogy bármely λ esetén ennek az egyenletnek nulla megoldása van.

Azt a λ számot nevezzük, amelyre ennek az egyenletnek nullától eltérő megoldásai vannak saját jelentése mátrixok A, a x mert az ilyen λ-t nevezzük sajátvektor mátrixok A.

Keresse meg a mátrix sajátvektorát! A... Amennyiben E∙X = X, akkor a mátrixegyenlet átírható így vagy ... Kibővített formában ez az egyenlet átírható lineáris egyenletrendszerré. Igazán .

És ezért

Így kaptunk egy homogén lineáris egyenletrendszert a koordináták meghatározásához x 1, x 2, x 3 vektor x... Ahhoz, hogy a rendszernek nullától eltérő megoldásai legyenek, szükséges és elegendő, hogy a rendszer determinánsa nullával egyenlő legyen, azaz.

Ez egy 3. fokú egyenlet λ-hoz képest. Ezt hívják karakterisztikus egyenlet mátrixok Aés a λ sajátértékek meghatározására szolgál.

Minden λ sajátérték egy sajátvektornak felel meg x, amelynek koordinátáit a rendszerből a megfelelő λ értéknél határozzuk meg.

Példák.

VEKTOR ALGEBRA. A VEKTOR FOGALMA

A fizika különféle ágainak tanulmányozása során vannak olyan mennyiségek, amelyeket teljes mértékben meghatároznak számértékeik megadásával, például hosszúság, terület, tömeg, hőmérséklet stb. Az ilyen mennyiségeket skalárnak nevezzük. Rajtuk kívül azonban léteznek olyan mennyiségek is, amelyek meghatározásához a számérték mellett tudni kell térbeli irányukat is, például a testre ható erőt, a sebességet és a gyorsulást. a test térben való mozgása, a mágneses tér erőssége a tér adott pontjában stb. Az ilyen mennyiségeket vektornak nevezzük.

Vezessünk be egy szigorú definíciót.

Irányított szegmens nevezzünk egy szakaszt, amelynek végeihez képest ismert, hogy melyik az első és melyik a második.

Vektor irányított szegmensnek nevezzük, amely bizonyos hosszúságú, pl. ez egy bizonyos hosszúságú szakasz, amelyben az egyik határpontja a kezdet, a második pedig a vég. Ha A- a vektor eleje, B- vége, akkor a vektort egy szimbólum jelöli, emellett a vektort gyakran egy betűvel jelöljük. Az ábrán egy vektort vonalszakasz, irányát pedig nyíl jelzi.

Modul vagy a hosszúság vektor az azt meghatározó irányszakasz hossza. Ezt jelöli || vagy ||.

Az úgynevezett nulla vektort, amelynek eleje és vége egybeesik, szintén vektoroknak nevezzük. Jelezve van. A nulla vektornak nincs határozott iránya, és modulusa egyenlő nullával || = 0.

Vektorok és hívják kollineáris ha ugyanazon vagy párhuzamos vonalakon helyezkednek el. Sőt, ha a és vektorok azonos irányúak, akkor fordítva fogunk írni.

Az azonos síkkal párhuzamos egyeneseken elhelyezkedő vektorokat nevezzük egysíkú.

Két vektort és hívjuk egyenlő ha kollineárisak, egyforma irányúak és egyenlő hosszúságúak. Ebben az esetben írj.

A vektorok egyenlőségének definíciójából az következik, hogy egy vektor önmagával párhuzamosan vihető át, origóját a tér bármely pontjára helyezve.

Például.

LINEÁRIS MŰVELETEK VEKTOROKRA

1. Egy vektor szorzata egy számmal.

   Egy vektornak a λ számmal való szorzata egy új vektor, amely:

   Egy vektor λ számmal való szorzatát jelöljük.

   

   Például, egy vektor, amely a vektorral azonos irányba irányul, és hossza fele a vektornak.

   A bevezetett művelet a következőket tartalmazza tulajdonságait:

2. Vektorok összeadása.

   Legyen és két tetszőleges vektor. Vegyünk egy tetszőleges pontot Oés készítsünk egy vektort. Ezek után a lényegtől A félretesszük a vektort. Az első vektor elejét a második végével összekötő vektort nevezzük összeg ezen vektorok közül, és azt jelöljük .

   

   A vektorösszeadás megfogalmazott definícióját ún paralelogramma szabály, mivel ugyanazt a vektorösszeget a következőképpen kaphatjuk meg. Tedd félre a ponttól O vektorok és. Készítsünk paralelogrammát ezekre a vektorokra OABS... Mivel vektorok, akkor a vektor, amely a csúcsból húzott paralelogramma átlója O, nyilvánvalóan a vektorok összege lesz.

   

   Könnyű ellenőrizni a következőket vektorösszeadás tulajdonságai.

3. A vektorok különbsége.

   Egy adott vektorral kollineáris, egyenlő hosszúságú és ellentétes irányú vektort nevezünk szemben vektor a vektorhoz, és jelölése. Az ellentétes vektort úgy tekinthetjük, mint a vektor λ = –1: számmal való megszorzását.

Sajátértékek (számok) és sajátvektorok.
Példák megoldásokra

Légy önmagad

Mindkét egyenletből az következik, hogy.

Akkor tegyük fel: .

Ennek eredményeként: A második sajátvektor.

Ismételjük fontos pontokat megoldások:

- a kapott rendszernek biztosan van általános megoldása (az egyenletek lineárisan függőek);

- a "játékot" úgy választjuk ki, hogy az egész legyen, és az első "x" koordináta egész, pozitív és a lehető legkisebb legyen.

- ellenőrizze, hogy az adott megoldás kielégíti-e a rendszer minden egyenletét.

Válasz .

A közbenső "ellenőrző pontok" elég volt, ezért az egyenlőség ellenőrzése elvileg felesleges.

A különféle információforrásokban a sajátvektorok koordinátáit gyakran nem oszlopokba, hanem sorokba írják, például: (és, hogy őszinte legyek, magam is szoktam sorokba írni)... Ez a lehetőség elfogadható, de a téma fényében lineáris transzformációk technikailag kényelmesebb a használata oszlopvektorok.

Lehet, hogy a megoldás nagyon hosszúnak tűnt számodra, de ez csak azért van, mert az első példát nagyon részletesen kommentáltam.

2. példa

Mátrixok

Képzünk magunkat! Hozzávetőleges példa a feladat befejezésére a lecke végén.

Néha meg kell tennie kiegészítő feladat, nevezetesen:

írjuk fel a kanonikus mátrixbontást!

Ami?

Ha a mátrix sajátvektorai úgy alakulnak alapján, akkor a következőképpen ábrázolható:

Hol van a sajátvektorok koordinátáiból álló mátrix, - átlós mátrix megfelelő sajátértékekkel.

Az ilyen mátrixbontást ún kánoni vagy átlós.

Tekintsük az első példa mátrixát. Saját vektorai lineárisan független(nem kollineáris) és alapot képeznek. A koordinátáikból állítsunk össze egy mátrixot:

Tovább főátló mátrixok megfelelő sorrendben sajátértékek találhatók, a többi elem pedig nulla:
- még egyszer hangsúlyozom a sorrend fontosságát: a "kettő" az 1. vektornak felel meg, ezért az 1. oszlopban található, a "három" - a 2. vektorban.

A szokásos keresési algoritmus szerint inverz mátrix vagy Gauss-Jordan módszer megtalálja ... Nem, ez nem elírás! - előtted ritka, pl Napfogyatkozás az az esemény, amikor az inverz megegyezett az eredeti mátrixszal.

Fel kell írni a mátrix kanonikus dekompozícióját:

A rendszer elemi transzformációkkal megoldható, és a következő példákban ezt fogjuk használni ez a módszer... De itt az "iskola" módszer sokkal gyorsabban működik. A 3. egyenletből a következőket fejezzük ki: - behelyettesítjük a második egyenletbe:

Mivel az első koordináta nulla, kapunk egy rendszert, amelynek minden egyenletéből az következik.

És újra ügyeljen a lineáris függőség kötelező jelenlétére... Ha csak triviális megoldást kap , akkor vagy hibásan találták meg a sajátértéket, vagy hibásan fordították le / oldották meg a rendszert.

A kompakt koordináták értelmet adnak

Sajátvektor:

És még egyszer - ellenőrizzük, hogy a megtalált megoldás kielégíti a rendszer minden egyenletét... A következő bekezdésekben és az azt követő feladatokban javaslom ezt a kívánságot kötelező szabálynak venni.

2) A sajátértékre ugyanezen elv szerint a következő rendszert kapjuk:

A rendszer 2. egyenletéből a következőket fejezzük ki: - helyettesítsd a harmadik egyenletben:

Mivel a "zéta" koordináta egyenlő nullával, így egy rendszert kapunk, amelynek minden egyenletéből lineáris függés következik.

Legyen

Ellenőrizzük, hogy a megoldás kielégíti a rendszer minden egyenletét.

Így a sajátvektor:.

3) És végül a rendszer megfelel a sajátértéknek:

A második egyenlet tűnik a legegyszerűbbnek, ezért kifejezzük belőle, és behelyettesítjük az 1. és 3. egyenletbe:

Minden rendben van - lineáris kapcsolat alakult ki, amelyet behelyettesítünk a kifejezésbe:

Ennek eredményeként az "x" és az "igrek" a "z"-en keresztül fejeződött ki. A gyakorlatban nem szükséges csak ilyen kapcsolatokat elérni, bizonyos esetekben kényelmesebb egyszerre kifejezni. Vagy akár egy „vonat” – például „X”-től „igrek”-ig, „igrek”-től „z”-ig.

Akkor tegyük fel:

Ellenőrizzük, hogy megtaláltuk-e a megoldást kielégíti a rendszer minden egyenletét, és írja fel a harmadik sajátvektort

Válasz: sajátvektorok:

Geometriailag ezek a vektorok három különböző térirányt határoznak meg. ("Oda és vissza") amellyel lineáris transzformáció a nullától eltérő vektorokat (sajátvektorokat) azokhoz kollineáris vektorokká alakítja.

Ha a kanonikus dekompozíció megtalálásához szükséges feltétel, akkor ez itt lehetséges, hiszen különböző sajátértékek különböző lineárisan független sajátvektoroknak felelnek meg. A mátrix összeállítása koordinátáikból, az átlós mátrixból tól től az illető sajátértékeket és megtalálni inverz mátrix .

Ha a feltétel szerint kell írni lineáris transzformáció mátrixa sajátvektorok alapján, akkor formában megadjuk a választ. Van különbség, és a különbség jelentős! Ennek a mátrixnak a „de” mátrixa.

Egy probléma a független megoldás egyszerűbb számításaival:

5. példa

Keresse meg egy mátrix által adott lineáris transzformáció sajátvektorait!

A sajátértékek megkeresésekor ne 3. fokú polinomhoz hozzuk az anyagot. Ezenkívül az Ön rendszermegoldásai eltérhetnek az én megoldásaimtól – itt nincs egyértelműség; és a talált vektorok eltérhetnek a mintavektoroktól egészen a megfelelő koordinátáik arányosságáig. Például, és. Esztétikusabb, ha a választ a formában adja meg, de nem baj, ha megáll a második lehetőségnél. Viszont mindennek vannak ésszerű határai, a verzió már nem néz ki túl jól.

A feladat hozzávetőleges végső mintája a lecke végén.

Hogyan oldható meg a probléma több sajátérték esetén?

Az általános algoritmus változatlan marad, de megvannak a maga sajátosságai, és célszerű a megoldás egyes részeit szigorúbb akadémiai stílusban fenntartani:

6. példa

Keresse meg a sajátértékeket és a sajátvektorokat

Megoldás

Természetesen a mesés első oszlopot nagybetűvel írjuk:

És a négyzetes trinomit figyelembe véve:

Ennek eredményeként sajátértékeket kapunk, amelyek közül kettő többszörös.

Keressük a sajátvektorokat:

1) A magányos katonával az "egyszerűsített" séma szerint fogunk foglalkozni:

Az utolsó két egyenletből jól látható az egyenlőség, amit természetesen be kell cserélni a rendszer 1. egyenletébe:

Nincs jobb kombináció:
Sajátvektor:

2-3) Most lőünk pár őrszemet. V ez az eset kiderülhet vagy kettő vagy egy sajátvektor. A gyökök sokaságától függetlenül az értéket behelyettesítjük a determinánsba ami a következőket hozza nekünk homogén lineáris egyenletrendszer:

A sajátvektorok pontosan vektorok
alapvető döntési rendszer

Valójában az egész óra alatt csak az alaprendszer vektorainak megtalálásával foglalkoztunk. Csak egyelőre erre a kifejezésre nem volt különösebben szükség. Egyébként azok az ügyes diákok, akik terepkabátban csúsztatták a témát homogén egyenletek most kénytelen lesz megenni.

Az egyetlen lépés a felesleges sorok törlése volt. Az eredmény egy háromszoros mátrix egy formális „létrafokkal” a közepén.
- alapváltozó, - szabad változók. Két szabad változó van, ezért az alaprendszer vektorai is két.

Az alapváltozót fejezzük ki szabad változókkal:. Az "x" előtti nulla tényező lehetővé teszi, hogy abszolút bármilyen értéket vegyen fel (ami jól látható az egyenletrendszerből).

Ezzel a problémával összefüggésben kényelmesebb az általános megoldást nem egy sorba, hanem egy oszlopba írni:

A sajátvektor a következő párnak felel meg:
A sajátvektor a következő párnak felel meg:

jegyzet : a kifinomult olvasók felvehetik ezeket a vektorokat és szóban is – csak a rendszer elemzésével , de itt némi tudásra van szükség: három változó van, rendszermátrix rang- egység, ami azt jelenti alapvető döntési rendszer 3 - 1 = 2 vektorból áll. A talált vektorok azonban e tudás nélkül is tökéletesen láthatóak, pusztán intuitív szinten. Ebben az esetben a harmadik vektor még "szebben" lesz írva:. Figyelmeztetem azonban, hogy egy másik példa az egyszerű kiválasztásra nem biztos, hogy az, ezért a felelősségkizárást tapasztalt embereknek szánjuk. Különben is, miért nem veszik mondjuk harmadik vektornak? Hiszen a koordinátái is kielégítik a rendszer minden egyenletét és a vektorokat lineárisan független. Ez a lehetőség elvileg megfelelő, de "görbe", mivel a "másik" vektor az alaprendszer vektorainak lineáris kombinációja.

Válasz: sajátértékek:, sajátvektorok:

Hasonló példa önálló megoldásra:

7. példa

Keresse meg a sajátértékeket és a sajátvektorokat

Durva példa a lecke végén történő befejezésre.

Meg kell jegyezni, hogy mind a 6., mind a 7. példában lineárisan független sajátvektorok hármasát kapjuk, ezért az eredeti mátrix reprezentálható a kanonikus dekompozícióban. De az ilyen málna nem minden esetben fordul elő:

8. példa

Megoldás: állítsd össze és oldd meg a karakterisztikus egyenletet:

Megnyitjuk a determinánst az első oszlopban:

A további egyszerűsítéseket a vizsgált módszer szerint hajtjuk végre, elkerülve a 3. fokú polinomot:

- sajátértékek.

Keressük a sajátvektorokat:

1) Nincsenek nehézségek a gyökérrel:

Ne lepődj meg, a készleten kívül változókat is használnak - itt nincs különbség.

A 3. egyenletből kifejtjük - behelyettesítjük az 1. és 2. egyenletbe:

Mindkét egyenletből az következik:

Akkor hadd:

2-3) Több érték esetén megkapjuk a rendszert .

Írjuk fel a rendszer mátrixát, és elemi transzformációkkal hozzuk lépésenkénti formába:

Utasítás

A k számot az A mátrix sajátértékének (számának) nevezzük, ha van olyan x vektor, amelyre Ax = kx. (1) Ebben az esetben az x vektort az A mátrix sajátvektorának nevezzük, amely a k számnak felel meg. Az R ^ n térben (lásd 1. ábra) az A mátrix alakja az ábrán látható.

Fel kell tenni az A mátrix vektorainak megtalálásának problémáját. Legyen az x sajátvektor koordinátákkal megadva. V mátrix forma mátrixoszlopként lesz írva, amelyet a kényelem kedvéért transzponált sorként kell ábrázolni. X = (x1, x2,…, xn) ^ T. Az (1) alapján Ax-kx = 0 vagy Ax-kEx = 0, ahol E az azonosságmátrix (egyesek a főátlón, minden más elem nulla ). Ekkor (A-kE) x = 0. (2)

A lineáris homogén algebrai egyenletek (2) kifejezésének nullától eltérő megoldása (sajátvektora) van. Ezért a (2) rendszer fő determinánsa egyenlő nullával, azaz | А-kE | = 0. (3) A k sajátérték utolsó egyenlőségét az A mátrix karakterisztikus egyenletének nevezzük, és kiterjesztett formában a formája van (lásd 2. ábra).

A k gyökér behelyettesítése karakterisztikus egyenlet a (2) rendszerbe, egy homogén lineáris egyenletrendszerbe, degenerált mátrixszal (determinánsa nulla). Ennek a rendszernek minden nem nulla megoldása az A mátrix egy sajátvektora, amely megfelel egy adott k sajátértéknek (vagyis a karakterisztikus egyenlet gyökének).

Példa. Keresse meg az A mátrix sajátértékeit és vektorait (lásd 3. ábra) Megoldás. A karakterisztikus egyenlet az ábrán látható. 3. Bontsa ki a determinánst, és keresse meg a mátrix sajátértékeit, amelyek az adott egyenlet (3-k) (- 1-k) -5 = 0, (k-3) (k + 1) -5 = 0 , k ^ 2-2k -8 = 0 Gyökei k1 = 4, k2 = -2

a) A k1 = 4-nek megfelelő sajátvektorokat az (A-4kE) x = 0 rendszer megoldásán keresztül találjuk meg. Ebben az esetben csak az egyik egyenletére van szükség, mivel a rendszer determinánsa eleve nulla. Ha x = (x1, x2) ^ T-t tesszük, akkor az (1-4) rendszer első egyenlete x1 + x2 = 0, -3x1 + x2 = 0. Ha feltételezzük, hogy x1 = 1 (de nem nulla), akkor x2 = 3. Mivel egy degenerált mátrixú homogén rendszerre tetszőlegesen sok nem nulla megoldás létezik, az első sajátértéknek megfelelő sajátvektorok teljes halmaza x = C1 (1, 3), C1 = állandó.

b) Keresse meg a k2 = -2-nek megfelelő sajátvektorokat! Az (A + 2kE) x = 0 rendszer megoldása során első egyenlete (3 + 2) x1 + x2 = 0,5x1 + x2 = 0. Ha x1 = 1-et teszünk, akkor x2 = -5. A megfelelő sajátvektorok x = C2 (1, 3), C2 = állandó. Egy adott mátrix összes sajátvektorának halmaza: x = C1 (1, 3) + C2 (1, 3).

Források:

• Piskunov N.S. Differenciál- és integrálszámítás. M., 1976, - 576 p.
• találja meg a mátrixok sajátértékeit és vektorait

A mátrixokat, amelyek az adatrögzítés táblázatos formái, széles körben használják lineáris egyenletrendszerekkel végzett munka során. Ráadásul az egyenletek száma határozza meg a mátrix sorainak számát, a változók száma pedig az oszlopok sorrendjét. Ennek eredményeként a lineáris rendszerek megoldása mátrixokon végzett műveletekre redukálódik, amelyek közül az egyik a mátrix sajátértékeinek keresése. Kiszámításukat a karakterisztikus egyenlet segítségével végezzük. A sajátértékek egy m nagyságrendű négyzetmátrixhoz definiálhatók.

Utasítás

Írjon fel egy adott A négyzetet. Sajátértékeinek meghatározásához használja a karakterisztikus egyenletet, amely egy nemtriviális megoldás feltételéből következik egy lineáris homogén rendszerre, amelyet ebben az esetben négyzetmátrix képvisel. Amint Cramerből következik, megoldás csak akkor létezik, ha a determinánsa nulla. Így felírhatjuk a | egyenletet A - λE | = 0, ahol A az adott, λ a keresett számok, E az azonosságmátrix, amelyben a főátlón minden elem egyenlő eggyel, a többi nulla.

Hajtsa végre a kívánt λ változó szorzását az adott kezdeti A-val azonos méretű E identitásmátrixszal. A művelet eredménye egy olyan mátrix lesz, ahol a λ értékei a főátló mentén helyezkednek el, a többi elem megmarad. egyenlő nullával.

Hogyan lehet matematikai képleteket beilleszteni egy webhelyre?

Ha valaha egy vagy két matematikai képletet kell hozzáadnia egy weboldalhoz, akkor ezt a legegyszerűbben a cikkben leírt módon teheti meg: a matematikai képletek könnyen beilleszthetők az oldalra képek formájában, amelyeket Wolfram Alpha automatikusan generál. Az egyszerűség mellett ez a sokoldalú módszer segít javítani webhelye láthatóságát a keresőmotorokban. Régóta működik (és szerintem örökké működni fog), de erkölcsileg már elavult.

Ha rendszeresen használ matematikai képleteket a webhelyén, akkor azt javaslom, hogy használja a MathJax-ot, egy speciális JavaScript-könyvtárat, amely matematikai jelöléseket jelenít meg a MathML, LaTeX vagy ASCIIMathML jelölést használó webböngészőkben.

A MathJax használatának két módja van: (1) egy egyszerű kóddal gyorsan csatlakoztathat egy MathJax szkriptet a webhelyéhez, amely a megfelelő időben automatikusan betöltődik egy távoli szerverről (szerverlista); (2) töltse fel a MathJax szkriptet egy távoli szerverről a szerverére, és csatlakoztassa webhelye összes oldalához. A második, bonyolultabb és időigényesebb módszer felgyorsítja az oldalad oldalainak betöltését, és ha a szülő MathJax szerver valamilyen okból átmenetileg elérhetetlenné válik, az semmilyen módon nem érinti a saját oldaladat. Ezen előnyök ellenére az első módszert választottam, mivel az egyszerűbb, gyorsabb és nem igényel technikai ismereteket. Kövesse a példámat, és 5 perc múlva már használhatja a MathJax összes funkcióját a webhelyén.

A MathJax könyvtár szkriptjét egy távoli szerverről csatlakoztathatja a fő MathJax webhelyről vagy a dokumentációs oldalról vett kód két verziójával:

Ezen kódváltozatok egyikét ki kell másolni és be kell illeszteni a weboldal kódjába, lehetőleg a címkék közé és vagy közvetlenül a címke után ... Az első opció szerint a MathJax gyorsabban tölt be és kevésbé lassítja az oldalt. De a második lehetőség automatikusan követi és betölti a MathJax legújabb verzióit. Ha beírja az első kódot, akkor azt rendszeresen frissíteni kell. Ha beszúrja a második kódot, az oldalak lassabban töltődnek be, de nem kell folyamatosan figyelnie a MathJax frissítéseit.

A MathJax csatlakoztatásának legegyszerűbb módja a Blogger vagy a WordPress: a webhelye irányítópultján adjon hozzá egy widgetet harmadik fél JavaScript kódjának beillesztéséhez, másolja bele a fent bemutatott betöltő kód első vagy második verzióját, és helyezze közelebb a widgetet a a sablon eleje (egyébként ez egyáltalán nem szükséges, mert a MathJax szkript aszinkron módon töltődik be). Ez minden. Most tanulja meg a MathML, LaTeX és ASCIIMathML jelölési szintaxisát, és máris beágyazhat matematikai képleteket webhelye weboldalaiba.

Bármely fraktál egy bizonyos szabály szerint épül fel, amelyet következetesen korlátlan számú alkalommal alkalmaznak. Minden ilyen időt iterációnak nevezünk.

A Menger-szivacs elkészítésének iteratív algoritmusa meglehetősen egyszerű: az eredeti 1-es oldalú kockát a lapjaival párhuzamos síkok 27 egyenlő kockára osztják. Egy központi kockát és 6 szomszédos kockát eltávolítunk belőle. Az eredmény egy készlet, amely a maradék 20 kisebb kockából áll. Minden egyes kockával ugyanezt megtéve egy készletet kapunk, amely már 400 kisebb kockából áll. Ezt a folyamatot a végtelenségig folytatva egy Menger szivacsot kapunk.

www.site lehetővé teszi, hogy megtalálja. Az oldal elvégzi a számítást. Néhány másodperc múlva a szerver kiadja a hibát helyes megoldás. A mátrix karakterisztikus egyenlete a determináns számítási szabálya szerint talált algebrai kifejezés lesz mátrixok mátrixok, míg a főátló az átlós elemek és a változó értékei közötti különbség lesz. Számításkor a mátrix karakterisztikus egyenlete online, minden elem mátrixok szorozni fog a megfelelő egyéb elemekkel mátrixok... Keresés módban online csak négyzetre lehetséges mátrixok... Működés keresése a mátrix karakterisztikus egyenlete online az elemek szorzatának algebrai összegének kiszámítására redukálódik mátrixok a determináns megtalálásának eredményeként mátrixok, csak annak megállapítása céljából a mátrix karakterisztikus egyenlete online... Ez a művelet elméletben különleges helyet foglal el. mátrixok, lehetővé teszi sajátértékek és vektorok megtalálását a gyökök segítségével. A megtalálás feladata a mátrix karakterisztikus egyenlete online az elemek szorzása mátrixok e művek utólagos összegzésével egy bizonyos szabály szerint. www.site talál mátrix karakterisztikus egyenlete adott dimenziójú módban online... Számítás a mátrix karakterisztikus egyenlete online egy adott dimenzióra ez egy numerikus vagy szimbolikus együtthatós polinom keresése, amelyet a determináns számítási szabálya szerint találunk. mátrixok- a megfelelő elemek szorzatainak összegeként mátrixok, csak annak megállapítása céljából a mátrix karakterisztikus egyenlete online... Polinom keresése egy négyzet változójában mátrixok mint definíció a mátrix karakterisztikus egyenlete, elméletben általános mátrixok... A polinom gyökeinek értéke a mátrix karakterisztikus egyenlete online sajátvektorainak és sajátértékeinek meghatározására szolgál mátrixok... Sőt, ha a meghatározó mátrixok akkor egyenlő lesz nullával mátrix karakterisztikus egyenlete továbbra is létezni fog, ellentétben a fordítottjával mátrixok... Számítás céljából mátrix karakterisztikus egyenlete vagy egyszerre többre is talál mátrix karakterisztikus egyenletek, sok időt és erőfeszítést igényel, míg szerverünk megtalálja karakterisztikus egyenlet mátrix online... Ebben az esetben a válasz az, hogy megtaláljuk a mátrix karakterisztikus egyenlete online helyes és kellő pontosságú lesz, még akkor is, ha a számok megtalálásakor a mátrix karakterisztikus egyenlete online irracionális lesz. Az oldalon www.site karakter bejegyzések megengedettek az elemekben mátrixok, vagyis karakterisztikus egyenlet mátrix online számításnál általános szimbolikus formában ábrázolható a mátrix karakterisztikus egyenlete online... Hasznos ellenőrizni a kapott választ a megtalálási probléma megoldása során a mátrix karakterisztikus egyenlete online az oldal használatával www.site... A polinom számítási műveletének végrehajtásakor - a mátrix karakterisztikus egyenlete, óvatosnak és rendkívül koncentráltnak kell lennie a probléma megoldása során. Oldalunk viszont segít ellenőrizni a témával kapcsolatos döntését online mátrix karakterisztikus egyenlet... Ha nincs ideje a megoldott problémák hosszú ellenőrzésére, akkor www.site minden bizonnyal kényelmes eszköz lesz a kereséshez és a számításhoz a mátrix karakterisztikus egyenlete online.