Pozitív határozott másodfokú formák

Meghatározás... Másodfokú forma -tól n ismeretlennek hívják pozitívan meghatározott ha rangja egyenlő a pozitív tehetetlenségi indexszel és egyenlő az ismeretlenek számával.

Tétel. A másodfokú forma akkor és csak akkor pozitív határozott, ha a változók bármely nullától eltérő értékkészletén vesz fel pozitív értékeket.

Bizonyíték. Legyen egy másodfokú alak az ismeretlenek nem degenerált lineáris transzformációjával

normalizálva

.

Bármely nullától eltérő változóérték-készlethez legalább egy számot nem nulla, azaz. ... A tétel szükségessége bizonyítást nyert.

Tegyük fel, hogy a másodfokú alak pozitív értékeket vesz fel bármely nullától eltérő változóhalmazon, de pozitív tehetetlenségi indexe az ismeretlenek nem degenerált lineáris transzformációja.

normál formájába hozzuk. Az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy ebben a normálalakban az utolsó változó négyzete vagy hiányzik, vagy mínusz előjellel szerepel benne, pl. hol vagy. Tegyük fel, hogy ez a változók nullától eltérő értékkészlete, amelyet a lineáris egyenletrendszer megoldása eredményeként kapunk

Ebben a rendszerben az egyenletek száma megegyezik a változók számával, és a rendszer determinánsa nem nulla. Cramer tétele szerint a rendszernek egyedi megoldása van, és ez nem nulla. Ehhez a készlethez. Ellentmondás a feltétellel. A feltételezéssel ellentmondáshoz jutunk, ami a tétel elégségességét bizonyítja.

Ezzel a kritériummal az együtthatókból lehetetlen megállapítani, hogy a másodfokú forma pozitívan definiált-e. Erre a kérdésre egy másik tétel adja meg a választ, melynek megfogalmazásához még egy fogalmat vezetünk be. A mátrix főátlós minorjai- ezek a kiskorúak a bal felső sarkában:

, , , … , .

Tétel.Egy másodfokú alak akkor és csak akkor pozitív határozott, ha minden főátlós mollja pozitív.

Bizonyíték számon történő teljes matematikai indukció módszerével n másodfokú formájú változók f.

Indukciós hipotézis. Tegyük fel, hogy kevesebb változót tartalmazó másodfokú formák esetén n igaz az állítás.

Tekintsünk egy másodfokú formát n változók. Gyűjtsük össze egy zárójelben az összes olyan kifejezést, amely tartalmazza. A fennmaradó tagok változókban másodfokú formát alkotnak. Az indukciós hipotézis szerint az állítás igaz rá.

Tegyük fel, hogy a másodfokú alak pozitív határozott. Ekkor a másodfokú alak is pozitív határozott. Ha feltételezzük, hogy ez nem így van, akkor a változók értéke nem nulla , amelyekre és ennek megfelelően , és ez ellentmond annak, hogy a másodfokú alak pozitív határozott. Az indukciós hipotézis szerint a másodfokú alak összes főátlós mollja pozitív, azaz. a másodfokú alak összes első nagy mollja f pozitív. A másodfokú forma utolsó nagy mollja – ez a mátrixának meghatározója. Ez a determináns pozitív, hiszen előjele egybeesik normálformájának mátrixának előjelével, azaz. az identitásmátrix determinánsának előjelével.

Legyen a másodfokú alak összes fő átlós mollja pozitív, majd a másodfokú forma összes fő átlós mollja az egyenlőségből ... Az indukciós hipotézis szerint a másodfokú forma pozitív határozott, ezért létezik a változók nem degenerált lineáris transzformációja, amely az alakot új változók négyzetösszegének alakjába hozza. Ez a lineáris transzformáció az összes változó nem degenerált lineáris transzformációjává tehető beállítással. A másodfokú alakot ez a transzformáció formává redukálja

Kvadratikus forma n változó f (x 1, x 2, ..., xn) értékét összegnek nevezzük, amelynek minden tagja vagy az egyik változó négyzete, vagy két különböző változó szorzata, bizonyos együtthatóval: f (x 1, x 2, ..., x n) = (a ij = a ji).

Az ezekből az együtthatókból álló A mátrixot másodfokú mátrixnak nevezzük. Mindig szimmetrikus mátrix (azaz a főátlóra szimmetrikus mátrix, a ij = a ji).

Mátrixjelölésben a másodfokú alak f (X) = X T AX, ahol

Valóban

Például írjuk fel a másodfokú formát mátrix alakban.

Ehhez találunk egy másodfokú mátrixot. Átlós elemei egyenlők a változók négyzeteinek együtthatóival, a fennmaradó elemek pedig a másodfokú forma megfelelő együtthatóinak felével. Ezért

Legyen az X változók mátrixoszlopa az Y mátrixoszlop nem degenerált lineáris transzformációjával, azaz. X = CY, ahol С egy nem degenerált n-rendű mátrix. Ekkor az f (X) = X T AX = (CY) T A (CY) = (Y T C T) A (CY) = Y T (C T AC) Y másodfokú alak.

Így egy nem degenerált C lineáris transzformációval a másodfokú alak mátrixa a következő alakot veszi fel: A * = C T AC.

Például keressük meg az f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 másodfokú alakból lineáris transzformációval kapott f (y 1, y 2) másodfokú alakot.

A másodfokú formát ún kánoni(Van kanonikus nézet), ha az összes együtthatója a ij = 0 i ≠ j esetén, azaz f (x 1, x 2, ..., x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn xn 2 =.

Mátrixa átlós.

Tétel(itt nincs bizonyíték). Bármilyen másodfokú forma redukálható kanonikus formává egy nem degenerált lineáris transzformáció segítségével.

Például hozzuk a kanonikus alakba az f (x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 másodfokú alakot.

Ehhez először válasszon ki egy teljes négyzetet egy x 1 változóval:

f (x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Most kiválasztunk egy teljes négyzetet egy x 2 változóval:

f (x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) - (5/100) x 3 2 = = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Ekkor az y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 - (1/10) x 3 és y 3 = x 3 nem degenerált lineáris transzformáció ezt a másodfokú formát az f kanonikus alakra redukálja (y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20) y 3 2.

Megjegyzendő, hogy a másodfokú formák kanonikus formája kétértelműen van meghatározva (ugyanaz a másodfokú forma redukálható kanonikus formára különböző utak 1). A különféle módon nyert kanonikus formák azonban számos közös tulajdonsággal rendelkeznek. Különösen a másodfokú alak pozitív (negatív) együtthatóival rendelkező tagok száma nem függ attól, hogy milyen módszerrel redukálják az alakot erre a formára (például a vizsgált példában mindig két negatív és egy pozitív együttható lesz). . Ezt a tulajdonságot ún másodfokú formák tehetetlenségi törvénye.

Ellenőrizzük ezt úgy, hogy ugyanazt a másodfokú formát más módon redukáljuk kanonikus formára. Kezdjük a transzformációt az x 2 változóval: f (x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3 (x 2 2 - - 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2 /3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2) /3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2, ahol y 1 = - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1/6) x 3 és y 3 = x 1. Itt egy pozitív együttható 2 y 3-ra és két negatív együttható (-3) y 1-re és y 2-re (más módszerrel y 1-re pozitív 2-es, y-ra pedig két negatív együtthatót (-5) kaptunk. 2 és (-1/20) y 3 esetén).

Azt is meg kell jegyezni, hogy a másodfokú alak mátrixának rangja, ún a másodfokú forma rangja, egyenlő a kanonikus forma nullától eltérő együtthatóinak számával, és nem változik a lineáris transzformációk során.

Az f (X) másodfokú alakot nevezzük pozitívan(negatívan)egy bizonyos ha a változók összes olyan értékére, amelyek nem egyidejűleg nullák, akkor pozitív, azaz f (X)> 0 (negatív, azaz f (X)< 0).

Például az f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 másodfokú alak pozitív határozott, mivel a négyzetek összege, és az f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 másodfokú alak negatív határozott, mivel reprezentálja, az f 2 (X) = - (x 1 - x 2) 2 alakban ábrázolható.

A legtöbb gyakorlati helyzetben valamivel nehezebb egy másodfokú alak meghatározottságát megállapítani, ezért erre az alábbi tételek valamelyikét használjuk (bizonyítások nélkül fogalmazzuk meg).

Tétel... A másodfokú alak akkor és csak akkor pozitív (negatív) határozott sajátértékek mátrixai pozitívak (negatívak).

Tétel (Sylvester-kritérium)... Egy másodfokú alak akkor és csak akkor pozitív határozott, ha ennek az alaknak a mátrixának minden nagyobb minora pozitív.

Major (sarok) moll A mátrix k-edik sorrendjét Аn-edik sorrendű mátrix determinánsának nevezzük, amely az А () mátrix első k sorából és oszlopából áll.

Figyeljük meg, hogy a negatív határozott másodfokú alakoknál a dúr mollok előjelei váltakoznak, az elsőrendű mollnak pedig negatívnak kell lennie.

Vizsgáljuk meg például az f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 másodfokú alakot az előjel-határozottság szempontjából.

= (2 -) * * (3 -) - 4 = (6 - 2- 3 +  2) - 4 =  2 - 5 + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17; ... Ezért a másodfokú alak pozitív határozott.

2. módszer. Az A mátrix első rendű főmollja A  1 = a 11 = 2> 0. A másodrendű dúr moll 2 = = 6 - 4 = 2> 0. Ezért Sylvester kritériuma szerint a másodfokú alak pozitív határozott.

Vizsgáljunk meg egy másik másodfokú alakot az előjel-meghatározásra, f (x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

1. módszer. Szerkesszünk meg egy A = másodfokú mátrixot. Karakterisztikus egyenletúgy fog kinézni = (-2 -) * * (- 3 -) - 4 = (6 + 2 + 3 +  2) - 4 =  2 + 5 + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17 ; ... Ezért a másodfokú alak negatív határozott.

2. módszer. A mátrix elsőrendű főmollja A  1 = a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Ezért Sylvester kritériuma szerint a másodfokú alak negatív határozott (a dúr mollok előjelei váltakoznak, mínusztól kezdve).

És egy másik példaként vizsgáljuk meg az f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 másodfokú alakot az előjel-határozottság szempontjából.

1. módszer. Szerkesszünk meg egy A = másodfokú mátrixot. A karakterisztikus egyenlet alakja lesz = (2 -) * * (- 3 -) - 4 = (-6 - 2 + 3 +  2) - 4 =  2 + - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41; ... Ezen számok egyike negatív, a másik pozitív. A sajátértékek előjelei eltérőek. Ebből következően a másodfokú forma nem lehet sem negatív, sem pozitív határozott, azaz. ez a másodfokú forma nem határozott (bármilyen előjel értékét veheti fel).

2. módszer. Az A mátrix elsőrendű főmollja A  1 = a 11 = 2> 0. A másodrendű dúr moll 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1A másodfokú forma kanonikus formára való redukálására szolgáló módszer kényelmesen használható, ha a változók négyzeteihez nem nulla együtthatókat találunk. Ha nincsenek ott, akkor is lehetséges az átalakítás, de más technikákat kell alkalmazni. Például legyen f (x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 - (x 1 - x 2) 2; f (x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2) * * (x 1 + x 2) ) 2 - (1/2) * (x 1 - x 2) 2 = f (y 1, y 2) = (1/2) y 1 2 - (1/2) y 2 2, ahol y 1 = x 1 + x 2, ay 2 = x 1 - x 2.

Kvadratikus formák.
A formák jel-határozottsága. Sylvester kritérium

A „négyzetes” jelző azonnal azt sugallja, hogy itt valami négyzethez (második fokozat) kapcsolódik, és hamarosan megtanuljuk ezt a „valamit”, és azt, hogy mi az a forma. Egyből kiderült :)

Üdvözöllek az új órámon, és azonnali bemelegítésként megnézzük a csíkos egyenruhát. lineáris. Lineáris forma változók hívják homogén 1. fokú polinom:

- néhány konkrét szám * (feltételezzük, hogy legalább az egyik nem nulla), és - olyan változók, amelyek tetszőleges értéket vehetnek fel.

* Ennek a témának a keretein belül csak valós számok .

A "homogén" kifejezéssel már találkoztunk a kb homogén lineáris egyenletrendszerek, és be ebben az esetben feltételezi, hogy a polinomnak nincs hozzáadott állandója.

Például: - két változó lineáris formája

Most a forma kvadratikus. Kvadratikus forma változók hívják homogén 2. fokú polinom, amelynek minden tagját vagy a változó négyzetét tartalmazza, vagy pár változók szorzata. Tehát például két változó másodfokú alakja a következő:

Figyelem! Ez egy szabványos bejegyzés, és nem kell rajta változtatni semmit! Az "ijesztő" megjelenés ellenére itt minden egyszerű - az állandók dupla indexei jelzik, hogy mely változók szerepelnek ebben vagy abban a kifejezésben:
- ez a kifejezés tartalmazza a szorzatot és (négyzet);
- itt egy mű;
- és itt a munka.

- Azonnal durva hibára számítok, amikor elveszítik az együttható "mínuszát", és nem veszik észre, hogy ez egy kifejezésre vonatkozik:

Néha van egy "iskolai" tervezési lehetőség a szellemben, de akkor csak néha. Egyébként vegye figyelembe, hogy az itt található állandók egyáltalán nem mondanak nekünk semmit, és ezért nehezebb megjegyezni az "egyszerű rekordot". Főleg, ha több változó van.

És három változó másodfokú alakja már hat tagot tartalmaz:

... miért szerepel a „két” tényező a „vegyes” kifejezésben? Ez kényelmes, és hamarosan kiderül, miért.

Az általános képletet azonban felírjuk, kényelmes egy „lappal” elrendezni:

- alaposan áttanulmányozzuk az egyes sorokat - nincs ezzel semmi baj!

A másodfokú forma változók négyzetével és a hozzájuk tartozó páros szorzattal rendelkező kifejezéseket tartalmazza (cm. kombinatorikus kombinációs képlet) ... Semmi más - nincs "magányos x" és nincs hozzáadott állandó (akkor nem másodfokú alakot kapsz, hanem heterogén fokú polinom).

Másodfokú forma mátrixjelölése

Az értékektől függően a vizsgált forma pozitív és negatív értéket is felvehet, és ugyanez vonatkozik bármely lineáris alakra - ha legalább az egyik együtthatója nem nulla, akkor pozitív és negatív is lehet (attól függően, hogy értékek).

Ezt a formát ún váltakozó... És ha a lineáris formával minden átlátható, akkor a másodfokú formával sokkal érdekesebb a helyzet:

Teljesen világos, hogy ez a forma bármilyen jel jelentését felveheti, így a másodfokú alak is lehet váltakozó.

Lehet, hogy nem:

- mindig, kivéve, ha egyidejűleg egyenlő nullával.

- bárkinek vektor nullától eltérő.

És általában véve, ha valamelyikre nem nulla vektor, akkor a másodfokú alakot nevezzük pozitívan határozott; ha akkor negatívan definiált.

És minden rendben is lenne, de a másodfokú forma bizonyossága csak ebben látszik egyszerű példák, és ez a láthatóság enyhe komplikáció esetén is elveszik:
– ?

Feltételezhető, hogy a forma pozitívan meghatározott, de valóban így van? Mi van, ha vannak olyan értékek, amelyeknél kisebb, mint nulla?

Ebben a tekintetben van tétel: zuhanok sajátértékek a másodfokú mátrixok pozitívak * , akkor pozitívan definiált. Ha mindegyik negatív, akkor negatív.

* Elméletileg bebizonyosodott, hogy egy valódi szimmetrikus mátrix összes sajátértéke érvényes

Írjuk fel a fenti forma mátrixát:
és az egyenletből Találd meg őt sajátértékek:

A régi jó megoldása másodfokú egyenlet:

tehát a forma pozitívan van meghatározva, azaz. bármely nem nulla érték esetén nagyobb, mint nulla.

A megfontolt módszer működőképesnek tűnik, de van egy nagy DE. Már egy "háromszor három" mátrix esetében a sajátértékek keresése hosszú és kellemetlen feladat; nagy valószínűséggel kapsz egy 3. fokú irracionális gyökerű polinomot.

Hogyan legyen? Van egy egyszerűbb út is!

Sylvester kritérium

Nem, nem Sylvester Stallone :) Először is hadd emlékeztesselek, mire sarki kiskorúak mátrixok. azt meghatározó tényezők amely a bal felső sarkából "nő":

az utolsó pedig pontosan egyenlő a mátrix determinánsával.

Most pedig valójában kritérium:

1) A másodfokú forma meghatározva pozitívan akkor és csak akkor, ha ÖSSZES sarokmollja nagyobb nullánál:.

2) Meg van határozva a másodfokú alak negatívan akkor és csak akkor, ha szögletes molljai jelekkel váltakoznak, míg az 1. moll kisebb, mint nulla:,, ha - páros vagy ha - páratlan.

Ha legalább egy szögmoll ellentétes előjelű, akkor a forma váltakozó... Ha az "az" jel szögletes kiskorúi, de köztük nulla van, akkor ez speciális eset, amit egy kicsit később elemzek, miután végigkattintunk a gyakoribb példákon.

Elemezzük a mátrix sarokmolljait :

És ez azonnal azt mondja, hogy a forma nincs negatívan definiálva.

Kimenet: minden sarok-moll nullánál nagyobb, tehát az alakzat pozitívan van meghatározva.

Van különbség a sajátérték módszerrel? ;)

Írjuk fel az alakmátrixot abból 1. példa:

az első sarokmoll, a második , amiből az következik, hogy a forma váltakozó jel, azaz. az értékektől függően pozitív és negatív értékeket is felvehet. Ez azonban már nyilvánvaló.

Vegyük a formát és a mátrixát innen 2. példa:

némi rálátás nélkül nem lehet rájönni. De minket nem érdekel Sylvester kritériuma:
ezért a forma határozottan nem negatív.

, és határozottan nem pozitív (mivel minden sarokkorúnak pozitívnak kell lennie).

Kimenet: a forma váltakozó.

Bemelegítési példák az önmegoldáshoz:

4. példa

Vizsgálja meg a másodfokú alakzatok határozottságát!

a)

Ezekben a példákban minden gördülékeny (lásd a lecke végét), de valójában egy ilyen feladat elvégzése Sylvester kritériuma nem biztos, hogy elég.

A lényeg, hogy vannak "éles" esetek, mégpedig: ha van ilyen nem nulla vektor, akkor az alakzat definiálva van nem negatív ha akkor nem pozitív... Ezek a formák nem nulla vektorok, amelyekre.

Itt lehet idézni egy ilyen "gombos harmonikát":

Kiemelés teljes négyzet, azonnal látjuk nem-negativitás form:, ráadásul egyenlő nullával, és bármely egyenlő koordinátájú vektorra, például: .

Tükör példa nem pozitív egy bizonyos forma:

és egy még triviálisabb példa:
- itt az alak bármely vektor esetén nullával egyenlő, ahol tetszőleges szám.

Hogyan lehet azonosítani, hogy egy forma nem-negatív vagy nem pozitív?

Ehhez szükségünk van a koncepcióra jelentősebb kiskorúak mátrixok. A major moll olyan elemekből álló moll, amelyek azonos számú sorok és oszlopok metszéspontjában vannak. Tehát a mátrixnak két fő elsőrendű minorja van:
(az elem az 1. sor és az 1. oszlop metszéspontjában van);
(az elem a 2. sor és a 2. oszlop metszéspontjában van),

és egy nagy 2. rendű moll:
- az 1., 2. sor és 1., 2. oszlop elemeiből áll.

A mátrixban van "háromszor három" hét nagy kiskorú van, és itt kell integetni a bicepszedet:
- három elsőrendű moll billentyű,
három 2. rendű moll billentyű:
- az 1., 2. sor és 1., 2. oszlop elemeiből áll;
- az 1., 3. sor és 1., 3. oszlop elemeiből áll;
- a 2., 3. sor és 2., 3. oszlop elemeiből áll,
és egy 3. rendű kiskorú:
- az 1., 2., 3. sor, valamint az 1., 2. és 3. oszlop elemeiből áll.
Gyakorlat megértés: írd le a mátrix összes főbb minorját .
A lecke végén ellenőrizzük és folytatjuk.

Schwarzenegger kritériuma:

1) Nem nulla * másodfokú alak van definiálva nem negatív akkor és csak akkor, ha az ÖSSZES jelentősebb kiskorú nem negatív(nullánál nagyobb vagy egyenlő).

* A nulla (degenerált) másodfokú forma minden együtthatója nullával egyenlő.

2) Nem nulla másodfokú forma mátrixszal van meghatározva nem pozitív akkor és csak akkor, ha:
- I. rendű fő kiskorúak nem pozitív(nullánál kisebb vagy egyenlő);
- 2. rendű kiskorúak nem negatív;
- 3. rendű major kiskorúak nem pozitív(váltakozás ment);
…
- kisebb kisebb megrendelés nem pozitív ha - páratlan vagy nem negatív ha – akár.

Ha legalább egy moll ellentétes előjelű, akkor a forma váltakozó.

Nézzük meg, hogyan működik a kritérium a fenti példákban:

Állítsuk össze az alakmátrixot, és először is számoljuk ki a szögletes minorokat – mi van ha pozitívan vagy negatívan definiálják?

A kapott értékek nem felelnek meg Sylvester kritériumának, hanem a második kisebbnek nem negatív, és ez szükségessé teszi a 2. kritérium ellenőrzését (a 2. feltétel esetén nem teljesül automatikusan, azaz azonnal következtetés születik az űrlap váltakozásáról).

Nagy I. rendű kiskorúak:
- pozitív,
őrnagy 2. rendű moll:
- nem negatív.

Így MINDEN nagyobb minor nem negatív, ami azt jelenti, hogy az űrlap nem negatív.

Írjuk fel az űrlap mátrixát , amelyre nyilvánvalóan Sylvester kritériuma nem teljesül. De ellentétes előjeleket sem kaptunk (hiszen mindkét sarok-moll egyenlő nullával). Ezért ellenőrizzük a nem negatív / nem pozitív kritérium teljesülését. Nagy I. rendű kiskorúak:
- nem pozitív,
őrnagy 2. rendű moll:
- nem negatív.

Így a Schwarzenegger-kritérium (2. pont) szerint a forma nem pozitívan definiált.

Most teljesen felfegyverkezve elemezzünk egy szórakoztatóbb problémát:

5. példa

Vizsgálja meg a másodfokú alak határozottságát!

Ez a forma az "alfa" sorrendet díszíti, amely bármely valós számmal egyenlő lehet. De ez csak szórakoztatóbb lesz mi döntünk.

Először is írjuk fel az űrlapmátrixot, valószínűleg sokan megszokták már ezt a szóban: on főátló feltesszük a négyzetek együtthatóit, a szimmetrikus helyekre pedig a megfelelő "vegyes" művek felezett együtthatóit:

Számítsuk ki a szögleteket:

A harmadik determinánst kiterjesztem a 3. sor mentén:

A másodfokú forma fogalma. Kvadratikus mátrix. A másodfokú forma kanonikus alakja. Lagrange módszere. A másodfokú forma normál nézete. A másodfokú alak rangja, indexe és aláírása. Pozitív határozott másodfokú forma. Kvadrikus.

A másodfokú forma fogalma: függvény a vektortéren, amelyet a vektor koordinátáiban egy másodfokú homogén polinom ad meg.

Quadratic from n ismeretlen egy összeg, amelynek minden tagja vagy az egyik ismeretlen négyzete, vagy két különböző ismeretlen szorzata.

Kvadratikus mátrix: A mátrixot egy adott alapon másodfokú mátrixnak nevezik. Ha a térkarakterisztika nem egyenlő 2-vel, akkor feltételezhetjük, hogy a másodfokú alak mátrixa szimmetrikus, azaz.

Írj fel egy másodfokú mátrixot:

Ennélfogva,

Vektormátrix formában a másodfokú alak a következő:

A, hol

A másodfokú forma kanonikus alakja: A másodfokú formát kanonikusnak nevezzük azaz

Bármilyen másodfokú forma lineáris transzformációkkal redukálható kanonikus formává. A gyakorlatban általában a következő módszereket alkalmazzák.

Lagrange módszer : teljes négyzetek szekvenciális kiválasztása. Például ha

Ezután hasonló eljárást hajtunk végre a másodfokú formával és így tovább. Ha másodfokú formában minden van, kivéve majd az előzetes átalakítás után az eset a mérlegelt eljárásra redukálódik. Tehát, ha például feltesszük

A másodfokú forma normál nézete: A normál másodfokú forma egy kanonikus másodfokú forma, amelyben minden együttható +1 vagy -1.

A másodfokú alak rangsora, indexe és aláírása: A másodfokú forma rangja szerint A a mátrix rangjának nevezik A... A másodfokú alak rangja nem változik az ismeretlenek nem degenerált transzformációi során.

A negatív együtthatók számát negatív alakindexnek nevezzük.

A kanonikus formában lévő pozitív tagok számát a másodfokú forma pozitív tehetetlenségi indexének, a negatív tagok számát negatív indexnek nevezzük. A pozitív és negatív indexek közötti különbséget másodfokú aláírásnak nevezzük

Pozitív határozott másodfokú forma: Valódi kvadratikus forma pozitív határozottnak (negatív határozottnak) nevezzük, ha olyan változók valós értékére, amelyek egyidejűleg nem egyenlőek nullával

. (36)

Ebben az esetben a mátrixot pozitív határozottnak (negatív határozottnak) is nevezik.

A pozitív határozott (negatív határozott) formák osztálya a nem negatív (illetve nem pozitív) formák osztályának része.

Négyszögek: négyes - n-dimenziós hiperfelület be n+ 1-dimenziós tér, egy másodfokú polinom nullák halmazaként definiálva. Ha megadja a koordinátákat ( x 1 , x 2 , x n+1) (euklideszi vagy affin térben), általános egyenlet a négyszög alakja

Ez az egyenlet tömörebben átírható mátrixjelöléssel:

ahol x = ( x 1 , x 2 , x n+1) egy sorvektor, x T - transzponált vektor, K- méretmátrix ( n+1) × ( n+1) (feltételezzük, hogy legalább egy eleme nem nulla), P Egy sorvektor, és R Egy állandó. Leggyakrabban a négyes számokat valós vagy komplex számok felett tekintik. A definíció kiterjeszthető a projektív térben lévő négyzetekre, lásd alább.

Általánosabban, a polinomiális egyenletrendszer nullák halmazát algebrai változatnak nevezzük. Így a quadric egy (affin vagy projektív) algebrai másodfokú és 1-es kodimenziós változat.

Sík- és tértranszformációk.

Síktranszformáció meghatározása. Mozgásérzékelés. a mozgás tulajdonságai. Kétféle mozgás: az 1. fajta mozgása és a 2. fajta mozgása. Példák mozgásokra. A mozgás analitikus kifejezése. Síkmozgások osztályozása (fix pontok és invariáns egyenesek meglététől függően). Síkmozgások csoportja.

A síktranszformáció definíciója: Definíció. A pontok közötti távolságot megőrző síktranszformációt nevezzük mozgalom(vagy mozgatásával) a gépet. A síktranszformációt ún affin ha bármely három egy egyenesen fekvő pontot három, szintén egy egyenesen fekvő ponttá alakít át, és egyúttal megőrzi a három pont egyszerű arányát.

Mozgásérzékelés: ez egy alaktranszformáció, amely megtartja a pontok közötti távolságot. Ha két figurát mozdulattal pontosan egymáshoz igazítunk, akkor ezek a figurák azonosak, egyenlők.

Mozgás tulajdonságai: a sík bármely orientációt megőrző mozgása vagy párhuzamos eltolódás vagy elforgatás; a sík bármely orientációt megfordító mozgása vagy tengelyirányú szimmetria vagy csúszó szimmetria. Az egyenesen fekvő pontok mozgás közben átmennek egyenesen fekvő pontokba, és a relatív helyzetük sorrendje megmarad. Mozgáskor a félvonalak közötti szögek megmaradnak.

Kétféle mozgás: az 1. típusú mozgás és a 2. típusú mozgás: Az első típusú mozdulatok azok a mozdulatok, amelyek megőrzik egy bizonyos alakzat alapjainak tájolását. Folyamatos mozgásokkal valósíthatók meg.

A második típusú mozgások azok a mozgások, amelyek az alapok irányát az ellenkezőjére változtatják. Folyamatos mozgással nem valósíthatók meg.

Az első típusú mozgások példái az egyenes vonal körüli elfordítás és forgatás, a második típusú mozgások pedig a központi és tükörszimmetriák.

Az első típusú mozgás tetszőleges számú összetétele az első típusú mozgás.

A második típusú páros számú mozgás összetétele az 1. fajta mozgása, a páratlan számú 2. típusú mozgás összetétele pedig a 2. típusú mozgás.

Példák a mozgásokra:Párhuzamos átvitel. Legyen a egy adott vektor. Az a vektorra való párhuzamos átvitelt a sík önmagára való leképezésének nevezzük, amelyben minden M pont az M 1 pontra van leképezve, hogy az MM 1 vektor egyenlő az a vektorral.

A párhuzamos fordítás mozgás, mert egy sík önmagára való leképezése, amely megőrzi a távolságokat. Ezt a mozgást úgy lehet megjeleníteni, mint a teljes sík eltolódását egy adott a vektor hosszának függvényében.

Fordulat. Jelöljük az O pontot ( forgóközpont) és állítsa be az α szöget ( forgásszög). A sík O pont körüli elforgatását az α szöggel a sík önmagára való leképezésének nevezzük, amelyben minden M pont az M 1 pontra van leképezve, hogy OM = OM 1 és a MOM 1 szög egyenlő α-val. . Ebben az esetben az O pont a helyén marad, azaz önmagában jelenik meg, és az összes többi pont az O pont körül ugyanabban az irányban forog - az óramutató járásával megegyezően vagy azzal ellentétes irányba (az ábra az óramutató járásával ellentétes forgást mutat).

A forgás mozgás, mert egy sík-önleképezés, amely megtartja a távolságokat.

A mozgás analitikus kifejezése: az előkép koordinátái és egy pont képe közötti analitikus kapcsolat alakja (1).

Síkmozgások osztályozása (fix pontok és invariáns vonalak jelenlététől függően): Definíció:

A sík egy pontja invariáns (rögzített), ha az adott transzformáció során önmagává alakul.

Példa: Központi szimmetria esetén a szimmetriaközéppont pontja invariáns. Forduláskor a fordulási középpont invariáns. Axiális szimmetria esetén az egyenes invariáns - a szimmetriatengely invariáns pontok egyenes vonala.

Tétel: Ha a mozgásnak nincs invariáns pontja, akkor legalább egy invariáns iránya van.

Példa: Párhuzamos átvitel. Valójában az ezzel az iránnyal párhuzamos egyenesek egész alakban változatlanok, bár nem invariáns pontokból áll.

Tétel: Ha egy sugár mozog, a sugár önmagába fordítódik, akkor ez a mozgás vagy azonos transzformáció, vagy szimmetria az adott sugarat tartalmazó egyeneshez képest.

Ezért az invariáns pontok vagy figurák jelenléte szerint lehetséges a mozgások osztályozása.

Mozgás neve	Invariáns pontok	Változatlan vonalak
Az első típusú mozgás.
1. - fordul	(középen) - 0	Nem
2. Azonos transzformáció	a sík összes pontja	mind egyenesen
3. Központi szimmetria	pont 0 - középpont	a 0 ponton átmenő összes egyenes
4. Párhuzamos átvitel	Nem	mind egyenesen
A második típusú mozgás.
5. Tengelyszimmetria.	pontok halmaza	szimmetriatengely (egyenes) minden egyenes

Síkmozgások csoportja: Az önbeálló figurák csoportjai fontos szerepet játszanak a geometriában. Ha - valamilyen figura egy síkon (vagy térben), akkor figyelembe veheti a sík (vagy tér) mindazon mozgásainak halmazát, amelyekben az alak önmagába megy.

Ez a sokaság egy csoport. Például egy egyenlő oldalú háromszögnél a háromszöget önmagává alakító síkmozgások csoportja 6 elemből áll: egy pont körüli szögekkel történő elforgatásokból és három egyenes körüli szimmetriából.

ábrán láthatók. 1 piros vonalakkal. A szabályos háromszög önbeállási csoportjának elemei eltérő módon adhatók meg. Ennek tisztázása érdekében számozzuk meg egy szabályos háromszög csúcsait 1, 2, 3 számokkal. A háromszög bármely önbeállítása az 1, 2, 3 pontokat ugyanazokra a pontokra fordítja, de más sorrendben, pl. hagyományosan a következő zárójelek egyikébe írható:

stb.

ahol az 1, 2, 3 számok azoknak a csúcsoknak a számát jelölik, amelyekbe a vizsgált mozgás eredményeként az 1, 2, 3 csúcsok átjutnak.

Projektív terek és modelljeik.

A projektív tér fogalma és a projektív tér modelljei. A projektív geometria alapjai. Az O pont középpontjában álló egyenesek csomója a projektív sík modellje. Projektív pontok. A kiterjesztett sík a projektív sík modellje. Kiterjesztett háromdimenziós affin vagy euklideszi tér – a projektív tér modellje. Sík- és térfigurák képei párhuzamos kivitelben.

A projektív tér fogalma és a projektív tér modelljei:

A mező feletti projektív tér egy adott mező feletti lineáris tér egyenes vonalaiból (egydimenziós altereiből) álló tér. Az egyenes tereket nevezzük pontok projektív tér. Ez a meghatározás alkalmas egy tetszőleges testre történő általánosításra

Ha van dimenziója, akkor a projektív tér dimenziója egy szám, és magát a projektív teret jelöljük és társítva nevezzük (ennek jelzésére a jelölést veszik át).

A dimenziós vektortérből a megfelelő projektív térbe való átmenetet nevezzük projektivizálás tér.

A pontok homogén koordinátákkal írhatók le.

A projektív geometria alapjai: A projektív geometria a geometriának egy olyan ága, amely a projektív síkokat és tereket vizsgálja. fő jellemzője A projektív geometria a kettősség elvéből áll, amely kecses szimmetriát ad sok tervhez. A projektív geometria tisztán geometriai szempontból is tanulmányozható, tehát analitikus (homogén koordináták felhasználásával) és salgebrai, a projektív síkot egy mező feletti szerkezetnek tekintve. Gyakran és történelmileg a valódi projektív síkot az euklideszi síknak tekintik, hozzáadva az "egyenes a végtelenben" kifejezést.

Míg az ábrák tulajdonságai, amelyekkel az euklideszi geometria foglalkozik metrikus(szögek, szakaszok, területek konkrét értékei), és az ábrák egyenértékűsége megegyezik azokkal egyezést(vagyis amikor a metrikus tulajdonságok megőrzésével az alakzatokat mozgással egymásba lehet fordítani), a geometriai alakzatoknak több "mélyen fekvő" tulajdonsága van, amelyek a mozgásnál általánosabb típusú transzformációk során megmaradnak. A projektív geometria az osztály alatt invariáns alakzatok tulajdonságait vizsgálja projektív transzformációk, valamint maguk ezek az átalakulások.

A projektív geometria kiegészíti az euklideszit azzal, hogy gyönyörű és egyszerű megoldások számos feladathoz, amelyet a párhuzamos vonalak jelenléte bonyolít. A kúpszelvények projektív elmélete különösen egyszerű és elegáns.

A projektív geometriának három fő megközelítése létezik: a független axiomatizálás, az euklideszi geometria kiegészítése és a mező feletti struktúra.

Axiomatizálás

A projektív tér a segítségével definiálható különböző készlet axiómák.

A Coxeter a következőket nyújtja:

1. Van egy egyenes, és nincs rajta pont.

2. Minden vonalnak legalább három pontja van.

3. Két ponton keresztül pontosan egy egyenes húzható.

4. Ha A, B, C, és D- különböző pontok és ABés CD akkor metszik egymást ACés BD metszik egymást.

5. Ha ABC- sík, akkor legalább egy pont nincs a síkban ABC.

6. Két különböző sík legalább két pontot metsz.

7. Egy teljes négyszög három átlós pontja nem kollineáris.

8. Ha három pont egy egyenesen x x

A projektív síkot (a harmadik dimenzió nélkül) kissé eltérő axiómák határozzák meg:

1. Két ponton keresztül pontosan egy egyenes húzható.

2. Bármely két egyenes metszi egymást.

3. Négy pont van, amiből nincs három egyvonalas.

4. A teljes négyszögek három átlós pontja nem egyvonalas.

5. Ha három pont egy egyenesen x invariánsak a φ projekttivitásához képest, akkor minden ponton x invariánsak φ-hez képest.

6. Desargues-tétel: Ha két háromszög egy ponton keresztül perspektivikus, akkor egy egyenesen keresztül perspektivikus.

A harmadik dimenzió jelenlétében a Desargues-tétel ideális pontok és egyenesek bevezetése nélkül igazolható.

Kiterjesztett sík - a projektív sík modellje: veszünk az A3 affin térben egy S (O) egyenes köteget, amelynek középpontja az O pontban van, és egy Π síkot, amely nem megy át a köteg középpontján: O 6∈ Π. Az affin térben lévő vonalköteg a projektív sík modellje. Rendeljünk leképezést a Π sík ponthalmazából az S összekötő vonalak halmazához.

Kiterjesztett háromdimenziós affin vagy euklideszi tér - a projektív tér modellje:

A leképezés szürjektívvé tételéhez megismételjük a Π affin sík formális kiterjesztésének folyamatát a Π projektív síkra, kiegészítve a Π síkot nem megfelelő pontokkal (M∞), így: ((M∞)) = P0 (O) ). Mivel a leképezésben az S (O) síkköteg minden síkjának előképe egy egyenes a d síkon, nyilvánvaló, hogy a kiterjesztett sík összes helytelen pontjának halmaza: Π = Π ∩ (M∞), (M∞), annak a kiterjesztett síknak a d∞ helytelen egyenese, amely a Π0 szinguláris sík inverz képe: (d∞) = P0 (O) (= Π0). (I.23) Állapodjunk meg abban, hogy az utolsó P0 (O) = Π0 egyenlőség itt és a továbbiakban ponthalmazok egyenlősége értelmében értendő, de más szerkezettel felruházva. Az affin síkot egy nem megfelelő egyenessel kiegészítve elértük, hogy az (I.21) leképezés bijektívvé válik a kiterjesztett sík összes pontjának halmazán:

Sík és térbeli alakzatok képei párhuzamos tervezésben:

A sztereometriában a térbeli alakzatokat tanulmányozzák, de a rajzon lapos figurákként ábrázolják őket. Hogyan kell egy térbeli alakot síkon ábrázolni? A geometriában jellemzően párhuzamos tervezést alkalmaznak erre. Legyen p valami sík, l- az azt metsző egyenes (1. ábra). Egy tetszőleges ponton keresztül A nem tartozik az egyeneshez l, rajzoljon az egyenessel párhuzamos egyenest l... Ennek az egyenesnek a p síkkal való metszéspontját a pont párhuzamos vetületének nevezzük A a p síkon az egyenes irányába l... Jelöljük A". Ha a lényeg A direkthez tartozik l, majd párhuzamos vetítés A a p síkon az egyenes metszéspontja l a géppel p.

Így minden pont A a tér a vetületére van leképezve A"a p síkon. Ezt a megfelelést nevezzük párhuzamos vetületnek a p síkon az egyenes irányában l.

A projektív transzformációk csoportja. Alkalmazás problémamegoldásra.

A sík projektív transzformációjának fogalma. Példák a sík projektív transzformációira. A projektív transzformációk tulajdonságai. Homológia, a homológia tulajdonságai. A projektív transzformációk csoportja.

A sík projektív transzformációjának fogalma: A projektív transzformáció fogalma általánosítja a központi vetület fogalmát. Ha végrehajtjuk az α sík központi vetületét valamilyen α 1 síkra, akkor α 1 vetítését α 2-re, α 2 vetítését α 3-ra, ... és végül valamilyen α síkra. n ismét α 1-en, akkor mindezen vetületek összetétele az α sík projektív transzformációja; párhuzamos vetületek foglalhatók bele egy ilyen láncba.

Példák a sík projektív transzformációira: Egy befejezett sík projektív transzformációja a saját magára való egy-egy leképezése, amelyben a pontok kollinearitása megmarad, vagy más szóval bármely egyenes képe egyenes. Bármely projektív transzformáció központi és párhuzamos vetületek láncolatának összetétele. Az affin transzformáció a projektív transzformáció speciális esete, amelyben a végtelenben lévő egyenes önmagába megy át.

A projektív transzformációk tulajdonságai:

Projektív transzformáció során három pont, amely nem fekszik az egyenesen, átmegy három olyan pontra, amely nem fekszik az egyenesen.

Projektív transzformációval a keret keretté alakul.

A projektív transzformáció során az egyenes vonalból egyenes, a ceruza ceruzává válik.

Homológia, homológia tulajdonságai:

Homológiának nevezzük egy olyan sík projektív transzformációját, amelynek invariáns pontjainak egyenese van, és így invariáns egyenesek ceruzája.

1. A homológia nem egybeeső megfelelő pontjain átmenő egyenes egy invariáns egyenes;

2. A homológia megfelelő nem egybeeső pontjain átmenő egyenesek egy szálhoz tartoznak, melynek középpontja egy invariáns pont.

3. A pont, a képe és a homológia középpontja kollineáris.

A projektív transzformációk csoportja: tekintsük a P 2 projektív sík önmagára való projektív leképezését, vagyis ennek a síknak a projektív transzformációját (P 2 '= P 2).

Mint korábban, a P 2 projektív sík f 1 és f 2 projektív transzformációinak f összetétele az f 1 és f 2 transzformációk egymás utáni végrehajtásának eredménye: f = f 2 ° f 1.

1. Tétel: a P 2 projektív sík összes projektív transzformációjának H halmaza a projektív transzformációk összetétele szempontjából egy csoport.

A többváltozós 2. fokú homogén polinomot másodfokú alaknak nevezzük.

A változók másodfokú alakja kétféle tagból áll: a változók négyzetéből és páronkénti szorzatából néhány együtthatóval. A másodfokú formát a következő négyzetséma formájában szokás írni:

A hasonló tagok párjait ugyanazokkal az együtthatókkal írjuk fel, így mindegyik a változók megfelelő szorzatának együttható fele. Így minden másodfokú alak természetesen társított együtthatómátrixával, amely szimmetrikus.

Célszerű a másodfokú formát a következő mátrixjelöléssel ábrázolni. Jelölje X a változók oszlopát X-szel - egy sor, azaz egy X-szel transzponált mátrix.

A másodfokú formák a matematika számos ágában és alkalmazásaiban megtalálhatók.

A számelméletben és a krisztallográfiában a másodfokú formákat azzal a feltételezéssel veszik figyelembe, hogy a változók csak egész számokat vesznek fel. Az analitikus geometriában a másodfokú forma része egy görbe (vagy felület) egyenletének. A mechanikában és a fizikában úgy tűnik, hogy a másodfokú forma egy rendszer kinetikai energiáját fejezi ki az általánosított sebességek összetevőiben stb. De emellett a másodfokú formák tanulmányozása is szükséges az elemzés során, amikor számos változó függvényét tanulmányozzuk. kérdésekben, amelyek megoldásához fontos kideríteni, hogy ez a függvény egy adott pont közelében hogyan tér el az őt közelítő lineáris függvénytől. Ilyen probléma például a maximum és minimum függvény vizsgálata.

Tekintsük például azt a problémát, hogy két változó függvényében a maximumot és a minimumot vizsgáljuk meg, folyamatos parciális deriváltokkal. Előfeltétel hogy a függvény maximumát vagy minimumát megadó pont a sorrend parciális deriváltjainak nullával egyenlő legyen a pontban Tegyük fel, hogy ez a feltétel teljesül. Adjuk meg az x és y változókat kis növekményekkel és k-val, és vegyük figyelembe a függvény megfelelő növekményét. A Taylor-képlet szerint ez a növekmény kis magasabb rendűekig egyenlő azzal a másodfokú formával, ahol a függvény értékei vannak. pontban számított második derivált Ha ez a másodfokú forma minden értékre és k-re pozitív (kivéve), akkor a függvénynek minimuma van a pontban, ha negatív, akkor maximuma. Végül, ha az alakzat pozitív és negatív értékeket is felvesz, akkor nem lesz maximum vagy minimum. Nagyobb számú változó függvényét vizsgáljuk hasonló módon.

A másodfokú formák tanulmányozása főként az alakok ekvivalenciájának vizsgálatából áll a változók lineáris transzformációinak egyik vagy másik halmazával szemben. Két másodfokú formát ekvivalensnek nevezünk, ha az adott halmaz valamelyik transzformációjával az egyik a másikra fordítható. A formaredukció problémája szorosan összefügg az ekvivalencia problémával, i.e. átalakítva a lehető legegyszerűbb formák valamelyikére.

A másodfokú alakokkal kapcsolatos különféle kérdésekben a változók megengedett transzformációinak különféle halmazait is figyelembe veszik.

Az elemzési kérdésekben minden nem szinguláris változó transzformációt alkalmazunk; Az analitikus geometria szempontjából a legérdekesebbek az ortogonális transzformációk, vagyis azok, amelyek megfelelnek az egyik változó derékszögű koordinátarendszerből a másikba való átmenetnek. Végül a számelméletben és a krisztallográfiában az egész együtthatós és eggyel egyenlő determinánsú lineáris transzformációkat is figyelembe veszik.

E problémák közül kettőt fogunk megvizsgálni: a másodfokú formák legegyszerűbb formájára való visszaszorítását bármilyen nem szinguláris transzformáció segítségével, és ugyanezt az ortogonális transzformációkkal. Először is nézzük meg, hogyan alakul át egy másodfokú mátrix változók lineáris transzformációja során.

Legyen, ahol A az alakegyütthatók szimmetrikus mátrixa, X a változók oszlopa.

Végezzük el a változók lineáris transzformációját, írjuk fel rövidített formában. Itt C ennek a transzformációnak az együtthatóinak mátrixát jelöli, X pedig az új változók oszlopát. Ekkor és ezért úgy, hogy a transzformált másodfokú alak mátrixa az

A mátrix automatikusan szimmetrikusnak bizonyul, ami könnyen ellenőrizhető. Így a másodfokú alakzat legegyszerűbb formára redukálásának problémája egyenértékű azzal a problémával, amikor egy szimmetrikus mátrixot a legegyszerűbb formára redukálunk úgy, hogy azt balról és jobbról kölcsönösen transzponált mátrixokkal megszorozzuk.